專題18幾何圖形初步【十二大題型】

＞題型梳理1

【題型1從不同方向看幾何體】.................................................................3

【題型2由展開圖計算幾何體的表面積、體積】..................................................5

【題型3正方體的展開圖】.....................................................................8

【題型4兩點之間的距離】....................................................................10

【題型5與線段中點有關的計算】..............................................................13

【題型6角平分線的相關計算】................................................................15

【題型7與余角、補角、對頂角有關的計算】...................................................18

【題型8利用平行線的判定進行證明】.........................................................21

【題型9平行線判定或性質的實際應用】.......................................................24

【題型10由平行線的性質求解】...............................................................28

【題型11根據平行線性質與判定求角度】.......................................................31

【題型12根據平行線性質與判定證明】.........................................................35

，舉一反三

【知識點幾何圖形初步】

1.直線、射線、線段

(1)直線：經過兩點有一條直線，并且只有一條直線。簡稱：兩點確定一條直線。

(2)相交線：當兩條不同的直線有一個公共點時，我們就稱這兩條直線相交。這個公共點叫做它們的交點。

(3)兩點的所有連線中，線段最短。簡稱：兩點之間，線段最短。

連接兩點間的線段的長度，叫做這兩點的距離。

(4)線段的中點：線段上的一個點把線段分成相等的兩條線段，這個點叫做線段的中點。

(5)直線沒有端點，向兩方無限延伸，不可度量；

射線有一個端點，向一方無限延伸，不可度量；

線段有兩個端點，不向任何一方延伸，能度量。

2.角

(1)定義：有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角。這個公共端點是角的頂點，兩條射線是角的兩條邊。

⑵角的度量

1°=60,1'=60"

(3)角的分類

①銳角(0。＜01＜90。)

②直角(a=90。)

③鈍角(90。＜式＜180。)

④平角(a=180。)

⑤周角(a=360°)

(4)角的平分線：從一個角的頂點出發，把這個角分成兩個相等的角的射線，叫做這個角的平分線。

(5)角平分線的性質：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等。

角的內部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上。

(6)余角與補角

余角：一般地，如果兩個角的和等于90。(直角)，就說這兩個角互為余角。

補角：如果兩個角的和等于180。(平角)，就說這兩個角互為補角。

性質：同角(等角)的余角相等。同角(等角)的補角相等。

3.鄰補角與對頂角

鄰補角：有一條公共邊，另一邊互為反向延長線的兩個角，叫做互為鄰補角。

對頂角：有一個公共頂點，一個角的兩邊分別是另一個角的兩邊的反向延長線，這兩個角叫做對頂角。

注：對頂角相等。

如：N1和42互為鄰補角，42和43互為對頂角。

4.垂線

(1)定義：兩直線相交所構成的四個角中有一個角是直角時，我們就說這兩條直線互相垂直，其中一條直線

叫做另外一條直線的垂線，它們的交點叫做垂足。

(2)性質：在同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直；

連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短。

(3)點到直線的距離：直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離。

3.同位角.內錯角洞旁內角

如圖，Z.1和44是同位角，43和/_4是內錯角，42和乙4是同旁內角。

5.平行線

(1)定義：在平面內不相交的兩條直線叫做平行線。

(2)平行公理

經過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行；

如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行。

(3)平行線的性質

兩直線平行，同位角相等，內錯角相等，同旁內角互補。

兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等；

兩條平行線被第三條直線所截，內錯角相等；

兩條平行線被第三條直線所截，同旁內角互補。

(4)平行線的判定

同位角相等，兩直線平行；內錯角相等，兩直線平行；同旁內角互補，兩直線平行。

兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行；

兩條直線被第三條直線所截，如果內錯角相等，那么這兩條直線平行；

兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內角互補，那么這兩條直線平行。

【題型1從不同方向看幾何體】

【例1】(2023?湖南?統考中考真題)作為中國非物質文化遺產之一的紫砂壺，成型工藝特別，造型式樣豐

富，陶器色澤古樸典雅，從一個方面鮮明地反映了中華民族造型審美意識.如圖是一把做工精湛的紫砂壺“景

舟石瓢“，下面四幅圖是從左面看到的圖形的是()

【分析】本題考查了從三個方面看物體，準確把握從正面、左面和上面三個方向看立體圖形得到的平面圖

形是解決問題的關鍵.從正面、左面和上面三個方向看立體圖形得到的平面圖形，注意所有的看到的或看

不到的棱都應表現在視圖中，看得見的用實線，看不見的用虛線，虛實重合用實線.

【詳解】解：從左面看，得到的平面圖形是

故選：B.

【變式1-1]（2023?海南省直轄縣級單位?統考一模）用3個同樣的小正方體擺出的幾何體，從三個方向看

到的圖形分別如下圖：

從正面看從上面看從左面看

這個幾何體是（）.

B.由

【答案】B

【分析】結合從不同方向看幾何體的圖形作出判斷即可.

【詳解】解：根據從正面看到的圖形，可以將A、C、D排除，

故選：B.

【點睛】本題考查了由不同方向看判斷幾何體的知識，解題的關鍵是能夠弄懂從不同方向看幾何體分別是

從哪里看到的.

