第39頁（共39頁）第二十七章B卷一．選擇題（共10小題）1．（2024秋?九龍坡區校級期末）如圖，△ABC與△A′B′C′是位似圖形，點O為位似中心，且OA′：AA′＝2：1，則S△A'B'C'：S△ABC＝（）A．1：2 B．1：4 C．2：3 D．4：92．（2024秋?禪城區期末）《周髀算經》中記載了“偃矩以望高”的方法，意思是把兩條邊呈直角的曲尺仰立放，可測量物體的高度．如圖，點A，B，Q在同一水平線上，∠ABC＝∠AQP＝90°，AP與BC相交于點D．測得AB＝40cm，BD＝20cm，AQ＝12m，則樹高為（）A．24m B．24cm C．60cm D．6m3．（2024秋?鎮海區期末）如圖，?ABCD中，AG平分∠BAD分別交BD，BC，DC延長線于點F，G，E，分別記△ADF與△CEG的面積為S1和S2.若AB：AD＝3：4，則S1A．487 B．547 C．569 4．（2024秋?蜀山區校級期末）如圖，在△ABC中，D為AB中點，E在邊AC上，ED的延長線交CB的延長線于點F，若AE＝1，BC＝2，FB＝3，則CE的值為（）A．32 B．43 C．53 5．（2024秋?太原期末）如圖，已知直線a∥b∥c，兩條直線l1，l2分別與a，b，c交于點A，B，C，D，E，F．下列線段的比與ABDEA．ADBE B．DFAC C．BCEF 6．（2024秋?禪城區期末）某商店的貨架可抽象成如圖所示的圖形，其中AB∥CD∥EF∥GH，AC＝30，CE＝40，DF＝50（單位：cm），則BD的長度是（）A．37cm B．37.5cm C．2003cm D．7．（2024秋?雙流區期末）如圖，△ABC和△DEF是以點O為位似中心的位似圖形，且OAAD=23，若△ABC的周長是A．6 B．9 C．10 D．368．（2024秋?南岸區期末）一張標準對數視力表由一些形狀相同但大小不一定相同的符號“E”組成的，我們可以借助平面直角坐標系中的位似變換來對符號“E”進行放大或縮小．如圖，兩個符號“E”在第一象限，且關于原點O位似．若點A（6，8），點B（3，4），點C（10，4），則點D的坐標是（）A．（4，2） B．（5，3） C．（5，2） D．（6，2）9．（2024秋?江陰市期末）如圖，l1∥l2∥l3，直線a、b與l1、l2、l3分別相交于點A、B、C和點D、E、F．設AB＝3，BC＝6，DE＝2，則EF的長為（）A．2 B．3 C．4 D．510．（2024秋?鄞州區期末）如圖，△ABC與△A1B1C1是位似圖形，位似中心為點O．若△ABC的面積為40cm2，OB：BB1＝2：3，則△A1B1C1的面積是（）A．60cm2 B．90cm2 C．100cm2 D．250cm2二．填空題（共5小題）11．（2024秋?濟南期末）如圖，在平面直角坐標系中，A，B兩點的坐標分別為（﹣1，2），（﹣3，1）．以原點O為位似中心，將線段AB放大，得到線段A'B'，若點A的對應點A′的坐標是（2，﹣4），則點B′的坐標是．12．（2024秋?鎮海區期末）如圖，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，點P是AB上的動點，連結PD交對角線AC于點E，若CE＝6，則AP的長為．13．（2024秋?巫山縣期末）如圖，在半徑為3的⊙O中，AB是直徑，AC是弦，OD⊥AC交⊙O于點D，AC與BD交于點E．若E是BD的中點，則EC的長是．14．（2024秋?蜀山區校級期末）某班級組織元旦晚會，主持人站在舞臺的黃金分割點處最自然得體，若某中學舞臺AB長為10m，試計算主持人應走到離A點m處最佳（離A較近的位置）．（5≈2.236，結果精確到0.1m15．（2024秋?太原期末）在學習了《圖形的相似》之后，同學們利用黃金分割原理設計圖案．如圖，四邊形ABCD是正方形，點E是線段AD的黃金分割點（DE＞AE），以DE為邊在正方形ABCD內作正方形DEPQ．按此方式繼續構造正方形，得到如圖所示的圖案．若AB的長為10cm，則P，D兩點之間的距離為cm．三．解答題（共8小題）16．（2024秋?蜀山區校級期末）如圖，在邊長都為1的小正方形網格中，△ABC的頂點A，B，C均在格點上，O為平面直角坐標系的原點，點A（5，0）在x軸上，以原點O為位似中心在第一象限畫一個△A1B1C1，使它與△ABC位似，且相似比為2：1（點A，B，C的對應點分別為A1，B1，C1）；（1）畫出△A1B1C1；（2）B1坐標為，C1坐標為；（3）若△ABC內任意一點D的坐標為（x，y），則△A1B1C1內的對應點D1的坐標為．17．（2024秋?江陰市期末）如圖，在四邊形ABCD中，BD平分∠ABC，∠C＝∠ADB．（1）求證：△ABD∽△DBC；（2）若AB＝9，BC＝4，求BD的長．18．（2024秋?南昌期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm．點M從點C出發，以2cm/s的速度沿CA向點A勻速運動，點N從點B出發，以1cm/s的速度沿BC向點C勻速運動，當一個點到達終點時，另一點也隨即停止運動．