石嘴山市第一中學2024-2025學年高三年級（上）期末考試

數學試題

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的.

1.設集合0={1,2,3,4,5,6},2={1,3,6},8={2,3,4},則/口（為8）=（）

A.{3}B.{1,6}C.{5,6}D.{1,3}

函數（）二的最小正周期為（）

2./x=tanx

8

A.16B.8C.16TID.8兀

3.已知復數z滿足z（1-i）=2i,則復數Z的共軻復數亍在復平面內對應的點在（)

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

4.已知向量5=（—1,2）,b=（l,t）,若（G+2B），1,則實數/=（).

733

A.-B.-C.一一D.-1

444

22

5.若拋物線歹2=2px的焦點與橢圓菅+汽=1的右焦點重合，則夕=()

A.—3B.3C.-6D.6

-7T

6.V48C的內角A,B,C的對邊分別為。，b,c,若尸=/+。2_4,B=-,則V48c的面積為

4

（）

A.yB.1C.V2D.2

7.已知函數/（x）=e-x—2有一個零點所在的區間為化左+l）（EeN*）,則%可能等于（）

A.0B.1C.2D.3

8.已知圓錐的高為26，底面半徑為4.若一球的表面積與此圓錐的側面積相等，則該球的半徑為（）

A.V6B.V3C.V2D.2

二、多選題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項是符

合題目要求的，

9.已知函數f（x）=Asin（cox+（p）（xeR）,其部分圖象如圖所示，點P,Q分別為圖象上相鄰的最高點與

第1頁/共5頁

最低點,R是圖象與x軸的交點，若點Q坐標為，且PRLQR,則函數f（x）的解析式可以是（）

A.f(x)=Gsin[x*]f(x)=Gsin[x-g]

B.

D.f(x)=~\^sin;ix

10.關于二項式2］的展開式，下列結論正確的是（）

A.展開式所有項的系數和為-1B.展開式二項式系數和為256

C.展開式中第5項為H20X4D.展開式中不含常數項

11.如圖是一個所有棱長均為4的正八面體，若點M在正方形48CD內運動（包含邊界），點E在線段產。

上運動（不包括端點），則（）

A.異面直線W與80不可能垂直

B.當時，點M的軌跡長度是虛兀

C.該八面體被平面CDE所截得的截面積既有最大值又有最小值

D.凡棱長不超過生旦的正方體均可在該八面體內自由轉動

3

三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.

第2頁/共5頁

12

12.已知隨機變量J~N（Lb?）,且「（JWO）=尸（J2a）,若x+y=a（x>0,>>0）,則一+一的最小值

%y

為.

13.在2024年巴黎奧運會志愿者活動中，甲、乙、丙、丁4人要參與到A,B,。三個項目的志愿者工作

中，每個項目必須有志愿者參加，每個志愿者只能參加一個項目，若甲只能參加C項目，那么不同的志愿

者分配方案共有種（用數字表示）.

22

14.已知雙曲線1=1,>0,6>0）的左，右焦點分別為片，鳥，點尸在雙曲線C上，且滿足

￡巴?尸&=0,傾斜角為銳角的漸近線與線段尸片交于點。，且片尸=4。尸，則片彳的值為______.

I^上2I

四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.某機構為了解2023年當地居民網購消費情況，隨機抽取了100人，對其2023年全年網購消費金額（單

位：千元）進行了統計，所統計的金額均在區間［0,30］內，并按［0,5）,［5,10）,…，［25,30］分成6組，

制成如圖所示的頻率分布直方圖.

（1）求圖中。的值，并估計居民網購消費金額的中位數.

（2）若將全年網購消費金額在20千元及以上者稱為網購迷，結合圖表數據，補全下面的2x2列聯表，并

判斷能否依據小概率值戊=0.01的z2獨立性檢驗認為樣本數據中網購迷與性別有關.

男女合計

網購迷20

非網購迷47

第3頁/共5頁

合計

n(ad-be?

附/二其中n=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.100.050.0100.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

16已知函數/(x)=xe"-ax+2.

(1)當a=；時，求曲線y=/(x)在點(O,/(。))處的切線方程；

(2)對任意實數xe(O,+s),都有/(x)Nlnx—(a—l)x+3+a恒成立，求實數a的取值范圍.

