第1章特殊平行四邊形（易錯(cuò)必刷32題7種題型專項(xiàng)訓(xùn)

練）

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A直角三角形斜邊上的中線A正方形的性質(zhì)

A菱形的性質(zhì)A正方形的判定

A矩形的性質(zhì)A梯子模型

A矩形的判定

—題型通關(guān)專訓(xùn)?

一.直角三角形斜邊上的中線（共3小題）

1.在中，ZACB=90°,。為斜邊AB的中點(diǎn).若AC=8,BC=6,則CD的長(zhǎng)為（）

A.10B.6C.5D.4

【答案】C

【解答】解：VZACB=90°,AC=8,BC=6,

：TAB=VAC2+BC2=VS2+62=10,

為斜邊A3的中點(diǎn)，

：.CD=1AB=5,

2

故選：C.

2.如圖所示，在△ABC中，AB=AC,BC=6,AF±BCF,BE_LAC于E,點(diǎn)。是48的中點(diǎn)，ADEF

的周長(zhǎng)是10,則SAABC是（）

A

A.6A/5B.6710C.7%D.18

【答案】B

【解答】解：'：AB=AC,BC=6,AF±BC,

：.BF=1.BC=3,

2

"：BE±AC,

：.ZBEC=ZBEA=90°,

：.EF=^BC=3,

2

,點(diǎn)。是AB的中點(diǎn)，

：.DF=^AB,DE=^AB,

22

「△OE尸的周長(zhǎng)是10,

：.DF+DE+EF=W,

.-.AAB+AAB+3=IO,

22

解得：AB=7,

在RtAAFB中，AF=VAB2-BF2=^72-32=2Vl0，

/.S^ABC=—BC*AF=AX6X2VT0=6A/TO，

22

故選：B.

3.如圖，在△ABC中，BC=40,BZ)_LAC于點(diǎn)。，CE_LAB于點(diǎn)E,F、G分別是BC、OE1的中點(diǎn)，若DE

=24,則FG的長(zhǎng)度為16.

BFC

【答案】16.

【解答】解：連接。EEF,

'JBDLAC,CE±AB,

：.ZBDC=ZBEC=90°,

二?點(diǎn)尸是的中點(diǎn),BC=40,

：.DF=^BC=20,EF=ABC=20,

22

：.DF=EF=20,

?.?點(diǎn)G是。E的中點(diǎn)，

：.DG=l.DE=n,FGLDE,

2

在RtADGF中,—6=加/2_口02=4202_]22=16,

故答案為：16.

二.菱形的性質(zhì)（共2小題）

4.如圖，邊長(zhǎng)為1的菱形ABCQ中，ZDAB=60°,連接對(duì)角線AC,以AC為邊作第二個(gè)菱形ACC16,

使/。MC=60°；連接AQ,再以AC1為邊作第三個(gè)菱形AQC2O2,使/。皿。=60°,…，按此規(guī)律

所作的第2023個(gè)菱形的邊長(zhǎng)為（）

A.（6）2021B.（6）2022c.（右）2023D.（右）2024

【答案】B

【解答】解：連接8。，交AC于點(diǎn)0,

C.

.四邊形ABCD是菱形，

NAOB=90°，0B=LBD,OA—AC,DA=AB=1,

22

'：ZDAB=6Q°,

...△AOB是等邊三角形，

：.BD=AB=AD=1,

：.OB=l-BD=k,

22

一。=4AB2-OB2=JF-g）2=亨,

；.4C=2A0=百，

同理可得：AC1=3,

???第1個(gè)菱形的邊長(zhǎng)=1=（?）°,

第2個(gè)菱形的邊長(zhǎng)=“=（?）1,

第3個(gè)菱形的邊長(zhǎng)=3=（V3）2,

.?.第2023個(gè)菱形的邊長(zhǎng)=（V3）2022,

故選：B.