【變式1-2]（2023?湖北省直轄縣級單位?統考模擬預測）如圖所示是由五個大小相同的正方體搭成的幾何

體，則關于它從正面看、從左面看、從上面看到的平面圖形，下列說法正確的是（）

A.從正面看的圖形面積最小B.從上面看的圖形面積最小

C.從左面看的圖形面積最小D.從三個方向看的圖形面積一樣大

【答案】C

【分析】分別作出從正面看、從左面看、從上面看到的平面圖形，然后結合選項判斷其面積大小即可.

【詳解】解：該圖形的從正面看到的平面圖形為：

該圖形的從左面看到的平面圖形為:

該圖形的從上面看到的平面圖形為:

可知從左面看到的平面圖形面積最小，從正面看到的平面圖形面積和從上面看到的平面圖形面積一樣大,

故選：C.

【點睛】此題考查了從不同的方向看簡單組合體，解題的關鍵是畫出這個組合體從不同方向看的圖形.

【變式1-3］（2023?黑龍江牡丹江?統考二模）由一些大小相同的小正方體搭成的幾何體的左視圖和主視圖

如圖所示，則搭成這個幾何體的小正方體的個數最少是（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】C

【分析】作出相應的俯視圖，標出搭成該幾何體的小正方體的個數最少時的數字即可.

【詳解】由所給的主視圖和左視圖可知：

左視圖主視圖俯視圖

搭成這個幾何體的小正方體的個數最少5個,

故選：C.

【點睛】此題考查了由三視圖判斷幾何體，解題的關鍵是對知識點的記憶、理解能力.

【題型2由展開圖計算幾何體的表面積、體積】

【例2】（2023?江蘇無錫?統考中考真題）若直三棱柱的上下底面為正三角形，側面展開圖是邊長為6的正

方形，則該直三棱柱的表面積為.

【答案】36+2V3/2V3+36

【分析】根據題意得出正三角形的邊長為2,進而根據表面積等于兩個底面積加上側面正方形的面積即可求

解.

【詳解】解：???側面展開圖是邊長為6的正方形，

???底面周長為6,

???底面為正三角形，

??.正三角形的邊長為2

作CD1AB,

???△ABC是等邊三角形，AB=BC=AC=2,

AD—1,

???在直角A40C中，

CD='AC2—AD2=V3,

SAABC=5x2xV3=V3；

???該直三棱柱的表面積為6X6+2V3=36+2V3,

故答案為：36+2V3.

【點睛】本題考查了三棱柱的側面展開圖的面積，等邊三角形的性質，正方形的性質，熟練掌握以上知識

是解題的關鍵.

【變式2-1］（2023?四川?統考中考真題）某商品的外包裝盒的三視圖如圖所示，則這個包裝盒的體積是（）

A.2007tcm3B.SOOncm3C.1OOOncm3D.20007tcm3

【答案】B

【詳解】試題分析：根據圖示，可得商品的外包裝盒是底面直徑是10cm,高是20cm的圓柱，，這個包裝盒

的體積是：兀*（10+2）2義20=500兀（cm3）.故選B.

考點：由三視圖判斷幾何體.

【變式2-2］（2023?湖北?中考真題）如圖是一個幾何體的三視圖（圖中尺寸單位：CM）,根據圖中所示數

據計算這個幾何體的表面積為cm2.

【答案】47r.

【分析】由主視圖和左視圖確定是柱體，錐體還是球體，再由俯視圖確定具體形狀，確定圓錐的母線長和

底面半徑，從而確定其表面積.

【詳解】由主視圖和左視圖為三角形判斷出是錐體，由俯視圖是圓形可判斷出這個幾何體應該是圓錐；

根據三視圖知：該圓錐的母線長為3cm,底面半徑為1cm,

故表面積=7irl+7rr2=7tx1x3+7txl2=47rcm2.

故答案為47t.

【點睛】考查學生對三視圖掌握程度和靈活運用能力，同時也體現了對空間想象能力方面的考查.

【變式2-3］（2023?廣西南寧?統考一模）學習《設計制作長方體形狀的包裝紙盒》后，小寧從長方形硬紙

片上截去兩個矩形（圖中陰影部分），再沿虛線折成一個無蓋的長方體紙盒.紙片長為30cm,寬為18cm,

AD=2AB,則該紙盒的容積為（）

A.960cm3B.800cm3C.650cm3D.648cm3

【答案】D

【分析】設力B=xcm,貝iMD=2比cm,列出關于x的方程并求解，再計算該紙盒的容積.

【詳解】解：設4B=xcm,貝！|4D=2xcm,

2x+x=18,

解得：x=6,

所以ZB=6cni,AD=12cm,

則長方體的底面寬為：（30-6X2）=9（cm）,

所以該紙盒的容積為：12X9X6=648（cm3）

故選：D

【點睛】此題主要考查了展開圖折疊成幾何體及一元一次方程應用，解題的關鍵是正確題意，然后根據題

目的數量關系列出代數式解決問題.

【題型3正方體的展開圖】

【例3】（2023?湖南益陽?統考中考真題）下列正方體的展開圖中，是軸對稱圖形的是（）

【分析】根據軸對稱圖形的定義分別判斷可得出結果.

【詳解】解：由軸對稱圖形定義可知：A,B,C不能找到這樣的一條直線使圖形沿著這條直線對折后兩部

分完全重合，所以不是軸對稱圖形；

D選項中的圖形能找到這樣的一條直線使圖形沿著這條直線對折后兩部分完全重合，是軸對稱圖形，

故選：D.

