專題16幕函數(shù)、對勾函數(shù)

目錄

解題知識必備.................................

壓軸題型講練.............................................................3

題型一、露函數(shù)..........................................................3

題型二、對勾函數(shù)........................................................8

壓軸能力測評(13題)14

“解題知識必備??

一、塞函數(shù)

解

析y=xa>0^y=xa(a<0)

式

J

圖

像尸%3

在第一象限內(nèi)指數(shù)的變化規(guī)律：在(0,1)上，指數(shù)越大，越函數(shù)圖像越靠近X軸，簡

記“指大圖低"；在(1,+00)上，指數(shù)越大，幕函數(shù)圖像越遠(yuǎn)離X軸。

定當(dāng)a取正整數(shù)時，定義域?yàn)镽；

義當(dāng)a取零或負(fù)整數(shù)時，定義域?yàn)?-叫0)U(O,+8)；

域當(dāng)a取分?jǐn)?shù)時，可以化為根式，利用根式的要求求定義域；

定圖像過點(diǎn)(0,0)和點(diǎn)(1,1)圖像過點(diǎn)(1,1)

點(diǎn)

單在(0,+00)上單調(diào)遞增在(0,+oo)上單調(diào)遞減

調(diào)在第一象限內(nèi)，當(dāng)0<a<l時，圖像上凸；當(dāng)a〉l

在第一象限內(nèi)，圖像都下凸

性時，圖像下凸

奇

偶當(dāng)a為奇數(shù)時，為奇函數(shù)；當(dāng)a為偶數(shù)時，>=庶為偶函數(shù)

性

微(1)幕函數(shù)的圖象一定會出現(xiàn)在第一象限內(nèi)，一定不會出現(xiàn)在第四象限；

結(jié)(2)幕函數(shù)的圖象過定點(diǎn)(1,1),如果塞函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸相交，則交點(diǎn)一定是原

論點(diǎn).

解析式y(tǒng)=ax+—(a>0,Z7>0)y=ax+—(a<0,b<0)

XX

X壓軸題型講練2

【題型一事函數(shù)】

一、單選題

1.(23-24高一上?安徽?階段練習(xí))函數(shù)=與g(x)=：(a/+l)+x在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象

【答案】B

【分析】對B選項(xiàng)，根據(jù)/（X）確定。＜0,二次函數(shù)開口向下，不滿足，其他選項(xiàng)滿足類塞函數(shù)和二次函

數(shù)性質(zhì)，得到答案.

【詳解】g（x）=—++x=-ax2+%+當(dāng)。RO時，二次函數(shù)對稱軸為尤=-L，

對選項(xiàng)A：根據(jù)y（x）確定。＜0,二次函數(shù)開口向下，對稱軸在y軸右邊，滿足；

對選項(xiàng)B：根據(jù)“X）確定。＜0,二次函數(shù)開口向下，不滿足；

對選項(xiàng)C：根據(jù)/'（X）確定0＜“＜1,二次函數(shù)開口向上，對稱軸在V軸左邊，滿足；

對選項(xiàng)D：取。=2,則/'（力=；/,g（x）=/+x+；,滿足圖像；

故選：B

二、多選題

2.（23-24高一上?浙江杭州?期中）已知塞函數(shù)/（對=￡',〃€{-2,-1,1,3}的圖像關(guān)于〉軸對稱，則下列說法正

確的是（）

A./（-3）＞/（2）B./（-3）＜〃2）

C.若⑷＞|6|＞0,則/⑷＞/僅）D.若⑷＞依＞0,則

【答案】BD

【分析】根據(jù)題意，由幕函數(shù)的性質(zhì)可得/（x）=x-2,再由其單調(diào)性以及奇偶性即可得到結(jié)果.

【詳解】因?yàn)槿瘮?shù)/（X）=x",ne{-2,-1,1,3}的圖像關(guān)于y軸對稱，

所以函數(shù)為偶函數(shù)，則”=-2,即〃x）=x-2,

又〃=-2＜0,由暴函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)〃尤）在（0,+"）上單調(diào)遞減，

所以/（-3）=/（3）＜/（2）,故B正確，A錯誤；

因?yàn)閨a|＞|b|＞0,/（為在（0,+動上單調(diào)遞減,且函數(shù)為偶函數(shù)

貝5]/（。）=/（同）＜/（回）=/優(yōu)），故D正確，C錯誤.