5.如圖，點(diǎn)尸是菱形對(duì)角線8。上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E是線段3c上一點(diǎn)，且CE=4BE,連接ERCF,設(shè)的

長(zhǎng)為x,EP+CF=y，點(diǎn)/從點(diǎn)8運(yùn)動(dòng)至U點(diǎn)。時(shí)，y隨無(wú)變化的關(guān)系圖象，圖象最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)是（）

A.2B.12遙C.4A/2D.等

55

【答案】B

【解答】解：如圖1,連接ARAE,AE交BD于F1,

C

圖1

,/在菱形ABCD中點(diǎn)A,點(diǎn)C關(guān)于BD對(duì)稱,

：.AF^CF,

：.y=EF+CF=EF+AFf

當(dāng)A、F、石三點(diǎn)在同一直線上時(shí)，y取最小值，y的最小值為線段AE的長(zhǎng),

如圖2,當(dāng)％=0時(shí)，y=6,

-----------------1------?

O6x

圖2

設(shè)BE=a,貝！JCE=4a,

??y=〃+5〃=6,

??a'='1,

：.BC=5,

由圖2知：BD=6,

如圖3,連接AC交5。于G,連接EG,過(guò)點(diǎn)￡作以/_14。于H,

圖3

???四邊形ABCO是菱形,

J.ACLBD,BG=LBD=3,

2

由勾股定理得：CG=4,

二△ECG的面積=4SZXBCG=-1?CG?E”，

52

/.AxAX3X4=AX4XEH,

522

：.EH=H,

5

???CH=VCE2-EH2=J42-（^）2=-^-

V□D

：.AH=AC-CH=8-

55

AE=VAH2+EH2=J管）2+（卷）2=卷泥,

即圖象最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)是空泥.

5

故選：B.

三.矩形的性質(zhì)（共8小題）

6.下列結(jié)論中，菱形具有而矩形不一定具有的性質(zhì)是（）

A.對(duì)角線相等B.對(duì)角線互相平分

C.對(duì)角線互相垂直D.對(duì)邊相等且平行

【答案】C

【解答】解：A.因?yàn)榫匦蔚膶?duì)角線相等，所以A選項(xiàng)不符合題意;

B.因?yàn)榫匦魏土庑蔚膶?duì)角線都互相平分，所以B選項(xiàng)不符合題意;

C.因?yàn)榱庑螌?duì)角線互相垂直，所以C選項(xiàng)符合題意；

D.因?yàn)榫匦魏土庑蔚膶?duì)邊都相等且平行，不符合題意.

故選：C.

7.定義：如果一個(gè)三角形有一邊上的中線等于這條邊的一半，那么稱三角形為“智慧三角形”.如圖，在平

面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形。4BC的邊。4=3,0C=4,點(diǎn)M（2,0）,在邊A2存在點(diǎn)P,使得△口”

為“智慧三角形”，則點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（）

2

C.（3,A）或（3,1）D.（3,A）或（3,1）或（3,3）

22

【答案】D

【解答】解：由題意可知，“智慧三角形”是直角三角形，NCPM=90°或NCMP=90°,

CP1=BP1+BC1=(4-a)2+9,

在RtZXMBA中，由勾股定理得：

MP2=M^+AP2=1+/,

在RtZxMPC中，由勾股定理得：

CM1=MP^CP2=1+a2+(4-a)2+9=2a2-Sa+26,

又??CM2=OM2+OC2=4+16=20,

/.2a2-8a+26=20,

/.(〃-3)(tz-1)=0,

解得：a=3或a=l,

：.P(3,3)或(3,1)；

②若NCMP=90°,在RtZiBCP中，由勾股定理得：

CP2^BP2+BC2^(4-a)2+9,

在RtZ\MB4中，由勾股定理得：

MP2=MA2+AP2=l+a2,

\'Cl\fi=OM2+OC2=2Q,

在RtAJWCP中，由勾股定理得：

CM1+MP1=CP1,

；.20+1+/=(4-a)2+9,

解得：°=工

2

：.P(3,A).

2

綜上，P(3,A)或(3,1)或(3,3).

2

故選：D.

8.如圖，矩形A8CD的對(duì)角線AC,BD交于點(diǎn)、O,AB=6,BC=8,過(guò)點(diǎn)。作OEJ_AC,交AD于點(diǎn)E,過(guò)

點(diǎn)E作EFLBD,垂足為F,則OE+EF的值為()

5555

【答案】c

【解答】解：：AB=6,BC=8,

矩形的面積為

ABCD48,AC=^AB2+BC2=IO,

：.AO=DO=^AC=5,

2

:對(duì)角線AC,BD交于點(diǎn)、O,

...△A。。的面積為12,

'：EO.LAO,EFLDO,

SMOD=SMOE+S^DOE,即12=AAOX￡O+ADOXEF,

22

.,.12=-lx5XEO+1.X5XEF,

22

A5(EO+EF)=24,

；.EO+EF=建，

5

故選：C.