經過幾秒，△MCN與△ABC相似？19．（2024秋?槐蔭區期末）如圖，在?ABCD中，AD＝10，AB＝15，∠ADC的平分線交AB于點E，交CB的延長線于點F，過點A作AH⊥DE，垂足為點H，AH＝6．（1）求證：△DAE∽△FBE；（2）求△FBE的周長．20．（2024秋?蜀山區校級期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，點E在AD的延長線上，BE與CD交于點F．（1）求證：△ABE∽△CFB；（2）若△DEF的面積為4，DFCF=221．（2024秋?雙流區期末）在凸透鏡成像的實驗中，我們有時無法直接測量出像的大小，但可以通過數學知識計算出來．如圖是凸透鏡成像示意圖，CD是蠟燭AB通過凸透鏡MN所成的虛像．已知蠟燭的高AB為5.4cm，蠟燭AB離凸透鏡MN的水平距離OB為6cm，該凸透鏡的焦距OF為10cm，AE∥OF，請你根據以上數據求出像CD的高是多少厘米？22．（2024秋?雙流區期末）如圖，OA平分∠MON，B，C分別在射線OA，ON上，連接BC，有∠OBC＝∠MON，BD平分∠OBC交ON于點D，點E在線段OB上，且OE＝CE，延長CE交OM于點F，連接DE，BF．（1）求證：BC＝OE；（2）當OF＝BC時，求∠MON的度數；（3）若DE＝3，BC＝5，求OF的長．23．（2024秋?宜興市期末）如圖，以AD為直徑的⊙O與△ABC的邊BC相切于點D，分別與AB、AC交于點E、F，連接EF、DF、DE．（1）求證：△AEF∽△ACB；（2）若AD＝4，CD＝3，BD＝6，求EF的長．

第二十七章B卷參考答案與試題解析題號12345678910答案DDACCBCCCD一．選擇題（共10小題）1．（2024秋?九龍坡區校級期末）如圖，△ABC與△A′B′C′是位似圖形，點O為位似中心，且OA′：AA′＝2：1，則S△A'B'C'：S△ABC＝（）A．1：2 B．1：4 C．2：3 D．4：9【考點】位似變換．【專題】圖形的相似；幾何直觀．【答案】D【分析】由題意得OA′：OA＝2：3，則△ABC與△A′B′C′的相似比為2：3，再結合相似三角形的性質可得答案．【解答】解：∵OA′：AA′＝2：1，∴OA′：OA＝2：3，∴△ABC與△A′B′C′的相似比為2：3，∴S△A'B'C'：S△ABC＝4：9．故選：D．【點評】本題考查位似變換，熟練掌握位似的性質、相似三角形的性質是解答本題的關鍵．2．（2024秋?禪城區期末）《周髀算經》中記載了“偃矩以望高”的方法，意思是把兩條邊呈直角的曲尺仰立放，可測量物體的高度．如圖，點A，B，Q在同一水平線上，∠ABC＝∠AQP＝90°，AP與BC相交于點D．測得AB＝40cm，BD＝20cm，AQ＝12m，則樹高為（）A．24m B．24cm C．60cm D．6m【考點】相似三角形的應用．【專題】圖形的相似；應用意識．【答案】D【分析】根據題意可知：△ABC∽△AQP，從而可以得到ABBD=AQ【解答】解：由題意可得，BC∥PQ，AB＝40cm，BD＝20cm，AQ＝10m，∴△ABD∽△AQP，∴ABBD即4020解得QP＝6，∴樹高PQ＝6m，故選：D．【點評】本題考查相似三角形的應用，解答本題的關鍵是明確題意，利用數形結合的思想解答．3．（2024秋?鎮海區期末）如圖，?ABCD中，AG平分∠BAD分別交BD，BC，DC延長線于點F，G，E，分別記△ADF與△CEG的面積為S1和S2.若AB：AD＝3：4，則S1A．487 B．547 C．569 【考點】相似三角形的判定與性質；平行四邊形的性質．【專題】多邊形與平行四邊形；圖形的相似；運算能力；推理能力．【答案】A【分析】由AD∥BC，得∠ADG＝∠BGA，而∠ADG＝∠BAG，則∠BGA＝∠BAG，所以AB＝GB，則GB：AD＝AB：AD＝3：4，可證明△GBF∽△ADF，得BFDF=GFAF=GBAD=34，則S△ABFS△ADF=BFDF=34，S△GBFS△ABF=GFAF=34，所以S1＝S△ADF=43S△ABF，S△ABF=43S△【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠ADG＝∠BGA，∵AG平分∠BAD，∴∠ADG＝∠BAG，∴∠BGA＝∠BAG，∴AB＝GB，∵AB：AD＝3：4，∴GB：AD＝3：4，∴GB∥AD，∴△GBF∽△ADF，∴BFDF∴S△ABFS∴S1＝S△ADF=43S△ABF，S△ABF=43S△GBF=44+3S△∴S1=43×47S△BAG∵GBBC∴GB=34∴GC＝BC-34BC=∴GCGB∵EC∥AB，∴△CEG∽△BAG，∴S△∴S2＝S△CEG=19S△∴S1故選：A．【點評】此題重點考查平行四邊形的性質、相似三角形的判定與性質等知識，證明△GBF∽△ADF及△CEG∽△BAG是解題的關鍵．4．（2024秋?蜀山區校級期末）如圖，在△ABC中，D為AB中點，E在邊AC上，ED的延長線交CB的延長線于點F，若AE＝1，BC＝2，FB＝3，則CE的值為（）A．