第二章質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動學(xué)

描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的物理量質(zhì)點(diǎn)直線運(yùn)動質(zhì)點(diǎn)的平面運(yùn)動伽利略變換本章的基本內(nèi)容及研究思路

本章質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動學(xué)是研究如何描寫質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動，而不討論引起運(yùn)動的原因。根據(jù)運(yùn)動的疊加原理（或運(yùn)動獨(dú)立性原理），物體的運(yùn)動可以當(dāng)作幾個各自獨(dú)立進(jìn)行的運(yùn)動的疊加，這樣就可以把實(shí)際存在的復(fù)雜運(yùn)動看成是幾個簡單運(yùn)動的疊加。疊加原理是物理學(xué)的一個基本原理，以后經(jīng)常會遇到，例如力的疊加原理、電場強(qiáng)度的疊加原理、波的疊加原理等。

本章從一般運(yùn)動出發(fā)引入描寫運(yùn)動和運(yùn)動變化的四個基本物理量，即位置矢量（簡稱位矢）、位移、速度和加速度，進(jìn)而指出將這四個基本量聯(lián)系在一起的是運(yùn)動方程；四種運(yùn)動：直線運(yùn)動、曲線運(yùn)動、拋體運(yùn)動和圓周運(yùn)動；兩種解決問題方法：微分法和積分法。最后引入伽利略變換，它和物理學(xué)一條基本原理即相對性原理密切相關(guān)。重點(diǎn)：四個基本物理量、直線運(yùn)動、微積分法難點(diǎn)：平面極坐標(biāo)、伽利略變換運(yùn)動的絕對性和描述的相對性

一切物質(zhì)都處在永不停息的運(yùn)動之中，運(yùn)動的這種普遍性和永恒性又稱為運(yùn)動的絕對性。而參考不同的物體來觀察同一物體的運(yùn)動所獲得的圖象和結(jié)果就會不同。這個事實(shí)稱為運(yùn)動描述的相對性。

由于宇宙萬物都在運(yùn)動，無法設(shè)想在宇宙中找到一個絕對靜止的物體作為研究其他物體運(yùn)動的參考，一切運(yùn)動物體都有被選作參考物的同等地位。可見正是運(yùn)動的絕對性才導(dǎo)致了描述的相對性。因此，描述運(yùn)動必須有參照系，對運(yùn)動作定量分析時還需建立坐標(biāo)系。§2.1描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的物理量一、質(zhì)點(diǎn)位置的確定——位置矢量（位矢）要討論質(zhì)點(diǎn)位置隨時間的變化，先要確切描述質(zhì)點(diǎn)的位置。為了同時給出質(zhì)點(diǎn)相對于參考點(diǎn)的距離和方位，可以引入位置矢量，由參考系上的坐標(biāo)原點(diǎn)引向質(zhì)點(diǎn)所在位置的矢量稱為質(zhì)點(diǎn)的位置矢量。通常以r表示r=x

i+y

j+z

k式中i，j，k分別表示沿x,y,z

軸正方向的單位矢量；x,y,z稱作質(zhì)點(diǎn)的位置坐標(biāo)，也可用來描述質(zhì)點(diǎn)的位置。OxP(x,y,z)ryz圖1位置矢量位置矢量演示位置矢量的大小（即r的模）為：位置矢量的方向，可由其方向余弦確定：式中分別表示是r與x，y，z軸正方向之間的夾角（取小于180°的值）。運(yùn)動學(xué)方程