9.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，四邊形ABC。是矩形，且3(8,4),動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1

個(gè)單位的速度沿線段AB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)F從點(diǎn)8出發(fā)，以同樣每秒1個(gè)單位的速度沿折線BC

-C。向點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)，當(dāng)E,尸有一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)、E,尸同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)E,廠運(yùn)動(dòng)時(shí)間為f秒，

在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，如果AE=3CR那么t=3或6秒.

0Cx

【答案】3或6.

【解答】解：當(dāng)尸在5C邊上，如圖:

___一_、

IF

由題意得：AE=t,BF=t,CF=4-t,

9

：AE=3CFf

.,./=3(4-t),

/.t=3.

當(dāng)尸在OC上時(shí)，如圖:

VAE=3CF,

.\t=3(L4),

/.t=6,

??,當(dāng)E,尸有一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)E,尸同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，

???00<8,

At=6符合題意.

故答案為：3或6

10.如圖，0為坐標(biāo)原點(diǎn)，四邊形048。為矩形，A(20,0),C(0,8),。為04的中點(diǎn)，點(diǎn)P在邊6。

上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)尸。=0。時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4,8)或(16,8)_.

1

D

【答案】(4,8)或(16,8).

【解答】解：如圖，作OHL8C于"，

一

DA^x

?.,。為04的中點(diǎn)，A(20,0),

：.OD=10,

?:DP=DO,

；.￡>P=10,

當(dāng)點(diǎn)尸在反左邊時(shí)，

22

在RtzXDX尸中，由勾股定理得，VDP-DH=V102-82=6,

當(dāng)點(diǎn)尸在//右邊時(shí)，HP=PH=6,

；.CP=4,CP'=16,

：.P(4,8)或(16,8),

故答案為：(4,8)或(16,8).

11.如圖，矩形4BCZ)中，BC=6,AB=3,R在CD邊上，且CR=1,P為上一動(dòng)點(diǎn)，E、E分別是AP、

RP的中點(diǎn)，當(dāng)尸從B向C移動(dòng)時(shí)，線段斯的長(zhǎng)度為_(kāi)

【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容

【解答】解：如圖，連接AR

?..四邊形ABC。是矩形，

：.ZD=90°,

；BC=6,A2=3,CR=1,

：.AD=6,DR=2,

：.AR=y]^+22=2y[ld，

'：AE=EP,PF=FR,

.?.EF=AA/?=AX2A/1Q=>/TQ,

22

故答案為：Vio.

12.已知，如圖，在長(zhǎng)方形ABC。中，AB=4,AD=6.延長(zhǎng)3c到點(diǎn)E,使CE=3,連接。E.

（1）動(dòng)點(diǎn)尸從點(diǎn)8出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿2C-CD-D4向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為

/秒，求當(dāng)，為何值時(shí)，△A8P和△￡＞（?￡全等？

（2）若動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)2出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度僅沿著B(niǎo)E向終點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)，連接。尸.設(shè)點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)的

時(shí)間為/秒，是否存在3使△PDE為等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出f的值；否則，說(shuō)明理由.

【答案】（1）當(dāng)f為3或13時(shí)，△ABP和△￡＞（7￡1全等;

（2）t=3或4或29時(shí)，汨為等腰三角形.

6

【解答】解：（1）若AABP與4DCE全等,

：.BP^CE^AP^CE,

當(dāng)BP=CE=3時(shí)，貝卜=3+1=3,

當(dāng)AP=CE=3時(shí)，則-（6+6+4-3）+1=13,

當(dāng)/為3或13時(shí)，ZXABP和△OCE全等；

（2）:四邊形ABCZ）是矩形，

：.AB=CD=4,AD=BC=6,CDLBC,

在RtZkDCE中，CE=3,

?■-D￡=VDC2-H:E2=5,

若為等腰三角形，

當(dāng)尸￡>=￡>￡；時(shí),

■:PD=DE,DCLBE,

:?PC=CE=3,

?：BP=BC-CP=3,

?"3+1=3,

當(dāng)PE=DE=5時(shí)，

?；BP=BE-PE,

：.BP=9-5=4,

.,.^=44-1=4,

當(dāng)尸D=PE時(shí)，

；?PE=PC+CE=3+PC,

：?PD=3+PC,

在RtZ^PDC中，DP1=CD1+PC1.