故選：BD

3.（23-24高一上?河北滄州?階段練習(xí)）下列說法正確的是（）

A.若幕函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)（4,g）,則函數(shù)的解析式為了=『3

B.若函數(shù)〃尤）=婷,則“X）在區(qū)間（-8,0）上單調(diào)遞減

C.若正實(shí)數(shù)加，〃滿足心9＞）,則加

D.若函數(shù)/（外=/，則對任意X[,x2e（-co,0）,且x產(chǎn)乙，有"不）；〃，2）＜/（王丁）

【答案】ACD

【分析】根據(jù)待定系數(shù)法求解即可判斷A；結(jié)合基函數(shù)的單調(diào)性性質(zhì)判斷B；根據(jù)塞函數(shù)=；的

單調(diào)性判斷C；根據(jù)作差法比較大小即可判斷D.

【詳解】解：對于選項(xiàng)A,設(shè)塞函數(shù)為＞=代入點(diǎn)卜,；；即:=￥=&；",解得&=-；,所以塞

函數(shù)的解析式為＞=/1故A正確；

對于選項(xiàng)B,函數(shù)〃尤）=X一2是偶函數(shù)且在區(qū)間（0,+co）上單調(diào)遞減，所以函數(shù)“X）在區(qū)間（-叱0）上單調(diào)遞

增，故B錯誤；

對于選項(xiàng)C,因?yàn)楹瘮?shù)”&在［0,+。）上單調(diào)遞增，m＞0,〃＞0滿足—

所以加＞”，

因?yàn)楹瘮?shù)＞=已在（0,+8）上單調(diào)遞減，則屐＜/,故C正確；

對于選項(xiàng)D,由于/'（》）=/,X1；X26（-oo,0）,\

則小）」，f（x2）=~,=

%!X2I2J再+%2

11

-----1------

所以/(西)+仆2)_X1+X2)=%/_2+%22

2I2J2x+x2XX

x2Y2XI+x2

X；+2X1%2+1]-4再%2(%1-%2)<0

2XXX2(x1+x2)2X1X2(占+%2)

所以/(*)；〃/)</[±產(chǎn))故D正確.

故選：ACD.

三、解答題

4.（23-24高一上?河南洛陽?階段練習(xí)）已知幕函數(shù)/（x）=（p2-3p+3）x'TW滿足〃3）＜/（5）.

⑴求“X）的解析式；

（2）若/（3-°）＞〃2”1）,求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【答案】⑴/（x）=1

【分析】(1)根據(jù)塞函數(shù)的定義求出。的值，結(jié)合單調(diào)性，確定。的值，從而得到/(X)的解析式;

(2)根據(jù)的單調(diào)性求解不等式.

231

【詳解】(1)由〃x)=(p2_3p+3)x”/5是募函數(shù)，

可得/-30+3=1,解得。=1或P=2；

當(dāng)p=l時,〃司=/在(0,+司上單調(diào)遞減，不滿足〃3)<〃5)；

當(dāng)p=2時，〃同=/在[0,+8)上單調(diào)遞增，滿足/(3)</(5),

故f(X)=Q?

(2)由(1)知〃x)=x1則函數(shù)〃x)的定義域?yàn)樗?⑹，且函數(shù)在[0,+動上單調(diào)遞增，

又/(3-°)>/(2"1),

3—。20,

14

所以2”120,解得

3-a>2Q—1,

所以實(shí)數(shù)0的取值范圍是

(應(yīng)1A

5.(23-24高一下?山東濱州?開學(xué)考試)已知累函數(shù)/("=/的圖象過點(diǎn)T，不?

(1)解不等式：/(3x+2)>/(l-2x);

(2)設(shè)g(x)=2/(x)-8x+2-a,若存在實(shí)數(shù)xe[-3,3],使得g(x)<0成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【答案】⑴(-叫-3]3-1,+功

⑵(-6,+8)

【分析】(1)根據(jù)圖象所過點(diǎn)求出募函數(shù)解析式，再由二次不等式求解即可;

(2)分離參數(shù)后由題意轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最小值即可得解.

【詳解】(1)因?yàn)槿瘮?shù)/(x)=x。的圖象過點(diǎn),

所以"=4,解得a=2

I2)2

所以f(x)=V,

由〃3x+2”/(l-2x),

所以(3X+2)2N(1-2x)2,

整理得5尤2+16x+3N0,BP(x+3)(5x+l)>0

解得xV-3或xN-g

故不等式的解集為(-8,-3]3-g+功

(2)由(1)可知，f(x)=x2,貝!Jg(x)=2f-8x+2-a,

由g(x)<°得，2x~-8x+2■-a<°，

即a>2/-8x+2,

令MX)=2X2-8X+2,根據(jù)題意，存在實(shí)數(shù)xe[-3,3],a>h(x),

則。，，⑺皿，由于〃(x)=2(x-2)z-6,

所以當(dāng)x=2時，h(x)取最小值-6,故。>-6,

所以。的取值范圍為(-6,+8).

