難點與易錯點08二次函數(shù)與三角形、相似三角形、四邊形的存在性

（5大熱考題型）

題型一：等腰三角形的存在性問題

題型二：直角三角形的存在性問題

題型三：相似三角形的存在性問題

題型四：平行四邊形的存在性問題

題型五：特殊平行四邊形存在性問題

題型一：等腰三角形的存在性問題

頂點確定法

1.確定等腰三角形頂點位置的常見方法

已知點A,B和直線l,在l上找點P,使APAB為等腰三角形

（1）如圖①,若AB為腰,分別以點A,B為圓心,以AB長為半徑畫圓,與直線l的交點P1,P2,P3,P4即為所求;

（2）如圖②,若AB為底,作線段A8的垂直平分線與直線l的交點P5、即為所求

2.求點坐標(biāo)的常用方法

(1)代數(shù)法(三角形三邊長度可直接表示)分別表示出點A,B,P的坐標(biāo),再表示出線段AB,BP,AP長度,由①AB=AP;

②AB=BP;③BP=AP,分別列方程解出坐標(biāo):

(2)幾何法

作等腰三角形底邊的高(即底邊的垂直平分線),用勾股定理或相似建立等量關(guān)系

【中考母題學(xué)方法】

【典例1】易錯點等腰三角形的邊不確定,則需分情況討論

（2024·四川雅安·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)yax2bx3的圖象與x軸交于A1,0，B3,0

兩點，與y軸交于點C．

(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)如圖①，若點P是線段BC上的一個動點（不與點B，C重合），過點P作y軸的平行線交拋物線于點Q，

當(dāng)線段PQ的長度最大時，求點Q的坐標(biāo)；

(3)如圖②，在（2）的條件下，過點Q的直線與拋物線交于點D，且CQD2OCQ．在y軸上是否存在

點E，使得BDE為等腰三角形？若存在，直接寫出點E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

【變式1-1】（2024·內(nèi)蒙古通遼·模擬預(yù)測）綜合與探究

33

如圖，拋物線yx2x6與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C，D是第一

42

象限拋物線上的一個動點，若點D的橫坐標(biāo)為m，連接AC，BC，BD，CD．

(1)求A，B，C三點的坐標(biāo)，并直接寫出直線BC的函數(shù)表達(dá)式．

(2)當(dāng)四邊形ACDB的面積有最大值時，求出m的值．

(3)在（2）的條件下，在x軸上是否存在一點M，使△ADM是等腰三角形？若存在，請直接寫出點M的坐

標(biāo)；若不存在，請說明理由．

1

【變式1-2】（2024·上海·模擬預(yù)測）如圖，直線y2x4交y軸于點A，交拋物線yx2bxc于點B(3,2)，

2

拋物線經(jīng)過點C(1,0)，交y軸于點D，點P是拋物線上的動點，作PEDB交所在直線于點E．

??

(1)求拋物線的解析式；

(2)當(dāng)△PDE為等腰直角三角形時，求：P點坐標(biāo)；

(3)在（2）的條件下，連接PB，將△PBE沿直線翻折，直接寫出翻折后點E的對稱點坐標(biāo)．

??

1

【變式1-3】（2024·湖南長沙·模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中，如圖，拋物線yx2bxc與x軸交于

4

點A，B，與y軸交于點C，其中C(0,3)，且BOC為等腰直角三角形．

(1)求該拋物線的表達(dá)式；

(2)點P是直線AC下方拋物線上一動點，過點P作PDAC于點D，求PD的最大值及此時點P的坐標(biāo)；

(3)在（2）的條件下，將該拋物線向右平移5個單位，點E為點P的對應(yīng)點，平移后的拋物線與y軸交于點

F，Q為平移后的拋物線的對稱軸上任意一點．寫出所有使得以QF為腰的△QEF是等腰三角形的點Q的

坐標(biāo)，并把求其中一個點Q的坐標(biāo)的過程寫出來．

【中考模擬即學(xué)即練】

1．（2024·山西長治·模擬預(yù)測）綜合與探究：

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線yax22xc與x軸交于點A3,0和點C，與y軸交于點，

?0,3

點P是拋物線上點A與點C之間的動點（不包括點A，點C）．

備用圖

(1)求拋物線的解析式；

(2)動點P在拋物線上，且在直線AB上方，求ABP面積的最大值及此時點P的坐標(biāo)；

(3)在（2）的條件下，將該拋物線向右平移2.5個單位，點F為點P的對應(yīng)點，平移后的拋物線與y軸交于

點E，Q為平移后的拋物線的對稱軸上任意一點，若△QFE是以QE為腰的等腰三角形，求出所有符合條

件的點Q的坐標(biāo)．

2．（2024·山東青島·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)yax2bxc交x軸于點，B2,0，