：.(3+PC)2=16+PC2,

：.PC=L,

6

?：BP=BC-PC,

???5尸=組

6

?t=29j=29

66

綜上所述：當(dāng)t=3或4或絲時(shí)，△2￡)￡為等腰三角形.

6

13.已知：如圖，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，四邊形。42c為矩形，B(5,2),點(diǎn)。是中點(diǎn)，點(diǎn)尸在8C上以每

秒2個(gè)單位的速度由C向8運(yùn)動(dòng)，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為/秒.

(1)f為何值時(shí)，四邊形PODB是平行四邊形？

(2)在直線CB上是否存在一點(diǎn)Q,使得0、D、°、P四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，求t的值，

并求出。點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】⑴t=1.25.

(2)(4,2)或(1.5,2)或(-1.5,2).

【解答】解：(1).??四邊形QWC為矩形，B(5,2),

：.BC=OA=5,AB=OC=2,

?.?點(diǎn)。時(shí)。4的中點(diǎn)，

.*.0。=_1。4=2.5,

2

由運(yùn)動(dòng)知，PC=2t,

：.BP=BC-PC=5-2t,

?：四邊形PODB是平行四邊形，

：.PB=OD=2.5,

???5-2/=2.5,

1.25；

??,四邊形0。。尸為菱形，

：.OD=OP=PQ=2.5,

在RtZXO尸。中，由勾股定理得：尸。=1.5,

：.2t=1.5；

.??/=0.75,

：.Q(4,2)；

②當(dāng)。點(diǎn)在P的左邊且在BC線段上時(shí)，如圖,

：.Q(1.5,2),

③當(dāng)Q點(diǎn)在P的左邊且在的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖,

：.Q(-1.5,2)；

綜上，。點(diǎn)坐標(biāo)為(4,2)或(1.5,2)或(-1.5,2).

14.如圖，在矩形ABCD中，過(guò)對(duì)角線8。的中點(diǎn)。作8。的垂線EF,分別交AD,BC于點(diǎn)E,F.

(1)求證：4D0E沿ABOF；

(2)若AB=6,AD=8,連接BE,DF,求四邊形化的周長(zhǎng).

【答案】(1)答案見(jiàn)解答；

(2)25.

【解答】(1)證明：：四邊形488是矩形,

：.AD//BC,

:.NEDO=NFBO,

為2。的中點(diǎn),

：.OB=OD,

又「EFIBD,

：.ZEOD=ZFOB=90°,

在△OOE和△BOB中，

，ZED0=ZFB0

<DO=BO>

ZE0D=ZF0B=90o

:.ADOE咨ABOF(ASA)；

(2)解：?.?由(1)可得，ED//BF,ED=BF,

四邊形BFDE是平行四邊形,

"：EF±BD,

...四邊形BFDE是菱形,

根據(jù)AB=6,AD—8,設(shè)AE=x,nJ#BE—ED—8-x,

在RtZkABE中，根據(jù)勾股定理可得：BE1=AB2+AE1,

即(8-x)2=X2+62,

解得：xJ，

4

44

四邊形BFDE的周長(zhǎng)=空義4=25-

4

四.矩形的判定（共3小題）

15.如圖，在四邊形A8C。中，AC與2。相交于點(diǎn)。，AD//BC,AC=BD,那么下列條件中不能判定四邊

形4BCD是矩形的是（）

C./DAB=NABCD./DAB=/DCB

【答案】B

【解答】解：A.當(dāng)AD=BC,AO〃BC時(shí)，四邊形ABC。是平行四邊形，再依據(jù)AC=BD,可得四邊形

4BCD是矩形;

B.當(dāng)AB=CD,AO〃BC時(shí)，四邊形ABC。不一定是平行四邊形，也可能是等腰梯形；

C.^iZDAB=ZABC,A￡）〃BC時(shí)，ZDAB=ZCBA=90°,再根據(jù)AC=B。，可得△ABD也△A4C,進(jìn)

而得到AO=BC,即可得到四邊形ABC。是矩形；

D.當(dāng)AO〃BC時(shí)，ZABC+ZBCD=180°,即可得出四邊形A3CO是平行四邊形，再

依據(jù)AC=BD,可得四邊形A8CO是矩形；

故選：B.