32 B．43 C．53 【考點】相似三角形的判定與性質．【專題】圖形的相似；運算能力；推理能力．【答案】C【分析】作BH∥AC，交EF于點H，則∠HBD＝∠A，而BD＝AD，∠BDH＝∠ADE，即可根據“ASA”證明△BDH≌△ADE，則BH＝AE＝1，由BC＝2，FB＝3，求得FC＝5，再證明△FBH∽△FCE，得BHCE=FBFC【解答】解：作BH∥AC，交EF于點H，則∠HBD＝∠A，∵D為AB中點，∴BD＝AD，在△BDH和△ADE中，∠HBD∴△BDH≌△ADE（ASA），∴BH＝AE＝1，∵BC＝2，FB＝3，∴FC＝BC+FB＝2+3＝5，∵BH∥CE，∴△FBH∽△FCE，∴BHCE∴CE=BH故選：C．【點評】此題重點考查全等三角形的判定與性質、相似三角形的判定與性質等知識，正確地作出輔助線是解題的關鍵．5．（2024秋?太原期末）如圖，已知直線a∥b∥c，兩條直線l1，l2分別與a，b，c交于點A，B，C，D，E，F．下列線段的比與ABDEA．ADBE B．DFAC C．BCEF 【考點】平行線分線段成比例．【答案】C【分析】根據平行線分線段成比例定理得出ABBC【解答】解：∵已知直線a∥b∥c，兩條直線l1，l2分別與a，b，c交于點A，B，C，D，E，F，∴ABBC∴ABDE故選：C．【點評】本題考查平行線分線段成比例，比例的性質，熟練掌握平行線分線段成比例定理是解題的關鍵．6．（2024秋?禪城區期末）某商店的貨架可抽象成如圖所示的圖形，其中AB∥CD∥EF∥GH，AC＝30，CE＝40，DF＝50（單位：cm），則BD的長度是（）A．37cm B．37.5cm C．2003cm D．【考點】平行線分線段成比例．【專題】線段、角、相交線與平行線；運算能力．【答案】B【分析】根據平行線分線段成比例定理列出比例式，把已知數據代入計算即可．【解答】解：∵AB∥CD∥EF，∴ACCE∵AC＝30，CE＝40，DF＝50，∴3040∴BD＝37.5（cm）．故選：B．【點評】本題考查的是平行線分線段成比例，靈活運用定理、找準對應關系是解題的關鍵．7．（2024秋?雙流區期末）如圖，△ABC和△DEF是以點O為位似中心的位似圖形，且OAAD=23，若△ABC的周長是A．6 B．9 C．10 D．36【考點】位似變換．【專題】圖形的相似；推理能力．【答案】C【分析】根據位似圖形的概念得到△ABC∽△DEF，AB∥DE，證明△AOB∽△DOE，根據相似三角形的性質求出ABDE【解答】解：∵OAAD∴OAOD∵△ABC和△DEF是以點O為位似中心的位似圖形，∴△ABC∽△DEF，AB∥DE，∴△AOB∽△DOE，∴ABDE∴△ABC的周長：△DEF的周長＝2：5，∵△ABC的周長是4，∴△DEF的周長是10，故選：C．【點評】本題考查的是位似變換，掌握位似圖形的概念、相似三角形的性質是解題的關鍵．8．（2024秋?南岸區期末）一張標準對數視力表由一些形狀相同但大小不一定相同的符號“E”組成的，我們可以借助平面直角坐標系中的位似變換來對符號“E”進行放大或縮?。鐖D，兩個符號“E”在第一象限，且關于原點O位似．若點A（6，8），點B（3，4），點C（10，4），則點D的坐標是（）A．（4，2） B．（5，3） C．（5，2） D．（6，2）【考點】位似變換．【專題】圖形的相似；推理能力．【答案】C【分析】利用以原點為位似中心的對應點的坐標特征得到相似比為12，然后把C點的橫縱坐標都乘以12得到其對應點【解答】解：∵兩個符號“E”在第一象限，且關于原點O位似，而點A（6，8），點B（3，4），∴相似比為36∴點C（10，4）的對應點D的坐標是（10×12，4×12），即D（故選：C．【點評】本題考查了位似變換：在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應點的坐標的比等于k或﹣k．9．（2024秋?江陰市期末）如圖，l1∥l2∥l3，直線a、b與l1、l2、l3分別相交于點A、B、C和點D、E、F．設AB＝3，BC＝6，DE＝2，則EF的長為（）A．2 B．3 C．4 D．5【考點】平行線分線段成比例．【專題】線段、角、相交線與平行線；運算能力．【答案】C【分析】根據平行線分線段成比例定理解答即可．【解答】解：∵直線l1∥l2∥l3，∴ABBC∵AB＝3，BC＝6，DE＝2，∴36∴EF＝4．故選：C．【點評】本題考查了平行線分線段成比例定理，能根據平行線分線段成比例定理得出正確的比例式是解此題的關鍵．10．（2024秋?鄞州區期末）如圖，△ABC與△A1B1C1是位似圖形，位似中心為點O．若△ABC的面積為40cm2，OB：BB1＝2：3，則△A1B1C1的面積是（）A．60cm2 B．90cm2 C．100cm2 D．250cm2【考點】位似變換．【專題】圖形的相似；幾何直觀；推理能力．【答案】D【分析】根據位似圖形的概念得到△ABC∽△A1B1C1，根據相似三角形的面積之比等于相似比的平方即可求解．