【點睛】此題主要是考查了軸對稱圖形的定義，如果一個圖形沿著一條直線對折后兩部分完全重合，那么

這樣的圖形就叫做軸對稱圖形.

【變式3-1]（2023?四川巴中?統考中考真題）某同學學習了正方體的表面展開圖后，在如圖所示的正方體

的表面展開圖上寫下了“傳承紅色文化”六個字，還原成正方體后，“紅”的對面是（）

A.傳B.承C.文D.化

【答案】D

【分析】正方體的平面展開圖中，相對面的特點是之間一定相隔一個正方形，據此作答.

【詳解】解：???正方體的平面展開圖中，相對面的特點是之間一定相隔一個正方形，

???在此正方體上與“紅'’字相對的面上的漢字是“化

故選：D.

【點睛】本題考查了正方體的展開圖形，解題關鍵是從相對面入手進行分析及解答問題.

【變式3-2］（2023?山東?統考中考真題）如圖是一正方體的表面展開圖.將其折疊成正方體后，與頂點K

距離最遠的頂點是（）

DCB

A

K

A.A點B.B點、C.C點D.D點

【答案】D

【分析】根據題意畫出立體圖形，即可求解.

【詳解】解：折疊之后如圖所示，

則K與點。的距離最遠，

故選D.

【點睛】本題考查了正方體的展開與折疊，學生需要有一定的空間想象能力.

【變式3-3］（2023?山東青島?統考中考真題）一個不透明小立方塊的六個面上分別標有數字1,2,3,4,

5,6,其展開圖如圖①所示.在一張不透明的桌子上，按圖②方式將三個這樣的小立方塊搭成一個幾何體,

則該幾何體能看得到的面上數字之和最小是（）

圖①圖②

A.31B.32C.33D.34

【答案】B

【分析】根據正方體展開圖的特征，得出相對面上的數字，再結合正方體擺放方式，得出使該幾何體能看

得到的面上數字之和最小，則看不見的面數字之和要最大，即可解答.

【詳解】解：由圖①可知：1的相對面是3,2的相對面是4,5的相對面是6,

由圖2可知：

要使該幾何體能看得到的面上數字之和最小，則看不見的面數字之和要最大，

上面的正方體有一個面被遮住，則這個面數字為6,

能看見的面數字之和為：1+2+3+4+5=15；

左下的正方體有3個面被遮住，其中兩個為相對面，則這三個面數字分別為4,5,6,

能看見的面數字之和為：1+2+3=6；

右下的正方體有2個面被遮住，這兩個面不是相對面，則這兩個面數字為4,6,

能看見的面數字之和為：1+2+3+5=11；

???能看得到的面上數字之和最小為：15+6+11=32,

故選：B.

【點睛】本題主要考查了正方體的相對面，掌握正方體展開圖中“相間一行是相對面“，是解題的關鍵.

【題型4兩點之間的距離】

【例4】（2023?山東?中考真題）已知線段AB=8cm,在直線AB上畫線段BC,使它等于3cm,貝峨段AC=

【答案】5或11

【分析】由于C點的位置不能確定，故要分兩種情況考慮AC的長，注意不要漏解.

【詳解】由于C點的位置不確定，故要分兩種情況討論：

當C點在B點右側時，如圖所示：

ABC

III

AC=AB+BC=8+3=11cm；

當C點在B點左側時，如圖所示：

ACB

III

AC=AB-BC=8-3=5cm；

所以線段AC等于11cm或5cm.

【變式4-1］（2023?重慶江津?重慶市江津中學校校考二模）如圖，/、B、C、。依次是直線上的四個點，

且線段4B+CD=5,則線段4D-BC=

~AB~CD-

【答案】5

【分析】根據圖形得出AD-BC=AB+CD即可求解.

【詳解】解：,:AB+CD=5,

■.AD-BC=AB+CD=5.

故答案為：5.

【點睛】題目主要考查線段的和差，結合圖形求解是解題關鍵.

【變式4-2］（2023?四川?中考真題）直線上依次有A,B,C,D四個點，AD=7,AB=2,若AB,BC,CD

可構成以BC為腰的等腰三角形，則BC的長為.

【答案】2或2.5

【分析】由N8,BC,CD可構成以8c為腰的等腰三角形，分或BC=CD兩種情況結合已知條件進

行求解即可得.

【詳解】解：如圖

BCD~

?；AB=2,AD=7,

.-.BD=BC+CD=AD-AB=5,

■■AB,BC,CD可構成以3c為腰的等腰三角形，

：.BC=AB或BC=CD,

：.BC=2或8c=2.5,

故答案為2或2.5.

【點睛】本題考查了線段的和差，等腰三角形的概念，關鍵是根據等腰三角形的腰相等分兩種情況進行討

論.

【變式4-3](2023?浙江杭州?模擬預測)如圖所示，〃是線段N8上一定點，AB=12cm,C,。兩點分別

從點8出發以lcm/s,2cm/s的速度沿直線8/向左運動，運動方向如箭頭所示(點C在線段上，

點。在線段的W上).

(1)當點C,。運動了2s時，求4C+M。的值.

(2)若點C,。運時，總有MD=22。，則AM=.

(3)在(2)的條件下，N是直線上一點，且AN—BN=MN,求燃的值.