18.如圖，線段。E與AB分別為△ABC的中位線與中線.

（1）求證：AP與。E互相平分；

（2）當(dāng)線段4月與18c滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系時(shí)，四邊形AOEE為矩形？請(qǐng)說(shuō)明理由.

【解答】（1）證明：：點(diǎn)。是的中點(diǎn)，

Z.AD=AAB,

2

?.?點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)下是8c的中點(diǎn)，

.?.EP是△ABC的中位線，

C.EF//AB,EF=lAB,

2

；.EF=AD,

：.四邊形ADFE是平行四邊形，

/與￡>￡互相平分；

（2）解:當(dāng)時(shí)，四邊形ADFE為矩形,

2

理由：?.?線段。E為aABC的中位線，

.,.￡）￡=AfiC,

2

VAF=ABC,

2

：.AF=DE,

由（1）得：四邊形AQFE是平行四邊形,

四邊形ADFE為矩形.

16.如圖，在回A8CD中，AC±AD,^ZECA=ZACD,CE交45于點(diǎn)。，交D4的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,連接

BE.

（1）求證：四邊形AC8E是矩形;

【答案】（1）證明見(jiàn)解答；

（2）2。

【解答】（1）證明：?.?四邊形ABC。是平行四邊形,

J.AD//BC,AD=BC,

"：AC±AD,

：.ZEAC=ZDAC^90°,

'：ZECA=ZACD,

：.ZAEC=ZADC,

:.CE=CD,

：.AE=AD=BC,

'JAE//BC,

四邊形ACBE是平行四邊形，

VZEAC=90°,

.,.四邊形AC2E是矩形；

（2）解：如圖，過(guò)點(diǎn)。作。F_LZ）E于尸，

由（1）知：四邊形ACBE是矩形,

，對(duì)角線AB和CE相等且互相平分，AO=1AB=2,

2

：.OA^OC,

'：ZACD=ZACO=60°,

AAOC是等邊三邊形，

：.ZOAC=60°,

VZEAC=90°,

/.ZMO=90°-60°=30°,

RtZkAFO中，0尸=140=1,AF=舊,

2

RtAA￡B中，AE=V42-22=2^)

DF=AF+AD=y[3+2,\[3=3y[3,

:?OD=VDF2+OF2=Vl2+(373)2=2。

五.正方形的性質(zhì)(共11小題)

17.如圖，在正方形ABCD中，E為對(duì)角線8。上一點(diǎn)，連接AE、CE,ZBCE=10°,則/EAO為（）

A.10°B.15°C.20°D.30°

【答案】C

【解答】解：：四邊形ABC。是正方形，

ZADE=ZCDE=Z￡BC=45°,AD=CD,

,:DE=DE,

:.△AEDQXCED(SAS),

ZEAD=ZECD,

又,；NBCE=70°,

方法1：AZEAD=ZBAD-ZBCE=20°.

方法2：:./BEC=65°,

ZBEC=ZCDE+ZECD,

即65°=45°+ZECD,

：.ZECD=20°,

AZEAD=20°.

故選：C.

18.如圖，以邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD的中心。為端點(diǎn)，引兩條相互垂直的射線，分別與正方形的邊交于

E、F兩點(diǎn)，則線段EF的最小值為（）

A.2B.4C.V2D.2A/2

【答案】D

【解答】解：如圖，連接EF

.四邊形ABCD為正方形，

：.ZEAO=ZFDO=45°,AO=DO；

'：ZEOF^90°,NAOD=90°,

ZAOE=NDOF；

在△AOE與△no尸中，

，ZEA0=ZFD0

<AO=DO，

ZA0E=ZD0F

/.AAOE^ADOF(ASA),

：.OE=OF(設(shè)為人);

?*.△EOF是等腰直角三角形，

由勾股定理得:

￡/2=0f2+。產(chǎn)=2）2；

：.EF=y[2OE=42^

'：正方形ABCD的邊長(zhǎng)是4,

：.OA=2近,O到AB的距離等于2（O至UAB的垂線段的長(zhǎng)度），

由題意可得：2W入W2&,

：.2版WEFWA.