在質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動過程中，它的位置矢量隨時間改變，每一時刻，均有一定的位置矢量與之對應(yīng)，即位置矢量r為時間t的函數(shù)：r=

r(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)k

此式稱為質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動方程。也可寫成：運(yùn)動方程的標(biāo)量形式二維運(yùn)動，一維運(yùn)動形式怎樣？質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動方程蘊(yùn)含了質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的全部細(xì)節(jié)，因此，求出運(yùn)動方程是質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動學(xué)的中心問題。在歷史上很長一段時期內(nèi)，人們只注意軌跡形狀的研究，由各個時刻的矢徑端點(diǎn)連接而描畫出的曲線就是質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的軌跡。P（質(zhì)點(diǎn)）軌跡O（原點(diǎn)）r(t)圖2軌跡以質(zhì)點(diǎn)的平面運(yùn)動為例：消去t(軌跡方程)二、質(zhì)點(diǎn)位置變動的描述——位移（位置矢量的增量）為了描述質(zhì)點(diǎn)在一定時間間隔內(nèi)位置的變動，我們引入位移矢量。參照圖3。自質(zhì)點(diǎn)初位置引向△t以后的末位置的矢量稱時間△t內(nèi)的位移。記作△r。PQOr(t)r(t+△t)△r△s圖3位移即位移定義為位置矢量的增量。二式相減得位移這是位移在直角坐標(biāo)系中的分解式，它表明位移可由位置坐標(biāo)的增量來決定。注意：1、路程無法確定質(zhì)點(diǎn)位置的變動；2、位移與路程的區(qū)別

位移與路程區(qū)別演示[例題1]一質(zhì)點(diǎn)在xOy平面內(nèi)依照x=t2的規(guī)律沿曲線y=x3

/320

運(yùn)動,求質(zhì)點(diǎn)從第2秒末到第4秒末的位移(式中t的單位為s；x，y的單位為cm).[解]

(cm)與水平軸夾角[問題]位移與參考系的選擇有關(guān)嗎？

與坐標(biāo)原點(diǎn)有關(guān)嗎？三、質(zhì)點(diǎn)位置變動快慢的描述——瞬時速度矢量

為了全面描述質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動狀態(tài)，還需要瞬時速度和瞬時加速度矢量的概念。1、平均速度平均速度僅僅提供一段時間內(nèi)位置總變動的方向和平均快慢，卻不能精細(xì)地刻劃出質(zhì)點(diǎn)在這段時間內(nèi)發(fā)生的運(yùn)動方向的改變和時快時慢的詳細(xì)情況，顯然，取得越短，平均速度就越能反映出t時刻的真實(shí)運(yùn)動情況。定義：2、瞬時速度即質(zhì)點(diǎn)的瞬時速度等于位置矢量對時間的變化率或一階導(dǎo)數(shù)。速度的方向由位移的極限方向決定，即質(zhì)點(diǎn)在該點(diǎn)處軌道曲線的切向方向且指向質(zhì)點(diǎn)前進(jìn)的方向。速度在直角坐標(biāo)系中的表示為代數(shù)量，可取正值也可取負(fù)值。四、質(zhì)點(diǎn)速度變化快慢的描述——瞬時加速度矢量1、平均加速度定義：平均加速度與一定時間間隔相對應(yīng)，其大小反映時間內(nèi)速度矢量的平均變化率，其方向沿著速度增量的方向。顯然，取得越小，越接近t時刻速度變化的實(shí)際情況。2、瞬時加速度加速度演示即質(zhì)點(diǎn)的加速度等于速度矢量對時間的變化率或一階導(dǎo)數(shù)，也等于位置矢量對時間的二階導(dǎo)數(shù)。加速度的方向?yàn)榈臉O限方向，在一般情況下，的極限方向與速度的方向并不一致，可分析斜拋運(yùn)動。的大致趨勢：質(zhì)點(diǎn)作曲線運(yùn)動時，的方向總是指向曲線凹的一側(cè)。只有在質(zhì)點(diǎn)的直線運(yùn)動中，加速度的方向和速度的方向總是相同或相反。加速度在直角坐標(biāo)系中的表示：由前面討論得到，描寫一個復(fù)雜的曲線運(yùn)動時，X方向的坐標(biāo)、速度和加速度與其它方向的坐標(biāo)、速度和加速度無關(guān)。Y方向和Z方向也有這種性質(zhì)，即三個方向相互無關(guān)，這種性質(zhì)稱為運(yùn)動的獨(dú)立性。實(shí)驗(yàn)也表明這點(diǎn)，因此，任何一個曲線運(yùn)動都可分解成沿x,y,z三個方向的直線運(yùn)動，每個方向上的運(yùn)動是相互獨(dú)立的，整個運(yùn)動可看成是沿三個坐標(biāo)軸直線運(yùn)動的疊加，這就是運(yùn)動的疊加原理。這樣對一般曲線運(yùn)動的研究都可歸結(jié)為對直線運(yùn)動的研究。[例題2]已知一質(zhì)點(diǎn)沿x軸運(yùn)動，其運(yùn)動方程為為常數(shù)，求該質(zhì)點(diǎn)的速度和加速度。§2.2質(zhì)點(diǎn)直線運(yùn)動

