四川省瀘縣第二中學2024-2025學年高二上學期1月期末考試

數學試題

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.直線6x-3y-l=0的傾斜角為()

A.30°B.135°C.60°

2.已知空間向量2=(1,加,2),彼=(-2,4,〃)，若出區，貝！]%+〃=()

A.-4B.-6

3.已知等差數列｛%｝的前〃項和為5,且g+&+%?=18,貝l]Su=()

A.36

4.已知空間向量1=(0,1,2),B=(-1,2,2),則向量Z在向量B上的投影向量是()

5.已知月，工為雙曲線C:3-4=1(°>0,6>0)的左、右焦點，點A在C上,若閨=2阮聞,

//4乃=30°,44片匕的面積為6內，則C的方程為(

6.已知拋物線C：-=8y的焦點為廠產是拋物線C上的一點，。為坐標原點，|。耳=46,

則|陽=()

D.10

22

7.已知《，月是橢圓C：5+斗=1(。>6>0)的左、右焦點，B是C的下頂點，直線B片與

ab

C的另一個交點為A,且滿足其1，鼻后，則C的離心率為()

A.—B.—C.yD.—

5522

8.在長方體N8CD-44GA中，AB=AD=2,AAl=l,。是NC的中點，點P在線段4G

試卷第1頁，共4頁

上，若直線OP與平面/CA所成的角為e,貝hose的取值范圍是（）

V2邪V2V6百萬Vf互

A.B.C.T'TD."T'V

二、多選題

9.設￡是公比為正數等比數列｛%｝的前〃項和，若出=!，%%=」，貝U（）

264

A.u=-B.S?=一

4834

C.a.+S“為常數D.電-2｝為等比數列

22

10.已知點P在雙曲線土-匕=1的右支上，Fi，鳥是雙曲線的左、右焦點，則下列說法

169

正確的是（）

A.|尸周一|尸閶=8B.離心率e=；

4

C.漸近線方程為y=±：xD.點片到漸近線的距離為3

11.已知正方體NBC。-44cA的棱長為1,則下列說法正確的是（）

A.直線8G與所成的角為90。

B.點8與平面NC4的距離為且

3

C.直線Bq與平面3BQQ所成的角為30。

D.平面與平面N8CD所成的角為45。

三、填空題

12.已知空間向量￡=（-3,2,5）1=（l,x,T）,且￡與否垂直，則x等于.

13.幾何體結構素描是學習素描最重要的一個階段.某同學在畫“切面圓柱體”（用不平行于

圓柱底面的平面去截圓柱，圓柱底面與截面之間的部分叫做切面圓柱體）的過程中，發現“切

面”是一個橢圓，若切面所在平面與底面成45。角，則該橢圓的離心率為.

試卷第2頁，共4頁

14.數列｛與｝的前"項和為S,,，%=l,a2=2,an+2-an=1+eN"),則幾。=

四、解答題

15.已知圓"一如=o(a>o)關于直線y=_2x對稱，且過點尸(0,4).

⑴求證：圓C與直線x+2y-8=0相切；

⑵若直線/過點(-3,4)與圓C交于A、8兩點，且|A8|=2,求此時直線/的方程.

16.設等差數列｛4｝的前〃項和為S.，且%=7,禺=3g+16.

(1)求數列｛4｝的通項公式；

⑵若，=一求數列低｝的前〃項和

17.已知A為拋物線C:/=2px(p>0)上一點，點A到拋物線C的焦點廠的距離為12,點A

到y軸的距離為9.

⑴求。的值；

⑵若斜率為1的直線/經過拋物線C的焦點尸，且與拋物線C相交于N兩點.求線段\MN\

的長.

18.如圖，在三棱錐尸-/3C中，/3,3(7,加；"分別為/6,/8的中點，

PMLAB,AB=BC=2,BP=PM=3.

試卷第3頁，共4頁

(1)證明：ABLPN：

(2)求平面R0N和平面尸八四夾角a的正弦值;

(3)在線段尸C上是否存在點G,使得點G到平面的距離是等?若存在，求出票的值:

苦不存在，請說明理由.

221

19.如圖，已知橢圓C*+方=l(a>6>0)過點尸(3,1),焦距為4正；斜率為-§的直線/

與橢圓C相交于異于點尸的M,N兩點，且直線尸”，PN均不與x軸垂直.

(1)求橢圓C的方程；

⑵若=萬，求AW的方程；

(3)記直線PW的斜率為勺，直線7W的斜率為自，證明：左色為定值.

試卷第4頁，共4頁

《四川省瀘縣第二中學2024-2025學年高二上學期1月期末考試數學試題》參考答案

題號12345678910

答案ABDBBBADACDABD

題號11

答案ABC

1.A

【分析】先求出直線的斜率，再由左=1211。3/90。）解出傾斜角即可.