AD

<----<-------

ACMDB

【答案】(1)6cm；(2)4；(3)g或1

【分析】(1)由題意得CA7=2cm,BD=4cm,根據可得答案；

(2)根據C、。的運動速度知8。=2九7C,再由已知條件MD=2/C求得所以4W=|”；

(3)分點N在線段N8上時和點N在線段的延長線上時分別求解可得.

【詳解】解：(1)當點C、。運動了2s時，CM=2cm,BD=4cm

CM=2cm,BD=4cm,

:.AC+MD=AM-CM+BM-BD=AB-CM-BD=12-2-4=6(cm)；

(2)根據C、。的運動速度知：BD=2MC,

-MD=2AC,

：.BD+MD=2(MC+ZC),即MB=2AM,

,：AM+BM=AB,

：-AM+2AM=AB,

'-AM=^AB=4f

故答案為：4；

(3)①當點N在線段上時，如圖1,

AC__MNDB

圖1

■：AN-BN=MN,

又?:AN-AM=MN,

.■.BN=AM=4,

:.MN=AB-AM-BN=l2-4-4=4,

MN41

，，-4F-12-3；

②當點N在線段的延長線上時，如圖2,

ACMDBN

圖2

■■AN-BN=MN,

又?:AN-BN=AB,

：.MN=AB=n,

MN12

市=運4

綜上：的值為［或1.

/it)J

【點睛】本題考查了兩點間的距離，靈活運用線段的和、差、倍、分轉化線段之間的數量關系是十分關鍵

的一點.

【題型5與線段中點有關的計算】

【例5】(2023?河北滄州?模擬預測)/、B、C、。四個車站的位置如圖所示.

a+力

<------------------------------------->

3a+2b

(1)4C兩站的距離；

(2)C、。兩站的距離；

(3)若a=6,C為4D的中點，求b的值.

【答案】⑴3a

(2)a+3b

(3)4

【分析】(1)根據題意列出關系式，合并即可得到結果;

(2)根據題意列出關系式，去括號合并即可得到結果；

(3)根據中點的定義列出方程計算即可求解.

【詳解】(1)'-AC=AB+BC=a+b+2a—b=3a

.?/、。兩站的距離為：3a；

(2)'-CD-BD—BC—(3a+26)—(2a-6)=3a+2b-2a+b=a+3b,

,C＞。兩站的距離為：a+3b；

(3)???C為40的中點，

.\AC=DC,

.'-3a=a+3瓦

當a=6時，3x6=6+35,

解得b=4.

【點睛】此題考查了整式的加減，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵.

【變式5-1](2023?寧夏?統考中考真題)如圖，點4B,C在數軸上，點/表示的數是一1,點B是AC的中

點，線段48=或，則點C表示的數是.

AilBlC[?

-10

【答案】2應—1

【分析】根據兩點間的距離公式和中點平分線段進行計算即可.

【詳解】解：?.?點B是2C的中點，線段48=近，

.'.AC—2^2,

二點C表示的數是：2魚-1；

故答案為：2V^-1.

【點睛】本題考查數軸上兩點間的距離，以及線段的中點.熟練掌握線段中點的定義，以及數軸上兩點間

的距離公式，是解題的關鍵.

【變式5-2](2023?河南?模擬預測)如圖，點C是線段上的點，點。是線段BC的中點，若2B=12,

2C=8,貝iJCD=.

I________________________I_____I______I

ACDB

【答案】2

【分析】根據48=12,47=8,求出的長，再根據點。是線段BC的中點，得出CD=B。即可得出答案.

【詳解】解：-MB=12,AC=8,

:.BC=4,

??,點C是線段48上的點，點Z）是線段BC的中點,

.'.CD=BD=2,

故答案為2.

【點睛】本題考查了兩點距離求法，根據已知求出BC=4是解題的關鍵.

【變式5-3］（2023?河北滄州?校考模擬預測）有兩道作圖題：①“延長線段2B到C,使BC=28"；②“反向

延長線段DE,使點D是線段EF的一個三等分點”.小明正確的作出了圖形.他的兩個同學嘉嘉、淇淇展開了

討論：嘉嘉說：“點B是線段4C中點”；淇淇說：“如果線段DE=xcm,那么線段EF=3xcm"，下列說法正

確的是（）

A.嘉嘉對，淇淇不對B.嘉嘉不對，淇淇對

C.嘉嘉、淇淇都不對D.嘉嘉、淇淇都對

【答案】A

【分析】根據作圖的方法以及線段的中點，三等分點的定義，即可求解.

【詳解】解：①“延長線段48到C,使=則點B是線段4C中點，故嘉嘉說法正確；

②“反向延長線段DE,使點。是線段EF的一個三等分點”，如圖，如果線段DE=xcm,那么線段EF=3x或

|xcm,故淇淇說法錯誤.

故選：A.

I_____________I_____________I_____________I

FDE

??I?

FDE

【點睛】本題考查了線段的中點，線段的三等分點，畫線段，分類討論是解題的關鍵

【題型6角平分線的相關計算】

【例6】（2023?山東?統考中考真題）如圖，直線/CIIAD,AO,2。分另U是NA4C、44AD的平分線，那么

乙8/。與之間的大小關系一定為（）

C.互補D.不等

【答案】A

【分析】根據/CII8D可得4。48+乙45。=180。，再由/O、80分另U是N8/C、乙18。的平分線，即可求解.

