專題01利用三角形全等和相似的性質進行求解的問題

題型概述

在幾何壓軸題中，全等三角形的性質和相似三角形的性質一般作為工具性質進行使用，

用以幫助解決角度的相等問題或者線段的數量關系。

(1)在具體的壓軸題中可以通過證明三角形全等或三角形相似，得到某兩個角相等，再結

合所求進行轉化，從而得到我們想要的角度關系。

(2)壓軸題中關于證明線段相等關系或者和差關系的證明時，一般通過三角形全等的性質,

找出中間線段與所求線段的倍數關系，進行等量代換或者轉化。

(3)壓軸題中關于證明或探究線段之間的積關系或者比值關系時，一般利用三角形相似的

性質進行轉化，有時也會用到三角形全等的性質進行轉化。

真題解析

例孽1

(2022?遼寧丹東?統考中考真題)己知矩形ABC。，點E為直線8。上的一個動點(點E不

與點8重合)，連接AE,以AE為一邊構造矩形AEFG(A,E,F,G按逆時針方向排列),

連接DG.

(1)如圖1,當署=嘿=1時，請直接寫出線段BE與線段。G的數量關系與位置關系；

ABAE

(2)如圖2,當當=隼=2時，請猜想線段8E與線段。G的數量關系與位置關系，并說明

ABAE

理由；

(3)如圖3,在(2)的條件下，連接3G,EG,分別取線段BG,EG的中點M,N,連接MN,

MD,ND,若AB=下,ZAEB=45°,請直接寫出△MND的面積.

思路分析

(1)證明進一步得出結論;

(2)證明BAE^ADAG,進一步得出結論；

(3)解斜三角形ABE,求得BE=3,根據(2)二==2可得。G=6,從而得出三角形BEG

的面積，可證得△MNZJ0△MNG,AMNG與A8EG的面積比等于1：4,進而求得結果.

［答案與解析】

【答案】⑴BE=DG,BE±DG

(2)BE=；OG,BELDG,理由見解析

9

@SAMNG=一

4

【詳解】(1)解：由題意得：四邊形45。和四邊形AE尸G是正方形,

：.AB=AD,AE=AG,ZBAD=ZEAG=90°,

：.ZBAD-ZDAE=ZEAG-ZDAE,

：.ZBAE=ZDAG,

：./\BAE^/\DAG(SAS),

:.BE=DG,ZABE^ZADG,

：.ZADG+ZADB=ZABE+ZADB=90°,

：.ZBDG=90°,

：.BE±DG；

-DG

(2)BE=2,BE±DG,理由如下：

由(1)得：ZBAE=ZDAG,

..AD=AG=

ABAE'

：./\BAE^/XDAG,

,DGAD

ZABE=ZADG,

"BE~AB

二ZADG+ZADB=ZABE+ZADB=90°,

；.NBDG=90°,

：.BE±DGi

(3)如圖，

作于H,

AD

■:tanZABD=

BHAB

???設AH=2x,BH=x,

在出△ABH中，

x2+(2x)2=W

：.BH=19AH=29

在A￡H中，

Aff

,:tanZABE=,

EH

?AH?。1

??-tan45—I,

EH

：.EH=AH=29

：.BE=BH+EH=39

BD=^AB2+AD2=7(A/5)2+(2A/5)2=5,

；.DE=BD-BE=5-3=2,

由(2)得：—=2,DG±BE,

BE

：.DG=2BE=69

/.SABEG=—BE-DG=—X3X6=9,

22

在及ASOG和中，點M是bG的中點，點N是C￡的中點,

DM=GM=-BG,DN=GN=-EG,

22

,:NM=NM,

:.叢DMN學AGMN(SSS),

VMN是4BEG的中位線,

:.MN〃BE,

:.△BEGsAMNG,

.S/^MNG_(GM)2_I

S^BEGGB4

I9

ASMNG=SMNG=-SBEG=-.