??4,0

交y軸于點，在y軸上有一點E0,2，連接AE．

?0,6

(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)若點D為拋物線在x軸負(fù)半軸上方的一個動點，求VADE面積的最大值及此時D點的坐標(biāo)；

(3)拋物線對稱軸上是否存在點P，使△AEP為以AE為底的等腰三角形？若存在，請直接寫出P點的坐標(biāo)即

可；若不存在，請說明理由．

題型二：直角三角形的存在性問題

頂點確定法

1.確定直角三角形頂點位置的常見方法已知點A.B和直線l,在l上找點P,使△PAB為直角三角形

(1)如圖①,分別過線段端點A,B作AB的垂線,與直線l的交點P1,P2即為所求;

(2)如圖②,以AB為直徑畫圓,與直線l的交點P3,P4即為所求.

2.求點坐標(biāo)的常用方法

(1)代數(shù)法

分別表示出點A,B,P的坐標(biāo),再表示出AB2,BP2,AP2,分情況討論:①∠PAB=90°,即AB2+AP2=BP2;

②∠ABP=90°,即AB2+BP2=AP2;③∠APB=90°,即AP2+BP2=AB2分別列方程求解即可;

(2)幾何法

過直角頂點作平行于坐標(biāo)軸的輔助線構(gòu)造“一線三垂直”模型,利用相似或全等三角形解題“一線三垂直”

模型

【中考母題學(xué)方法】

4

【典例2】（2024·山東泰安·中考真題）如圖，拋物線C:yax2x4的圖象經(jīng)過點D1,1，與x軸交于

13

點A，點B．

(1)求拋物線C1的表達(dá)式；

(2)將拋物線C1向右平移1個單位，再向上平移3個單位得到拋物線C2，求拋物線C2的表達(dá)式，并判斷點D

是否在拋物線C2上；

(3)在x軸上方的拋物線C2上，是否存在點P，使△PBD是等腰直角三角形．若存在，請求出點P的坐標(biāo)；

若不存在，請說明理由．

【變式2-1】（2024·陜西咸陽·模擬預(yù)測）如圖，已知拋物線yax26xc（a、c為常數(shù)，且a0）與x軸

交于A，B(1,0)兩點（點A在點B左側(cè)），與y軸交于點C，AB4．拋物線的對稱軸與x軸交于點D，

與經(jīng)過點B的直線yx1交于點E．

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)在拋物線上是否存在點P，使得BPE是以BE為直角邊的直角三角形?若存在，求出所有得合條件的點P

的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

【變式2-2】（2024·寧夏銀川·模擬預(yù)測）小明為了參加學(xué)校舉辦的“趣味數(shù)學(xué)”作品展，用鐵絲擺成如圖①中

拋物線的形狀，并提出以下三個問題，請你解答：

(1)建立合適的平面直角坐標(biāo)系，如圖②，可知拋物線與x軸交于A3,0，B1,0兩點，與y軸交于點C0,3，

求拋物線的解析式；

(2)如圖②，鋼珠P可沿著鐵絲在點A到點C的位置任意滑動，點A，C，P構(gòu)成△ACP，試求△ACP面積

的最大值；

(3)若沿拋物線的對稱軸再擺另一條鐵絲MN（MN足夠長），鋼珠Q可以沿著鐵絲MN上下滑動，點Q，A，

C構(gòu)成△QAC，是否存在某一時刻，使△QAC為直角三角形．若存在，請求出所有符合條件的點Q的坐標(biāo)；

若不存在，請說明理由．

【變式2-3】難點已知邊為斜邊的直角三角形存在性問題,可構(gòu)造相似三角形求解

（2024·湖北·模擬預(yù)測）若拋物線yax2bxc交x軸于A1,0、B5,0交y軸于C0,5

(1)請求出拋物線的解析式并直接寫出ax2bxc0的解集．

(2)在拋物線對稱軸上有一點P．當(dāng)三角形ACP為直角三角形時請求出P點的坐標(biāo)．

1

(3)以B為圓心2為半徑做圓，B上有一點M，連接MC、MA．請求出MCMA的最小值．

2

【中考模擬即學(xué)即練】

1．（2024·廣東·模擬預(yù)測）綜合運(yùn)用

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線yx22x3與x軸交于點A．C(點A在點C的右側(cè))．與y