【詳解】解：必CIIAD，

：.Z.CAB+/-ABD=1%0°,

-AO,8。分別是N8/C、乙48。的平分線，

..?4CAB=24OAB,UBD=2UB0,

：.^BAO+^ABO=90°,

即乙8/0與乙420互余.

故選：A

【點睛】本題主要考查了平行線的性質，余角的性質，熟練掌握兩直線平行，同旁內角互補；互余的兩角

的和等于90。是解題的關鍵.

【變式6-1］（2023?浙江杭州?模擬預測）如圖1所示乙40B的紙片，。。平分乙4。8,如圖2把乙40B沿0C對折

成NC0B（。4與。B重合），從。點引一條射線。E,使NB0E=XE0C,再沿0E把角剪開，若剪開后得到的3

個角中最大的一個角為76。，貝此A0B=°.

【答案】114

【分析】由0C是乙40B的平分線，可得乙40B=2乙4。。=2NB0C,由題意知，剪開后得到的3個角中最大的

一個角為24coE,即2NCOE=76。，解得ZCOE=38。，由/BOE=±1EOC,可得zBOE=19。，則

乙BOC=LBOE+乙COE=57°,根據44。8=2ZB0C,計算求解即可.

【詳解】解：：。。是乙40B的平分線，

：.Z-AOB=2/.A0C=2乙BOC,

由題意知，剪開后得到的3個角中最大的一個角為2/C0E,

：2乙COE=76°,

解得NCOE=38。，

■：^BOE=^EOC,

;ZBOE=19°,

“BOC=乙BOE+乙COE=57°,

.?.乙4OB=2NBOC=114°,

故答案為：114.

【點睛】本題考查了折疊的性質，角平分線.解題的關鍵在于明確最大的角，以及正確表示角度之間的數

量關系.

【變式6-2］（2023?河南?中考真題）如圖，直線N3,CD相交于點O,射線。M平分乙4OC,ON1OM,若

乙4。〃=35。，貝IUCON的度數為（）

A.35°B.45°C.55°D.65°

【答案】C

【分析】根據角平分線的定義，得出3OC=35。，再根據題意，得出40290。，然后再根據角的關系，計

算即可得出NCON的度數.

【詳解】解：,??射線0M■平分乙iOC,，。朋=35。，

■■AMOC=35°,

■■■ON1OM,

.?.ZMON=90°,

:zCON=dtOWOC=90°-35°=55°.

故選：C

【點睛】本題主要考查了角平分線的定義和垂線的定義，解決本題的關鍵在正確找出角的關系.

【變式6-3］（2023?湖南張家界?統考中考真題）如圖，2。為N84C的平分線，且乙8"=50。，將四邊形480C

繞點4逆時針方向旋轉后，得到四邊形力所。￡，，S.A0AC=100°,則四邊形ABOC旋轉的角度是

C

A

O'

B，

BC

O

【答案】75。

【分析】根據角平分線的定義可得NB4O=NtMC=25。，根據旋轉的性質可得NB4C=NB71O=50。，AB'A

0=402（7=25。，求得NQ4O=75。，即可求得旋轉的角度.

【詳解】為ABAC的平分線，ABAC=50°,

."4。=4。"=25°,

???將四邊形4B0C繞點2逆時針方向旋轉后，得到四邊形490C,

；ZBAC=乙B'AC=50°,AB'AO'=AO'AC=25°,

：./.0A0'=z.0AC'-^.0'AC=100°-25°=75°,

故答案為：75。.

【點睛】本題考查了角平分線的定義，旋轉的性質，熟練掌握以上性質是解題的關鍵.

【題型7與余角、補角、對頂角有關的計算】

【例7】（2023?內蒙古呼和浩特?統考中考真題）如圖，直角三角板的直角頂點落在矩形紙片的一邊上.若

C.22°D.68°

【答案】C

【分析】由平行線的性質和余角的定義求解即可.

由題意可知a11b,

.?23=41=68°,

.-.Z2=90°-z3=90°-68°=22°.

故選C.

【點睛】本題考查三角板中的角度計算，平行線的性質和余角的定義.掌握兩直線平行，同位角相等是解

題關鍵.

【變式7-1］（2023?四川樂山?統考中考真題）如圖，點。在直線48上，。。是48。。的平分線，若

Z71OC=140°,則NBOD的度數為.

【答案】20。/20度

【分析】根據鄰補角得出ABOC=180。-140。=40。，再由角平分線求解即可.

【詳解】解：??-ZXOC=140°,

.-.ZBOC=180°-140°=40°,

???OD是NBOC的平分線，

:"BOD=20°,

故答案為:20°.

【點睛】題目注意考查鄰補角及角平分線的計算，找準各角之間的關系是解題關鍵.

【變式7-2］（2023?河南?統考中考真題）如圖，直線力B,。。相交于點。，若41=80。，22=30。，則乙4OE

的度數為（）

C

A.30°B.50°C.60°D.80°

【答案】B

【分析】根據對頂角相等可得44。。=41=80。，再根據角的和差關系可得答案.

【詳解】解：?.21=80。，

???乙4。0=Z1=80°,

???Z2=3O°,

.'.^AOE=/-AOD-Z-2=80°-30°=50°,

故選：B

【點睛】本題主要考查了對頂角的性質，解題的關鍵是掌握對頂角相等.

