第4章圖形的相似（易錯必刷30題8種題型專項訓練）

?題型目錄展示*

A比例的性質A相似三角形的判定

A平行線分線段成比例A相似三角形的判定與性質

A相似多邊形的性質A相似三角形的應用

A相似三角形的性質A位似變換

—題型通關專訓*

一.比例的性質（共2小題）

1.對等式三3進行變形，則下列等式成立的是（）

23

A.2x=3yB.3x=2yC.D仔

【答案】B

【解答】解：???&/,

23

??3%=2y,

A、2x=3y,不成立，故A不符合題意；

B、3x=2y,成立，故5符合題意；

C、???2■=X,??.2%=3?不成立，故C不符合題意；

32

0、.?.2x=3y,不成立，故。不符合題意；

故選：B.

2.若包底屋」，則3a-2c+e的值為（）

bdf33b-2d+f

A.AB.1C.1.5D.3

3

【答案】A

【解答】解：???2秀屋=1,

bdf3

/3a—~2c—6—1

'3bW7丁

3a~~2c+e=1

*'3b-2d+f~3

故選：A.

二.平行線分線段成比例（共1小題）

3.如圖，已知AB〃CD〃ER則下列結論正確的是（）

A.迪_=區B.—=—CAF=ADD.生=也

DFBEAFBC,BEBCDFBC

【答案】c

【解答】解：，：AB/ICDI/EF,

坦注，故4錯誤，

DFCE

亞軍，故8錯誤；

AFBE

a

確

故

空型，即AFC正

ADBCBEBaC

故

錯

CE誤

坦期，即DF。

DFCEAD

故選：C.

三.相似多邊形的性質（共1小題）

4.如圖，把一張矩形紙片沿著它的長邊對折（E尸為折痕），得到兩個全等的小矩形.若小矩形的長與寬的

比恰好等于原來矩形的長與寬的比，則小矩形的長與寬的比是（）

D

B

A.2：1B.3：2C.V3：1D.V2：1

【答案】。

【解答】解：由折疊得：AE=1AD,

2

由題意得：矩形AB尸E與矩形40cB相似,

AAD=AB；

"ABAE，

：.AD-AE=AB2,

:.1.AD2^AB2,

2

.AD2T

AB2

：.AD：AB=?1,

故選：D.

四.相似三角形的性質（共1小題）

5.如圖所示，若△ZMCS^ABC,則需滿足（）

A.CD1=AD-DBB.AC2=BC'CDC.￡望.D.史

CDBCDAAC

【答案】B

【解答】解：由可得CDAD=BD：CD,由此得不出結論；

由AC2=BC?C。，可得AC：BC=CD：AC,

vzc=zc,

.,.△ABC^ADAC,故B選項正確；

由￡4得不出結論；

CDBC

由型=區■及/BAC=/AOC=90°可得結論，但題目中未提及.

DAAC

故選：B.

五.相似三角形的判定（共5小題）

6.如圖，△ABC中，點O在線段AC上，連接B。，下列選項添加的條件中不能使△A3。與△ACB相似的

是（）

A

D

BC

A.坦B.ZADB=ZABCC.ZABD=ZCD.AB2=AD-AC

ABBC

【答案】A

【解答】解：在△AB。與△ABC中，由于若添加或/ABO=/C,

滿足“兩角對應相等的兩個三角形相似”，故要使與△A2C相似，可添加一個條件2或C.

在△AB。與△ABC中，由于NA=/A,若添加坐即AB2=A￡）.AC,

ADAB

滿足“兩邊對應成比例夾角相等的兩個三角形相似”，故要使△ABD與△ABC相似，可添加一個條件D.

在△A2Z）與AABC中，若添加地理，由于不能說明/ADB=NABC,也不能說明三邊對應成比例，

ABBC

故要使△ABO與△ABC相似，不能添加一個條件A.

故選：A.

7.如圖，△ABC中，ZA=60°,BML4c于點M,CNLAB干點、N,BM,CN交于點O,連接MN.下列

結論：?ZAMN=ZABC；②圖中共有8對相似三角形；③BC=2MN.其中正確的個數是（）

【解答】解：'：BM±AC,CN±AB,

：.ZANC=ZAMB=90°,

又

：.AABM^/\ACN,

?ANAC即ANAM

AM-ABAC-AB

XVZA=ZA,

:.AAMNsAABC,

：.ZAMN=ZABC,故①正確；

由題可得，AABMs/\ACNsAOBNsAOCM,AAMN^AABC,

???圖中共有8對相似三角形，故②正確；

：RtA4CN中，ZA=6Q°,

/.ZACN=30°,

，ATV=AAC,

2

又：ZlAMNsAABC,

?.,-M--N-=--A--N-=—1,

BCAC2

即BC=2MN,故③正確.