所以線段所的最小值為2近.

故選：D.

19.如圖，在邊長(zhǎng)為3的正方形ABCO中，NCDE=3Q°，DELCF,則的長(zhǎng)是（）

c.MD.2

【答案】C

【解答】解：???四邊形ABC。是正方形,

:./FBC=/DCE=9Q°,CD=BC=3,

Rt/XDCE中，NCDE=30°,

;.CE=LDE,

2

設(shè)CE=x,則。E=2r,

根據(jù)勾股定理得：DC2+CE2=DE2,

即32+?=(2x)2,

解得：x—±A/3(負(fù)值舍去)，

：.CE=y/3,

■:DE2CF,

：.ZDOC=90°,

Z.ZDCO=60°,

/.ZBCF=90°-60°=30°=ZCDE,

'：ZDCE=ZCBF,CD=BC,

：./\DCE^/\CBF（ASA）,

:.BF=CE=M.

故選：C.

20.將〃個(gè)邊長(zhǎng)都為1c機(jī)的正方形按如圖所示的方法擺放，點(diǎn)4,A2,…，4分別是正方形對(duì)角線的交點(diǎn),

則n個(gè)正方形重疊形成的重疊部分的面積和為（）

A.—cm1B.ncm2C.—cm2D.（A）ncn?

4444

【答案】B

【解答】解：由題意可得陰影部分面積等于正方形面積的工，即是工，

44

5個(gè)這樣的正方形重疊部分（陰影部分）的面積和為工X4,

4

〃個(gè)這樣的正方形重疊部分（陰影部分）的面積和為［■><（?-1）=JT12.

44cmm

故選：B.

21.如圖，在正方形ABCZ）中，E為對(duì)角線AC上一點(diǎn)，連接。E,過(guò)點(diǎn)E作EFLOE,交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)

F,以DE,EF為鄰邊作矩形QEFG,連接CG.在下列結(jié)論中：

?DE=EF-,

②ADAE咨ADCG；

?AC±CG；

④CE=CF.

其中正確的結(jié)論序號(hào)是①②③.

G

//

Sl-------

【答案】①②③.

【解答】解：過(guò)E作于M點(diǎn)，過(guò)E作ENLC。于N點(diǎn)，如圖所示:

?.,四邊形A3CD是正方形，

ZBCD=90°,NECN=45°,

：.ZEMC=ZENC=ZBCD=90°,

:.NE=NC,

：.四邊形EMCN為正方形,

?..四邊形DEPG是矩形，

：.EM=EN,ZDEN+ZNEF=ZMEF+ZNEF^900,

4DEN=ZMEF,

又/DNE=NFME=9S,

在△OEN和△FEM中，

,ZDNE=ZFME

"EN=EM，

ZDEN=ZFEM

，叢DEN絲叢FEM(ASA),

：.ED=EF,故①正確；

矩形OEPG為正方形；

：.DE=DG,ZEDC+ZCDG=90°,

.四邊形ABCD是正方形，

'：AD=DC,ZADE+ZEDC=90°,

ZADE=ZCDG,

在和△CDG中，

'AD=CD

-ZADE=ZCDG>

DE=DG

.?.△AOEq△COG(SAS),故②正確;

：.AE=CG,ZDAE=ZDCG=45°,

：.ZACG=90°,

：.AC±CG,故③正確；

當(dāng)DELAC時(shí)，點(diǎn)C與點(diǎn)廠重合,

；.CE不一定等于C凡故④錯(cuò)誤，

綜上所述：①②③.

故答案為：①②③.

22.如圖，E、P分別是正方形ABCD的邊C。、上的點(diǎn)，S.CE^DF,AE、8尸相交于點(diǎn)0,下列結(jié)論：

①AE=BF；?AE1BF；③SAAOB=S四邊形DEOF；④AO=OE；@ZAFB+ZA￡C=180°,其中正確的有①

②③⑤（填寫序號(hào)）.

【答案】①②③⑤.