6.(23-24高一上?江蘇宿遷?階段練習(xí))已知察函數(shù)8(刈=(療_加+1)/4在區(qū)間(°，+8)上是單調(diào)遞增，定

義域?yàn)镽的奇函數(shù)“X)滿足x>0時，/(%)=g(x)+2.

⑴求〃x)的解析式；

(2)在x>0時,解不等式/(X)44；

(3)若對于任意實(shí)數(shù),,都有/(”-2。+/(2?-后)>0恒成立，求實(shí)數(shù)后的取值范圍.

戶+2,x>0

【答案】(l)〃x)=0,x=0

1

-x2-2,x<0

(2)(0,4]

【分析】(1)根據(jù)塞函數(shù)的定義和單調(diào)性，奇函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可;

(2)運(yùn)用平方法進(jìn)行求解即可；

(3)利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，結(jié)合配方法進(jìn)行求解即可.

【詳解】(1)因?yàn)間(x)=(/—機(jī)+i)jT是易函數(shù)，

所以有機(jī)2一機(jī)+1=1=>加=o,或冽=1,

當(dāng)機(jī)=0時，函數(shù)冢%)=；3在區(qū)間(。,+⑹上是單調(diào)遞減，不符合題意；

當(dāng)加=1時，8(刈=/在區(qū)間(°，+8)上是單調(diào)遞增，符合題意，

所以g(x)=x“

因?yàn)楹瘮?shù)/⑴是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，則〃0)=0,

所以當(dāng)x<0時，/⑸=_/(_%)=_[9(_%)+2]=-2,

■工

x，+2,x〉0

因此/(X)的解析式為：/(x)=b,x=O；

1

-x2-2,x<0

(2)因?yàn)閤>0時,/(x)=g(x)+2=/+2,

所以由/(x)44nx?+244nX，42nx44，又,.,x>0，

所以。<x44,

所以不等式/(x)V4的解集為(0,4]；

(3)當(dāng)x>0時，〃x)=g(x)+2=/+2,此時函數(shù)單調(diào)遞增，且〃》)>0，

當(dāng)時，此時函數(shù)單調(diào)遞增，且〃而()

x<0/(X)=_X-L2>x)<0,/0=0,

因此奇函數(shù)“X)是R上的增函數(shù)，于是由

f(t2-20+/(2產(chǎn)->)>0nf(t2-It)>-f(2t2-k)=f(k-2t2)^>t2-2t>k-2t2

n左<3〃-2/=恒成立，

y.3t2-2t=3(t-^]

I3J33

所以后

所以實(shí)數(shù)上的取值范圍為

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是利用奇函數(shù)的性質(zhì)和單調(diào)性進(jìn)行求解.

【題型二對勾函數(shù)】

一、多選題

4

1.(23-24高一上?安徽淮北?期中)已知函數(shù)/(無)=x+—,下面有關(guān)結(jié)論正確的有()

x

A.定義域?yàn)?-8,0)U(0,+s)B.值域?yàn)?-8,-4]U[4,+8)

C.在(-2,0)U(0,2)上單調(diào)遞減D.圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱

【答案】ABD

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合定義域的求法，基本不等式，以及函數(shù)單調(diào)性的定義和奇偶性的判定的方法，逐

項(xiàng)判定，即可求解.

4

【詳解】對于A中，函數(shù)/(x)=x+—有意義，則滿足xwO,

所以函數(shù)/(X)定義域?yàn)?-8,0)U(0,+8),所以A正確；

對于B中，當(dāng)x>0時，^^x+—>2Jxx—=4,

xyx

當(dāng)且僅當(dāng)x=3時，即x=2時，等號成立，所以〃x”4；

X

41I

當(dāng)x<0時，RfWx+—=-[(-x)+—]<-2./(-X)x一=-4,

xxV-x

當(dāng)且僅當(dāng)-x=-±時，即x=-2時，等號成立，所以/(x)W-4,

所以函數(shù)/(X)的值域?yàn)?-8,-4]u[4,+8),所以B正確；

4

對于C中,函數(shù)/(x)=x+—在(-2,0),(0,2)上單調(diào)遞減,所以C不正確；

x

對于D中，函數(shù)/(x)定義域?yàn)?-8,0)U(0,+s),關(guān)于原點(diǎn)對稱，

且滿足/(-x)=-x--=-(^+-)=-/?,所以函數(shù)/'(x)為奇函數(shù)，

XX

函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以D正確.