17.甲、乙兩人進行投籃比賽，甲先投2次，然后乙投2次，投進次數多者為勝，結束比賽，若甲、乙投進的

次數相同，則甲、乙需要再各投1次(稱為第3次投籃)，結束比賽，規定3次投籃投進次數多者為勝，若3

次投籃甲、乙投進的次數相同，則判定甲、乙平局.已知甲每次投進的概率為2,乙每次投進的概率為:，各

次投進與否相互獨立.

(1)求甲，乙需要進行第3次投籃的概率；

(2)若每次投籃投進得1分，否則得0分，求甲得分X的分布列與數學期望.

18.如果一個數列從第2項起，每一項與它前一項的比都大于2,則稱這個數列為“G型數列”.

(1)若數列｛%｝滿足%=1,an+xan=321,求證：數列｛%｝是“G型數列”.

(2)若數列｛4｝的各項均為正整數，且%=1,｛%｝為“G型數列"，記4=%+1,數列也｝為等比數列,

公比4為正整數，當出"｝不是"G型數列”時，求數列｛4｝的通項公式.

(3)在(2)的條件下，令c,、=-----，記｛g｝的前力項和為S.，是否存在正整數加，使得對任意的〃eN*，

都有(e(加-1,加］成立？若存在，求出俏的值；若不存在，請說明理由.

19.如圖，四棱錐尸一48。中，ABLBC,AB±AD,AD=AB=PA=PB=2,BC=1,ACVPD,

M為線段產￡＞中點，線段0C與平面NAW交于點N.

第4頁/共5頁

(1)證明：平面上45J_平面48CD；

(2)求平面PNC與平面NAW夾角的余弦值;

(3)求四棱錐尸—48M0的體積.

第5頁/共5頁

石嘴山市第一中學2024-2025學年高三年級（上）期末考試

數學試題

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的.

1.設集合0={1,2,3,4,5,6},2={1,3,6},8={2,3,4},則力口（為8）=（）

A.{3}B,{1,6}C.{5,6}D.{1,3}

【答案】B

【解析】

【分析】根據交集、補集的定義可求/c（25）.

【詳解】由題設可得a5={1,5,6},故/c（藥8）={1,6},

故選：B.

2.函數/（x）=tan^x的最小正周期為（）

8

A.16B.8C.1671D.8兀

【答案】B

【解析】

【分析】利用正切函數的周期公式求解.

工=8

【詳解】/（x）的最小正周期為兀一.

8

故選：B.

3.已知復數z滿足z（1-i）=2i,則復數z的共甄復數亍在復平面內對應的點在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】C

【解析】

【分析】根據復數的計算規則，求出z和亍即可.

2i(l+i)-2+2i

【詳解】z(l-)=2i^z=—=-1+i=>z'=-1-i

1(I)(l+i)2

第1頁/共21頁

故亍對應的點為(-1,-1),在第三象限.

故選：C.

4.已知向量2=(—1,2),B=若(G+2B)，],則實數/=().

733

A.—B.—C.--D.—1

444

【答案】C

【解析】

【分析】根據向量垂直的坐標運算規則得出結果.

【詳解】解：由已知得1+23=0,2+2。，

因為+2B)J_a,

故(G+2B)G=—1+4+由=0,解得/=—[.

故選：C.

22

5.若拋物線歹2=2px的焦點與橢圓|^+巳=1的右焦點重合，則P=()

A.-3B.3C.-6D.6

【答案】D

【解析】

【分析】由橢圓的標準方程可得右焦點為(3,0),則與=3,即可求得夕.

222

【詳解】由橢圓的標準方程可知，c=a-b=9,即c=3,所以右焦點為(3,0),

又拋物線/=2px的焦點與(3,0)重合，

所以。'=3,所以2=6.

故選：D.

JT

6.VZ8C的內角A,B,C的對邊分別為。，b,c,若尸=/+C2_4,B=~,則VZ8C的面積為

4

()

A.yB.1C.V2D.2

【答案】B

【解析】

第2頁/共21頁

【分析】利用余弦定理結合三角形面積公式求解三角形的面積即可.

