云南省2024年中考數(shù)學(xué)面對面幾何圖形的證明與計(jì)算題庫_第1頁
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文檔簡介

③∴∠MAB=∠MDE=45°,

∴∠DAM=∠MAB,

∴點(diǎn)M在正方形的對角線AC上,當(dāng)BM⊥AM時(shí),BM的值最小,最小值為2.2.如圖,在矩形ABCD中,對角線AC的垂直平分線與邊AD、BC分別交于點(diǎn)E、F,連結(jié)AF、CE.(1)試推斷四邊形AFCE的形態(tài),并說明理由;

(2)若AB=5,2AE=3BF,求EF的長;

(3)連結(jié)BE,若BE⊥CE,求的值.第2題圖解:(1)四邊形AFCE是菱形.

理由:∵四邊形ABCD是矩形,

∴AD∥BC,AD=BC,

∴∠EAO=∠FCO,

∵EF是AC的垂直平分線,

∴AO=CO,∠EOA=∠FOC=90°,

在△AEO和△CFO中,∴△AEO≌△CFO(ASA),

∴AE=CF,

∴四邊形AFCE是平行四邊形,

又∵AC⊥EF,

∴四邊形AFCE是菱形;(2)∵2AE=3BF,

∴可以假設(shè)AE=3m,BF=2m,

∵四邊形AECF是菱形,

∴AF=AE=3m,第2題解圖在Rt△ABF中,,∵AB2+BF2=AF2,∴25+4m2=9m2,

∴m=

∴AF=FC=,BF=,

∴BC=,

∵四邊形ABCD是矩形,

∴∠ABC=90°,AC=,∴OC=,∵tan∠OCF=,∴,∴OF=∴△AEO≌△CFO∴OE=OF,∴EF=2OF=.(3)設(shè)AE=a,BF=b則AF=CF=EC=a,BC=a+b,BF=DE=b.

∵四邊形ABCD是矩形,

∴AD∥CB,

∴∠DEC=∠BCE,

∵BE⊥CE,

∴∠BEC=∠D=90°,

∴△CDE∽△BEC,∴,

∴,

∴b2+ab-a2=0,

∴+-1=0∴(舍棄).∴.3.(1)已知:△ABC是等腰三角形,其底邊是BC,點(diǎn)D在線段AB上,E是直線BC上一點(diǎn),且∠DEC=∠DCE,若∠A=60°(如圖①).求證:EB=AD;(2)若將(1)中的“點(diǎn)D在線段AB上”改為“點(diǎn)D在線段AB的延長線上”,其它條件不變(如圖②),(1)的結(jié)論是否成立,并說明理由;(3)若將(1)中的“若∠A=60°”改為“若∠A=90°”,其它條件不變,則eq\f(EB,AD)的值是多少?(干脆寫出結(jié)論,不要求寫解答過程)第3題圖(1)證明:如解圖①所示,過點(diǎn)D作DF∥BC交AC于點(diǎn)F,則AD=AF,∴∠FDC=∠DCE,∵∠A=60°,∴DF=AD=AF,又∵∠DEB=∠DCE,∴∠FDC=∠DEB,第3題解圖①又ED=CD,∠DBE=∠DFC=120°,∴△DBE≌△CFD(AAS),∴EB=DF,∴EB=AD.(2)解:EB=AD成立.理由如下:如解圖②所示,過點(diǎn)D作DF∥BC交AC的延長線于F,則AD=AF=DF,∠FDC=∠ECD,又∵∠DEC=∠ECD,∴∠FDC=∠DEC,ED=CD,又∠DBE=∠DFC=60°,第3題解圖②∴△DBE≌△CFD(AAS);∴EB=DF,∴EB=AD.解:eq\f(EB,AD)=eq\r(2).【解法提示】過點(diǎn)D作BC的垂線,依據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì),可以得出線段間關(guān)系,進(jìn)而求得所需答案.類型二涉及動點(diǎn)、平移、折疊、旋轉(zhuǎn)的幾何圖形的證明與計(jì)算如圖,正方形ABCD,將邊CD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,得到線段CE,連接DE,AE,BD,AE與BD交于點(diǎn)F.