【詳解】因為該直線的斜率為左=",

3

所以它的傾斜角為30。.

故選：A.

2.B

【分析】根據向量平行，可得向量存在倍數關系，設。=根據坐標相等即可進行求解.

【詳解】由3〃不，知maeR,使得@=丸3，

即（1,冽,2）=2（-2,47）,

'1=-222=

所以3"=42,解得<"7=-2,所以〃7+〃=-6.

2=An〃=-4

故選：B

3.D

【分析】根據等差數列性質及求和公式進行計算即可.

【詳解】由的+&+%。=18,得3&=18,得牝=6,配11牝=66.

故選：D

4.B

【分析】根據已知求出7B，W，進而即可根據投影向量求出答案.

【詳解】由已知可得，鼠加=6，W=3,

a-bb2-<244、

所以，向量方在向量B上的投影向量是下「忖=§6=[-5'§'§,

故選：B.

答案第1頁，共13頁

5.B

【分析】先根據雙曲線的定義求出內a，閨a，在△/片月中，利用正弦定理求出〃再

根據三角形的面積公式求出/,利用勾股定理可求得,2,進而可求出答案.

【詳解】因為寓J=2國4所以解］＞因4

又因為點A在C上,所以為/卜內、=2°,

即2內聞-優旬=2a,所以因為|=2a,閨旬=4a,

在月中，由正弦定理得

.13片.

smNZ2csinZAF2Fi

用sin30。_

所以sinN/g片=

l^21'

又0。＜441耳＜180。，所以44乙片=90。，故/月4月=60。，

則邑知人=1|sin60°=2^a2=673,所以/=3,

則山￡「=（2c『=|/耳|2-|/乃「=16/-4/=12/=36,所以0?=9,

所以廿=，一/=6,

22

所以C的方程為匕-匕=1.

36

【分析】求出拋物線焦點和準線方程，設P（見〃）（加20）,結合|。尸|=46與拋物線方程,

得到〃=4,由焦半徑公式得到答案.

【詳解】拋物線C:/=81的焦點為尸（0,2）,準線方程為了=-2,

Im2=8n,

設尸（加,〃）（加20）,則解得〃=4或〃=-12（舍去）,

[Jm2+/=4A/3,

答案第2頁，共13頁

貝“尸口=〃+2=6.

故選：B.

7.A

【分析】先利用橢圓的定義及勾股定理用。表示出M耳|,|/閭，在放△/與2中求出cos/,

再在△/月名中，通過余弦定理得到陽巴「與力的關系，即可求出離心率.

【詳解】由題意得，忸周=忸闖=明令|/閶=加,則防=2”加

'：F\ALF\B,.*.以同2=|/耳『+忸片「，

即(〃?+a)2=(2a—mJ+/,二=/片=^.,

4。

A.F,o4

在△AF,B中，cosA=-----=————,

AB包5

T

在中，|《聞2/用2-2|4GH/4|COS/,

a5

故選：A.

8.D

【分析】建立空間直角坐標系，利用向量法求得sine的取值范圍，由此求得sin。，即可得

解.

【詳解】以。為原點，分別以。4。口。2所在直線為弘力2軸，建立空間直角坐標系，如

圖所示

答案第3頁，共13頁

則。(0,0,0),/(2,0,0),C(0,2,0),0(1,1,0),口(0,0,1),

LILUL1UULULO

設尸(a,2-a,l)(OVaS2),則OP=(q(-2,0,1),/C=12,2,0),

設平面NCR的法向量為3=(x,y,z)

n-AD,=-2x+z=0人/一/、

則加就=-2x+2y=0'j=1，倚〃="，2)

ruur

nOPQ—1+1—Q+2

所以sin。=

一國"六（一）2+f

由于0W。W2,/,?-l)2+le[1,間

2122]_7

二.sin。==G/.sin20e,1-sin20e

I2+295339

由于TV,所以cos0=V1-sin20e出a

0e0,1V,-T

9.ACD

【分析】根據等比數列的性質可得公比,進而可得通項公式與S,,,再逐個選項判斷即可.

【詳解】設｛。“｝公比為%（4>0）,則出個的r=」；，解得4=:，故%=/廣、二，

6422

1-F=2-4.

則q=1,Sn=

1--

2

對A,"4=*=:，故A正確；

17

對B,S3=2--=jf故B錯誤;

答案第4頁，共13頁

對C,a.+S〃=』~+2-$丁=2為常數，故C正確；

1S—21

對D,S?-2=-^,-^—=-,n>2,故｛S〃-2｝為等比數列，故D正確；

故選：ACD

10.ABD

【分析】由雙曲線方程得。，瓦。，根據雙曲線的定義可判斷A；由離心率公式可判斷B；求

出漸近線方程可判斷C；根據點到直線的距離公式可判斷D.