【詳解】由余弦定理得尸=片+/-4=/+/一2accos；=/+02一后a。，則&qc=4，

則呢=2夜，則V48c的面積為:acsin8=l.

故選：B.

7.已知函數/(x)=e、—X—2有一個零點所在的區間為(左，左+1)(左eN*),則%可能等于()

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【解析】

【分析】

根據零點存在性定理可得答案.

【詳解】因為/(l)=e—1—2<0,/(2)=e2-2-2>0,/(3)=e3-3-2>0,/(4)=e4-4-2>0,

所以/(1)/(2)<0,且函數的圖象連續不斷，

所以函數/(x)=e，-x-2有一個零點所在的區間為(1,2),故上可能等于1.

故選：B

8.已知圓錐的高為2行，底面半徑為4.若一球的表面積與此圓錐的側面積相等，則該球的半徑為()

A.V6B.V3C.V2D.2

【答案】A

【解析】

【分析】根據圓錐的側面積和球的表面積公式進行求解即可.

【詳解】設球的半徑為廠，因為圓錐的高為2囪，底面半徑為4,

所以圓錐的母線長為：7(2A/5)2+42=6.

由題意可知：n-A-6=A-71-r1=>r=A/6>

故選：A

二、多選題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項是符

合題目要求的，

9.已知函數f(x)=Asin(cox+(p)(xeR),其部分圖象如圖所示，點P,Q分別為圖象上相鄰的最高點與

第3頁/共21頁

最低點,R是圖象與x軸的交點，若點Q坐標為，且PRLQR,則函數f（x）的解析式可以是（）

A.f(x)=V3sin^x-^|f(x)=V3sin^x-y^

B.

C.“x)=-Gsin[x+；

D.f(x)=-V3sinjix

【答案】C

【解析】

【分析】通過點。坐標和T表示出P,R兩點坐標；再利用網，。R,勾股定理構造方程，解出周期T,即

可排除錯誤選項.

【詳解】設函數周期為T,則子,O]

又PRLQR,則PR2+RQ2=尸02nT=4

由此可排除4'。選項

本題正確結果：C

【點睛】本題考查已知函數圖像求解析式，本題的關鍵是能夠通過勾股定理構造出方程，求解出函數最小

正周期，從而得到結果.

io.關于二項式2]的展開式，下列結論正確的是（）

A.展開式所有項的系數和為-1B.展開式二項式系數和為256

C.展開式中第5項為1120/D.展開式中不含常數項

【答案】BCD

【解析】

【分析】選項A,取x=l驗證即可，選項B二項式系數和為2"驗證即可，利用二項式展開式的通項求解

即可，利用C選項的展開式通項公式驗證即可.

第4頁/共21頁

【詳解】A選項：取x=l.有（—1）8=1,A錯，

B選項：展開式二項式系數和為28=256，B對，

/:

C選項：由4+1=鹿（/「（—2%一）=（—2）晨/-3/（左二（）,1,2……8），

則上=4時即為第5項為（-2）4C^x4=1120/,c對,

D選項：由C選項可知16-3左中0恒成立，D對，

故選：BCD.

11.如圖是一個所有棱長均為4的正八面體，若點M在正方形48CD內運動（包含邊界），點E在線段尸。

上運動（不包括端點），則（）

A.異面直線W與30不可能垂直

B.當PMLMD時，點M的軌跡長度是0兀

C.該八面體被平面CDE所截得的截面積既有最大值又有最小值

D.凡棱長不超過逑的正方體均可在該八面體內自由轉動

3

【答案】BD

【解析】

【分析】對于A,,故A錯；對于B,由探求出M的運動軌跡即可求解；對于C,截面為正方

形ABCD或等腰梯形，將截面等腰梯形的高作為變量將截面等腰梯形面積表達式求出來即可利用導數工具

研究面積的最值，進而即可判斷求解；對于D,先求出最長棱的正方體的外接球，再求正八面體的內切球,

當正方體最大外接球不超過幾何體的內切球時，正方體可在八面體內自由轉動，由此原理即可判斷.