【變式7-3]（2023?四川巴中?統考中考真題）如圖，已知正方形4BCD和正方形BEFG,點G在2D上，GF

與CD交于點"tanzXBG=正方形4BCD的邊長為8,則的長為.

【答案】10

【分析】根據正切的概念和正方形的性質，求得4G的長度，再根據勾股定理求得BG的長度，證明

乙ABG=￡DGH,求得最后根據勾股定理即可求得的長.

【詳解】解：:正方形48CD和正方形8EFG,

?.?Z.A=Z-D=Z.BGH=90°,AB=AD=8,

tan乙4BG=

AG1

?,布一萬，

1

???AG=8X-=4,GD=AD—AG=4,

在Rg/BG中，BG=7AB2+BG2=4西,

vAAGB+^DGH=90°,4/G8+448G=90。,

Z-ABG=Z.DGH,

DH_1

：'~GD=2

：?DH=2,

在RtaCDH中，HG=7GD2+DH2=2運,

???在Rt△BGH中，HB=7GB2+GH2=10,

故答案為：10.

【點睛】本題考查了正方形的性質，勾股定理，正切的概念，熟知正切的概念再進行角度轉換是解題的關

鍵.

【題型8利用平行線的判定進行證明】

【例8】(2023?貴州?統考中考真題)已知：如圖，點/、D、C、2在同一條直線上，AD=BC,AE=BF,

CE=DF,求證：AE\\BF.

【答案】證明見解析.

【分析】可證明A4CE三△2DR得出乙4=乙8,即可得出4EURF；

【詳解】證明：?.?/￡>=8C,

：.AC=BD,

在和△5。尸中,

AC=BD

AE=BF,

CE=DF

???△ACEzABDF(SSS)

；?乙A=LB,

?-AEWBF；

【點睛】本題考查了全等三角形的判定及性質以及平行線的判定問題，關鍵是用SSS證明A4CE三△8DF

【變式8-1](2023?江蘇揚州?校考二模)完成下面的證明：已知:如圖，41=30。,ZB=60°,

ABIAC.求證：ADWBC.

證明：???力B14C(已知)，

.-.^BAC=90°(),

.?.在△ABC中，ZB+AACB=90°(),

?■-Z5=60°(已知)，

：.^ACB=30°,

vzl=30°,

=()，

:.AD\\BC().

【答案】垂直定義；直角三角形的兩個銳角互余（或三角形的內角和為180。）；zl；N4CB；等量代換；內

錯角相等，兩直線平行

【分析】根據垂線的定義，直角三角形的兩個銳角互余，平行線的判定，完成證明過程即可求解.

【詳解】證明：-??AB1AC（己知）,

.-.^BAC=90。（垂直定義），

???在△ABC中，NB+“CB=90。（直角三角形的兩個銳角互余），

?-?ZB=60°（已知）,

.-.Z.ACB=30°,

?.21=30°,

.-.Z1=AACB（等量代換），

.■.ADWBC（內錯角相等，兩直線平行）.

故答案為：垂直定義；直角三角形的兩個銳角互余（或三角形的內角和為180。）；zl；Z4CB；等量代換；

內錯角相等，兩直線平行.

【點睛】本題考查了垂線的定義，直角三角形的兩個銳角互余，平行線的判定，熟練掌握平行線的判定定

理是解題的關鍵.

【變式8-2］（2023?陜西西安?統考一模）如圖，AD,BC相交于點O,OB=OC,OA=OD,延長4。到R

延長D4至!JE,AE=DF,連接CF,BE.求證BE||CF.

【答案】見解析

【分析】根據等式的性質得出0E=OF,再利用S4S證明ABOE三ZsCOF,再利用全等三角形的性質和平行

線的判定解答即可.

【詳解】證明：-■-OA=OD,AE=DF,

■.OA+AE=OD+DF,即。E=OF,

?；乙EOB=LFOC,OB=0C,

???△BOF^ACOF（SAS）,

???Z.E=Z.F.

：.BE||CF.

【點睛】此題考查全等三角形的判定和性質，關鍵是利用邊角邊證明兩個三角形全等.

【變式8-3］（2023?湖北荊州?統考中考真題）如圖，將aNBC繞點B順時針旋轉60度得到/DBE,點C的

對應點E恰好落在AB的延長線上，連接AD.

（1）求證：BC//AD；

（2）若AB=4,BC=1,求A,C兩點旋轉所經過的路徑長之和.

【答案】⑴見解析：⑵|兀

【分析】（1）先利用旋轉的性質證明aABD為等邊三角形，則可證ND4B=60°,即NCBE=ND4B,再根據

平行線的判定證明即可.

（2）利用弧長公式分別計算路徑，相加即可求解.

【詳解】（1）證明：由旋轉性質得：AABC=ADBE,^ABD=^CBE=60°

AB=BD,ZMBD是等邊三角形

所以NLMB=60°

?1.Z.CBE=Z.DAB,

.-.BC//AD-

(2)依題意得：AB=BD=4,BC=BE=1,

所以A,C兩點經過的路徑長之和為曙+喘i

loUloUD

【點睛】本題考查了旋轉的性質、等邊三角形的判定與性質、平行線的判定、弧長公式等知識，熟練掌握

這些知識點之間的聯系及弧長公式是解答的關鍵.