故選：C.

8.如圖，在△ABC中，AB=8cm,BC=\6cm,動點P從點A開始沿AB邊運動，速度為2cm/s；動點。從

點2開始沿BC邊運動，速度為4cm/s；如果尸、。兩動點同時運動，那么何時尸與△ABC相似？

【答案】見試題解答內容

【解答】解：設經過t秒時，以△Q2P與ZXABC相似，則AP=2f厘米，BP=(8-2?)厘米，2。=4r厘

米，

:/PBQ=AABC,

...當坦=跑時，/XBPQsABAC,即生2_=處，解得f=2(s)；

BABC816

當豈匕=兇■時，△BPQS^BCA,即§-2t=生,解得r=0.8(s)；

BCBA168

即經過2秒或0.8秒時，402尸與AABC相似.

9.如圖，AB±BC,DC±BC,E是BC上一點，使得AE_LOE；

(1)求證：AABEs^ECD；

(2)若A2=4,AE=BC=5,求CD的長；

(3)當時，請寫出線段AD、AB,C。之間數量關系，并說明理由.

【答案】見試題解答內容

【解答】(1)證明：VAB±BC,DC.LBC,

：.ZB=ZC=90°,NBAE+NAEB=90°,

VAE±DE,

ZAED=90°,

AZAEB+ZDEC=90°,

J/DEC=NBAE,

：.AABE^AECD；

(2)解：RtZkABE中,*：AB=4,AE=5,

:?BE=3,

9：BC=5,

：.EC=5-3=2,

由(1)得：XABEsXECD,

??AB=—EC,

BECD

???42,

3CD

：.CD=1；

2

(3)解：線段A。、AB,CD之間數量關系：AD=AB+CD；

理由是：過E作EP_LA。于R

,?AAEDs^ECD,

：.ZEAD=ZDEC,

'：ZAED=ZC,

：.ZADE=/EDC,

VDCXBC,

：.EF=EC,

,:DE=DE,

:.RtADFE%RtADCE(HL),

：.DF=DC,

同理可得：AABE出AAFE,

：.AF=AB,

：.AD=AF+DF=AB+CD.

10.如圖，在△ABC中，ZC=90°,AC=8cm,BC=6cm,點P從點A沿AC向C以2aw/s的速度移動,

到C即停，點。從點C沿CB向B以lcm/s的速度移動，到B就停.

(1)若P、。同時出發，經過幾秒鐘S"CQ=2on2；

(2)若點。從C點出發2s后點P從點A出發，再經過幾秒△PCQ與AACB相似.

【解答】解：(1)設經過f秒鐘&PCQ=2C??,

由題意得，AP=2t,CQ=t,

則PC=8-2t,

由題意得，Ax(8-2r)Xt=2,

2

整理得，t2-4/+2=0

解得，尸2±6，

則P、。同時出發，經過(2土&)秒鐘SAPCQ=2C%2；

（2）設再經過〃秒△PCQ與△ACB相似由題意得，AP=2n,CQ=2+n,

則PC=8-2n,

當△PCQs"cB時，空=型，即8-2n.=2tn,

CACB86

解得，〃=1.6,

當△時，CP=CQ,即2tn,

PCQS/XBCA----------,aIJ--6-------2----R----.=---------

CBCA68

解得，”=空，

11

綜上所述，點。從C點出發2s后點尸從點A出發，再經過1.6秒或空秒秒△PC。與AACB相似.

六.相似三角形的判定與性質（共14小題）

11.如圖，ZVIBC中，點。，E分別是邊AB,AC上的點，DE//BC,點”是邊BC上的點，連接AH交線

段DE于點G,且BH=DE=12,DG=8,S^ADG=U,貝US四邊形BCED=（）

BH

A.24B.22.5C.20D.25

【答案】B

【解答】解：如圖所示:

BHC

'JDE//BC,

：.AADEs^ABC,

???D一E-D--G,

BCBH

又；BH=DE=12,DG=8,

?CC_BH?DE_12X121

=1

又,：DE=DG+GE,

：.GE=\2-8=4,

又：△AQG與△AGE的高相等，

?SAADG^DG

S&AGEGE

又?；SAADG=12,

.GE4

"SAAGE=DG-'SAADGX12=6，

又,**SAADE—SAADG+SAAGE，

**?S叢ADE=12+6—18,

又△吟（嗎2,

,△ADEDE

?-/18、2_81

c=1o8vX

,,SAABC（五）正，

又：S四邊形BCED=SAABC_5AA￡>E>

.81

,?S四邊形BCED-^--18=22.5，

故選：B.