【詳解】連接NC,AD,相交于點。，

第5頁/共21頁

則由正八面體性質可知。為尸。中點，且PO_L面ABCD，

22

所以P。是正四面體P—ABCD的高為^PD-OD=心—色⑸2=2也,

對于A,建立如圖所示的空間直角坐標系，則

則(9(0,0,0),C(2A/2,0,0),D(0,2V2,0),P(0,0,272),故麗=(0,2c,—2收)，

設M(x,y,0),則由=—①,

若夫加，8。，結合BQ//PD可得PM工PD，故而?麗=0，

故2j5y+8=0即y=—2虛，故M與B重合，但尸M,80為異面直線，

故此情況不合題意，故A錯；

對于B,取AD中點G,因為所以GW=!?D=2,

2

取0。中點。，連接GO1，則G?//P。，且Ga=gp(9=0,

故GO1，面48CD,所以如圖，M點在高為GQ=友母線長為2的圓錐底面圓周上,

第6頁/共21頁

Q

即刊點在為以a為圓心直徑為2后的圓上運動，

所以M點的運動軌跡。1為圓心直徑為0。=2&的圓的一部分為圓弧而J，

其中R,S分別為CD,40中點,且=V22+22=272=0D>

所以/而j=gx2兀x&=C兀，即點"的軌跡長度是虛兀，故B對;

對于C,由題意以及正八面體結構性質可知當E與。重合時，

八面體被平面CDE所截得的截面是正方形ABCD,

當E與。不重合時，八面體被平面CDE所截得的截面是等腰梯形，

如圖，四邊形TCDU為被平面CDE所截得的截面，

連接TU,CD中點S、R,則改為等腰梯形TCDU的高，設為肌

取4B中點V,連接尸匕豚,網,

則由題意可求得?憶=依=2百，株=4，且。在班上,

過R作RK1PP交PV于點K,

口一依VR>P04x2夜4A/24A/6

則由等面積法得RK=-------=———=--=^―

PV2百G3

顯然當S點由K往憶靠近時等腰梯形TCDU的上底邊TU和高SR均在增大,

當截面為正方形4BCD截面面積最大為16,

當S點由K往尸靠近（不包含S與K、尸重合時）時，則

第7頁/共21頁

p

在此過程中設/RS7?=a.ZPRS=B,SK尸二。，

則且由題意c°se="熊」

3

所以sind=Jl—cos??：迪,故由正弦定理得:

3

7PKsin。476哈姐叫回sinp，

n=----------=--------

sina3sinasin04

476

因為sina二45/6，所以cosa=-Jl-sin%=一

h3h

所以sinp=sin(e+a)=sinOcosa+cosOsina=,cosa+；sina=半

又

rG、l并次而■工n4，C（TU+4）78J：

所以截面面積為5=---------=h--------

2（33

第8頁/共21頁

則

232、

8G'+5

I3tJ

上單調遞減,f(h)無最小值,

故被平面COE所截得的截面面積無最小值，故C錯;

對于D,過正八面體的兩頂點P,。和48,C。中點去截正八面體以及其內切球,

則由正八面體性質得到正八面體與其內切球(半徑為r)截面圖如圖所示,

Q

其中四邊形為菱形，棱長為正四面體P-/8C為的斜高J42-2z=26，

PO是正四面體P—Z8CO的高國—2?=2萬

所以由等面積法得2x=—XTX2A/3=4>r=?迷

223

當一正方體棱長為生2時，其外接球半徑為

2^/6

3----------二r

3

所以凡棱長不超過逑的正方體其外接球半徑均小于或等于濁,

33

故正方體均可在該八面體內自由轉動，故D正確.

故選：BD.

【點睛】關鍵點睛：求得被平面CDE所截得的截面等腰梯形面積表達式的關鍵是考慮在阪里有邊長和角

度有一個已知的，從而利用出家結合正弦定理研究截面等腰梯形的未知量上底邊和高，最后都用等腰梯形

第9頁/共21頁

的高來表示.

三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.

八、12

12.已知隨機變量b),且「(JKO)=尸(jNa),若x+y=a(x>0,y>0）,則一+一的最小值

xy

為.

【答案】-+V2

2

【解析】

【分析】先根據正態曲線的對稱性可求a=2,結合基本不等式可求答案.