【解答】解：∵△ABC與△A1B1C1是位似圖形，位似中心為點O，∴△ABC∽△A1B1C1，AB∥A1B1，∴△OAB∽△OA1B1，∴ABA∵△ABC的面積為40cm2，OB：BB1＝2：3，∴OBO∴ABA∵△OAB∽△OA1B1，∴S△∴40S∵△ABC的面積為40cm2，∴△A1B1C1的面積是250cm2．故選：D．【點評】本題考查了位似變換，解答本題的關鍵是熟練掌握相似三角形的性質．二．填空題（共5小題）11．（2024秋?濟南期末）如圖，在平面直角坐標系中，A，B兩點的坐標分別為（﹣1，2），（﹣3，1）．以原點O為位似中心，將線段AB放大，得到線段A'B'，若點A的對應點A′的坐標是（2，﹣4），則點B′的坐標是（6，﹣2）．【考點】位似變換；坐標與圖形性質．【專題】圖形的相似；幾何直觀．【答案】（6，﹣2）．【分析】由題意得線段AB與線段A'B'的相似比為1：2，結合位似的性質可得答案．【解答】解：∵A（﹣1，2），A′（2，﹣4），∴線段AB與線段A'B'的相似比為1：2，∵B（﹣3，1），∴點B′的坐標是（6，﹣2）．故答案為：（6，﹣2）．【點評】本題考查位似變換、坐標與圖形性質，熟練掌握位似的性質是解答本題的關鍵．12．（2024秋?鎮海區期末）如圖，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，點P是AB上的動點，連結PD交對角線AC于點E，若CE＝6，則AP的長為163【考點】相似三角形的判定與性質；矩形的性質．【專題】矩形菱形正方形；圖形的相似；運算能力；推理能力．【答案】163【分析】由矩形的性質得AB＝CD＝8，AB∥CD，∠B＝90°，而BC＝6，則AC=AB2+BC2=10，因為CE＝6，所以AE＝4，可證明△APE∽△CDE【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，AB＝8，BC＝6，∴AB＝CD＝8，AB∥CD，∠B＝90°，∴AC=AB∵CE＝6，∴AE＝AC﹣CE＝10﹣6＝4，∵AP∥CD，∴△APE∽△CDE，∴APCD∴AP=23CD=2故答案為：163【點評】此題重點考查矩形的性質、勾股定理、相似三角形的判定與性質等知識，證明△APE∽△CDE是解題的關鍵．13．（2024秋?巫山縣期末）如圖，在半徑為3的⊙O中，AB是直徑，AC是弦，OD⊥AC交⊙O于點D，AC與BD交于點E．若E是BD的中點，則EC的長是2．【考點】相似三角形的判定與性質；勾股定理；垂徑定理；圓周角定理．【專題】圖形的全等；等腰三角形與直角三角形；圓的有關概念及性質；運算能力；推理能力．【答案】2．【分析】由AB⊙O的直徑，⊙O的半徑為3，得∠C＝90°，OA＝OB＝OD＝3，由OD⊥AC得∠OFA＝∠DFE＝∠C＝90°，AF＝CF，則BC＝2OF，而DE＝BE，可證明△DEF≌△BEC，得DF＝BC＝2OF，FE＝CE，由DF+OF＝3OF＝OD＝3，求得OF＝1，則AF＝CF=OA2-OF2=【解答】解：∵AB⊙O的直徑，⊙O的半徑為3，∴∠C＝90°，OA＝OB＝OD＝3，∵OD⊥AC于點F交⊙O于點D，∴∠OFA＝∠DFE＝∠C＝90°，AF＝CF，∴BC＝2OF，∵E是BD的中點，∴DE＝BE，在△DEF和△BEC中，∠DEF∴△DEF≌△BEC（AAS），∴DF＝BC＝2OF，FE＝CE，∵DF+OF＝2OF+OF＝3OF＝OD＝3，∴OF＝1，∴AF＝CF=OA2∴CE=12CF=1故答案為：2．【點評】此題重點考查垂徑定理、直徑所對的圓周角是直角、三角形中位線定理、全等三角形的判定與性質、勾股定理等知識，推導出DF＝2OF是解題的關鍵．14．（2024秋?蜀山區校級期末）某班級組織元旦晚會，主持人站在舞臺的黃金分割點處最自然得體，若某中學舞臺AB長為10m，試計算主持人應走到離A點3.8m處最佳（離A較近的位置）．（5≈2.236，結果精確到0.1m【考點】黃金分割；近似數和有效數字．【專題】線段、角、相交線與平行線；運算能力．【答案】3.8．【分析】設主持人應走到離A點xm處最佳（離A較近的位置），根據題意可得：10-x10【解答】解：設主持人應走到離A點xm處最佳（離A較近的位置），由題意得：10-x10解得：x≈3.8，∴主持人應走到離A點約3.8m處最佳（離A較近的位置），故答案為：3.8．【點評】本題考查了黃金分割，近似數和有效數字，準確熟練地進行計算是解題的關鍵．15．（2024秋?太原期末）在學習了《圖形的相似》之后，同學們利用黃金分割原理設計圖案．如圖，四邊形ABCD是正方形，點E是線段AD的黃金分割點（DE＞AE），以DE為邊在正方形ABCD內作正方形DEPQ．按此方式繼續構造正方形，得到如圖所示的圖案．若AB的長為10cm，則P，D兩點之間的距離為(510-5【考點】相似圖形；全等三角形的判定與性質；黃金分割．【專題】圖形的全等；圖形的相似；幾何直觀．【答案】(510【分析】先由正方形的性質得AD＝AB＝10cm，再由黃金分割求出DE=5-12AD=(55-5)【解答】解：在正方形ABCD中，AB的長為10cm，如圖，連接PD，∴AD＝AB＝10cm，∵點E是線段AD的黃金分割點（DE＞AE），∴DE=5-1∵四邊形DEPQ是正方形，∴PE＝DE，∠PED＝90°，∴PD=PE2故答案為：(510【點評】本題考查相似圖形，全等三角形的判定與性質，黃金分割，熟練掌握黃金分割是解題的關鍵．