(1)求∠AFB的度數(shù);

(2)求證:BF=EF;

第4題圖解:(1)∵四邊形ABCD是正方形,

∴∠ADB=∠ADC=45°,

由旋轉(zhuǎn)得:CD=CE,∠DCE=60°,

∴△DCE是等邊三角形,

∴CD=DE=AD,∠ADE=90°+60°=150°,

∴∠DAE=∠DEA=15°,

∴∠AFB=∠FAD+∠ADB=15°+45°=60°;

(2)如解圖,連接CF,

∵△CDE是等邊三角形,

∴∠DEC=60°,

∵∠DEA=15°,第4題解圖∴∠CEF=∠CBF=45°,

∵四邊形ABCD是正方形,∴AD=CD,∠ADF=∠CDF=45°,

∵DF=DF,

∴△ADF≌△CDF(SAS),

∴∠DAF=∠DCF=15°,

∴∠FCB=90°-15°=75°,∠ECF=60°+15°=75°,

∴∠FCB=∠ECF,

∵CF=CF,

∴△ECF≌△BCF(SAS),

∴BF=EF;5、如圖,點(diǎn)O是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn),將△BOC繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得△ADC,連接OD.已知∠AOB=110°.(1)求證:△COD是等邊三角形;(2)當(dāng)α=150°時(shí),試推斷△AOD的形態(tài),并說明理由;(3)探究:當(dāng)α為多少度時(shí),△AOD是等腰三角形.第5題圖(1)證明:由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得,CO=CD,∠OCD=60°,∴△COD是等邊三角形;(2)解:當(dāng)α=150°,即∠BOC=150°時(shí),△AOD是直角三角形.理由如下:∵△BOC≌△ADC,∴∠ADC=∠BOC=150°,又∵△COD是等邊三角形,∴∠ODC=60°,∴∠ADO=90°,即△AOD是直角三角形;(3)解:分三種狀況探討:①AO=AD,∴∠AOD=∠ADO,∵∠AOD=360°-∠AOB-∠COD-α=360°-110°-60°-α=190°-α,∠ADO=α-60°,∴190°-α=α-60°,∴α=125°;②OA=OD,∴∠OAD=∠ADO,∵∠AOD=190°-α,∠ADO=α-60°,∴∠OAD=180°-(∠AOD+∠ADO)=50°,∴α-60°=50°,∴α=110°;③OD=AD,∴∠AOD=∠OAD,∴190°-α=50°,∴α=140°;綜上所述:當(dāng)α的度數(shù)為125°或110°或140°時(shí),△AOD是等腰三角形.6.如圖①,將一張矩形紙片ABCD沿著對角線BD向上折疊,頂點(diǎn)C落到點(diǎn)E處,BE交AD于點(diǎn)F.(1)求證:△BDF是等腰三角形;(2)如圖②,過點(diǎn)D作DG∥BE,交BC于點(diǎn)G,連接FG交BD于點(diǎn)O.推斷四邊形BFDG的形態(tài),并說明理由;(3)在(2)的基礎(chǔ)上,若AB=6,AD=8,求FG的長.第6題圖(1)證明:由折疊的性質(zhì)可得,∠DBC=∠DBF,∵四邊形ABCD是矩形,∴AD∥BC,∴∠ADB=∠DBC,∴∠DBF=∠ADB,∴BF=DF,∴△BDF是等腰三角形;(2)解:四邊形BFDG是菱形.理由:∵四邊形ABCD是矩形,∴AD∥BC,即DF∥BG,∵DG∥BF,∴四邊形BFDG是平行四邊形,∵BF=DF((1)中已證),∴平行四邊形BFDG是菱形;(3)解:∵矩形ABCD中AB=6,AD=8,∠A=90°,∴BD=eq\r(AB2+AD2)=10,∵四邊形BFDG是菱形,∴BD⊥GF,GF=2OF,BD=2OD,∴OD=5,∴tan∠ADB=eq\f(OF,OD)=eq\f(AB,AD)=,∴OF=eq\f(15,4),∴FG=eq\f(15,2).7.