22

【詳解】由雙曲線方程土-匕=1得，a=4*=3,c=V7I?=5，

169

..?點尸在雙曲線的右支上，...IWH尸閭=2。=8,故A正確；

c5.

離心率e=—=一,故B正確；

a4

漸近線方程為y=±2x=±=x,故C錯誤；

a4

3

漸近線方程為了=耳尤，即3無±4y=0,

|3x5|

則點用(5,0)到漸近線的距離為d=/2+(+4『=3,故D正確.

故選：ABD.

11.ABC

【詳解】建立空間直角坐標系，利用空間向量相關公式求解線線角，點到平面的距離，面面

角和線面角的大小.

【分析】以A為坐標原點，以。4，。4,4。所在直線分別為工/*軸，建立空間直角坐標

系，

A選項,則3(1,1,1)6(0,1,0),C(0,l,1),4(1,0,0),4(1,1,0),40,0,1),

故所=(0,1,0)-(U,I)=(T,O,-])/=<I,O,(H(MJW1,-1,-)-

西方(-1,0,-1)-(1,-1,-1)

故cosBG,C4=

KI-IK4IVi+ixVi+i+i

故直線8G與所成的角為90。;

答案第5頁，共13頁

B選項，設平面ZCB]的法向量為萬=(xj,z),

五?/C=(x,y,2)?(-1,1,0)=—x+y=0

五?AB1=(x,z)-(0,1,-1)=-z=0

令歹=1得，x=l,z=l,故元=(1,1,1),

故點3到平面4CB、的距離為d=J"'?.，"。"—>B正確;

同V1+1+13

C選項，因為_L平面ABCD,ACI平面ABCD,

所以

因為四邊形48c。為正方形，所以/C工80,

因為8DClDDl=D,BD,DD}u平面BB、D、D,

所以/C_L平面班QD,

故平面網2。的一個法向量為元=(0,1,1)-(1,0,1)=(-1,1,0),

設直線BG與平面郎QQ所成的角大小為

I西.就I_|（一1,0,一1）.（一1,1,0）|_1

顯然sin。=辰(西，碼

西,就「Vi+ixVi+T-2

故直線8G與平面所成的角為30。，正確.

D選項，設平面/。口的法向量為歷=（再,如4）,

m-AC=—x；+yi—0

而=（%,M,z，（-l,0,-l）=-X]-Zi=0

令Xi=l,則％=1,Z]=T,故石=

答案第6頁，共13頁

平面ABCD的法向量為彳=(0,0,1),

\fh'u\-1),(0,0,1)|百

故kos(而㈤|

阿.同V1+1+13,

故平面ACDX與平面ABCD所成的角不為45。，

故選:ABC

12.4

【分析】由［與B垂直，得到￡*=0，由此能求出工的值.

【詳解】因為"=(-3,2,5)1=(1,%,-1),且Z與J垂直,

所以Q?6=—3+2x—5=0,角星得％=4,

故答案為：4

13.^/-V2

22

【分析】作出輔助線，根據二面角的大小得到2a=2揚,26=2r,從而求出。二萬萬=廠，

得到離心率.

【詳解】如圖所示：切面與底面的二面角的平面角為

故4/M=45。，

設圓半徑為r,則AM=2r,CD=2r,AB=AM=2日,

sin45°

設橢圓的長軸長及短軸長分別為2a,2b,故24=2V2r,2b=2r,

【詳解】q=1,

答案第7頁，共13頁

=2,

a3—at=1—1=0,%=1,

a4—a2=1+1=2,&=4,

a$——0,a$—1

4—%=2,&=6,

S100=l+2+l+4+l+6+……+l+100=50+y（2+100）=50+2550=2600.

【點睛】提供一個數列，有時提供通項公式，有時提供遞推公式，有通項公式求數列的和可

根據通項公式采用相應的方法求和，求和方法主要有倒序相加法、錯位相減法、裂項相消法、

分組求和法等，當有提供遞推公式時，一般化為特殊數列（等差或等比）后再求和，也有時

時根據數列的遞推公式，借助前2項的值，推出后面的項的值，求數列的和時要觀察數列各

項的值的性，有時具有周期性，有時奇數項、偶數項分別具有一定的規律，然后再求和.

15.（1）證明見解析

（2）x=_3或y=4.