故選：ABD.

二、填空題

2.(22-23高一上?廣東東莞?期中)因函數(shù)〃x)=x+'(/>0)的圖象形狀象對勾，我們稱形如

“"X)=x+々f>0)”的函數(shù)為“對勾函數(shù)”該函數(shù)具有性質(zhì)：在(0,")上是減函數(shù)，在(〃,+8)上是增函數(shù)，

若對勾函數(shù)/(尤)=尤+1/>0)對于任意的丘Z,都有則實(shí)數(shù)/的最大值為________.

x22

3

【答案】4/0.75

4

【分析】由“左-:)4〃左+白，移項(xiàng)后代入/'(x)=x+4>0),構(gòu)造新的關(guān)系式，對上分類討論，轉(zhuǎn)化為

22x

恒成立問題即可解決.

1111t_t

【詳解】因?yàn)?心一5)<//+5),貝！1/(左一5)—/(左+5)wo,2k_1_2k+L~-，即

224

—<0,——<A^<—,因?yàn)樽骵Z,貝!J左=0,t^.――.

當(dāng)/一,>o,即左時，tv產(chǎn)-J恒成立，所以他"2-）］=］.

424I4J1nm4

綜上-寸1日3，

3

所以實(shí)數(shù)r的最大值為

4

3

故答案為：4

4

3.（23-24高一上?江西?階段練習(xí)）形如/（x）=x+?a>0）的函數(shù)被我們稱為“對勾函數(shù)”,“對勾函數(shù)”具有如

下性質(zhì)：該函數(shù)在僅，⑹上是減函數(shù)，在（而+可上是增函數(shù).已知函數(shù)〃x）=x+/（O<a42）在卜2,-1］上

的最大值比最小值大則。=

2

【答案】1

【分析】由奇偶性和單調(diào)性的綜合性得到/（x）在口,2］上的最大值比最小值大;，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，討論

夜相對于區(qū)間的位置關(guān)系來求得最值差構(gòu)建關(guān)于。的方程，求解即可.

【詳解】j/卜）為奇函數(shù)，且/'（x）在上的最大值比最小值大g,

所以/（x）在［1,2］上的最大值比最小值大g

由對勾函數(shù)的性質(zhì)可得/'（x）在（0,G）上單調(diào)減，在（G,+8）上單調(diào)遞增.

當(dāng)々Ml時，即0<。41時，

/（X）在［1,2］上單調(diào)遞增.

貝|1/（同皿、一/（外出=〃2）-〃1）=2+￡-1一。=1一￡=；，

解得。=1.

當(dāng)后時，即1W2時,

/'（X）在［1,&）上單調(diào)遞減，在（&.2］上單調(diào)遞增.

因?yàn)椋?"1)=1-$0,所以/⑵”⑴,

所以小)2-〃.="2)一/(6)=2+1一26=；,

解得。=1(舍去)或9(舍去).

綜上a=1，

故答案為：1.

三、解答題

4.(23-24高一上?上海長寧?期末)己知函數(shù)＞=/(x),其中/(x)=x+,

(1)判斷函數(shù)y=/(x)的奇偶性，并說明理由；

(2)若函數(shù)在區(qū)間［1,+8)上是嚴(yán)格增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【答案】⑴奇函數(shù)

(2)a＜l

【分析】(1)分。=0和awO兩種情況，根據(jù)函數(shù)的奇偶性的定義討論求解；

(2)設(shè)％＞占21,然后由y=/(x)為［1,+8)上的增函數(shù),則/(芯)-/(尤2)＜。成立求解.

【詳解】(1)當(dāng)“=。時，函數(shù)/(x)=x的定義域?yàn)镽,

對VxeR,f(-x)=-x=-f(x),

所以函數(shù)＞=/(x)為奇函數(shù)；

當(dāng)a#0時，〃x)=x+1■的定義域?yàn)閧x|xwO},

對曾€出》片0},

此時/(-了)=-，(無),

此時，函數(shù)夕=/(x)是奇函數(shù);

(2)設(shè)馬＞再21,、

a

則〃占)-/5)=

X?,

〃(%2一%)(%—%2)(%1%2—。)

=X]—/+

3/3/

因?yàn)椋?〉再之1，所以項(xiàng)工2＞1，玉一工2＜0，

若＞=/(x)為口,+⑹上的增函數(shù)，則/(演)-/(工2)＜0成立,

貝!!玉龍2—。＞0成立，所以。＜西七成立，解得

所以實(shí)數(shù)。的取值范圍是

5.(23-24高一上?云南昆明?階段練習(xí))由于函數(shù)＞=x+?后＞0)的圖象形狀如勾，因此我們稱形如

“y=x+?左＞0)”的函數(shù)叫做“對勾函數(shù)”，該函數(shù)有如下性質(zhì)：在(0,次)上是減函數(shù)，在(而,+可上是增

函數(shù).