12.如圖，將△ABC沿射線AC方向平移一定的距離，平移后的三角形記為B'C,邊A'B'剛好

經過邊BC的中點O,已知△ABC的面積為16,則陰影部分AA'0c的面積為（）

A.8B.6C.5D.4

【答案】D

【解答】解：???點。是BC的中點，

：.CD=^BC,

2

由平移得：AB//A'B',

：.AB=ZA'DC,AA=ADA'C,

.?.△ABCs"'DC,

SZ

?AADC(CD)2=(2)2=工

^AABCBC24

?.?△ABC的面積為16,

.?.△A'DC的面積的面積=4,

4

故選：D.

13.如圖所示的網格是正方形網格，A,B,C,。是網格線交點，AC與8。相交于點O,則△ABO的面積

【答案】C

【解答】解：設小方格的邊長為1,

由圖可知，AB//CD,

:AABOs叢CDO,且A3=&,CD=2近,

S^ABO：SACDO=(AB：CD)

S/\ABO'S叢CDO=(V2：2&)2=1：4,

故選：c.

14.如圖，在△ABC中，CD平分/ACB,交AB于點。，過。作BC的平行線交AC于M,若BC=3,AC

=2,則。M=()

A.B.AC.gD.A

6543

【答案】B

【解答】解：?.?CD平分NAC3,

:.ZACD=ZDCB,

*：DM//CB,

：./MDC=NDCB,

：.ZMDC=ZACD,

：.MD=MC,

■:DM〃BC,

：.ZADM^ZB,ZAMD^ZACB,

：.AADM^AABC,

??.吼=幽，

e，BCAC，

?

??DM=-2---D-M--,

32

5

故選：B.

15.如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的高，在△ABC的內部，作一個正方形PQRS,若BC=3,AD=2,

則正方形尸。RS的邊長為（）

542

【答案】A

【解答】解：如圖：

DQ

設正方形尸QRS的邊長為無，

?.,AD是△ABC的高，SR//BC,

是△AST?的高，

貝！］AE^AD-ED=2-x,

,四邊形尸。RS是正方形，

J.SR//BC,

：.△ASRS/XABC,

ASR=AE；

"BCAD"

???x——.2-x,

32

解得：尸旦，

5

.?.正方形尸QRS的邊長為旦

5

故選：A.

16.在團A3CD中，E是8C邊上的點，連接A石交5。于點R若EC=2BE.貝I」A尸：尸石的值是（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】A

【解答】解：在菱形A3C0中，BE//AD,AD=BC9

:.ABEFsADAF,

：.BE：AD=EF：AF,

EC=2BE,

：.AD=BC=3BE,

:.EF：AF=A,ipAF-.EF=3.

3

故選：A.

17.如圖，在△ABC中，CHJ_A8,CH=5,A3=10,若內接矩形。E尸G鄰邊。G：GF=l：2,則AG/。與

四邊形ABbG的面積比為（)

A

A.AB.Ac.AD.亞

3422

【答案】A

【解答】解：：DG：GF=1：2,

.?.設￡>G=x,FG=2x,

?..四邊形DEFG是矩形，

：.FG//DE,

：.ZCGF=ZA.ZCFG=ZB,

:.叢CGFs叢CAB,

'：CH±AB,FG//DE,

：.CHLFG,

；。=四，

"CH而’

.?.旦=”

510

??.x=2.5,

經檢驗，x=2.5是原方程的根，

：.FG=5,

.SACGF_rFG、2_1

^ACAB杷4

.?.△GFC與四邊形ABPG的面積比為=1：3,

故選：A.

18.如圖，由邊長為1的小正方形組成的網格中，點A,B,C,￡＞為格點（即小正方形的頂點），與CD

相交于點O,則AO的長為

D

【答案】見試題解答內容

【解答】解：如圖所示:

在△BOF和△EC尸中，

，ZDBF=CEF=90°

，ZBFD=ZEFC，

BD=CE

:.△BDF^AECF(A4S),

：.BF=EF=1,

2

y.'：BF//DA,

：./\BFO^/\ADO,

???A--O=AD，，

BOBF

又：AO=4,

在RtZXABO中，由勾股定理得，

AB=VAD2+BD2=^42+12=417，

5L'：AB=AO+BO,

故答案為

19.如圖，a//b//c,直線。與直線b之間的距離為直線c與直線6之間的距離為2?,等邊△ABC

的三個頂點分別在直線〃、直線從直線c上，則等邊三角形的邊長是，

【答案】2巾.

