6.2.4向量的數量積（1）教材定位1.《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》主題三“幾何與代數”——平面向量及其應用、復數、立體幾何初步；2.人教A版必修第二冊第六章“平面向量及其應用”第2節“平面向量的運算”第4講“向量的數量積”。目錄Contents內容分析認知水平目標分析重點難點01020304教學思路教學過程0506010203

平面向量的數量積是向量加法、減法和數乘向量運算的延續；數量積是一種新的向量運算，其運算結果是數量。

從幾何和代數視角出發，深度挖掘向量數量積的幾何意義、運算性質、投影向量；構建聯系緊密、系統的平面向量數量積的知識結構。

平面向量數量積聯系物理中力做功；借助功是一個標量，它用力和位移兩個矢量來定義，自然過渡到數學上就是向量的數量積。內容分析內容分析認知水平目標分析重點難點教學思路教學過程內容分析內容分析認知水平目標分析重點難點教學思路教學過程認知基礎平面向量的線性運算數學思想和方法學習經驗認知障礙數量積運算不封閉數量積運算性質豐富學習經歷內容分析內容分析認知水平目標分析重點難點教學思路教學過程123通過借助向量加法等學習經驗，以物理中的“功”等實例，理解平面向量數量積的含義、物理意義和幾何意義；培養學生歸納概括、類比遷移的能力，提升數學抽象、數學運算的核心素養；經歷投影及投影向量的學習，體會數形結合、分類討論的數學思想方法，提升直觀想象的數學素養;通過開放性問題，總結向量數量積的性質，體會特殊到一般和分類討論的數學思想方法，培養學生抽象概括、邏輯推理的數學素養。內容分析內容分析認知水平目標分析重點難點教學思路教學過程平面向量數量積的概念重點一平面向量數量積的性質重點二平面向量數量積概念的抽象概括難點一難點二投影向量的理解及應用探究活動1探究活動3探究活動1探究活動2背景定義理解應用內容分析內容分析認知水平目標分析重點難點教學思路教學過程本節內容嘗試基于CTI模式開展教學探索。CTI由construct(建構)、Transfer(遷移)、Innovate(創新)的首字母組成，CTI模式是喻平教授提出的發展學生數學核心素養的一種教學模式。

建構路徑建構（環節1~3）遷移（環節4）創新（環節5）問題1:前面我們已經學習了向量的加、減、數乘三種運算，類比數的運算，向量之間還可以建立哪些運算?問題2:類比研究向量加法運算的基本路徑，怎樣研究向量的乘法?力力的合成向量向量的加法背景定義設計意圖：向量的數量積運算和向量的加、減、數乘線性運算一樣，也有其數學背景和物理背景。奧蘇貝爾認為：理解的本質是在新舊知識之間建立聯系．所以，問題1、2的目的是喚醒學生對已有數學背景的回憶和重溫研究向量運算的邏輯順序，培養學生的類比思想，此外能體現了單元教學內容的整體性、方法的一致性。環節一：復習引入，溫故知新內容分析內容分析認知水平目標分析重點難點教學思路教學過程問題3:露營車在力F的作用下產生位移s，且力F的方向與物體運動的方向成θ角，請同學們思考：力F做的功W如何表示？功W，力F和位移s各是什么量？W=|F||s|cosθ其中|F|表示力F的大小，|s|表示位移s的大小，θ是F與s的夾角（0≤θ≤π）設計意圖：為向量的數量積和投影向量的學習做鋪墊；提升數學抽象的核心素養。環節二：借助物理，情景引入內容分析內容分析認知水平目標分析重點難點教學思路教學過程

θ

環節三：抽象概括，形成概念內容分析內容分析認知水平目標分析重點難點教學思路教學過程

θ

θ

（1）當θ=0，a與b同向（2）當θ為銳角

（4）當θ為鈍角（5）當θ=π，a與b反向兩向量夾角，共起點設計意圖：研究向量夾角時要注意向量的方向，并且要根據夾角的不同類型進行分類討論，培養學生分類討論和數形結合的思想。內容分析內容分析認知水平目標分析重點難點教學思路教學過程W=|F||s|cosθa.b=|a||b|cosθ問題4：如果我們將公式中的矢量力與位移類比推廣為一般向量，你會概括出什么結論？功是力與位移的大小及其夾角余弦的乘積兩個向量的乘積等于向量的大小及其夾角余弦的乘積類比探究活動1數量積的概念

設計意圖：立足向量的物理情境，類比學生的已有經驗，抽象、概括和表達平面向量數量積的概念。環節三：抽象概括，形成概念內容分析內容分析認知水平目標分析重點難點教學思路教學過程

思考1：對比向量的線性運算，數量積的運算結果有什么不同？設計意圖：思考1是為了引導學生將向量數量積與向量線性運算相區別；問題5是為了分析兩向量特殊位置時數量積的情況，為后續得出向量數量積性質奠定基礎。規定：零向量與任一向量的數量積為0.注意：“·”不能省略，也不能寫成“×”環節三：抽象概括，形成概念內容分析內容分析認知水平目標分析重點難點教學思路教學過程環節三：抽象概括，形成概念內容分析內容分析認知水平目標分析重點難點教學思路教學過程典例1已知變式1設計意圖：幫助學生鞏固向量數量積運算的定義，理解其中的算理，引導學生總結出數量積、模長、夾角的關系：“知三求一”，發展學生的數學運算素養。