⑴已知函數(shù)/(無)=2x+7--6,xe[l,4],利用題干性質(zhì)，求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間和值域；

⑵若對于Vxe[L+⑹，都有g(shù)(x)=.加恒成立,求加的取值范圍.

【答案】⑴遞減區(qū)間是[19,遞增區(qū)間是g，4]，值域是[-1爭

(2)m＜5.

【分析】(1)換元并利用對勾函數(shù)的單調(diào)性求解即得.

(2)變形函數(shù)式，再利用對勾函數(shù)單調(diào)性求出最小值即得.

44

【詳解】(1)函數(shù)〃x)=2x+^~~--6,xe[l,4],令2x-l=fe[l,7],貝!jy=/+—5,

2x-1t

4

由對勾函數(shù)性質(zhì)知，函數(shù)夕=/+2-5在[1,2]上單調(diào)遞減，在[2,7]上單調(diào)遞增，

t

33

而"2x-1在工刀上單調(diào)遞增，又當(dāng)/￡[1,2]時，xe[l,-],當(dāng)方42,7]時，xe[-,4],

因此“X)在工宜上單調(diào)遞減，在[1,4]上單調(diào)遞增，/(x)min=/(|)=-l,/(l)=0,/(4)=y,

所以函數(shù)“X)的遞減區(qū)間是嗚a],遞增區(qū)間是層a4],值域是[-噌]R].

(2)當(dāng)xe[l,+°)時，g(x)=(X+1)2+2(X+1)+2=(x+l)+^-+2,

x+1X+1

2

令％+1=〃￡[2,+8),顯然函數(shù)^="+—+2在[2,+8)上單調(diào)遞增，

U

貝！I當(dāng)〃=2時，Wn=5,于是當(dāng)x=l時，g(x)取得最小值5,

因?yàn)閷xe[l,+co),都有g(shù)(x)2加成立，則？45,

所以m的取值范圍是機(jī)W5.

6.(23-24高一上?河南鄭州?期中)對勾函數(shù)是形如了="+；("＞0)的函數(shù)，其中x為自變量，是一種類

似于反比例函數(shù)的一般雙曲函數(shù)，因其圖象而得名.已知對勾函數(shù)/=工+勺左＞0),在區(qū)間(0,+。)上的單調(diào)

性是：在區(qū)間(。,班)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(薪,+8)上單調(diào)遞增.

(1)若對勾函數(shù)/■(x)=x+：,根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義證明y(x)在區(qū)間［2,+8)上單調(diào)遞增；

(2)若對勾函數(shù)/■(x)=x+：,寫出函數(shù)〃x)的單調(diào)區(qū)間(不必證明)并作出函數(shù)/(x)的圖象.

(3)已知對勾函數(shù)/(x)=x+￡,k>0,二次函數(shù)g(x)=f2+2x+l,設(shè)g(x)的最大值為若Vx>0,

f(x)>M,求實(shí)數(shù)上的取值范圍

【答案】(1)證明見解析

⑵單調(diào)增區(qū)間是(-甩-2］和［2,+8)；單調(diào)減區(qū)間是［-2,0)和(0,2］；圖象見解析

(3)［l,+s)

【分析】(1)利用函數(shù)單調(diào)性的定義，結(jié)合作差法即可得證；

(2)結(jié)合已知與奇函數(shù)的對稱性寫出單調(diào)區(qū)間，作出圖象；

(3)求出g(x)的最大值為2,將條件轉(zhuǎn)化為Vx>0,的恒成立問題，再利用已知函數(shù)的單調(diào)性,

求出函數(shù)/(x)的最小值，則由/(x)1nhi=2&22可得上的范圍.

【詳解】(I)〃x)=x+q4,

任取士,迎e［2,+co),不妨設(shè)王</，

44(國一天)(守2-4)

因?yàn)?/(再)一/(工2)=再+--X2

(占72)(平2-4)〈0

因?yàn)?Vxi〈尤2，所以再-x2<0,xxx2>0,xvx2-4>0,所以

所以〃gp/(x1)</(x2),

所以〃x)在區(qū)間［2,+⑹上單調(diào)遞增.