【詳解】4?N（l,b2）,可得正態分布曲線的對稱軸為x=l,

又尸傳<0)=尸(42a),=即a=2.

亞,

當且僅當y=即x=20—2,y=4—20時，等號成立.

故答案為:之+收

2

13.在2024年巴黎奧運會志愿者活動中，甲、乙、丙、丁4人要參與到A,B,。三個項目的志愿者工作

中，每個項目必須有志愿者參加，每個志愿者只能參加一個項目，若甲只能參加C項目，那么不同的志愿

者分配方案共有種（用數字表示）.

【答案】12

【解析】

【分析】分類討論，結合排列組合即可求解.

【詳解】分兩種情況：（1）只有甲參加C項目，則有C；A；=6種分配方案；

（2）甲與另外一人共同參與。項目，則有A；=6種分配方案.

綜上：共有12種分配方案.

故答案為：12

14.已知雙曲線c：\—4=i（a>0,b>0）的左，右焦點分別為片，鳥，點P在雙曲線C上，且滿足

a2b"

______—.-\PF.\

￡月/月=0,傾斜角為銳角的漸近線與線段咫交于點。，且片尸=4。尸，則%片的值為.

I^”2I

第10頁/共21頁

7

【答案】-##3.5

2

【解析】

【分析】雙曲線C的半焦距為c,根據給定條件求出點尸、。坐標，再由點。在漸近線＞=2%上求出0,b

a

的關系，然后結合雙曲線定義計算作答.

【詳解】設雙曲線。的半焦距為。，即有耳(―c,0),8(c,0),

即直線％與雙曲線C交于點P,且點尸在第一象限，

［x=CA2-.A2

由《22222^2得點一)，由片P=(2g)，

bx-ay-anaa

___(c3/、

而不=4灰，得。，

124aJ

代入y=2x得：生=/，即肪=2c,不妨b=2k,c=3k,則口=6旌

a4。2。

故|=2-左，貝『尸￡|=|盟|+2。=毛左，因此

a75V5I42I2

7

故答案為：一.

2

四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.某機構為了解2023年當地居民網購消費情況，隨機抽取了100人，對其2023年全年網購消費金額(單

位：千元)進行了統計，所統計的金額均在區間［0,30］內，并按［0,5),［5,10),…，［25,30］分成6組，

制成如圖所示的頻率分布直方圖.

第11頁/共21頁

（1）求圖中。的值，并估計居民網購消費金額的中位數.

（2）若將全年網購消費金額在20千元及以上者稱為網購迷，結合圖表數據，補全下面的2x2列聯表，并

判斷能否依據小概率值1=0.01的Z2獨立性檢驗認為樣本數據中網購迷與性別有關.

男女合計

網購迷20

非網購迷47

合計

n^ad-bey

附/=，其中n=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.100.050.0100.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

【答案】（1）a=0.04,17500元.

（2）表格見解析，有關

【解析】

【分析】（1）根據頻率之和為1即可求解a的值，進而給根據中位數的計算即可求解;

（2）完善二聯表，即可計算卡方，進而與臨界值比較即可求解.

【小問1詳解】

第12頁/共21頁

根據頻率分布直方圖得5x(0.01+0.02+0.03+2a+0.06)=1,

解得a=0.04,

直方圖中從左到右6組的頻率分別為0.05,0.1,0,2,0.3,0.2,0.15,可得網購金額的中位數位于[15,20)

區間內，設中位數為x,則0.05+0.1+0.2+(x—15)x0.06=0.5,解得x=17.5,

故居民網購消費金額的中位數為17500元.

【小問2詳解】

根據頻率分布直方圖得樣本中網購迷的人數為100x(0.2+0.15)=35,

列聯表如下：

男女合計

網購迷152035

非網購迷471865

合計6238100

零假設為笈。：網購迷與性別無關

100x(15xl8-20x47)*2

8.375>6.635，

62x38x35x65

依據小概率值a=0.01的%2獨立性檢驗，有充分證據推斷笈0不成立，

即可以認為網購迷與性別有關.

16.已知函數/(x)=xe*-ax+2.

(1)當a時，求曲線y=/(x)在點(0,/(0))處的切線方程；

(2)對任意實數xe(0,+s),都有/(x)Nlnx—(a—l)x+3+a恒成立，求實數。的取值范圍.