【解答】解：如圖，過點A作直線。于D,將繞點A逆時針旋轉60°得到△ACE,作EG

_L直線c于G交直線〃于

cG

則有/AEC=/AQB=/AFE=/EGC=90°,AE=AO=?,NEAF=NCEG=30°,

：.EF=1.AE=J^,

22

:.EG=5遮,CG=?EG=$,CE=2CG=5,

232

AC=VAE^CE^=7(73)2+52=-

等邊△ABC的邊長為20

故答案為：2曲.

20.如圖，在等邊三角形ABC中，D,E,尸分別是BC,AC,AB上的點，DELAC,EF±AB,FDLBC,

若△ABC的面積為48,則△￡>EF的面積為16.

【答案】16.

【解答】解：,??△A3C是等邊三角形,

ZA=ZB=ZC=60°,

DELAC,EFLAB,FD±BC,

：./AFE=NBDF=ZDEC=90°,

AZAEF=90°-NA=30°,NBFD=90°-ZB=30°,ZEDC=90°-ZC=30°,

：.ZDFE=1800-NAFE-NBFD=60°,ZFDE=1800-NBDF-NEDC=60°,Z￡>￡F=180°-

/DEC-/AEF=60°,

NDFE=/FDE=ZDEF=60°,

.?.△OFE是等邊三角形,

：.DF=EF,AABC^ADEF,

在RtZXBD尸和RtZXABE中，ZBFD=ZAEF==30°,

：.BD：DF：BF=\-.M：2,AF：EF=1：%，

：.AF：DF：BF=1：V3：2,

?DF=?

"AB

'：LABCSADEF,

SADEF=(DF)2=(近)2=工

^AABC皿33

VAABC的面積為48,

△￡>￡■/的面積=16,

故答案為：16.

21.如圖，在中，D,E分別是邊AB,AC上的點，連接DE,>ZADE=ZACB.

(1)求證：△ADES.CB；

(2)若AD=2DB,A￡=4,AC=9,求8。的長.

【答案】見試題解答內容

【解答】（1）證明：VZADE=ZACB,ZA=ZA,

AADESAACB；

（2）解：由（1）可知：△ADEs/viCB,

?AD=AE

"ACAB，

設B￡?=x,則A￡?=2x,AB=3x,

'：AE=4,AC=9,

-2x=_i_

茲

解得：x=V6（負值舍去），

：.BD的長是仇.

22.如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC與2。交于點E,DB平分/ADC,S.AB2=BE-BD.

(1)求證：LABEsLDCE；

(2)AE-CD=BUED.

【答案】證明過程見解答部分.

【解答】證明：(答:AB2=BE?BD,

：.AB：BE=BD：AB,

'：ZABE=ZDBA,

:.AABEsADBA,

：.ZBAC=ZBDC,

,：BD平分/AOC,

ZADB=NBDC=ZBAC,

：.AABEsADCE；

(2)由(1)中相似可得，AE：DE=BE：CE,

"?ZBEC=ZAED,

：.△ADEsLBCE,

：.ZEAD=ZEBC,ZADE=NBDC=ZBCE,

:.△BCDs^AED,

：.BC：AE=CD：ED,

AE-CD=BC'ED.

23.如圖，在平行四邊形ABCD中，過點A作AELBC,垂足為￡,連接。E,P為線段DE上一點，且/

AFE=ZB.

(1)求證：△AOPS/VDEC；

(2)若A8=8,AD=U,AF=6,求AE的長.

【答案】見試題解答內容

【解答】(1)證明：???四邊形ABC。是平行四邊形,

J.AD//BC,AB//CD,

:?NADF=NCED,ZB+ZC=180°；

VZAFE+ZAFD=180°,/AFE=/B,

：.ZAFD=ZC,

：.AADFsADEG

(2)解：,??四邊形A3CO是平行四邊形，

：.DC=AB=S.

,:AADFs^DEC,

?AD—AFpn12—6

DEDCDE8

：.DE=\6.

'."AD//BC,AE±BC,

：.AE±AD.