（2）函數(shù)〃x）的單調(diào)增區(qū)間是（-*-2］和［2,+⑹；單調(diào)減區(qū)間是［-2,0）和（0,2］；

當(dāng)X=1時，gOOm”=g(D=2,則M=2,

由Vx>0,得Vx>0,X+±N2恒成立,

X

當(dāng)后＞0時，〃x）=x+￡在區(qū)間（0,賓）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（班,+8）上單調(diào)遞增,

由題意知,

則1nhi=/（〃）=2&，

要使/（x）N2在（0,+劉恒成立，貝！|/（初322

貝（12五22,解得上21.

故實(shí)數(shù)左的取值范圍是［1，+8）.

??壓軸能力測評”

一、單選題

2

1.（24-25高三上?山東濟(jì)寧?開學(xué)考試）“a=-1或加=4”是“幕函數(shù)/（x）=（m-3m-3），+鵬在（0,+^）上

是減函數(shù)''的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【分析】根據(jù)塞函數(shù)的定義和性質(zhì)可求參數(shù)的值，從而可判斷兩者之間的關(guān)系

【詳解】因?yàn)?（》）=（/-3〃?-3卜4時3是塞函數(shù)且在（0,+8）上是減函數(shù),

Im2-3m-3=1,,

故<2r八，故機(jī)=—1，

\m+m-3<0

故“加=-1或加=4”是“募函數(shù)〃x）=（加2一3a-3），+*3在（0,+司上是減函數(shù)，，的必要不充分條件，

故選：B.

2.（2024高三下?全國?專題練習(xí)）已知函數(shù)/（x）=桐，則下列選項(xiàng)錯誤的是（）

A./（x）的圖象過（。,0）點(diǎn)B.“X）的圖象關(guān)于>軸對稱

C./（X）在（0,+8）上單調(diào)遞增D./（x）>o

【答案】D

【分析】根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求解即可.

【詳解】對于選項(xiàng)A,因?yàn)?（0）=0,所以/（x）的圖象過（0,0）點(diǎn)，故A正確；

對于選項(xiàng)B,函數(shù)定義域?yàn)镽,且/（_苫）=屈=桐=/（x）,所以/（x）為偶函數(shù)，圖象關(guān)于V軸對稱，

故B正確；

對于選項(xiàng)C,當(dāng)x>0時，/卜）=?=￡，根據(jù)塞函數(shù)性質(zhì)可知，/（x）在（0,+8）上單調(diào)遞增，故C正確;

對于選項(xiàng)D,因?yàn)閨刈20,所以〃耳=桐20,故D錯誤.

故選：D

3.（2024高二下?湖南?學(xué)業(yè)考試）已知ae卜2,-1,；,3,且函數(shù)="）：”"a在（_8,+動上是

[x,x>0

增函數(shù)，則〃=（）

A.-2B.-1C.-D.3

2

【答案】C

【分析】根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性，列出不等式求解即可.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)=在（_8,+0O）上是增函數(shù)，

IJC,X>U

1-6Z>0

所以<a〉0,解得0<4<1,

-1<0°

又a+2,-1,；,3卜所以a=g.

故選:C

-2

（X+Q）,X<0

4.（24-25高三上?山東青島?開學(xué)考試）設(shè)/（'）=1，若/⑼是/（'）的最小值，則。的取值

XH--F6Z,X〉0

、X

范圍為()

A.[-1,0]B.[-1,2]C.[-2,-1]D.[-2,0]

【答案】A

【分析】根據(jù)分段函數(shù)的最值，結(jié)合二次函數(shù)和基本不等式，二次不等式求解.

(x+iz)",x<0

【詳解】由于/(x)=I，當(dāng)尤=0,〃0)=/,由于〃0)是“X)的最小值,

XH----Cl,X>0

則(一8,0]為減區(qū)間，即有則/Wx+L+a,x>0恒成立.

X

由1+=2,當(dāng)且僅當(dāng)x=l時取等號，所以a2<2+af解得一1VQV2.

x\x

綜上，a的取值范圍為[-1,0].

故選：A.

3cl—2

/\x-\----------X>1,

5.(23-24高二下?江蘇徐州?期末)已知函數(shù)/(尤)=x在R上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)。的取值范

(a+2)x-4,x<l

圍為()

-2~|「]1(1-

A.B.C.(-2,1]D.[^-2,--

【答案】B

【分析】根據(jù)函數(shù)在R上單調(diào)遞增，可知各段分別在對應(yīng)自變量范圍上單調(diào)遞增，且在x=l時滿足

l+3?-2>fl+2-4,在分析函數(shù)y=x+如匚的單調(diào)性時需分類討論.