【題型9平行線判定或性質的實際應用】

【例9】(2023?四川涼山?統考中考真題)光線在不同介質中的傳播速度是不同的，因此光線從水中射向空

氣時，要發生折射.由于折射率相同，所以在水中平行的光線，在空氣中也是平行的.如圖，

A.165°B.155°C.105°D.90°

【答案】C

【分析】根據平行線的性質，兩直線平行，同位角相等或同旁內角互補，即可求出答案.

【詳解】解：如圖所示，ABWCD,光線在空氣中也平行，

VZ1=45。,42=120°,

??23=45°,z4=180°-120°=60°.

:43+N4=45°+60°=105°.

故選：c.

【點睛】本題考查了平行線的性質的應用，解題的關鍵在于熟練掌握平行線的性質.

【變式9-1](2023?安徽滁州?校考一模)【數學抽象】實驗證明：平面鏡反射光線的規律是射到平面鏡上

的光線和被反射出的光線與平面鏡所夾的銳角相等，如圖①，一束光線加射到平面鏡。上，被。反射后的

光線為“則入射光線加，反射光線"與平面鏡。所夾的銳角相等，即N1=N2.

(1)利用這個規律人們制作了潛望鏡，圖②是潛望鏡工作原理示意圖，AB,CD是平行放置的兩面平面鏡，

請解釋進入潛望鏡的光線m為什么和離開潛望鏡的光線n是平行的？

(2)如圖③，改變兩平面鏡之間的位置關系，經過兩次反射后，入射光線加與反射光線〃之間的位置關系會

隨之改變.若入射光線加與反射光線〃平行但方向相反，則兩平面鏡的夾角N4BC為多少度？

【答案】(1)見解析；

(2)90°

【分析】(1)根據平行線的性質及等量代換、平角的概念即可得證;

(2)根據平行線的性質、平角的概念及等量代換即可求得答案.

【詳解】(1)證明：由題可知41=42,Z3=Z4,

-AB//CD,

-■?Z.2=z.3,

.-.zl=42=N3=z4,

?.25=180-1-/2,Z6=18O°-Z3-Z4,

???Z.5=z.6,

：.m//n；

(2)N4BC=90。，

由題可知4D//CE,N1=N2,43=N4,

-AD//CE,

??.40AC+44CE=180°,

又??21+42+^DAC=180°,Z3+Z4+Z.ACE=180°,

.，.Z2+z3=90°,

"B=90°.

【點睛】本題考查了平行線的性質、平角的概念，能夠將實際問題轉化為我們所學的數學知識是解題的關

鍵.

【變式9-2］（2023?山西呂梁?統考三模）如圖所示是地球截面圖，其中AB,EF分別表示南回歸線和北回歸

線，CD表示赤道，點P表示太原市的位置.現已知地球南回歸線的緯度是南緯23。26</80。=23。26）太

原市的緯度是北緯37。32，（/2。。=37。32，），而冬至正午時，太陽光直射南回歸線（光線M8的延長線經過地

心。），則太原市冬至正午時，太陽光線與地面水平線PQ的夾角a的度數是.

北回歸線

地,水平線

J太陽康b

【答案】29。2，

【分析】設PQ與OM交于點K,先由三角形內角和定理求出.40Kp=29。2，，再根據平行線的性質求解即可.

【詳解】如圖，設PQ與。M交于點K,

北回歸線

太陽光線

地面水平線

\Q

太陽光線

???48。0=23。26',乙尸。。=37。32',

：.Z-POM=乙POD+(BOD=60°58\

在△OPK中，乙POK+乙OPK+匕OKP=180。,4OPK=90。,

.?2。心=29。2',

■.■PNWOM,

.-.Aa=AOKP=2902,,

故答案為：29。2-

【點睛】本題考查了三角形內角和定理，平行線的性質，讀懂題意并熟練掌握知識點是解題的關鍵.

【變式9-3］（2023?河北邯鄲?統考一模）為了亮化某景點，石家莊市在兩條筆直且互相平行的景觀道MN、

。尸上分別放置/、8兩盞激光燈，如圖所示./燈發出的光束自逆時針旋轉至/N便立即回轉，8燈發

出的光束自3尸逆時針旋轉至8。便立即回轉，兩燈不間斷照射，/燈每秒轉動30。，2燈每秒轉動10。，B

燈先轉動2秒，/燈才開始轉動，當8燈光束第一次到達30之前，兩燈的光束互相平行時/燈旋轉的時間

是（）

A.1或6秒B.8.5秒C.1或8.5秒D.2或6秒

【答案】C

【分析】設4燈旋轉的時間為t秒，求出t的取值范圍為0<tW16,再分①0<tW6,②6<tW12和③

1216三種情況，先分別求出川VT和NPBP，的度數，再根據平行線的性質可得=由

此建立方程，解方程即可得.