如圖,正方形ABCD的邊長是16,點(diǎn)E在邊AB上,AE=3,動點(diǎn)F在邊BC上,且不與點(diǎn)B,C重合,將△EBF沿EF折疊,得到△EB′F.(1)當(dāng)∠BEF=45°時(shí),求證:CF=AE;(2)當(dāng)B′D=B′C時(shí),求BF的長;(3)求△CB′F周長的最小值.第7題圖(1)證明:如解圖①,第7題解圖①當(dāng)∠BEF=45°時(shí),易知四邊形BEB′F是正方形,∴BF=BE,∵AB=BC,∴CF=AE;(2)解:如解圖②,作B′N⊥BC于點(diǎn)N,NB′的延長線交AD于點(diǎn)M,作EG⊥MN于點(diǎn)G,則四邊形MNCD、四邊形AEGM都是矩形.第7題解圖②∵B′D=B′C,∴∠B′DC=∠B′CD,∵∠ADC=∠BCD=90°,∴∠B′DM=∠B′CN,∵∠B′MD=∠B′NC=90°,∴△B′MD≌△B′NC(AAS),∴B′M=B′N=8,∵AE=MG=3,∴GB′=5,在Rt△EGB′中,EG=eq\r(EB′2-GB′2)=eq\r(132-52)=12,∵∠EB′G+∠FB′N=90°,∠FB′N+∠B′FN=90°,∴∠EB′G=∠B′FN,∵∠EGB′=∠FNB′=90°,∴△EGB′∽△B′NF,∴eq\f(EG,B′N)=eq\f(EB′,FB′),∴eq\f(12,8)=eq\f(13,B′F),∴BF=B′F=eq\f(26,3);(3)解:如解圖③,以E為圓心,EB為半徑畫圓,連接EC,在Rt△EBC中,∠EBC=90°,EB=13,BC=16,第7題解圖③∴EC=eq\r(162+132)=5eq\r(17),∵△CFB′的周長=CF+FB′+CB′=BF+CF+CB′=BC+CB′=16+CB′,∴欲求△CFB′的周長的最小值,只要求出CB′的最小值即可,∵CB′+EB′≥EC,∴當(dāng)E、B′、C共線時(shí),CB′的值最小,CB′最小值是為5eq\r(17)-13.∴△CFB′的周長的最小值為3+5eq\r(17).8.如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,點(diǎn)D以每秒1個(gè)單位長度的速度由點(diǎn)A向點(diǎn)B勻速運(yùn)動,到達(dá)B點(diǎn)即停止運(yùn)動.M,N分別是AD,CD的中點(diǎn),連接MN.設(shè)點(diǎn)D運(yùn)動的時(shí)間為t.(1)推斷MN與AC的位置關(guān)系;第8題圖(2)求在點(diǎn)D由點(diǎn)A向點(diǎn)B勻速運(yùn)動的過程中,線段MN所掃過區(qū)域的面積;(3)若△DMN是等腰三角形,求t的值.解:(1)MN∥AC.證明:在△ADC中,M是AD的中點(diǎn),N是DC的中點(diǎn),∴MN∥AC;如解圖①,分別取△ABC三邊中點(diǎn)E,F(xiàn),G并連接EG,F(xiàn)G,第8題解圖①依據(jù)題意,可知線段MN掃過區(qū)域的面積就是平行四邊形AFGE的面積.∵AC=6,BC=8,∴AE=3,GC=4,∵∠ACB=90°,∴SAFGE=AE·GC=12,∴線段MN掃過區(qū)域的面積為12;(3)依題意可知,MD=eq\f(1,2)AD,DN=eq\f(1,2)DC,MN=eq\f(1,2)AC=3.分三種狀況探討:(ⅰ)當(dāng)MD=MN=3時(shí),△DMN為等腰三角形,此時(shí)AD=AC=6,∴t=6.(ⅱ)當(dāng)MD=DN時(shí),AD=DC.