在RtZXADE中，ZE4D=90°,￡>￡=16,AO=12,

A￡=VDE2-AD2=V162-122==4"

24.如圖所示，在EIABCD中，AF平分/BAD交直線BC于尸，DE_LAF交直線BC于E

(1)求證：BE=CF；

(2)若點G為AB的中點，求旦旦的值.

HF

【答案】見試題解答內容

【解答】證明：（1）如圖所示:

???四邊形ABCD是平行四邊形，

：.AD//BC,

：.NDAF=NAFB,

又YA/平分N3A0,

ZDAF=/BAF,

：./AFB=/BAF,

：.AB=FBf

ZAHG=ZAHD=90°,

又???NAHG+NGAH=9(T,ZAHD=Z￡>AH=90°,

ZGAH=ZDAH,

：.ZAGH=ZADH,

又,：MyIIEF,AB//DC,

：.ZADG=ZDEC,/EGB=/EDC,

又???ZAGD=ZBGE,

：./DEC=/EDC,

：?DC=EC,

'：AB=DC,

:?EC=BF,

又,：EC=BE+BC,BF=CF+BC,

：.BE=CF；

(2)如圖所示:

?.?點G為A3的中點，

.'.AG=AD=—^,

又:AB=DC=BF=EC,

AD=BC=AG,

：.AD=BE=BC=CF=L^,

又ZAHD=ZFHE,ZDAH=ZEFH,

:.△AHDSFHE(A4),

?AD_AH

..甌HF

?AH1

???--=---

HF3

七.相似三角形的應用(共4小題)

25.四分儀是一種十分古老的測量儀器.其出現可追溯到數學家托勒密的《天文學大成》.圖1是古代測量

員用四分儀測量一方井的深度，將四分儀置于方井上的邊沿，通過窺衡桿測望井底點F,窺衡桿與四分

儀的一邊BC交于點”.圖2中，四分儀為正方形ABCD方井為矩形BEFG.若測量員從四分儀中讀得

AB為1,BH為05,實地測得BE為2.5.則井深86為()

A'~ID

3c

BE

G

圖i圖2

A.4B.5C.6D.7

【答案】A

【解答】解：???四邊形ABC。是正方形，

???NA3C=90°,

?；BE=2.5,BH=0.5,

：.HE=BE-BH=2.5-0.5=2,

??,四邊形3EFG是矩形，

:?BG=EF,NBEF=90°,

ZABH=ZFEH=90°,

NAHB=/EHF,

：.△ABHs^FEH,

.AB=BH

??麗EH，

?1=0.5

??麗丁'

：?EF=4,

:?BG=EF=4,

故選：A.

26.如圖，已知，M,N分別為銳角NAO8的邊。4,08上的點，ON=6,把△<?胸沿MN折疊，點。落

在點。處，MC與OB交于點P,若MN=MP=5,則PN=()

A.2B.3C.gD.也

33

【答案】D

【解答】解：?.?MN=MP,

工/MNP=NMPN,

：.ZCPN=ZONM,

由折疊可得，/ONM=/CNM,CN=ON=6,

:./CPN=/CNM,

又?.?〃=/<?,

:.ACPNs/\CNM,

空=型，BPCN1=CPXCM,

CNCM

62=CPX(CP+5),

解得CP=4,

又?.?里=空，

NMCN

?里=2

：.PN=^-,

3

故選：D.

27.明珠綠星數學社團想利用標桿測量樓高，小明先在N處豎立一根高1.6m的標桿MN,發現點8、M、P

在同一直線上.測得PN=0.5m,AN=45m,已知，點A、N、尸在同一直線上，MNLAP于點、N,AB1

AP于點A.則樓高A3為16m.

【答案】16.

【解答】解：：MN_LAP,AB±AP,

:./BAP=/MNP=90°,

VZP=ZP,

:.ABAPsAMNP,

?AB=AP

"MN而’

?AB=4.5+0.5

"T60.5

解得：AB=16,

；?樓高AB為16m,

故答案為：16.

28.綜合實踐活動

在現實生活中，對于較高的建筑物，人們通常用圖形相似的原理測量建筑物的高度.如圖，九（1）班數

學活動小組的同學們在綜合實踐課里測量學校里一棟教學樓MN的高度，他們在教學樓前的D處豎立一

個長度為4米的直桿CD測得。N等于18米，讓同學調整自己的位置，使得他直立時眼睛A、直桿頂

點C和高樓頂點M三點共線.此時測量人與直桿的距離2￡>=3.2米，眼睛高度42=1.6米.請你根據以

上測量數據求出這棟教學樓M