1、微分法——由運(yùn)動學(xué)方程到速度和加速度速度和加速度：。

的正負(fù)不能說明質(zhì)點(diǎn)是作加速或作減速運(yùn)動。若加速度與速度的符號相同，質(zhì)點(diǎn)作加速運(yùn)動；若加速度與速度的符號相反，質(zhì)點(diǎn)作減速運(yùn)動。要求能讀懂x-t、v-t

和a-t

曲線所反映的物理意義。2、積分法—從加速度到速度和坐標(biāo)（必須已知初始條件）作為特例，考察勻加速運(yùn)動，即a=常數(shù)的情況這正是中學(xué)里的勻加速運(yùn)動公式，只是這里明確提出了初始條件。

[例題3]p57習(xí)題：2.3.5[例題4]已知質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動速度和加速度的關(guān)系，求速度隨距離的變化關(guān)系。[解]取速度方向?yàn)檎较颍瑒t代入已知關(guān)系，則有或積分后得：討論：速度按指數(shù)衰減，衰減常數(shù)就是阻尼系數(shù)K，量綱為L-1。作業(yè)：2.1.32.2.62.3.62.4.32.4.42.4.8[例題5]p58習(xí)題：2.4.7§2.3質(zhì)點(diǎn)的平面運(yùn)動

1、平面直角坐標(biāo)系——拋體運(yùn)動(1)矢量法(2)斜拋運(yùn)動的軌跡方程和最大射程已知時消去方程中的參數(shù)

得軌跡最大射程實(shí)際路徑真空中路徑

由于空氣阻力，實(shí)際射程小于最大射程.求最大射程2、自然坐標(biāo)?切向和法向加速度

一般而言，質(zhì)點(diǎn)平面運(yùn)動需用兩個獨(dú)立的標(biāo)量函數(shù)描寫，在平面直角坐標(biāo)系中是x(t)和y(t)，但若質(zhì)點(diǎn)拋跡y=y(x)已知，則x，y間只需一個即可。（1）自然坐標(biāo)若質(zhì)點(diǎn)在平面上的軌跡已知，常采用平面自然坐標(biāo)描述質(zhì)點(diǎn)的位置。所謂“自然”，即“順其自然”，把軌道當(dāng)作“坐標(biāo)軸”。選擇軌跡上一點(diǎn)O′為“原點(diǎn)”，并用由原點(diǎn)O′至質(zhì)點(diǎn)位置的弧長S作為質(zhì)點(diǎn)的位置坐標(biāo)，S可正可負(fù)。運(yùn)動方程為S=S（t）使用自然坐標(biāo)時也可對矢量進(jìn)行正交分解，——切向單位矢量且指向S增加的方向，——法向單位矢量，指向曲率中心，一般說來，和不是恒矢量。

（2）速度?法向和切向加速度

一般：時，令，則不同于速率，它的正負(fù)反映運(yùn)動方向。物體作曲線運(yùn)動，其速度的大小和方向一般都在變化，至少速度方向是不斷變化的，所以曲線運(yùn)動一定是加速度不為零的運(yùn)動。首先討論變速圓周運(yùn)動中的切向加速度和法向加速度，然后推廣到一般曲線運(yùn)動。定性分析：質(zhì)點(diǎn)作勻速圓周運(yùn)動時，加速度大小為方向

