2.4直線與平面以及兩平面的相對位置

2.4.1直線與平面以及兩平面平行

2.4.2直線與平面以及兩平面相交

2.4.3直線與平面以及兩平面垂直

2.4.4點、直線、平面的綜合作圖題示例2.4.1直線與平面以及兩平面平行幾何條件若一直線與某平面上任一直線平行，則此直線與該平面平行。直線與平面平行PABCDEFf

c

d

e

cdefb

a

ab若一直線與某平面平行，則在平面上必能作出直線與原直線平行。PABCDEFf

c

d

e

cdefb

a

ab幾何條件例：過已知點E作水平線與平面ABC平行。f

fe

eabcda

b

c

d

f

fe

eabca

b

c

如平面為鉛垂面，應(yīng)如何作？例：判斷直線EF是否和平面ABC平行。f

fe

eabca

b

c

例：過點K作平面平行于二交叉直線AB和CD。d

dk

kabca

b

c

1

2

12例：過點K作平面平行于二交叉直線AB和CD。d

dk

kabca

b

c

1

2

12343

4

若兩平面內(nèi)各有一對相交直線對應(yīng)平行，則兩平面互相平行。幾何條件平面與平面平行BCAPQEDFd

de

eabca

b

c

f

f若已知兩平面平行，則如在第一平面內(nèi)任取一條直線，在第二平面內(nèi)必能作出一條直線和該直線平行。BCAPQD幾何條件f例：判斷兩平面是否互相平行。f

e

eabca

b

c

dd

1

12

2

例：判斷兩平面是否互相平行。

要判斷兩平面平行，必須作兩對相交直線對應(yīng)平行。如所作第一對直線即不平行，即可斷定兩平面不平行。cff

e

eaba

b

c

dd

1

12

2例：過點K作平面與△ABC平面平行。abca

b

c

kk

1

12

2例：過點K作平面與△ABC平面平行。abca

b

c

kk

1

12

2433

4

dd

兩鉛垂面平行和不平行實例p

pq

qpqp

q

平行不平行例：過直線AB、CD各作一平面，使它們互相平行。abca

b

c

dd

f

fee

√√例：過直線AB、CD各作一平面，使它們互相平行。abca

b

c

dd

f

fee

PABKABCMN交點直線和平面的共有點交線兩平面的共有線（兩個共有點）P2.4.2

直線與平面以及兩平面相交

參與相交的兩元素中，至少有一個垂直于某投影面，其投影有積聚性，這種情況為特殊位置的相交，作圖較為簡便。特殊位置的相交直線與特殊位置平面相交

直線與平面相交，當平面的投影有積聚性時，交點的一個投影已知，另一投影用線上取點的方法求出。ABKPHabkabpa

b

p

kk

abpa

b

p

kk

直觀判別法交點兩側(cè)可見性相反可見性判別()abpa

b

p

kk

重影點判別法交點兩側(cè)可見性相反2112可見性判別m

bABPHaCcMNm平面與特殊位置平面相交nabpa

b

p

c

cmnn

兩平面相交，當其中一個平面投影有積聚性時，交線的一個投影已知，另一投影用面上取線的方法求出。bABPHaCcMNm

甲乙兩平面相交，兩平面的可見性總是以交線為界，若交線的一側(cè)為甲面可見，另一側(cè)必為乙面可見。nabpa

b

p

c

cmnm

n

可見性判別直觀判別法abpa

b

p

c

cmnm

n

可見性判別重影點判別法21()12判別規(guī)則：同一直線上交點兩側(cè)可見性相反。通過每一交叉點（重影點）的兩條直線可見性相反。m

例求兩平面交線，判別可見性abpa

b

p

c

cmnn

例求兩平面交線，判別可見性例求平面ABC與平面P的交線跡線面參與相交時，不判別可見性。m

aba

b

c

cmnn

PV例求平面ABC與平面P的交線跡線面參與相交時，不判別可見性。m

aba

b

c

cmPV直線與平面相交，當直線的投影有積聚性時，交點的一個投影已知，另一投影用面上取點的方法求出。投影面垂直線與平面相交Kkdm(n)bABHaCcDMNm(n)bacdm

a

b

c

n

d

kk

1212()ee

參與相交的兩元素都不垂直于投影面，其投影都沒有積聚性，這種情況為一般位置的相交。一般位置的相交H一般位置直線與一般位置平面相交MNKDFEABP輔助平面badea