三．解答題（共8小題）16．（2024秋?蜀山區校級期末）如圖，在邊長都為1的小正方形網格中，△ABC的頂點A，B，C均在格點上，O為平面直角坐標系的原點，點A（5，0）在x軸上，以原點O為位似中心在第一象限畫一個△A1B1C1，使它與△ABC位似，且相似比為2：1（點A，B，C的對應點分別為A1，B1，C1）；（1）畫出△A1B1C1；（2）B1坐標為（4，2），C1坐標為（2，6）；（3）若△ABC內任意一點D的坐標為（x，y），則△A1B1C1內的對應點D1的坐標為（2x，2y）．【考點】作圖﹣位似變換．【專題】作圖題；圖形的相似；幾何直觀．【答案】（1）見解答．（2）（4，2）；（2，6）．（3）（2x，2y）．【分析】（1）根據位似的性質畫圖即可．（2）由圖可得答案．（3）根據位似的性質可得答案．【解答】解：（1）如圖，△A1B1C1即為所求．（2）由圖可得，B1坐標為（4，2），C1坐標為（2，6）．故答案為：（4，2）；（2，6）．（3）由題意得，△A1B1C1內的對應點D1的坐標為（2x，2y）．故答案為：（2x，2y）．【點評】本題考查作圖﹣位似變換，熟練掌握位似的性質是解答本題的關鍵．17．（2024秋?江陰市期末）如圖，在四邊形ABCD中，BD平分∠ABC，∠C＝∠ADB．（1）求證：△ABD∽△DBC；（2）若AB＝9，BC＝4，求BD的長．【考點】相似三角形的判定與性質；角平分線的性質．【專題】圖形的相似；運算能力；推理能力．【答案】（1）證明見解答；（2）BD的長是6．【分析】（1）由BD平分∠ABC，得∠ABD＝∠DBC，而∠ADB＝∠C，即可根據“兩角分別相等的兩個三角形相似”證明△ABD∽△DBC；（2）由相似三角形的性質得ABBD=BDBC，因為AB＝9，BC＝4，所以BD2＝AB?BC＝36，則【解答】（1）證明：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∵∠ADB＝∠C，∴△ABD∽△DBC．（2）解：∵△ABD∽△DBC，∴ABBD∵AB＝9，BC＝4，∴BD2＝AB?BC＝9×4＝36，∴BD＝6或BD＝﹣6（不符合題意，舍去），∴BD的長是6．【點評】此題重點考查相似三角形的判定與性質，推導出∠ABD＝∠DBC，進而證明△ABD∽△DBC是解題的關鍵．18．（2024秋?南昌期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm．點M從點C出發，以2cm/s的速度沿CA向點A勻速運動，點N從點B出發，以1cm/s的速度沿BC向點C勻速運動，當一個點到達終點時，另一點也隨即停止運動．經過幾秒，△MCN與△ABC相似？【考點】相似三角形的判定．【專題】圖形的相似；推理能力．【答案】125或18【分析】設經過t秒，△MCN與△ABC相似，當CM：CA＝CN：CB時，△CMN∽△CAB，求出t=125，當CM：CB＝CN：CA時，△CMN∽△CBA，求出t【解答】解：設經過t秒，△MCN與△ABC相似，∴BN＝tcm，CM＝2tcm，∴CN＝（6﹣t）cm，∠MCN＝∠ACB，當CM：CA＝CN：CB時，△CMN∽△CAB，∴2t：8＝（6﹣t）：6，∴t=12當CM：CB＝CN：CA時，△CMN∽△CBA，∴2t：6＝（6﹣t）：8，∴t=18∴經過125或1811秒，△MCN與△【點評】本題考查相似三角形的判定，關鍵是要分兩種情況討論．19．（2024秋?槐蔭區期末）如圖，在?ABCD中，AD＝10，AB＝15，∠ADC的平分線交AB于點E，交CB的延長線于點F，過點A作AH⊥DE，垂足為點H，AH＝6．（1）求證：△DAE∽△FBE；（2）求△FBE的周長．【考點】相似三角形的判定與性質；等腰三角形的判定與性質；平行四邊形的性質．【專題】等腰三角形與直角三角形；多邊形與平行四邊形；圖形的相似；運算能力；推理能力．【答案】（1）證明見解答；（2）△FBE的周長為18．【分析】（1）由平行四邊形的性質得AD∥CB，因為點F在CB的延長線上，所以AD∥BF，則△DAE∽△FBE；（2）由AB∥CD，得∠AED＝∠CDE，而∠ADE＝∠CDE，所以∠AED＝∠ADE，則AE＝AD＝10，因為AB＝15，所以BE＝AB﹣AE＝5，由AH⊥DE于點H，得∠AHD＝90°，則DH＝EH=AD2-AH2=8，由相似三角形的性質得DEFE=ADBF=AEBE=2，則FE=【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥CB，∵點F在CB的延長線上，∴AD∥BF，∴△DAE∽△FBE．