X

3u—2

/、XH--------->1,

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)〃X)=X在R上單調(diào)遞增，

(a+2)x-4,x<l

2[1+3。—22。+2—41

當(dāng)3〃-2?0,即時，需滿足｛f解得。2-彳,

3。+2>02

19

所以-'4。（］；

J3a-2W1

2

當(dāng)3Q—2>0,即q>—時，需滿足<1+3。-2之a(chǎn)+2—4,

q+2>0

a<1

1192

即a~~^f解得又所以

a>—2

綜上，實(shí)數(shù)。的取值范圍為-g,l.

故選：B

6.(23-24高二下?山東德州?階段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=-4x-8-一二,xe[O,l],g(x)=x2-Amx-2m(m>l),

若對于任意王e[05，總存在七?0』，使得/(xJ=g(X2)成立，則實(shí)數(shù)加的取值范圍為()

A.|",2)B.C.[1,2]D.1,-|

【答案】D

【分析】先利用換元法將函數(shù)/(x),轉(zhuǎn)化為了=-4/-。-16,利用雙勾函數(shù)的性質(zhì)求得了(x)的值域，根據(jù)

二次函數(shù)的性質(zhì)求得g(x)的值域，再根據(jù)對于任意再目0,1],總存在工2式0』，使得〃毛)=8卜)成立，

則由g(x)的值域包含/(X)的值域求解.

ao

【詳解】/(x)=-4x-8--^-=-4(x-2)--^--16,xe[0,l],

x—2x—2

xG[0,1],x-2G[-2,-1],

O

設(shè)f=x-2,則八1則函數(shù)等價為y=T"=_16,

由對勾函數(shù)的單調(diào)性可得，

-3、9

tQ-2,-/J時，y=-4%-16單調(diào)遞減,

fe1|,-1時，y=-4-；-16單調(diào)遞增，

當(dāng)年-;時，函數(shù)取得最小值，Wn=-4x]一目一￡一16=6+6-16=-4,

2

Q7

當(dāng)/=—2時，y=8-----16=—,當(dāng)/二一1時，y=4+9-16=-3,

-22

設(shè)函數(shù)“X)的值域?yàn)镸,則函數(shù)〃尤)的值域M=[-4,-3]；

由g(x)=/-4機(jī)x-2m(m>l),g(x)在[0,1]上是減函數(shù)，

則最大值為g(O)=-2wt,最小值g⑴=1-4加-2加=1-6加，

設(shè)g(x)的值域?yàn)镹,則N=[l-6相,-2加

若對于任意再?0』，總存在工2式0』，使得〃xJ=g(X2)成立，

-2m>-3

3

則等價為M=BPl-6m<-4,解得"加Wj

m>\

3

所以實(shí)數(shù)加的取值范圍是1，-

故選:D.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)對于任意再且05，總存在使得/'a）=g（x2）成立，得出g（x）的值

域包含“X）的值域，是解決本題的關(guān)鍵.

二、多選題

7.（23-24高一上?河南新鄉(xiāng)?階段練習(xí)）關(guān)于暴函數(shù)/（x）=（相下列結(jié)論正確的是（）

A.“X）的圖象經(jīng)過原點(diǎn)B.“X）為偶函數(shù)

C.的值域?yàn)椋?,+巧D.〃龍）在區(qū)間（0,+8）上單調(diào)遞增

【答案】BC

【分析】由題意加-i=i,得y（x）=一,利用易函數(shù)的性質(zhì)判斷各選項(xiàng)即可.

【詳解】由題意，機(jī)-1=1,所以心=2,BPf（x）=x'z.

對于A,/⑺=鏟=：的定義域?yàn)椋?鞏0）U（0,討），

故"X）的圖象不經(jīng)過原點(diǎn)，A錯誤；

對于B,因?yàn)椤癤）=X-2=4的定義域?yàn)椋?叫。）U（0,+s）,

X

1：=/（x）,故"X）為偶函數(shù)，B正確;

（一工）2

對于C,由于/@）=4>0,故值域?yàn)椋?,+勸，C正確；

X

對于D,由于-2<0,故〃x）=x-2在區(qū)間（0,+8）上單調(diào)遞減，D錯誤.

故選：BC.

8.（2024高三?全國?專題練習(xí)）己知函數(shù)/■（x）=x+?a>0）在［2,4］上的最大值比最小值大1,貝壯的值可

以是（）

A.4B.12C.6-472D.6+4收

【答案】AD

【分析】根據(jù)對勾函數(shù)的單調(diào)性，對。進(jìn)行分類討論，從而得到。的可能取值.