如解圖②,過點(diǎn)D作DH⊥AC于點(diǎn)H,則AH=eq\f(1,2)AC=3,第8題解圖②∵cosA=eq\f(AH,AD)=eq\f(AC,AB),AB=10,AC=6,即eq\f(3,AD)=eq\f(6,10).∴t=AD=5.(ⅲ)當(dāng)DN=MN=3時(shí),AC=DC,如解圖③,連接MC,則CM⊥AD.第8題解圖③∵cosA=eq\f(AM,AC)=eq\f(AC,AB),即eq\f(AM,6)=eq\f(6,10),∴AM=eq\f(18,5),∴t=AD=2AM=eq\f(36,5).綜上所述,當(dāng)t=5或6或eq\f(36,5)時(shí),△DMN為等腰三角形.類型三涉及探究類問題的幾何圖形的證明與計(jì)算9.如圖,在△ABC中,BC>AC,點(diǎn)E在BC上,CE=CA,點(diǎn)D在AB上,連接DE,∠ACB+∠ADE=180°,作CH⊥AB,垂足為H.(1)如圖①,當(dāng)∠ACB=90°時(shí),連接CD,過點(diǎn)C作CF⊥CD交BA的延長線于點(diǎn)F.①求證:FA=DE;②請猜想三條線段DE、AD、CH之間的數(shù)量關(guān)系,干脆寫出結(jié)論;(2)如圖②,當(dāng)∠ACB=120°時(shí),三條線段DE、AD、CH之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系?請證明你的結(jié)論.第9題圖(1)①證明:∵∠ACB+∠ADE=180°,∴∠CAD+∠CED=360°-180°=180°,∵∠CAD+∠CAF=180°,∴∠CAF=∠CED,∵CF⊥CD,∠ACB=90°,∴∠DCF=∠ACB=90°,∵∠ECD=90°-∠ACD,∴∠ACF=90°-∠ACD=∠ECD,在△AFC和△EDC中,eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠ACF=∠ECD,CA=CE,∠CAF=∠CED)),∴△AFC≌△EDC(ASA),∴FA=DE;②解:DE+AD=2CH;【解法提示】由①得FA=DE,△AFC≌△EDC,∴CF=CD,∵CF⊥CD,∴∠CFD=∠CDF=45°,∵CH⊥FD,∴CH=HD=FH,∴FD=FA+AD=DE+AD=2CH.(2)解:三條線段DE,AD,CH之間的數(shù)量關(guān)系是:DE+AD=2eq\r(3)CH.證明:延長BA到點(diǎn)F,使AF=ED,連接CF,CD,如解圖,∵∠ACB+∠ADE=180°,∴∠CAD+∠CED=360°-180°=180°,第9題解圖∵∠CAD+∠CAF=180°,∴∠CAF=∠CED.在△AFC和△EDC中,eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AC=EC,∠CAF=∠CED,AF=ED)),∴△AFC≌△EDC(SAS),∴CF=CD,∠ACF=∠ECD,∴∠FCD=∠ACF+∠ACD=∠ECD+∠ACD=∠ACB=120°,∵CF=CD,CH⊥DF,∴FH=DH=eq\f(1,2)DF=eq\f(1,2)(AF+AD)=eq\f(1,2)(DE+AD),∴∠HCD=eq\f(1,2)∠FCD=60°,∴tan∠HCD=eq\f(DH,CH)=eq\r(3),∴DH=eq\r(3)CH,∴DE+AD=AF+AD=2DH=2eq\r(3)CH.10.△ABC中,AB>AC,G為BC的中點(diǎn),P,A在直線BC的同側(cè),PG⊥BC,直線BP與直線AC相交于點(diǎn)D,直線CP與直線AB相交于點(diǎn)E,且∠BAC=2∠PBC.(1)當(dāng)點(diǎn)P在AB邊上時(shí)(如圖①),E與P重合,D與A重合,則線段BE

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