（2）解：∵AB∥CD，∴∠AED＝∠CDE，∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠CDE，∴∠AED＝∠ADE，∵AD＝10，AB＝15，∴AE＝AD＝10，∴BE＝AB﹣AE＝15﹣10＝5，∵AE＝AD＝10，AH⊥DE于點H，AH＝6，∴∠AHD＝90°，DH＝EH=12∴DH＝EH=AD∵△DAE∽△FBE，∴DEFE=∴FE=12DE＝DH＝8，BF=12∴BE+BF+FE＝5+5+8＝18，∴△FBE的周長為18．【點評】此題重點考查平行四邊形的性質、相似三角形的判定與性質、等腰三角形的性質、勾股定理等知識，推導出∠AED＝∠ADE是解題的關鍵．20．（2024秋?蜀山區校級期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，點E在AD的延長線上，BE與CD交于點F．（1）求證：△ABE∽△CFB；（2）若△DEF的面積為4，DFCF=2【考點】相似三角形的判定與性質；平行四邊形的性質．【專題】多邊形與平行四邊形；圖形的相似；運算能力；推理能力．【答案】（1）證明見解答；（2）平行四邊形ABCD的面積為30．【分析】（1）由平行四邊形的性質得∠A＝∠C，AD∥CB，所以∠E＝∠CBF，則△ABE∽△CFB；（2）由DFCF=23，得DFCD=DFAB=25，可證明△DEF∽△CBF，得S△DEFS△CBF=(DFCF)2=49，因為S△DEF＝4，所以S△CBF=94S△DEF＝9，再證明△DEF∽△AEB，得S△DEFS△【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠A＝∠C，AD∥CB，∴∠E＝∠CBF，∴△ABE∽△CFB．（2）解：∵DFCF=23，∴DFCD∴DFAB∵DE∥CB，S△DEF＝4，∴△DEF∽△CBF，∴S△∴S△CBF=94S△DEF=94∵DF∥AB，∴△DEF∽△AEB，∴S△∴S△AEB=254S△DEF=254∴S四邊形ABFD＝S△AEB﹣S△DEF＝25﹣4＝21，∴S?ABCD＝S△ABFD+S△CBF＝9+21＝30，∴平行四邊形ABCD的面積為30．【點評】此題重點考查平行四邊形的性質、相似三角形的判定與性質等知識，證明△DEF∽△CBF及△DEF∽△AEB是解題的關鍵．21．（2024秋?雙流區期末）在凸透鏡成像的實驗中，我們有時無法直接測量出像的大小，但可以通過數學知識計算出來．如圖是凸透鏡成像示意圖，CD是蠟燭AB通過凸透鏡MN所成的虛像．已知蠟燭的高AB為5.4cm，蠟燭AB離凸透鏡MN的水平距離OB為6cm，該凸透鏡的焦距OF為10cm，AE∥OF，請你根據以上數據求出像CD的高是多少厘米？【考點】相似三角形的應用．【專題】圖形的相似；運算能力；推理能力；應用意識．【答案】像CD的高是13.5厘米．【分析】先證△CAE∽△COF得出OACO=25，再證△OAB∽△OCD，根據相似三角形的對應邊成比例得出【解答】解：由題意得，AB∥MN，AE∥OF，AB∥CD，∴四邊形ABOE是平行四邊形，∴AE＝OB＝6cm，∵AE∥OF，∴△CAE∽△COF，∴CACO∴CACO∴OACO∵AB∥CD，∴△OAB∽△OCD，∴ABCD∴5.4CD∴CD＝13.5cm，∴像CD的高是13.5厘米．【點評】本題考查了相似三角形的應用，熟練掌握相似三角形的判定和性質是解題的關鍵．22．（2024秋?雙流區期末）如圖，OA平分∠MON，B，C分別在射線OA，ON上，連接BC，有∠OBC＝∠MON，BD平分∠OBC交ON于點D，點E在線段OB上，且OE＝CE，延長CE交OM于點F，連接DE，BF．（1）求證：BC＝OE；（2）當OF＝BC時，求∠MON的度數；（3）若DE＝3，BC＝5，求OF的長．【考點】相似三角形的判定與性質；角平分線的定義；全等三角形的判定與性質；等腰三角形的性質．【專題】三角形；圖形的全等；圖形的相似；幾何直觀；運算能力；推理能力．【答案】（1）答案見解答過程；（2）72°；（3）7516【分析】（1）根據角平分線定義設∠MOA＝∠NOA＝α，則∠OBC＝∠MON＝2α，∠MOA＝∠NOA＝∠OBD＝∠CBD＝α，根據OE＝CE得∠ECO＝∠NOA＝α，則∠CEB＝∠OBC＝2α，進而得CE＝BC，據此即可得出結論；（2）根據∠OEF＝∠CEB＝2α，OF＝BC＝OE得∠OFE＝∠OEF＝2α，在△OEF中根據三角形內角和定理可求出α＝36°，進而可得∠MON的度數；（3）先證明△ODE和△BDC全等得DE＝CD＝3，進而得∠DEC＝∠ECO＝α，則∠ODE＝∠OBC＝2α，由此可得△DOE和△BOC相似，利用相似三角形的性質可求出OC=253，則OD=163，然后證明△OEF和△【解答】（1）證明：∵OA平分∠MON，∴設∠MOA＝∠NOA＝α，∴∠MON＝2α，∴∠OBC＝∠MON＝2α，∵BD平分∠OBC交ON于點D，∴∠OBD＝∠CBD＝α，∴∠MOA＝∠NOA＝∠OBD＝∠CBD＝α，∵OE＝CE，∴∠ECO＝∠NOA＝α，∴∠CEB＝∠ECO+∠NOA＝2α，∴∠CEB＝∠OBC＝2α，∴CE＝BC，∴BC＝OE；（2）解：由（1）可知：∠CEB＝2α，BC＝OE，∴∠OEF＝∠CEB＝