【解答】解：在正方形ABCD中，ZBAF=ZD=90°,AB=AD=CD,

VCE=DF,

：.AD-DF=CD-CE,

即AF=DE,

在△ABF和△ZME中,

'AB=AD

，ZBAF=ZD=90°，

AF=DE

/.AABF^ADAE(SAS),

：.ZAFB=ZDEA,AE=BF,故①正確；

NABF=NDAE,

：.ZAFB+ZAEC=Z￡>E4+ZAEC=180°,故⑤正確；

"：ZDAE+ZBAO=90a,

AZABF+ZBAO^90°,

在△AB。中，ZAOB=180°-(ZABF+ZBAO)=180°-90°=90°,

：.AE±BF,故②正確；

假設(shè)4O=OE,

'：AE±BF(己證)，

：.AB=BE(線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等)，

\?在RtABCE中，BE>BC,

：.AB>BC,這與正方形的邊長(zhǎng)相矛盾，

所以，假設(shè)不成立，AO^OE,故④錯(cuò)誤；

LABF咨LDAE,

?.SAABF=SADAE,

?-SAABF-SAAOF=S&DAE-S/^AOFt

即SAAOB=S四邊形DEOF,故③正確；

綜上所述，正確的有①②③⑤.

故答案為：①②③⑤.

23.如圖，E、尸分別是正方形ABC。的邊C。、8c上的點(diǎn)，且CE=BRAP、BE相交于點(diǎn)G,下列結(jié)論

中正確的是①②④.

?AF=BE；

?AF.LBE；

③AG=GE；

④S/\ABG=S四邊形CEGF.

【答案】①②④.

【解答】解：：四邊形ABC。是正方形，

：.AB=BC^CD^AD,ZABC=ZBCD^90°,

在AAB尸與ABCE中，

'AB=BC

<ZABC=ZBCD>

BF=CE

:.AABF咨ABCE(SAS).

；.AF=BE,故①正確；

'：ZBAF+ZBFA=90°,

ZBAF=ZEBC,

：.ZEBC+ZBFA=90°,

：.ZBGF^90°,

：.AF.LBE,故②正確；

???GF與BG的數(shù)量關(guān)系不清楚，

無(wú)法得AG與GE的數(shù)量關(guān)系，故③錯(cuò)誤；

AABF咨/\BCE,

:.SAABF=SABCE,

?*.S^ABF-SABGF=SABCE-SABGF,

即SAABG=S四邊彩CEGF,故④正確；

故答案為：①②④.

24.如圖，七個(gè)正方形拼成一個(gè)長(zhǎng)方形圖案，若中間小正方形的面積為1,則圖中最大正方形的面積等于

25.

【解答】解：如圖,

由中間小正方形的面積為1,則小正方形的邊長(zhǎng)為1,

設(shè)次小正方形A的邊長(zhǎng)為則正方形2的邊長(zhǎng)為a+1,

正方形C的邊長(zhǎng)為a+2,最大正方形D的邊長(zhǎng)為a+3,

由長(zhǎng)方形的性質(zhì)可知，a+3+a+2=a+a+a+a+1,解得a=2,

.?.大正方形。的邊長(zhǎng)為5,

最大正方形的面積為25.

故答案為：25.

25.如圖，在正方形ABC。中，AB=4cm,點(diǎn)E是的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)廠從點(diǎn)A出發(fā)，以2c/n/s的速度沿A8

向終點(diǎn)8運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為S當(dāng)△CEF為等腰三角形時(shí)，t的值是1或2或工.

【答案】1或2或1.

4

【解答】解：根據(jù)題意得，；四邊形ABC。是正方形,

：.AB=AD=CD=BC=4,ZB=ZD=90°,

是A￡>的中點(diǎn)，

：.AE=DE=2,

在Rt^CDE中，C￡=^/CD2+DE2=^42+22=275-

①當(dāng)CE=C/時(shí)，即CF=2炳,

在RtABCF中，BF=4.F2_Bc2=yj2\[S)-4=2，

：.AF^AB-BF=2,

.'"=2+2=1；

②當(dāng)CE=EF時(shí)，即E尸=2,

在RtAA￡F中，AF=<^gp22=yj2\[5)-2=%

.1=4+2=2；

③當(dāng)E/=CT時(shí)，設(shè)AF=x,貝!]BF=4-x,

在RtZ^BC尸中，CF2=BC2+BF2,

在RtZkAE尸中，EF2=AE2+AF2,

即4?+(4-x)2=22+X2,

解得x=Z,

2

即AF=±,

2

；,=工+2=1.