【分析】（1）根據圓心在直線y=-2x以及點（0,4）在圓上，即可求解6=4,。=2,進而根

據點到直線的距離公式求解圓心到直線的距離，與半徑比較即可求解，

（2）利用圓的弦長公式可得1=2,結合圓心到直線的距離即可求解斜率，進而可得直線方

程.

【詳解】（1）圓C:/+/+辦一切=0化為標準方程，即+

則因為圓C關于直線y=-2x對稱，所以。=一2（十）所以b=2a,

因為圓C過點（0,4）,所以42-6x4=0,所以6=4,

得。=2,所以圓C方程為C:/+/+2x-4y=0,

圓心坐標為（-1,2）,半徑為追，

.1-1+4-81廣

故點C到直線x+2y-8=0的距離為J——=也,

45

所以C與直線x+2y—8=0相切，

答案第8頁，共13頁

(2)設圓心C到直線/的距離為d,貝0=J(")、亨I2,

當直線/的斜率不存在時，即/:尤=-3,滿足題意，

當直線/的斜率存在時，設直線/方程為＞-4"(x+3),即丘-y+3左+4=0,

所以|2左扁+2|=2

解得k=0,

所以直線/的方程為x=-3或歹=4.

即％=-3或y=4.

16.(l)tz?=2n-l

7

⑵2n+l

【分析】(1)利用等差數列的通項公式及前幾項和公式即可求解;

(2)根據(1)的結論，再利用數列求和中的裂項相消法即可求解.

【詳解】(1)設等差數列｛%｝的公差為d,

16+3d=7=1

依題意得k+10d=3(%+d)+16,解得。=2

故數列｛叫的通項公式是a“=%+(〃T)d=2"l

(2〃一1；2〃+1)T-1q

2〃-12〃+1J

2n+l)_

17.(1)6

(2)24

【分析】(1)結合拋物線的定義，結合距離公式，即可求解;

(2)直線與拋物線方程聯立，得到韋達定理，再根據焦點弦長公式，即可求解.

【詳解】(1)設工(x,y),且_/=2/(p>0),

則/尸=9+勺12,-=6.

答案第9頁，共13頁

（2）由⑴知拋物線C:必=12x,焦點尸（3,0）,直線/：y=x-3,.

..、y=12x。°

聯立■{/,#x2-18x+9=0,A=182-4x9>0,

[尸尤-3

設Af（再,％）川（%丹）,

貝！lx】+x2=18,

:.\MN\^\MF]+\NF\=W+W+7?=1846=24.

18.（1）證明見解析

⑵亞

17

⑶存在，0叵

PC8

【分析】（1）根據題設中的邊的關系可證明再結合線面垂直的判定和性質可得

AB1PN；

（2）結合（1）中結果可建立如圖所示的空間直角坐標系，求出平面法向量后可求夾角的正

弦值；

（2）設訖=2左，利用點到平面的距離公式可求彳的值.

【詳解】（1）因為為中點，WMN/IBC,而故切，

而尸PMcMN=M,PM,MNu平面PMN,

故48_L平面PAW,而尸Nu平面PMN,故AB工PN.

（2）因為尸5=3,BN=；48=1,結合（1）中_LPN可得印=2應，

而跖V=l,^IPN2+NM2=PM2,故PNLMN,

結合（1）中NBLPN及48,九W可建立如圖所示的空間直角坐標系，

答案第10頁，共13頁

則N(0,0,0),/(-1,0,0),5(1,0,0@0,2。)四(),1,0)C(,2,0),

故平面PMN的法向量為萬=（1,0,0）,

設平面尸MS的法向量為所=（尤）/）,^W=（-l,l,0）,PM=（0,l,-2V2）,

mBM=Qj-2^-0,取了=2后，則應=（2夜,2后,1）,

則_.即

m-PM=0

m-n2a713歷

故cosa=，而a￡0)—,故sina=

同同|lx-y/17217

（3）設所=21=卜,23一2歷），其中0WXW1,

由（2）可得平面尸”8的法向量為應=（2夜,2后,1）,

\PG-m\4、54亞2叵

故G到平面PMB的距離為L半X,由題設有當X=—

阿V17V172

故人近，故生=姮

8PC8

22

19.(1盧+匕=1

124

1.

(2)y=--x-2

（3）證明見解析

【分析】（1）根據條件列方程組求解即可;

（2）設直線/的方程為〉=-：x+%,與橢圓聯立，由弦長公式求得的方程;

（3）將韋達定理代入后芯中計算結果為定值.

22

【詳解】（1）由橢圓C:「+<=l（a>b>0）過點*3,1）,焦距為4夜，

ab

答案第11頁，共13頁

=b2+c2

a=2-\/3

9

得/+解得b=2

Jjc=242