【詳解】依題意可得了（x）=x+—（a>0）在（o,G）上單調(diào)遞減，在（G,+可上單調(diào)遞增，

當(dāng)夜42,即0<044時/（%）在［2,4］上單調(diào)遞增，所以〃X）M=〃4）=4+5

/(XL="2)=2+￡,

所以+t-[2+]]=2-：=1,解得a=4；

當(dāng)&24,即心16時，〃x)在[2,4]上單調(diào)遞減，所以〃*山=〃4)=4+%

/(X)max=/(2)=2+|,

所以，。),一/。)皿=2+]-[4+￡|=(-2=1,解得0=12,不符合題意,故舍去;

當(dāng)2<&<4,即4<”16時〃x)在[2,6]上單調(diào)遞減，在[&,4]上單調(diào)遞增，

所以/(x)mm=/(&)=,/⑴2=max]〃2),/(4)},

若4+(>2+|且4<a<16,即4<。<8,/(x)max=/(4)=4+p

所以/(x)m「/(x)min=4+f-2G=l，解得。=4或。=36,兩個解均舍去；

若4+%2+宙且4<a<16,BP8<a<16,/(x)^=/(2)=2+j,

所以/(x)m「/(x)min=2+，2G=l，解得a=6+4&或a=6-40(舍去)；

綜上可得a=6+4板或a=4.

故選：AD

三、填空題

9.（23-24高一上?天津?期中）若累函數(shù)y=x-2%3（加eN*）的圖象關(guān)于＞軸對稱，且在Q+網(wǎng)上單調(diào)遞減,

則滿足（4+1廠＞（3-2°尸的。的取值范圍為.

【答案】mS+t

【分析】先由函數(shù)單調(diào)性得m2-2m-3＜0＞進(jìn)而求出機(jī)=1或2,接著由嘉函數(shù)奇偶性得加=1,再結(jié)合函

數(shù)了=—的單調(diào)性分類討論即可解不等式（a+1）-1"＞（3-20r.

【詳解】因?yàn)槿瘮?shù)戶xm2-2"-\meN*）在（0,+功上單調(diào)遞減，

所以2加—3＜0,解得-1＜帆＜3,

又機(jī)eN*,所以加=1或2,

當(dāng)加=1時，塞函數(shù)為了=獷4,圖象關(guān)于y軸對稱，滿足題意；

當(dāng)加=2時，嘉函數(shù)為＞=/3,圖象不關(guān)于y軸對稱，舍去，

所以心=1,不等式(a+l)-m>(3-2a)-m為(a+1尸>(3-2a尸,

因?yàn)楹瘮?shù)y=/在(-叫0)和(0,+s)上單調(diào)遞減，

所以a+l<3-2a<0或3-2a>a+l>0或3-2a<0<a+l,

解得-2或〃〉；3.

故答案為：卜，

10.(23-24高一上?湖北武漢?期末)若幕函數(shù)〃x)=(/+?7一5)--2"-3為偶函數(shù)，則不等式

〃2x-l)>/(x+3)的解集為.

【答案】1-8,4卜(4,+8)

【分析】由事函數(shù)的概念和性質(zhì)確定加的值，再根據(jù)單調(diào)性求解不等式.

【詳解】因?yàn)榻饬?(療+加-5)/H+3為幕函數(shù),

貝!J加2+加一5=1,解得機(jī)=-3,或冽=2,

當(dāng)a=2時，/(x)=x3,為奇函數(shù)，不符合題意；

當(dāng)機(jī)=-3時，f(x)=x18,為偶函數(shù)，符合題意,

且在(-叫。)上單調(diào)遞減，在(0,+功上單調(diào)遞增，

若〃2x_l)>/(x+3),則|2X-1|>|X+3],

2

解得x<-(或x>4,即不等式的解集為

2

故答案為:—00,-------

3

11.(22-23高一上?江蘇鹽城?階段練習(xí))因函數(shù)/(x)=x+：(/>0)的圖像形狀像對勾，我們稱形如

“/(x)=x+；”0)”的函數(shù)為“對勾函數(shù)”.該函數(shù)具有性質(zhì)：在(0,〃)上是減函數(shù)，在[”,+(?)上是增函數(shù),

若對勾函數(shù)/3=》+；(/>0)對于任意的丘2+,都有/,-84/,+￡|,則實(shí)數(shù),的最大值為.

3

【答案】丁。.75

【分析】由/("：)"%+()，移項(xiàng)后代入〃x)=x+2>0),構(gòu)造新的關(guān)系式，對上分類討論，轉(zhuǎn)化為

22