沿軌道半徑指向圓心，它反映了速度方向的變化程度；當(dāng)質(zhì)點(diǎn)作變速率圓周運(yùn)動時，由于的方向和大小都變化，因此不再指向圓心，而是與速度有一夾角。ROP：法向加速度，它與勻速率圓周運(yùn)動中的向心加速度具有相同的物理含義，反映速度方向隨時間變化的快慢程度；：切向加速度，它反映速度大小隨時間變化的快慢程度。定量討論：AOBEDCF與勻速圓周運(yùn)動時的相當(dāng)，。質(zhì)點(diǎn)在平面內(nèi)作一般的曲線運(yùn)動。可以把整條曲線，用一系列不同半徑的小圓弧來代替。引入曲率圓后，整條曲線就可以看成是由許多不同曲率半徑的圓弧構(gòu)成。可類似得到：切向加速度，反映速度大小的變化；

法向加速度，反映速度方向的變化。質(zhì)點(diǎn)作變速直線運(yùn)動。

質(zhì)點(diǎn)作勻速曲線運(yùn)動。3、極坐標(biāo)系?徑向速度與橫向速度（選學(xué)）（1）極坐標(biāo)系平面極坐標(biāo)系（planarpolarcoordinates）設(shè)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動到A點(diǎn)，為質(zhì)點(diǎn)的矢徑，質(zhì)點(diǎn)位置矢量與極軸所夾的角叫作質(zhì)點(diǎn)的幅角。質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動學(xué)方程為：平面內(nèi)的任意矢量可表示為：xOA質(zhì)點(diǎn)的位置矢量可表示為：（2）徑向速度與橫向速度平面極坐標(biāo)的徑向單位矢量和橫向單位矢量是隨時間變化的，是時間的函數(shù)，如果將它們用直角坐標(biāo)來表示，這兩個單位矢量隨時間的變化為：有了基矢的變化規(guī)律，速度和加速度就很容易求得：§2.4伽利略變換我們知道，由于選取不同的參考系，對同一物體運(yùn)動的描述就會不同，這反映了運(yùn)動描述的相對性。下面我們研究同一質(zhì)點(diǎn)在有相對運(yùn)動的兩個參考系中的位移、速度和加速度之間的關(guān)系。一、時間與空間

在兩個相對作直線運(yùn)動的參考系中，時間的測量是絕對的，空間的測量也是絕對的，與參考系無關(guān)，時間和長度的的絕對性是經(jīng)典力學(xué)或牛頓力學(xué)的基礎(chǔ).AB

小車以較低的速度沿水平軌道先后通過點(diǎn)A和點(diǎn)B.地面上人測得車通過A、B兩點(diǎn)間的距離和時間與車上的人測量結(jié)果相同.物體運(yùn)動的軌跡依賴于觀察者所處的參考系二、相對運(yùn)動假定P點(diǎn)在系和系中的位矢、速度和加速度分別為：P和由圖可看出：或兩式似乎是極為簡單明白，其實(shí)式子成立包含一定條件的。先從k系討論，它認(rèn)為和是自己的觀測值，而是系的觀測值。只有系測得的量值確實(shí)與相同，對k系才有。這是因?yàn)槭噶肯嗉訒r，其各矢量必須三、伽利略坐標(biāo)變換是由同一坐標(biāo)系來測定的，對系也是如此，得出：

空間兩點(diǎn)的距離不管從哪個坐標(biāo)系測量，結(jié)果都應(yīng)相同，這一結(jié)論稱為空間絕對性。若和兩坐標(biāo)系的軸和軸方向相同且重合，系對系的速度為常矢量且沿著軸方向，并約定在同相重合的時