一階微分方程一、可分離變量的微分方程二、齊次方程三、一階線性微分方程

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解分離變量方程可分離變量方程一、可分離變量的微分方程分離變量方程的解法:設y＝

(x)

是方程①的解,兩邊積分,得①則有恒等式②當G(y)與F(x)可微且G’(y)＝g(y)≠0時,說明由②確定的隱函數y＝

(x)是①的解.則有稱②為方程①的隱式通解,或通積分.同樣,當F’(x)=f(x)≠0時,上述過程可逆,由②確定的隱函數x＝

(y)也是①的解.

例1.求微分方程的通解.解:

分離變量得兩邊積分得即(C

為任意常數)或說明:

在求解過程中每一步不一定是同解變形,因此可能增、減解.(此式含分離變量時丟失的解y=0)

例2.

解初值問題解:

分離變量得兩邊積分得即由初始條件得C=1,(C

為任意常數)故所求特解為

例3.

求下述微分方程的通解:解:

令則故有即解得(C為任意常數

)所求通解:

練習:解法1分離變量即(C<0

)解法2故有積分(C

為任意常數)所求通解:

例4.子的含量

M

成正比,求在衰變過程中鈾含量M(t)

隨時間t

的變化規律.解:

根據題意,有(初始條件)對方程分離變量,即利用初始條件,得故所求鈾的變化規律為然后積分:已知

t=0時鈾的含量為已知放射性元素鈾的衰變速度與當時未衰變原

二、齊次方程形如的方程叫做齊次方程

.令代入原方程得兩邊積分,得積分后再用代替u,便得原方程的通解.解法:分離變量:例1.解微分方程解:代入原方程得分離變量兩邊積分得故原方程的通解為(

當C=0

時,

y=0

也是方程的解)(C

為任意常數)

例2.解微分方程解:則有分離變量積分得代回原變量得通解即說明:

顯然

x=0,y=0,y=x

也是原方程的解,但在(C

為任意常數)求解過程中丟失了.

可得OMA=OAM=

例3.在制造探照燈反射鏡面時,解:設光源在坐標原點,則反射鏡面由曲線繞

x

軸旋轉而成.過曲線上任意點M(x,y)作切線MT,由光的反射定律:入射角=反射角取x

軸平行于光線反射方向,從而AO=OM要求點光源的光線反射出去有良好的方向性,試求反射鏡面的形狀.而AO于是得微分方程:

利用曲線的對稱性,不妨設

y>0,積分得故有得

(拋物線)故反射鏡面為旋轉拋物面.于是方程化為(齊次方程)

頂到底的距離為

h,說明:則將這時旋轉曲面方程為若已知反射鏡面的底面直徑為d,代入通解表達式得

三、一階線性微分方程一階線性微分方程標準形式:若Q(x)

0,若Q(x)

0,稱為非齊次方程

.1.解齊次方程分離變量兩邊積分得故通解為稱為齊次方程

;

對應齊次方程通解齊次方程通解非齊次方程特解2.解非齊次方程用常數變易法:則故原方程的通解即即作變換兩端積分得

例1.解方程

解:先解即積分得即用常數變易法求特解.令則代入非齊次方程得解得故原方程通解為

例2.

求方程的通解.解:注意x,y

同號,由一階線性方程通解公式

,得故方程可變形為所求通解為這是以為因變量,

y為

自變量的一階線性方程

在閉合回路中,所有支路上的電壓降為0例3.有一電路如圖所示,電阻

R

和電～解:列方程.已知經過電阻R的電壓降為Ri

經過L的電壓降為因此有即初始條件:由回路電壓定律:其中電源求電流感L

都是常量,

～解方程:由初始條件:得利用一階線性方程解的公式可得

暫態電流穩態電流～因此所求電流函數為解的意義:

思考與練習1.求下列方程的通解:提示:(1)

分離變量(2)

方程變形為

2.判別下列方程類型:提示:

可分離變量方程齊次方程線性方程線性方程

備用題1.

求一連續可導函數使其滿足下列方程:提示:令則有利用公式可求出

2.設有微分方程