十九復數的加、減運算及其幾何意義(時間:45分鐘分值:90分)【基礎全面練】1.(5分)已知復數z1=12-3i,z2=-9+i,則z1+z2的實部與虛部分別為()A.3,-2 B.3,-2iC.2,-3 D.2,-3i【解析】選A.因為z1=12-3i,z2=-9+i,所以z1+z2=3-2i,其實部與虛部分別為3,-2.2.(5分)已知復數z1=1+ai,z2=2a-3i(a∈R).若復數z1-z2是純虛數,則實數a的值為()A.-3 B.12 C.13 D【解析】選B.由題意,知z1-z2=(1+ai)-(2a-3i)=1-2a+(a+3)i.若復數z1-z2是純虛數,則1-2a=0,且a+3≠0,解得a=123.(5分)(2024·鄭州高一檢測)復數6+5i與-3+4i分別表示向量與,則表示向量的復數為()A.3+9i B.2+8iC.-9-i D.9+i【解析】選D.復數6+5i與-3+4i分別表示向量與,因為=-,所以表示向量的復數為(6+5i)-(-3+4i)=9+i.4.(5分)(多選)若復數z滿足z+(3-4i)=1,則()A.z的實部是-2 B.z的虛部是4C.|z|=2 D.z=-2-4i【解析】選ABD.z=1-(3-4i)=-2+4i,則z的實部是-2,虛部是4,|z|=25,z=-2-4i.5.(5分)已知復數z對應的向量如圖所示,則復數z+1所對應的向量正確的是()【解析】選A.由題圖可知,z=-2+i,所以z+1=-1+i,則復數z+1所對應的向量的坐標為(-1,1).6.(5分)(2024·無錫高一檢測)i是虛數單位,若復數z滿足|z-3i|=2,則|z|的取值范圍是()A.[1,5] B.[3-2,3+2]C.[0,5] D.[0,3+2]【解析】選A.在復平面內,若復數z滿足|z-3i|=2,則復數z對應的點Z的軌跡是以(0,3)為圓心,半徑為2的圓,|z|的幾何意義是點Z到原點的距離,所以3-2≤|z|≤3+2,所以|z|的取值范圍是[1,5].7.(5分)若復數z滿足z+(3-4i)=1,則z的虛部是__________.

【解析】因為z+(3-4i)=1,所以z=-2+4i,故z的虛部是4.答案:48.(5分)已知z1=m2-3m+m2i,z2=4+(5m+6)i,其中m為實數,i為虛數單位,若z1-z2=0,則m的值為__________.

【解析】由題意可得z1-z2=0,即m2-3m+m2i=4+(5m+6)i,根據兩個復數相等的充要條件可得m2解得m=-1.答案:-19.(5分)(2024·北京高一檢測)如圖,在復平面內,復數z1,z2對應的向量分別是,,則|z1+z2|=__________.

【解析】依題意可得=(2,1),=(-1,1),所以z1=2+i,z2=-1+i,所以z1+z2=(2+i)+(-1+i)=1+2i,所以|z1+z2|=12+2答案:510.(10分)計算:(1)2-12i+12-2i;(2)(3+2i)+(3-2)i;(3)(1+2i)+(i+i2)+|3+4i|;(4)(6-3i)+(3+2i)-(3-4i)-(-2+i).【解析】(1)原式=2+12-12+2i=52-52i.(2)原式=3+(2+3-2)i=3+3i.(3)原式=1+2i+i-1+5=5+3i.(4)原式=[6+3-3-(-2)]+[-3+2-(-4)-1]i=8+2i.【綜合應用練】11.(5分)設z1=x+2i,z2=3-yi(x,y∈R),且z1+z2=5-6i,則z1-z2=()A.2+8i B.-2+10iC.1-10i D.-1+10i【解析】選D.因為z1=x+2i,z2=3-yi,且z1+z2=5-6i,所以(x+3)+(2-y)i=5-6i,所以x+3=5,所以z1-z2=(2+2i)-(3-8i)=-1+10i.12.(5分)(多選)已知i為虛數單位,下列說法正確的是()A.若復數z滿足|z-i|=5,則復數z在復平面內對應的點在以(1,0)為圓心,5為半徑的圓上B.若復數z滿足z+|z|=2+8i,則復數z=15+8iC.復數的模實質上是復平面內復數對應的點到原點的距離,也就是復數對應的向量的模D.非零復數z1對應的向量為,非零復數z2對應的向量為,若|z1+z2|=|z1-z2|,則⊥【解析】選CD.對于A項,滿足|z-i|=5的復數z在復平面內對應的點在以(0,1)為圓心,5為半徑的圓上,故A錯誤;對于B項,設z=a+bi(a,b∈R),則|z|=a2由z+|z|=2+8i可得,a+a2+b根據復數相等的條件可得a+解得a=-15對于C項,由復數的模的定義知C正確;對于D項,由|z1+z2|=|z1-z2|的幾何意義知,以,為鄰邊的平行四邊形為矩形,從而兩鄰邊垂直,故D正確.【補償訓練】(多選)設復數z的共軛復數為z,i為虛數單位,則下列命題為真命題的是()A.z+z∈RB.z-z是純虛數C.若z=cosπ5+isin3π5,則|D.若|z-i|=1,則|z|的最大值為2【解析】選AD.因為復數z與其共軛復數z的實部相等,虛部互為相反數,所以z+z∈R,A為真命題;當z為實數時,z也為實數,則z-z是實數,B為假命題;若z=cosπ5+isin3π則|z|=cos|z-i|=1表示以點(0,1)為圓心,1為半徑的圓,結合圖形(圖略)知,|z|的最大值為圓心到原點的距離與半徑之和,即為1+1=2,D為真命題.13.(5分)如果一個復數與它的模的和為5+3i,那么這個復數是__________.

【解析】設這個復數為a+bi(a,b∈R),則|a+bi|=a2+b2.由題意知a+bi+即a+a2+b2+所以a+a2+b2=5,b所以所求復數為115+3i答案:115+314.(10分)已知復數z1=a+(7-a)i,z2=5+(3a+1)i(a∈R,i是虛數單位).(1)若z2的實部與z1的模相等,求實數a的值;(2)若復數z1+z2在復平面內對應的點在第四象限,求實數a的取值范圍.【解析】(1)依題意,|z1|=a2+(7-a)2=2a2-14a+49,因為z2的實部與z(2)因為z1+z2=(a+5)+(2a+8)i,且z1+z2在復平面內對應的點在第四象限,所以a+5>0,2a+8<0,15.(10分)(2024·福州高一檢測)已知在復平面內,平行四邊形OABC的三個頂點O,A,C對應的復數分別為0,3+2i,-2+4i.(1)求點B所對應的復數z0;(2)若復數z滿足|z-z0|=1,則復數z在復平面內所對應的點的集合是什么圖形?【解析】(1)由已知得=(3,2),=(-2,4),所以=+=(1,6),所以點B對應的復數z0=1+6i.(2)設復數z在復平面內所對應的點為Z.因為|z-z0|=1,所以點Z到點B(1,6)的距離為1,所以滿足|z-z0|=1的點Z的集合是以B(1,6)為圓心,1為半徑的圓.【補償訓練】已知z0=2+2i,|z-z0|=2.(1)復數z在復平面內對應的點Z的集合是什么圖形?(2)求|z|的最小值和最大值.【解析】(1)設z0在