軸交于點B．直線ykxb經(jīng)過點A，B．

(1)求A，B，C三點的坐標(biāo)及直線AB的表達(dá)式．

(2)P是第二象限內(nèi)拋物線上的一個動點，過點P作PQ∥x軸交直線AB于點Q，設(shè)點P的橫坐標(biāo)為

mm0．PQ的長為L．

①求L與m的函數(shù)關(guān)系式，并寫出m的取值范圍；

DQ1

②若PQ與BO交于點D，,求m的值．

OA3

(3)設(shè)拋物線的頂點為M，問在y軸上是否存在一點N，使得△NAM為直角三角形？若存在，直接寫出點N

的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

2．（2024·廣東·模擬預(yù)測）綜合探究

如圖（1）所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知菱形ABCD的頂點A在y軸正半軸上，頂點B，C，D在

23

二次函數(shù)yax2（a為常數(shù)，且a0）的圖象上，且ADy軸，BC與y軸交于點E，BC．

3

(1)求AE的長．

(2)求a的值．

(3)如圖（2）所示，F(xiàn)是射線BA上的一動點，點C，D同時繞點F按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90得點C，D，當(dāng)△ACD

是直角三角形時，求BF的長．

3．（2024·湖南·模擬預(yù)測）如圖，拋物線yx2bxc與x軸交于A3,0，B1,0兩點，與y軸交于點C，

連接AC．

(1)求拋物線的表達(dá)式．

(2)點P是拋物線上位于線段AC下方的一個動點，連接AP，CP，求△APC面積最大時點P的坐標(biāo)；

(3)在拋物線上是否存在點Q，使得以點A，C，Q為頂點的三角形是直角三角形？如果存在，請直接寫出

所有滿足條件的點Q的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．

題型三：相似三角形的存在性問題

相似三角形問題的解題步驟

第一步：找關(guān)鍵點

根據(jù)拋物線的表達(dá)式求出拋物線上關(guān)鍵點的坐標(biāo)，如與坐標(biāo)軸的交點坐標(biāo)，頂點坐標(biāo)等

第二步：找等角

找到兩個三角形中相等的定角，通常定角為直角、對頂角、公共角同位角、內(nèi)錯角，或通過互余(互補(bǔ))進(jìn)行

轉(zhuǎn)化等方法得到的等角

第三步：求點坐標(biāo)

根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列關(guān)系式

【中考母題學(xué)方法】

【典例3】易錯點相似三角形的對應(yīng)邊不確定,需分情況討論

（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)yax2bxca0的圖像經(jīng)過

原點和點A4,0．經(jīng)過點A的直線與該二次函數(shù)圖象交于點B1,3，與y軸交于點C．

(1)求二次函數(shù)的解析式及點C的坐標(biāo)；

(2)點P是二次函數(shù)圖象上的一個動點，當(dāng)點P在直線AB上方時，過點P作PEx軸于點E，與直線AB交

于點D，設(shè)點P的橫坐標(biāo)為m．

①m為何值時線段PD的長度最大，并求出最大值；

②是否存在點P，使得△BPD與△AOC相似．若存在，請求出點P坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

【變式3-1】（2024·山東濟(jì)南·模擬預(yù)測）如圖，已知拋物線yx2bxc上點A,C的坐標(biāo)分別為，4,0，

0,2

拋物線與x軸負(fù)半軸交于點B，連接AC,AB，點Q為拋物線上的點．

(1)求拋物線的解析式及點B的坐標(biāo)．

1

(2)拋物線上是否存在點Q，使得SS？若存在，求出Q的橫坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

△ABQ2△ABC

(3)點M為y軸負(fù)半軸上的點，且OM2，點D是線段BC（包含點B,C）上的動點，過點D作x軸的垂線，

交拋物線于點Q，交直線CM于點N．若以點Q,N,C為頂點的三角形與△MOC相似，請求出點Q的坐標(biāo)．

【變式3-2】（2023·江蘇常州·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線yax2bx4a0與x軸交于