AA4A4

總結與點撥

本題主要考查了正方形，矩形的性質，全等三角形的判定和性質，相似三角形的判定和性

質等知識，解決問題的關鍵是類比的方法.

(2022?遼寧鞍山?統考中考真題)如圖，在?ABC中，AB^AC,NB4c=120。，點。在直

線AC上，連接5D,將DE繞點。逆時針旋轉120。，得到線段DE,連接BE,CE.

(2)當點。在線段AC上(點。不與點A,C重合)時，求f的值；

AD

AN

⑶過點A作⑷V〃OE交30于點N,若AD=2CD,請直接寫出不7的值.

CE

哪瓶

(1)作AH_L3C于可得3H=348,BC=2BH,進而得出結論；

2

(2)證明△ABOSACBE,進而得出結果；

(3)當點。在線段AC上時，作5FJ_AC,交C4的延長線于F,作AG，5Z)于G,設A5

=AC=3>a,則AO=2a,解直角三角形AD尸，求得5。的長，根據△ZMGS/^DB尸求得

AQ,進而求得4N,進一步得出結果；當點。在4c的延長線上時，設45=AC=2a,貝!J

AD=4a,同樣方法求得結果.

［答案與解析】

【答案】⑴證明見解析;

⑵有

(3盧或叵

1921

【詳解】(1)證明：如圖1,

圖1

作AHJLBC于H,

"：AB=AB,

:.ZBAH=ZCAH=|NBAC=gxl20°=60°,BC=2BHf

sin60°=——

AB

2

：.BC=2BH=^3AB；

9

(2)解：：AB=ACf

180。一/84c180。-120。—30。

:.ZABC=ZACB=3

22

由（1）得，空=石，

同理可得,

BEr-

NDBE1=30°,----=43

BD9

BCBE

：.NABC=NDBE,

AB-BD

:.ZABC-ZDBC=ZDBE-ZDBC,

:.ZABD=ZCBE9

:.AABDsACBE,

3殷s

ADBD

(3)如圖2,

F

當點O在線段AC上時，

作3尸J_4C,交C4的延長線于F,作AGL3。于G,

設A5=4C=3a,則4O=2a,

由(1)得，CE=6AD=2B，

在RSA3F中，ZBAF=180°-ZBAC=60°,AB=3a,

3qC

/.AF=3a*cos60°=-a,BF=3a*sin60°=-----a,

22

37

在REAbD/中，DF=AD+AF=2QH—a——ci

229

BD=YIBF*2+DF2=

VZAGD=ZF=90°,ZADG=ZBDF,

:./\DAGS/\DBF,

'?BFBD

AG2a

A3A/3-719a,

--a

2

：.AG=^=a,

s/19

'JAN；DE,

：.NAND=ZBDE=120°9

JZANG=60°f

AG6M

AN=-----------CL

sin60°19

6M

:.AN歷,

~CE~2y/3a~~L9~

如圖3,

當點。在AC的延長線上時，

設43=AC=2a,則AO=4a,

由（1）得，

CE—#>AD=4's/3a,

作交CA的延長線于R,作于0,

同理可得，

AR—a,BR—邪a,

?*.BD=J(怎『+(5“)2=2不a,

.AQ4。

y/3a2幣a'

.AC.

??A。=—CL9

V7

一"2g24

??AJy=—(!?―『=—十d9

A/7A/377

4_

AN幣a歷,

~CE~4y/3a~^l

綜上所述：券的值為冬或冬.

C七1921

總結與點撥

本題考查了等腰三角形的性質，相似三角形的判定和性質，解直角三角形等知識，解決問

題的關鍵是正確分類和較強的計算能力.

例孽3

(2022?湖北宜昌?統考中考真題)已知菱形ABCD中，E是邊的中點，尸是邊A。上一點.

(1)如圖1,連接CE,CF.CE1AB,CF±AD.