【答案】(1)x-2y+4=Q

(2)(-oo,0]

【解析】

【分析】(1)求導，根據導數的幾何意義求切線方程;

第13頁/共21頁

(2)根據題意分析可得對任意實數xe(O,+oo),都有a〈xe'—x—Inx—1恒成立，構建

g(x)=xex-x-lnx-l(x>0),根據恒成立問題結合導數分析運算.

【小問1詳解】

,/f(x)=xex-ax+2,則/'(x)=(x+l)ex-a,

若a=g時，則/'(O)=l_a=g,/(O)=2,

即切點坐標為(0,2),切線斜率A=I，

切線方程為y=；x+2,即x—2y+4=0.

【小問2詳解】

/(x)>lnx-(a-l)x+3+a,即xer-ax+2>lnx-(a-l)x+3+a,

整理得a<XQX-x-Inx-1>

故原題意等價于對任意實數xe(0,+co),者B有a<xe、—x—Inx—1恒成立，

構建g(x)=xcx-x-lnx-l(x>0),則g'(x)=(x+1)e'——

注意到xe(O,+8),則x+l>0,

構建〃(x)=ex--,則〃(x)在(。，+8)上單調遞增,且〃(l)=e—1〉0,人—2<0,

XI

故〃(x)在(0,+。)內存在唯一的零點演，

可得當x>x(),則“x)>0；當0<x<x0,則〃(x)<0；

即當x〉%,則g'(x)〉0；當0<》</，則g'(x)<0；

故g(x)在(0,%)上單調遞減，(%0,+8)上單調遞增，則8(%)28(%0)=項；6與一/一111/一1,

又為7z(x)的零點，則Mxo)=ef-=0,可得Xoe*。=1且Inx。=—x(),

g(xo)=1-xo-(-xo)-1=O，

即g(x)在(O,+R)上的最小值為0,

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故實數。的取值范圍（-8,0].

【點睛】方法定睛：兩招破解不等式的恒成立問題

（1）分離參數法

第一步：將原不等式分離參數，轉化為不含參數的函數的最值問題；

第二步：利用導數求該函數的最值；

第三步：根據要求得所求范圍.

（2）函數思想法

第一步將不等式轉化為含待求參數的函數的最值問題；

第二步：利用導數求該函數的極值；

第三步：構建不等式求解.

17.甲、乙兩人進行投籃比賽，甲先投2次，然后乙投2次，投進次數多者為勝，結束比賽，若甲、乙投進的

次數相同，則甲、乙需要再各投1次（稱為第3次投籃），結束比賽，規定3次投籃投進次數多者為勝，若3

次投籃甲、乙投進的次數相同，則判定甲、乙平局.已知甲每次投進的概率為2,乙每次投進的概率為:，各

次投進與否相互獨立.

（1）求甲、乙需要進行第3次投籃的概率；

（2）若每次投籃投進得1分，否則得0分，求甲得分X的分布列與數學期望.

13

【答案】（1）—

36

85

（2）分布列答案見解析，數學期望：—

54

【解析】

【分析】（1）分析可得進行第3次投籃的前提條件是前2次甲、乙投進的次數相同，應分為前2次都投進2

次、1次、0次三種情況計算概率，利用互斥事件概率的加法公式可得結果.

（2）由題意可得X的所有可能取值為0，1,2,3,計算每一種情況下對應的概率即可得到分布列和數學

期望.

【小問1詳解】

設甲第爐=1,2）次投進為事件4,乙第z（z=1,2）次投進為事件與，

21

則尸（4）=丁尸（耳）=相

設甲、乙需要進行第3次投籃為事件C,則事件。包括以下兩兩互斥的三個事件：

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,其概率為尸（44）.尸（片82）=（g

①“甲、乙前2次都投進2次”

c21cli2

②“甲、乙前2次都投進1次”，其概率為。（4%+彳22.P\B]B?+B\B?=2x—x—x2x—x—=—

33229

2

③“甲、乙前2次都投進0次”，其概率為尸（4兄）1

-36

12

則由互斥事件的概率加法公式，可得尸（。）=—+—+—=一

v7993636

【小問2詳解】

由題意可得X的所有可能取值為0,1，2,3,

22

1二=5

P(X=O)=1-gX+L1

36354

22

21xl1x1-lx1U1217

尸(X=l)=C；x§X]X+T+《___X______

2223363-54

（提示：此時有三種情況，①甲前2次投進1次，乙前2次投進0次或2次;