A1,0、C4,0兩點，與y軸交于點B．

(1)求該拋物線的解析式以及頂點坐標(biāo)；

(2)若點D是拋物線上的一個動點，滿足△ABD與△BCD的面積相等．求出點D的坐標(biāo)；

(3)若點E在第一象限內(nèi)拋物線上，過點E作EFx軸于點F，交BC于點P，且滿足△BFP與△CEP相似，

求出點E的橫坐標(biāo)．

【變式3-3】（2024·重慶·模擬預(yù)測）如圖，二次函數(shù)yax2bxca0,頂點，與x軸交A，B兩

?1,4

點，交y軸于點C，點A1,0，

(1)求二次函數(shù)的解析式；

(2)如圖，連接BC，點P為線段BC上方拋物線上一動點，過點P作直線EF∥BC分別交y軸于點E，x軸

于點F，求2ECPF的最大值以及此時點P的坐標(biāo)

(3)連接AD，將拋物線沿射線AD平移45個單位長度得到新拋物線y,y的頂點為H，過點H作HNx

軸于點N，連接ND，在新拋物線y對稱軸右側(cè)平面內(nèi)是否存在點Q，使得DNQ與△BCD相似，若存

在，請直接寫出所有符合題意點Q的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由

【中考模擬即學(xué)即練】

1

1．（2024·江蘇淮安·模擬預(yù)測）如圖，二次函數(shù)yx2bxc的圖象與x軸交于A,0、B4，0兩點，

2

與y軸交于點C．

(1)求這個二次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)作直線xt0t4，分別交x軸、線段BC、拋物線于D、E、F三點，連接CF，若以B、D、E為頂

點的三角形與以C、E、F為頂點的三角形相似，求t的值；

(3)點M為y軸負(fù)半軸上一點，且OM2，將拋物線沿x軸的負(fù)方向平移得到新拋物線，點B的對應(yīng)點為

點B，點C的對應(yīng)點為點C，CB與CB交于點N．在拋物線平移過程中，當(dāng)MBMC的值最小時，試求

BNC的面積．

1

2．（2024·青海西寧·三模）如圖，拋物線yx23x8與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y

2

軸交于點C，頂點為點D，連接AC，BC，BC與拋物線的對稱軸交于點E．

(1)求點A，B，C的坐標(biāo)．

(2)若點P是第四象限內(nèi)拋物線上一動點，當(dāng)三角形PAB的面積為60時，求點P的坐標(biāo)．

(3)若點Q是對稱軸右側(cè)拋物線上的動點，試探究在射線ED上是否存在一點H，使以H，Q，E為頂點的三

角形與BOC相似．若存在，直接寫出點H的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

3．（2024·內(nèi)蒙古通遼·模擬預(yù)測）如圖，已知二次函數(shù)yax2bx3a0的圖象與x軸交于點點A3,0

和點B1,0，與y軸交于點C，點P是拋物線上點A與點C之間的動點（不包括點A，點C）．

(1)求此二次函數(shù)的解析式；

(2)如圖1，連結(jié)PA，PC，求PAC的面積的最大值；

(3)如圖2，過點P作x軸的垂線交于點D，與AC交于點Q．探究是否存在點P，使得以點P、C、Q為頂

點的三角形與△ADQ相似？若存在，直接寫出點P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

4．（2024·安徽·模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線yx22xa與x軸交于點A，B（點A在點B左

側(cè)），與y軸交于點C0,3，連接BC．

(1)如圖1，求a的值及直線BC的解析式；

(2)如圖2，點D為直線BC上方拋物線上一動點，連接AC，AD，CD，設(shè)直線BC交線段AD于點E．當(dāng)

S△CDE1

時，求點D的坐標(biāo)；

S△ACE2

(3)在（2）的條件下，且點D的橫坐標(biāo)小于2，在坐標(biāo)軸上是否存在一點P，使得以A，C，P為頂點的三角

形與△BCD相似，如果存在，求出點P的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．

題型四：平行四邊形的存在性問題

頂點確定法

1.確定平行四邊形中動頂點的位置,常見方法如下(1)三定頂點、一動頂點:

如圖①,分別過A,B,C三個定點作對邊的平行線,所作三條直線兩兩的交點P1,P2,P3即為所求動點;

(2)兩定頂點、兩動頂點:

①如圖②,若AB為平行四邊形的邊,平移AB,確定另外兩點位置:

②)如圖③,若AB為平行四邊形的對角線,取AB中點,作過中點的直線確定另外兩點的位置.