b

d

e

f

fH一般位置直線與一般位置平面相交ABPDFEMNK輔助平面法作圖步驟包含已知直線作輔助平面求輔助平面與已知平面的交線求此交線與已知直線的交點12mnn

m

baH用鉛垂面作輔助面ABPDFEMNKdea

b

d

e

f

fPHkk

12()d

kmnn

m

ba用正垂面作輔助面dea

b

e

f

fQVk

3

34()4

線面交點法

三面共點法求兩平面的交線，只要求出兩平面的兩個公共點或一個公共點和交線的方向。兩一般位置平面相交QP

在相交的兩平面內(nèi)任取兩條直線，分別求出它們與另一平面的交點，連接起來即為兩平面的交線。線面交點法MEFDNCABmm

bc

c例求平面ABC與平面DEF的交線。d

adea

b

e

f

fPHbc

c例求平面ABC與平面DEF的交線。d

adea

b

e

f

fQVmm

nn

21

()nmm

n

bc

c例求平面ABC與平面DEF的交線。d

adea

b

e

f

f12nmm

n

bc

c例求平面ABC與平面DEF的交線。d

adea

b

e

f

f3434()三面共點法r

rs

sPVQVlkk

l

bc

cd

adea

b

e

ff

g

h

gh2.4.3

直線與平面以及兩平面垂直P直線與平面垂直幾何條件MNKL1L2如果一直線垂直于平面內(nèi)的一對相交直線，則此直線垂直于該平面直線與平面垂直幾何條件如果一直線垂直于平面內(nèi)的一對相交直線，則此直線垂直于該平面PMNL1L2K直線與平面垂直幾何條件PMNL1L2K如果一直線垂直于平面內(nèi)的一對相交直線，則此直線垂直于該平面直線與平面垂直幾何條件如果一直線垂直于某平面，則此直線垂直于該平面內(nèi)的任意直線PMNL1L2PPHPVHV投影特性如果一直線的正面投影垂直于一平面內(nèi)正平線的正面投影，同時其水平投影垂直于該平面內(nèi)水平線的水平投影，則該直線垂直于該平面。DABCMN投影特性bc

caa

b

mm

nn

dd

如果一直線的正面投影垂直于一平面內(nèi)正平線的正面投影，同時其水平投影垂直于該平面內(nèi)水平線的水平投影，則該直線垂直于該平面。投影特性

如果一直線垂直于一平面，則該直線的正面投影垂直于該平面內(nèi)正平線的正面投影，該直線的水平投影垂直于該平面內(nèi)水平線的水平投影。PPHPVHVDABCMN例過M點作直線MN垂直于平面ABCD。bc

caa

b

mm

nn

dd

ee

例過點K作平面垂直于直線AB。baa

b

kk

1

122

例過點K作直線KL與直線AB垂直相交。KL實長即為點到直線的距離BAKⅠⅡLb2

2aa

b

11

ll

k

k例判斷直線是否垂直于平面。baa

b

dcc

d

mnm

n

e

f

efn

特殊位置的線面垂直問題當直線垂直于某投影面垂直面時，則此直線必為該投影面平行線。VHOXPmnm

MN特殊位置的線面垂直問題pp

mnm

n

PVPHmnm

n

p

pmnm(n)P如果一直線垂直于一平面，則包含此直線的一切平面都與該平面垂直。平面與平面垂直幾何條件ABPQK如果兩平面互相垂直，則從一平面上任一點向另一平面所作的垂線必在前一平面上。幾何條件LPQKL例過點K作一平面垂直平面ABCD。k

kbaa

b

dcc

d

121

2

ee

例包含直線MN作平面垂直于平面ABC。baa

b

cc

m

n

nmll

例判斷下圖中兩平面是否垂直。baa

b

dcc

d

ee

f

fg

g例判斷下圖中兩平面是否垂直。baa

b

dcc

d

ee

f

f2.4.4

點、直線、平面的綜合作圖題示例基本作圖過點作直線平行于已知平面無數(shù)解基本作圖過點作平面平行于已知平面唯一解基本作圖過點作平面平行于已知直線無數(shù)解基本作圖過直線作平面平行于已知直線唯一解基本作圖直線與特殊位置平面相交基本作圖平面與特殊位置平面相交基本作圖直線與一般位置平面相交重影點法輔助平面法1

12()2

基本作圖兩個一般位置平面相交線面交點法利用兩次輔助平面法求兩個交點三面共點法利用三面共點原理基本作圖過點作直線垂直于已知平面過平面外一點基本作圖過點作直線垂直于已知平面過平面內(nèi)一點基本作圖過點作直線垂直于已知平面過平面內(nèi)一點基本作圖過點作平面垂直于已知直線過直線外一點基本作圖過點作平面垂直于已知直線過直線上一點基本作圖過點作平面垂直于已知平面無數(shù)解基本作圖過直線作平面垂直于已知平面唯一解基本作圖過點作直線和已知直線垂直相交輔助平面法基本作圖問題解的個數(shù)

過點

作直線

平行于直線一解

平行于平面無數(shù)解垂直于直線無數(shù)解垂直于平面一解

作平面平行于直線無數(shù)解平行于平面一解垂直于直線一解垂直于平面無數(shù)解c例求點C到直線AB的距離。baa

b

kc

k

22

1

1距離實長2

例求點K到平面ABC的距離。cbaa

b

kc

k

21

1ll

求實長距離實長kk

a

b

c

abcll

例已知點N與點M對稱于平面ABC，求點N的投影。cbaa

b

c

1

12

2kk

n

nm

m√√例等腰三角形ABC，底邊為AB，頂點C在直線MN上，完成其投影。mbaa

b

c

nm

n

ck

k1

12

2例已知直線AB、CD垂直相交，完成CD的水平投影。baa

b

k

k1

12

2ll

c

d

dc例完成矩形ABCD的投影。baa

b

1

12

2c

d

dcmm

例過點M作直線與平面ABCD平行，與直線ⅠⅡ相交。baa

b

1

12

2c

d

dc