②甲、乙前2次均投進1次，第3次甲未投進；③甲、乙前2次均未投進，第3次甲投進）

22

P(X=2)=g111_2214

X1--I+C'x-x|1--I++___XZ____—_______

2222293-27

P（X=3）=器1

所以X的分布列為：

X0123

517142

P

54542727

XA1ZHA85

所以E（X）=0+1X+2X+3X=

5454272754

18.如果一個數列從第2項起,每一項與它前一項的比都大于2,則稱這個數列為“G型數列”.

(1)若數列{%}￥兩足%=1,4+1%=321,求證：數列｛4｝是“G型數列”.

⑵若數列｛%｝的各項均為正整數，且%=1,｛乙｝為“G型數列"，記4=%+1,數列也｝為等比數列,

公比4為正整數，當｛〃｝不是“G型數列”時，求數列｛2｝的通項公式.

1,、

（3）在（2）的條件下，令c,、=-----，記｛g｝的前n項和為S”,是否存在正整數m,使得對任意的〃eN*，

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都有(e(加-1,加]成立？若存在，求出〃?的值；若不存在，請說明理由.

【答案】(1)證明見解析

'

(2)an=2"-

(3)存在，m=3

【解析】

【分析】(1)根據4+1%=327求出數列的通項，再由“G型數列，，定義判斷即可；

⑵根據也｝不是“G型數列”求出也｝公比q,得到｛%｝的通項公式；

(3)先證明%%+1〉4"(〃22),再由放縮法得到彳〈，〈有，求出W<F<3,即可得解.

【小問1詳解】

an+\an=?①，

.,.當“22時，=327②，

由①+②得，當〃22時，—=9,

4—1

所以數列｛%｝(〃eN*)和數列｝(〃CN*)是等比數列.

2B-1

因為％=1,an+ian=3,所以%=3,

所以%=321,%=327,

因此儡=3"T,從而2=3>2(〃22),

an-\

所以數列｛%｝是“G型數列”.

【小問2詳解】

因為數列｛4｝的各項均為正整數，且｛4｝為“G型數列”，

d

所以」史>2,所以見+]>2an>an,

°n

因此數列｛%｝遞增.又〃=%+1,

所以4+1—4=an+l-an>0,因此也｝遞增，所以公比g>1.

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又也｝不是“G型數列”，所以存在〃N*,使得彳巴W2,所以qW2,

又公比g為正整數，所以q=2.又4=4]+1=2,

所以〃=2",則%=2—

【小問3詳解】

4%+i=（2"—1乂2'"1—1）=22e—3x2"+1〉22n+1-3x2",

因為22B+1-3X2"=4,,+2"（2"—3）〉4"（〃22）,

所以4%用>平（〃之2）,所以%=</（">2）.

anan+\今

15121r

即當“22時，一<S,,<一,所以二'（不<3.

n

3125Sn

121、

綜上，彳<不<3,〃eN*.

3J”

1/，i

所以存在正整數m=3,使得對任意的〃eN*都有不e（加-1,加]成立.

19.如圖，四棱錐尸一"BC。中，ABIBC,AB1AD,AD=AB=PA=PB=2,BC=1,ACLPD,

M為線段產￡>中點，線段PC與平面4BM交于點N.

B

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(1)證明：平面P45J_平面/BCD；

(2)求平面PNC與平面NAW夾角的余弦值；

(3)求四棱錐P—48M0的體積.

【答案】(1)證明見詳解

⑵—

7

⑶正

9

【解析】

【分析】(1)根據題意可得平面/CW，進而可得尸。±CM,根據三線合一以及勾股定理可證POL

平面4BCD,進而可得結果；

(2)建系，利用空間向量求面面夾角；

UUULULLL1

(3)設N(x*,z),CN=2CP,Xe[0,l],根據線面關系可得利用向量求