四十九概率的基本性質(時間:45分鐘分值:95分)【基礎全面練】1.(5分)(多選)下列說法正確的是()A.必然事件的概率等于1B.隨機事件的概率可以等于1.1C.不可能事件的概率是0D.P(A∪B)=P(A)+P(B)【解析】選AC.必然事件一定發生,故其概率是1,A正確;必然事件的概率是1,故概率為1.1的事件不存在,B不正確;不可能事件的概率是0,C正確;當A,B為互斥事件時,P(A∪B)=P(A)+P(B),D不正確.2.(5分)甲、乙兩隊舉行足球比賽,若甲隊獲勝的概率為13,則乙隊不輸的概率為(A.56 B.34 C.23 【解析】選C.乙隊不輸的概率為1-13=23.(5分)(2024·重慶高一檢測)已知A,B,C,D四個開關控制著1,2,3,4號四盞燈,只要打開開關A則1,4號燈就會亮,只要打開開關B則2,3號燈就會亮,只要打開開關C則3,4號燈就會亮,只要打開開關D則2,4號燈就會亮.開始時,A,B,C,D四個開關均未打開,四盞燈也都沒亮.現隨意打開A,B,C,D這四個開關中的兩個不同的開關,則其中2號燈亮的概率為()A.16 B.13 C.12 【解析】選D.由題意,隨意打開A,B,C,D這四個開關中的兩個不同的開關,共有AB,AC,AD,BC,BD,CD種,其中只有打開AC開關時2號燈不會亮,其余情況2號燈均會亮,所以2號燈燈亮的概率為1-16=54.(5分)(多選)利用簡單隨機抽樣的方法抽查某工廠的100件產品,其中一等品有20件,合格品但非一等品的有70件,其余為不合格品,現在這個工廠隨機抽查一件產品,設事件A為“是一等品”,B為“是合格品”,C為“是不合格品”,則下列結果正確的是()A.P(B)=710 B.P(A∪B)=C.P(A∩B)=0 D.P(A∪B)=P(C)【解析】選ABC.由題意知A,B,C為互斥事件,故C正確;又因為從100件中抽取產品符合古典概型的條件,所以P(B)=710,P(A)=210,P(C)=110,則P(A∪B)=5.(5分)(2024·石家莊高一檢測)擲一枚骰子的試驗中,出現各點的概率為16.事件A表示“小于5的偶數點出現”,事件B表示“小于5的點數出現”,則一次試驗中,事件A∪B(B表示事件B的對立事件)發生的概率為(A.13 B.12 C.23 【解析】選C.由題意,知B表示“大于或等于5的點數出現”,事件A與事件B互斥,由概率的加法計算公式可得P(A∪B)=P(A)+P(B)=26+26=466.(5分)圍棋盒子中有多粒黑子和白子,已知從中取出兩粒都是黑子的概率是17,從中取出兩粒都是白子的概率是1235,則從中任意取出兩粒恰好是同一色的概率是________,任意取出兩粒恰好不同色的概率是【解析】易知事件“從中取出兩粒都是黑子”與“從中取出兩粒都是白子”為互斥事件,事件“兩粒恰好是同一色”與“兩粒恰好不同色”為對立事件.故兩粒恰好是同一色的概率為17+1235=1735,兩粒恰好不同色的概率為1-17答案:17357.(5分)某公司三個分廠的職工情況為:第一分廠有男職工4000人,女職工1600人;第二分廠有男職工3000人,女職工1400人;第三分廠有男職工800人,女職工500人.如果從該公司職工中隨機抽選1人,則該職工為女職工或為第三分廠的職工的概率為________.

【解析】記事件A為“抽取的職工為女職工”,事件B為“抽取的職工為第三分廠的職工”,則A∩B表示“抽取的職工為第三分廠的女職工”,A∪B表示“抽取的職工為女職工或第三分廠的職工”.由題意可知,該公司三個分廠的職工共有4000+1600+3000+1400+800+500=11300(人),則P(A)=1600+1P(B)=800+50011300P(A∩B)=50011300所以P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)=35113+13113-5113答案:438.(5分)(2024·梅州高一檢測)若隨機事件A,B互斥,A,B發生的概率均不等于0,且P(A)=2-a,P(B)=4a-5,則實數a的取值范圍是____________.