OθM1OθM1

投影環節四：幾何角度，深化認知探究活動2投影與投影向量內容分析內容分析認知水平目標分析重點難點教學思路教學過程

環節四：幾何角度，深化認知內容分析內容分析認知水平目標分析重點難點教學思路教學過程設計意圖：區別投影和投影向量，投影是一種變換，投影向量是一個向量。

OθM1OθM1

環節四：幾何角度，深化認知內容分析內容分析認知水平目標分析重點難點教學思路教學過程

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Oθ

設計意圖：通過對θ分類討論，歸納獲取投影向量的一般表達式，不惜在此探究過程上做足功夫，意在讓學生從整體感知分類與歸納的數學思想與方法，逐步滲透并發展學生的數學抽象、數學運算、直觀想象的核心素養。環節四：幾何角度，深化認知內容分析內容分析認知水平目標分析重點難點教學思路教學過程OθM1

降維思想

設計意圖：投影是構建高維空間與低維空間之間聯系的橋梁，引入投影向量將不共線的向量的數量積轉化為共線向量的數量積，體會一般和特殊的轉化。環節四：幾何角度，深化認知內容分析內容分析認知水平目標分析重點難點教學思路教學過程向量數量積的幾何意義：向量a在向量b方向上的投影向量與向量b的數量積。內容分析內容分析認知水平目標分析重點難點教學思路教學過程

環節四：幾何角度，深化認知變式2：如圖2，在⊙C中，是不是只需要知道⊙C的半徑或者弦長AB的長度，就可以算出ABDCEabAB.C圖1圖2設計意圖：鞏固向量數量積的定義和投影向量。設a，b都是非零向量，e是與b方向相同的單位向量，θ是a與e的夾角。環節五：開放問題，探究性質問題7：正六邊形ABCDEF的邊長為1，在邊上取點，形成向量a,b，求出你所選取的向量a,b的數量積。并在此過程中，探究數量積的幾何性質。設計意圖：學生先獨立思考，再小組合作，在問題解決中探究性質，提升邏輯推理的核心素養。內容分析內容分析認知水平目標分析重點難點教學思路教學過程（4）a·b≤|a|·|b|.（1）e·aa·e=|a|cos

=（2）a⊥ba·b=0a·b=|a||b|，（3）當a與b同向時，當a與b反向時，a·b=－|a||b|，特別地探究活動3數量積的運算性質環節六：課堂練習,鞏固提升設計意圖：練習1考查學生對向量夾角概念和數量積定義的掌握；練習2考查學生對投影向量概念的理解以及數學運算能力的掌握內容分析內容分析認知水平目標分析重點難點教學思路教學過程

練習3.(原創題)年輕一代消費者對“走出去”的渴望日益增長，露營項目逐漸成為當代年輕人的熱門娛樂方式之一。上周末，官老師外出露營，以與水平方向夾角為α=37°的斜向上的拉力F，沿水平方向移動了|s|=100m的距離，推車內物品質量m=20kg。已知F=200N，物體受到的摩擦力是它與水平面間壓力的0.2倍，求力F對物體做的功。(取g=10m/s2，sin37°≈0.6,cos37°≈0.8）環節六：課堂練習,鞏固提升設計意圖：體現向量的數量積在實際生活中的應用，實現了數學與物理學科之間的跨學科學習，同時又與問題3相呼應。內容分析內容分析認知水平目標分析重點難點教學思路教學過程1.回顧構建向量數量積定義的路徑。2.闡述一下你對向量數量積定義的理解。3.用到了哪些數學思想？內容分析內容分析認知水平目標分析重點難點教學思路教學過程環節七：總結歸納1.向量的夾角2.數量積的定義3.投影向量4.數量積的性質6.2.4向量的數量積（1）例1.例2.環節八：板書設計內容分析內容分析認知水平目標分析重點難點教學思路教學過程設計意圖：依據教學的直觀性原則和啟發性原則，結合學生的學習策略的特點。1.基礎題（必做）教材P20練習1.2.32.鞏固題（必做）3.提升題（選做）①P54的第2題②思考：我們已經學了向量的加法、減法、數量積，請同學們思考向量是否存在除法？

環節九：課后作業，分層設計內容分析內容分析認知水平目標分析重點難點教學思路教學過程教材P24的21題設計意圖：作業分層設計，分層布置，符合“雙減”背景下的教學要求，讓每個孩子在有效的時間收獲更多的知識。通過布置教材作業，給學生一個信號：重視教材，符合新課改背景下強調“回歸教材”的重要性要求。數學學習不是刷題學習，要重視知識的本質；數學概念不是枯燥的，它與我們的生活息息相關。理解數學學生對