2α，∵OF＝BC，BC＝OE，∴OF＝OE，∴∠OFE＝∠OEF＝2α，在△OEF中，∠MOA+∠OFE+∠OEF＝180°，∴α+2α+2α＝180°，解得：α＝36°，∴∠MON＝2α＝72°；（3）解：由（1）可知：∠NOA＝∠OBD＝∠CBD＝∠ECO＝α，OE＝BC，∴OD＝BD，在△ODE和△BDC中，OD=∴△ODE≌△BDC（SAS），∴DE＝CD＝3，∴∠DEC＝∠ECO＝α，∴∠ODE＝∠DEC+∠ECO＝2α，∴∠ODE＝∠OBC＝2α，又∵∠DOE＝∠BOC，∴△DOE∽△BOC，∴OEOC∴5OC∴OC=25∴OD＝OC﹣CD=25∵∠OEF＝∠CEB＝2α，∠ODE＝2α，∴∠OEF＝∠ODE＝2α，又∵∠MOA＝∠NOA＝α，∴△OEF∽△OBC，∴OFOE∴OD?OF＝OE2，∴163×OF＝5∴OF=75【點評】此題主要考查了全等三角形的判定與性質，相似三角形的判定和性質，等腰三角形的判定和性質，角平分線的定義，理解角平分線的定義，等腰三角形的判定和性質，熟練掌握全等三角形的判定與性質，相似三角形的判定和性質是解決問題的關鍵．23．（2024秋?宜興市期末）如圖，以AD為直徑的⊙O與△ABC的邊BC相切于點D，分別與AB、AC交于點E、F，連接EF、DF、DE．（1）求證：△AEF∽△ACB；（2）若AD＝4，CD＝3，BD＝6，求EF的長．【考點】相似三角形的判定與性質；圓周角定理；切線的性質．【答案】（1）見解析；（2）7213【分析】（1）由切線的性質得∠ADC＝∠ADB＝90°，從而∠ADF+∠CDF＝90°，由圓周角定理得∠AFD＝∠CFD＝90°，從而∠C+∠CDF＝90°，得到∠C＝∠ADF，進而可證△AEF∽△ACB；（2）由勾股定理求出AC＝5，AB=213，證明△CFD∽△CDA，求出CF=95【解答】（1）證明：∵⊙O與△ABC的邊BC相切，∴∠ADC＝∠ADB＝90°，∴∠ADF+∠CDF＝90°．∵AD為⊙O的直徑，∴∠AFD＝∠CFD＝90°，∴∠C+∠CDF＝90°，∴∠C＝∠ADF．∵AF=∴∠C＝∠ADF＝∠AEF．∵∠EAF＝∠CAB，∴△AEF∽△ACB．（2）解：由勾股定理可得到：AC=32∵∠C＝∠C，∠CFD＝∠ADC，∴△CFD∽△CDA，∴CFCD∴CF3∴CF=∴AF=5∴AFAB由（1）的結論三角形相似的性質可得：EFBC∴EF=【點評】本題考查了切線的性質，圓周角定理，相似三角形的判定與性質，勾股定理，靈活運用各知識點是解答本題的關鍵．

考點卡片1．近似數和有效數字（1）有效數字：從一個數的左邊第一個不是0的數字起到末位數字止，所有的數字都是這個數的有效數字．（2）近似數與精確數的接近程度，可以用精確度表示．一般有，精確到哪一位，保留幾個有效數字等說法．（3）規律方法總結：“精確到第幾位”和“有幾個有效數字”是精確度的兩種常用的表示形式，它們實際意義是不一樣的，前者可以體現出誤差值絕對數的大小，而后者往往可以比較幾個近似數中哪個相對更精確一些．2．坐標與圖形性質1、點到坐標軸的距離與這個點的坐標是有區別的，表現在兩個方面：①到x軸的距離與縱坐標有關，到y軸的距離與橫坐標有關；②距離都是非負數，而坐標可以是負數，在由距離求坐標時，需要加上恰當的符號．2、有圖形中一些點的坐標求面積時，過已知點向坐標軸作垂線，然后求出相關的線段長，是解決這類問題的基本方法和規律．3、若坐標系內的四邊形是非規則四邊形，通常用平行于坐標軸的輔助線用“割、補”法去解決問題．3．角平分線的定義（1）角平分線的定義從一個角的頂點出發，把這個角分成相等的兩個角的射線叫做這個角的平分線．（2）性質：若OC是∠AOB的平分線則∠AOC＝∠BOC=12∠AOB或∠AOB＝2∠AOC＝2∠（3）平分角的方法有很多，如度量法、折疊法、尺規作圖法等，要注意積累，多動手實踐．4．全等三角形的判定與性質（1）全等三角形的判定是結合全等三角形的性質證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，關鍵是選擇恰當的判定條件．（2）在應用全等三角形的判定時，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時添加適當輔助線構造三角形．5．角平分線的性質角平分線的性質：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等．注意：①這里的距離是指點到角的兩邊垂線段的長；②該性質可以獨立作為證明兩條線段相等的依據，有時不必證明全等；③使用該結論的前提條件是圖中有角平分線，有垂直角平分線的性質語言：如圖，∵C在∠AOB的平分線上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE6．等腰三角形的性質（1）等腰三角形的概念有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形．（2）等腰三角形的性質①等腰三角形的兩腰相等②等腰三角形的兩個底角相等．