①求證：CE=CF；

②若AE=2,求CE的長；

(2)如圖2,連接CE,EF.若AE=3,EF=2AF=4,求CE的長.

哪甌

(1)①根據A4S可證得：ABEC當ADFC,即可得出結論；

②連接AC,可證得ABC是等邊三角形，即可求出CE=26；

(2)延長在■交CB的延長線于點根據AAS可證得_A￡F絲一切30,可得出腔=4,

BM=2,MC=8,則跡=改=,，即可證得△MEBSAWCE,即可得出EC的長.

MEMC2

［答案與解析】

【答案】(1)①見解析；②CE=26

(2)EC=6

【詳解】(1)①CFLAD,

：.ZBEC=Z.DFC=90°,

?.?四邊形A5CD是菱形，

/.ZB=ZD,BC=CD,

二.BEC冬DFC(AAS),

CE=CF.

②如圖，連接AC.

VE是邊AB的中點，CE1AB,

：.BC=AC,

又由菱形ABCD,得BC=AB,

....ABC是等邊三角形，

二/E4c=60。，

在咫AEC中，AE=2,

/.EC=AEtan60°=2y/3,

:.C￡=2A/3.

(2)如圖，延長FE交CB的延長線于點M,

由菱形ABC。，得AD〃BC,AB=BC,

：.ZAFE=ZM,ZA=ZEBM,

VE是邊AB的中點，

，AE=BE,

：.AAEF^ABEM(AAS),

：.ME=EF,MB=AF,

VAE=3,EF=2AF=4,

：.ME=4,BM=2,BE=3,

：.BC=AB=2AE=6f

?迎_2_J_ME_i

**ME~4~29MC~8~2

.MBME=生八年

..莉=而，而ZM為公中

，AMEB^AMCE,

.BEMB2

?,法一加一"

又,：BE=3,

：.EC=6.

AF

M---B

總結與點撥

本題考查了菱形的性質，等邊三角形的性質與判定，銳角三角函數求線段長度，全等三角

形的性質和判定，相似三角形的性質與判定，掌握以上知識點并靈活運用是解題的關鍵.

精卻酬題

1.(2022.吉林長春?校聯考模擬)【教材呈現】

在華師版八年級下冊數學教材第ill頁學習了以下內容：菱形的對角線互相垂直.

【結論運用】

F/\D

BB匕-----------?C

圖①圖②

⑴如圖①，菱形ABCD的對角線AC與3。相交于點。，AD=5,8=4,則菱形ABCD的

面積是;

(2)如圖②，四邊形ABCD是平行四邊形，點尸在AD上，四邊形CD屏'是菱形，連接AE、

AC、BF,求證：AC=BF；

（3）如圖③，四邊形ACBZ）是菱形，點產在AD上，四邊形CDEF是菱形，連接AE,若

ZDAE=40°,則/ACF=度.

2.（2022?四川德陽.模擬）已知：四邊形ABCD是正方形，點E在8邊上，點尸在AD邊上,

且=

(1)如圖1,

（2）如圖2,對角線AC與3。交于點0.BD,AC分別與AE,M交于點G,點

①求證：OG=OH；

②連接OP,若AP=4,0尸=夜，求AB的長.

3.（2022?山東日照?校考二模）在AABC中，AB^AC,NBAC=tz,點P為線段C4延長線

上一動點，連接尸8,將線段PB繞點尸逆時針旋轉，旋轉角為得到線段P。，連接。B,

DC.

⑴如圖1,當《=60。時，①求證：PA=DC；②求/DCP的度數；

⑵如圖2,當。=120。時，請直接寫出上4和0c的數量關系.

⑶當。=120。時，若AB=6,BP=y/31,請直接寫出點。到CP的距離為

4.（2022?山東濟南?山東師范大學第二附屬中學校考模擬）如圖，在，ABC中，點。、E分

別是邊BC、AC上的點，且/4DE=NB.

⑴如圖1,若NB=NC,求證：ABCE=BDCD-,