【詳解】解：設4燈旋轉的時間為t秒，

4燈光束第一次到達力N所需時間為喋=6秒，B燈光束第一次到達BQ所需時間為第=18秒，

燈先轉動2秒，4燈才開始轉動，

???0<t<18-2,即0<tW16,

由題意，分以下三種情況：

①如圖，當0<tW6時，AM'//BP',

：.Z.MAM'=30°t/PBP'=10°(t+2),

MN//PQ,AM'//BP',

■■■/.MAM'=Nl/PBP'=zl,

?-?/.MAM'=Z.PBP',即30°t=10°(t+2),

解得t=l，符合題設；

???AMAM'=180°-30°(t-6)=360°-30°t/PBP'=10°(t+2),

?-?MN//PQ,AM://BP',

：.Z.MAM'+42=180°,Z.PBP'+N2=180°,

???AMAM'=乙PBP',BP3600-30°t=10°(t+2),

解得t=8.5符合題設；

③如圖，當12<tW16時，AM'//BP',

：.Z.MAM'=30°(t-12)=30ot-360o,zPBPz=10°(t+2),

同理可得：乙MAM'=4PBP，,gp30°t-360°=10°(t+2),

解得t=19>16,不符題設，舍去；

綜上，4燈旋轉的時間為1秒或8.5秒，

故選：C.

【點睛】本題考查了平行線的性質、一元一次方程的幾何應用等知識點，正確求出時間t的取值范圍，并據

此分三種情況討論是解題關鍵.

【題型10由平行線的性質求解】

【例10】(2023?西藏?統考中考真題)如圖，已知al也點/在直線a上，點8,C在直線6上，

^BAC=90°,41=30。，則N2的度數是()

A.30°B.45°C.60°D.75°

【答案】C

【分析】根據平行線的性質與三角形的內角和為180。進行解題即可.

【詳解】解：IIb,z.1=30°,

：./.ABC=Z1=30°,

由題可知：ZB4C=9O°,

：./.ABC+Z.2=90°,

.-.Z2=90°-30°=60°.

故選：C.

【點睛】本題考查平行線的性質，掌握平行線的性質是解題的關鍵.

【變式10-1】（2023?湖南永州?統考中考真題）如圖，AB||CD,BC||ED,^B=80°,則ND=度.

【答案】100

【分析】根據4B||CD/B=80。，得出NC=80。，根據BC||ED,即可得出ND=180。一乙。，即可求解.

【詳解】解：,MB||CD/B=80。，

.-.zC=zF=80°,

■:BC||ED,

3D=180°-zC=180°-80°=100°,

故答案為：100.

【點睛】本題主要考查了平行線的性質，解題的關鍵是熟練掌握兩直線平行，內錯角相等，同旁內角互補.

【變式10-2】（2023?遼寧盤錦?統考中考真題）如圖，直線4BIICD,將一個含60。角的直角三角尺EGF按圖

中方式放置，點￡在力B上，邊GF、EF分別交CD于點〃、K,若NBEF=64。，則NGHC等于（）.

E

AB

F

A.44°B.34°C.24°D.14°

【答案】B

【分析】根據平行的性質可得NEKC=NBEF=64。，再根據四邊形內角和為360。可得NGHK=146。，問題

隨之得解.

【詳解】"ABWCD,NBEF=64。，

;ZEKC=Z.BEF=64°,

■■■^EKC+ZG+^GEK+^GHK=360°,NGEK=60。，NG=90。，

.?ZGHK=146°,

?.ZGHK+Z.GHC=180°,

；ZGHC=34°,

故選：B.

【點睛】本題主要考查了平行的性質以及四邊形內角和為360。，掌握四邊形內角和為360。是解答本題的關

鍵.

【變式10-3]（2023?江蘇徐州?統考中考真題）如圖,在△力BC中，若

DE||BC.FG||AC/BDE=120°,ADFG=115°,則NC=°,

【答案】55。/55度

【分析】先由鄰補角求得N4DE=60。，NBFG=65。，進而由平行線的性質求得NB=NADE=60。，=z

BFG=65。,最后利用三角形的內角和定理即可得解.

【詳解】解：--^BDE=12O0ZE）FG=115°,ABDE+/LADE=180°,^DFG+ABFG=180°,

:./.ADE=60°,ZBFG=65°,

-DE||BCtFG\\ACf

：.Z.B=/.ADE=60°,4A=4BFG=65。,

?.2/+/8+NC=180°,

.-.zC=180°-65°-60°=55°,

故答案為：55°.

【點睛】本題主要考查了鄰補角，平行線的性質以及三角形的內角和定理，熟練掌握平行線的性質是解題

的關鍵.

【題型11根據平行線性質與判定求角度】

【例11】（2023?湖北荊州?統考中考真題）如圖所示的“箭頭”圖形中,AB\\CDfzF=zZ）=80°,

ZE=ZF=47°,則圖中NG的度數是（）

F

A.80°B.76°C.66°D.56°

【答案】C

【分析】延長交EG于點M,延長CD交GF于點N,過點G作的平行線G”，根據平行線的性質即可解答.

【詳解】解：如圖，延長48交EG于點M,延長CD交G正于點N,過點G作48的平行線G”，

F

vzE=ZF==乙FDC=80°,

??.Z.EMA=Z.EBA-Z,E=33°,乙FNC=乙FDC—乙F=33°,

???AB\\CDfAB\\HG,

???HGIICD,

^MGH=Z.EMA=33°,乙NGH=^FND=33。,

.?.ZEGF=33°+33O=66°,

故選：C.

【點睛】本題考查了平行線的判定及性質，三角形外角的定義和性質，作出正確的輔助線是解題的關鍵.

【變式11-1】（2023?浙江?校聯考中考模擬）如圖所示，是我們生活中經常接觸的小刀，刀柄外形是一個