【簡稱：等邊對等角】③等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合．【三線合一】（3）在①等腰；②底邊上的高；③底邊上的中線；④頂角平分線．以上四個元素中，從中任意取出兩個元素當成條件，就可以得到另外兩個元素為結論．7．等腰三角形的判定與性質1、等腰三角形提供了好多相等的線段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是證明線段相等、角相等的重要手段．2、在等腰三角形有關問題中，會遇到一些添加輔助線的問題，其頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線是常見的輔助線，雖然“三線合一”，但添加輔助線時，有時作哪條線都可以，有時不同的做法引起解決問題的復雜程度不同，需要具體問題具體分析．3、等腰三角形性質問題都可以利用三角形全等來解決，但要注意糾正不顧條件，一概依賴全等三角形的思維定勢，凡可以直接利用等腰三角形的問題，應當優先選擇簡便方法來解決．8．勾股定理（1）勾股定理：在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方．如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理應用的前提條件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的變形有：a=c2-b2，b（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜邊大于該直角三角形中的每一條直角邊．9．平行四邊形的性質（1）平行四邊形的概念：有兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形．（2）平行四邊形的性質：①邊：平行四邊形的對邊相等．②角：平行四邊形的對角相等．③對角線：平行四邊形的對角線互相平分．（3）平行線間的距離處處相等．（4）平行四邊形的面積：①平行四邊形的面積等于它的底和這個底上的高的積．②同底（等底）同高（等高）的平行四邊形面積相等．10．矩形的性質（1）矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形是矩形．（2）矩形的性質①平行四邊形的性質矩形都具有；②角：矩形的四個角都是直角；③邊：鄰邊垂直；④對角線：矩形的對角線相等；⑤矩形是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形．它有2條對稱軸，分別是每組對邊中點連線所在的直線；對稱中心是兩條對角線的交點．（3）由矩形的性質，可以得到直角三角形的一個重要性質，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．11．垂徑定理（1）垂徑定理垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧．（2）垂徑定理的推論推論1：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條?。普?：弦的垂直平分線經過圓心，并且平分弦所對的兩條?。普?：平分弦所對一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧．12．圓周角定理（1）圓周角的定義：頂點在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角．注意：圓周角必須滿足兩個條件：①頂點在圓上．②角的兩條邊都與圓相交，二者缺一不可．（2）圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．（3）在解圓的有關問題時，常常需要添加輔助線，構成直徑所對的圓周角，這種基本技能技巧一定要掌握．（4）注意：①圓周角和圓心角的轉化可通過作圓的半徑構造等腰三角形．利用等腰三角形的頂點和底角的關系進行轉化．②圓周角和圓周角的轉化可利用其“橋梁”﹣﹣﹣圓心角轉化．③定理成立的條件是“同一條弧所對的”兩種角，在運用定理時不要忽略了這個條件，把不同弧所對的圓周角與圓心角錯當成同一條弧所對的圓周角和圓心角．13．切線的性質（1）切線的性質①圓的切線垂直于經過切點的半徑．②經過圓心且垂直于切線的直線必經過切點．③經過切點且垂直于切線的直線必經過圓心．（2）切線的性質可總結如下：如果一條直線符合下列三個條件中的任意兩個，那么它一定滿足第三個條件，這三個條件是：①直線過圓心；②直線過切點；③直線與圓的切線垂直．（3）切線性質的運用運用切線的性質進行計算或證明時，常常作的輔助線是連接圓心和切點，通過構造直角三角形或相似三角形解決問題．14．黃金分割（1）黃金分割的定義：如圖所示，把線段AB分成兩條線段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中項（即AB：AC＝AC：BC