24

故答案為：1或2或工.

4

26.如圖1,在正方形A8CZ)中，ZAEF=90°,且EF交正方形外角的平分線CF于點(diǎn)反

(1)若點(diǎn)E是BC邊上的中點(diǎn)，求證：AE=EF；

(2)如圖2,若點(diǎn)E是8c的延長(zhǎng)線上(除C點(diǎn)外)的任意一點(diǎn)，其他條件不變，那么結(jié)論"AE=E尸’

是否仍然成立，若成立，請(qǐng)寫出證明過(guò)程；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3)如圖3,若點(diǎn)E是BC邊上的任意點(diǎn)一，在A8邊上是否存在點(diǎn)M,使得四邊形。是平行四邊

形？若存在，請(qǐng)給予證明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

F

【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容

【解答】（1）證明：取的中點(diǎn)H,連接即；如圖1所示

圖1

?.,四邊形A3CD是正方形，AE1EF；

：.Z1+ZAEB=9O°,Z2+ZAEB=90°

.\Z1=Z2,

?：BH=BE,NBHE=45°,且/尸CG=45°,

/.ZAHE=ZECF=135°,AH=CE,

在△A”E和△EC尸中，

rZl=Z2

?AH=CE，

ZAHE=ZECF

/.AAHE^/\ECF(ASA),

：.AE^EF；

(2)解：AE=EF成立,

理由如下：如圖2,延長(zhǎng)班到使AM=CE,

圖2

ZAEF=90°,

：.ZFEG+ZAEB=9Q°.

,/ZBAE+ZAEB=90°,

:./BAE=NFEG,

：.ZMAE=ZCEF.

"：AB=BC,

：.AB+AM^BC+CE,

即BM=BE.

/.ZM=45°,

:.NM=NFCE.

在△AME與中，

，ZMAE=ZCEF

<AKE，

ZM=ZFCE

：./\AME^/\ECFCASA),

：.AE=EF.

(3)存在,

理由如下：如圖3,作。于AB交于點(diǎn)則有：DM//EF,連接ME、DF,

圖3

在與△8AE中，

，ZADM=ZBAE

-AD=AB，

ZDAM=ZABE

AAADM^ABAE(ASA),

：.DM=AE,

由(2)AE=EF,

：.DM=EF,

四邊形0M所為平行四邊形.

27.正方形A8CD的對(duì)角線AC、3。相交于。，直角三角板EFG的直角頂點(diǎn)E在線段AC上，EF、EG與

BC、CD邊相交于M、N.

(1)如圖1,若E點(diǎn)與。點(diǎn)重合，求證：EM=EN；

(2)如圖2,若E點(diǎn)不與。點(diǎn)重合：

①還等于EN嗎？說(shuō)明理由；

②試找出MC、CN、EC三者之間的等量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容

【解答】解：(1)在正方形ABC。中，0A=OB=OC=OD,且N0BC=/0CD,ZBOC=90°,

VZFOG=90°,

：.ZBOM^ZBOC-ZMOC^900-ZMOC,NC0N=4F0G-/MOC=90°-ZMOC,

：.ZBOM=ACON,

在△OBM和△OCN中，

'NBOM=NCON

"OB=OC，

ZOBM=ZOCN

:.AOBM咨AOCN(ASA),

：.EM=EN；

(2)

過(guò)E作EH_LBC,EG'LCD,

由正方形ABCD可知，AC平分NBC。,

：.EH=EG

:NHEG=360°-ZEHC-ZEG'C-ZHCG'=90°,

/.ZMEH=ZNEG',而NEHM=/EG'N=90°,

:.AEMH%AENG',

:.EM=EN；

(3)由LEMH咨AENG'可知，MH=NG',而EG'=HC,

:.MC+NC=MH+HC+NC=NG'+EG+NC=EG'+CG'=2CG',

,:CG'=亞改，

2

：.MC+NC^yf2EC.

答：⑴EM=EN,(2)EM=EN,(3)MC+NC=?EC.

六.正方形的判定(共3小