【解析】由題意可知0<所以0<2-a所以54<a≤4即實數a的取值范圍為(54,43答案:(54,49.(10分)一名射擊運動員在一次射擊中射中10環,9環,8環,7環,7環以下的概率分別為0.24,0.28,0.19,0.16,0.13.計算這名射擊運動員在一次射擊中:(1)射中10環或9環的概率;(2)至少射中7環的概率;(3)射中環數小于8環的概率.【解析】設“射中10環”“射中9環”“射中8環”“射中7環”“射中7環以下”的事件分別為A,B,C,D,E,可知它們彼此之間互斥,且P(A)=0.24,P(B)=0.28,P(C)=0.19,P(D)=0.16,P(E)=0.13.(1)P(射中10環或9環)=P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.24+0.28=0.52,所以射中10環或9環的概率為0.52.(2)事件“至少射中7環”與事件E=“射中7環以下”是對立事件,則P(至少射中7環)=1-P(E)=1-0.13=0.87.所以至少射中7環的概率為0.87.(3)事件“射中環數小于8環”包含事件D=“射中7環”與事件E=“射中7環以下”兩個事件,則P(射中環數小于8環)=P(D∪E)=P(D)+P(E)=0.16+0.13=0.29.10.(10分)某學校的籃球隊、羽毛球隊、乒乓球隊各有10名隊員,某些隊員不止參加了一支球隊,具體情況如圖所示,現從中隨機抽取一名隊員,求:(1)該隊員只屬于一支球隊的概率;(2)該隊員最多屬于兩支球隊的概率.【解析】分別令“抽取一名隊員只屬于籃球隊、羽毛球隊、乒乓球隊”為事件A,B,C.由題圖可知3支球隊共有球員20名,則P(A)=520,P(B)=320,P(C)=(1)令“抽取一名隊員,該隊員只屬于一支球隊”為事件D.則D=A∪B∪C,因為事件A,B,C兩兩互斥,所以P(D)=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=520+320+420(2)令“抽取一名隊員,該隊員最多屬于兩支球隊”為事件E,則E為“抽取一名隊員,該隊員屬于3支球隊”,所以P(E)=1-P(E)=1-220=9【綜合應用練】11.(5分)(2024·吉安高一期末)已知事件A,B是互斥事件,P(A)=16,P(B)=23,則P(A∪B)=(A.118 B.49 C.12 【解析】選C.因為P(B)=1-P(B),P(B)=23,所以P(B)=1因為事件A,B是互斥事件,所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=16+13=12.(5分)(多選)(2024·深圳高一檢測)口袋里裝有1紅、2白、3黃共6個形狀、大小相同的小球,從中任取2球,事件A=“取出的兩球同色”,B=“取出的2球中至少有一個黃球”,C=“取出的2球中至少有一個白球”,D=“取出的兩球不同色”,E=“取出的2球中至多有一個白球”,下列判斷中正確的是()A.事件A與D為對立事件B.事件B與C是互斥事件C.事件C與E為對立事件D.P(C∪E)=1【解析】選AD.由對立事件定義得A與D為對立事件,故A正確;B與C有可能同時發生,故B與C不是互斥事件,故B錯誤;C與E有可能同時發生,不是對立事件,故C錯誤;P(C)=1-615=35,P(E)=1415,P(CE)=815,從而P(C∪E)=P(C)+P(E)-P13.(5分)事件A,B互斥,它們都不發生的概率為25,且P(A)=2P(B),則P(A)=________【解析】因為事件A,B互斥,它們都不發生的概率為25,所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=1-25=35.又因為P(A)=2P(B),所以P(A)+12P(A)=35,所以P答案:214.(10分)某校在元旦聯歡會上設有一個抽獎游戲.抽獎箱中共有12張紙條,分別設置一等獎、二等獎、三等獎、無獎.從中任取一張,不中獎的概率為12,中二等獎或三等獎的概率為5(1)任取一張,求中一等獎的概率;(2)若任取一張,中一等獎或二等獎的概率為14,求中三等獎的概率【解析】(1)設事件A=“任取一張,中一等獎”,事件B=“任取一張,中二等獎”,事件C=“任取一張,中三等獎”,事件D=“任取一張,不中獎”,則事件A,B,C,D兩兩互斥.由條件可得P(D)=12P(B∪C)=P(B)+P(C)=512由題意知P(A)=1-P(B∪C∪D)=1-P(B∪C)-P(D)=1-512-12=所以任取一張,中一等獎的概率為112(2)因為P(A∪B)=P(A)+P(B)=14,且P(A)=112,所以P(B)=14-1又因為P(B∪C)=P(B)+P(C)=512所以P(C)=14所以任取一張,中三等獎的概率為1415.(10分)某停車場臨時停車按時段收費,收費標準如下:每輛汽車一次停車不超過1小時收費6元,超過1小時的部分每小時收費8元(不足1小時按1小時計算).現有甲、乙兩人在該地停車,兩人停車都不超過4小時.(1)若甲停車1小時以上且不超過2小時的概率為13,停車費多于14元的概率為5(2)若甲、乙兩人每人停車的時長在每個時段的可能性相同,求甲、乙兩人停車費之和為28元的概率.【解析】(1)記“一次停車不超過1小時”為事件A,“一次停車1到2小時”為事件B,“一次停車2到3小時”為事件C,“一次停車3到4小時”為事件D.由已知得P(B)=13,P(C∪D)=5又因為事件A,B,C,D兩兩互斥,且P(A∪B∪C∪D)=1,所以P(A)=