2.根據(jù)平移法或坐標(biāo)公式法求點坐標(biāo),具體如下:(1)平移法:

如圖④,由點B平移到點A的規(guī)律即可得到點C平移到D1,的規(guī)律(點C到點D2,同理);

(2)平行四邊形頂點坐標(biāo)公式法

設(shè)平行四邊形ABCD的頂點坐標(biāo)分別為AxA,yA,BxB,yB,CxC,yC,DxD,yD,則

xAxCxBxD,yAyCyByD.

【中考母題學(xué)方法】

【典例4】（2024·四川廣元·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線F：yx2bxc經(jīng)過點

A3,1，與y軸交于點B0,2．

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

CD

(2)在直線上方拋物線上有一動點C，連接OC交于點D，求的最大值及此時點C的坐標(biāo)；

OD

????

(3)作拋物線F關(guān)于直線y1上一點的對稱圖象F，拋物線F與F只有一個公共點E（點E在y軸右側(cè)），

G為直線上一點，H為拋物線F對稱軸上一點，若以B，E，G，H為頂點的四邊形是平行四邊形，求G

點坐標(biāo)．??

23

【變式4-1】（2024·寧夏·中考真題）拋物線yaxx2與x軸交于A1,0，B兩點，與y軸交于點C，

2

點P是第四象限內(nèi)拋物線上的一點．

(1)求拋物線的解析式；

5

(2)如圖1，過P作PDx軸于點D，交直線BC于點E．設(shè)點D的橫坐標(biāo)為m，當(dāng)PEBE時，求m的

2

值；

(3)如圖2點，連接CF并延長交直線PD于點M，點N是x軸上方拋物線上的一點，在（2）的條件下，

x軸上是否存?在1,0一點H，使得以F，M，N，H為頂點的四邊形是平行四邊形．若存在，直接寫出點H的

坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

【變式4-2】（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）如圖1，拋物線yax2bx3a0與x軸交于A，B兩點，與y

軸交于點C，已知A(1,0)，對稱軸為直線x1.

(1)求拋物線的解析式；

(2)點P在拋物線上，點Q在x軸上，以B，C，P，Q為頂點的四邊形為平行四邊形，求點P的坐標(biāo)；

(3)如圖2，拋物線頂點為D，對稱軸與x軸交于點E，過點K(1,3)的直線（不與直線KD重合）與拋物線

交于G，H兩點，直線DG，DH分別交x軸于點M，N，畫出圖形，試探究EMEN是否為定值？若是，求

出該定值；若不是，說明理由．

【變式4-3】難點平行四邊形的頂點順序不確定,需分情況討論

（2024·四川南充·模擬預(yù)測）如圖1，拋物線yx2bxc與直線yx3相交于點B和C，點B在x軸

上，點C在y軸上，拋物線與x軸的另一個交點為A．

(1)求拋物線yx2bxc的解析式；

(2)如圖2，將直線BC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90交y軸于點D，在直線BD上有一點P，求△ACP周長的最小

值及此時點P的坐標(biāo)；

(3)如圖3，將拋物線yx2bxc沿射線CB方向平移2個單位長度得到新拋物線y，在新拋物線y上有

一點N，在x軸上有一點M，試問是否存在以點B、M、C、N為頂點的平行四邊形？若存在，寫出所有符

合條件的點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

【中考模擬即學(xué)即練】

1．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，AOB90，等腰直角三角形OAB的頂點A

的坐標(biāo)為2,2，點B在第四象限，邊AB與x軸交于點C，點M，R分別是線段OA，AC的中點，過點M

的拋物線yx22mxn（m，n為常數(shù)）的頂點為P．

(1)點M的坐標(biāo)為___________，用含m的代數(shù)式表示n為___________；

(2)如圖2，點N為BC中點，拋物線yx22mxn經(jīng)過點N，E，點F在線段OA上，當(dāng)以MR和EF為對邊

的四邊形是平行四邊形時，求點E的坐標(biāo)；

(3)當(dāng)點P在等腰直角三角形OAB的邊上或內(nèi)部，且拋物線yx22mxn與MR有且只有一個公共點時，求

出m的取值范圍．

2．（2024·山西·模擬預(yù)測）綜合與探究

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線yax2bx2經(jīng)過A1,0,B4,0兩點，與y軸交于點C，P是拋物

3

線上一動點，設(shè)點P的橫坐標(biāo)為m0m，連接AC，CP，BC，BP．

2

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式及點C的坐標(biāo)．

3

(2)當(dāng)BCP的面積等于VABC的面積的時，求m的值．

5

(3)在（2）的條件下，若M為x軸上一動點，N是拋物線上一動點，是否存在以點C，P，M，N為頂點的

平行四邊形？若存在，直接寫出點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

3．（2024·甘肅嘉峪關(guān)·二模）如圖所示，在Rt△ABC的頂點A、B在x軸上，點C在y軸上正半軸上，且A(1,0)，

B(4,0)，C(0,2)．

(1)求過A，B，C三點的拋物線解析式．

(2)設(shè)拋物線的對稱軸l與BC邊交于點D，若P是對稱軸l上的點，且滿足以P、C、D為頂點的三角形與

△AOC相似，求P點的坐標(biāo)；

(3)在對稱軸l和拋物線上是否分別存在點M、N，使得以A、O、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形，

若存在，請直接寫出點M、點N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

題型五：特殊平行四邊形的存在性問題

頂點確定法

1.確定矩形的頂點位置

A,B為兩個定點,點C為直線l上的一動點,D為平面內(nèi)一點,以A,B,C,D為頂點作矩形

(1)若AB為矩形的邊,如圖①,分別過點A,B作AC1⊥AB,BC2,⊥AB確定點C,再利用矩形對邊平行的性質(zhì)確定

點D

(2)若AB為矩形的對角線,如圖②,以AB為直徑構(gòu)造輔助圓,圓與直線l的交點即為所求的點C,過點A,B分別

作BC,AC的平行線確定點D.

2.確定菱形的頂點位置

A,B為定點,C為直線l上一動點,D為平面內(nèi)一點,以A.B.C,D為頂點作菱形

(1)若AB為菱形的邊,如圖①,以點B為圓心,AB長為半徑作⊙B交直線l于點C,再分別過點A,C作BC,AB的

平行線交于點D;如圖②,以點A為圓心,AB長為半徑作⊙A交l于點C,再分別過點B,C作AC,AB的平行線交

于點D;

(2)若AB為菱形的對角線,如圖③,作AB的垂直平分線交直線l于點C,交AB于點0.再以點0為圓心,以0C

長為半徑作0,與垂直平分線另一端交于點D.

3.確定正方形的頂點位置

已知兩個定點A,B,在平面內(nèi)找點C,D,使得以A,B,C,D為頂點的四邊形為正方形.

(1)若AB為正方形的邊,如圖①,過點A.B分別作垂直于AB的直線,再利用正方形的邊長相等,確定另兩點的位

置:

(2)若AB為正方形的對角線,如圖②.可作AB的垂直平分線,再利用正方形的對角線相等且互相垂直平分,確定

另兩點的位置。

【中考母題學(xué)方法】

【典例5】（2024·四川瀘州·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線yax2bx3經(jīng)過點

A3,0，與y軸交于點B，且關(guān)于直線x1對稱．

(1)求該拋物線的解析式；

(2)當(dāng)1xt時，y的取值范圍是0y2t1，求t的值；

(3)點C是拋物線上位于第一象限的一個動點，過點C作x軸的垂線交直線AB于點D，在y軸上是否存在

點E，使得以B，C，D，E為頂點的四邊形是菱形？若存在，求出該菱形的邊長；若不存在，說明理由．

1

【變式5-1】（2024·江蘇無錫·中考真題）已知二次函數(shù)yax2xc的圖象經(jīng)過點A1,和點B2,1．

2

(1)求這個二次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)若點Cm1,y1，Dm2,y2都在該二次函數(shù)的圖象上，試比較y1和y2的大小，并說明理由；

(3)點P，Q在直線AB上，點M在該二次函數(shù)圖象上．問：在y軸上是否存在點N，使得以P，Q，M，N

為頂點的四邊形是正方形？若存在，請直接寫出所有滿足條件的點N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

【變式5-2】（2024·湖南長沙·模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中存在兩條拋物線，拋物線L1交x軸于點

A(1,0)，C(5,0)，頂點坐標(biāo)為Em1,k．拋物線L2交x軸于點B(2,0)，D(10,0)，頂點坐標(biāo)為Fm2,k，（k0）．

(1)求線段EF的長；

(2)若點M(7,d1)在拋物線L1上，點N(16,d2)在拋物線L2上．試討論d1和d2大小；

(3)若點P(n3,f1)，Q(2n1,f2)在拋物線L1上，且滿足f1f2，求n的取值范圍；

(4)若S、T分別為L1、L2上的動點，當(dāng)BEFC為菱形時，是否存在S和T，使得以A、D、S、T為頂點的四

邊形為矩形？若存在，請直接寫出S和T的橫坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．