專題04基本不等式（九大題型+模擬精練）

01題型歸納

目錄：

?題型01基本不等式的內(nèi)容辨析

?題型02利用基本不等式比較大小

?題型03利用基本不等式求最值

?題型04條件等式求最值

?題型05基本不等式“1”的妙用

?題型06對勾函數(shù)、類對勾函數(shù)求最值

?題型07基本不等式在其他模塊的應(yīng)用

?題型08高考新考法一以生活情境'傳統(tǒng)文化等為背景考查基本不等式

?題型09高考新考法一新定義基本不等式壓軸題

?題型01基本不等式的內(nèi)容辨析

1.（21-22高一下?廣東深圳,期末）下列不等式恒成立的是（）

C.a+b>D.a2+b2>-2ab

【答案】D

【分析】利用特殊值判斷A、C,利用重要不等式判斷B,作差可判斷D；

【解析】解：對于A：若。=1、6=7時2+;=-2,故A錯誤；

ab

對于B：因為（"6）&0,所以/+/22附，所以」即1等當(dāng)且僅當(dāng)。=6時

取等號，故B錯誤；

對于C：若a=-l、b=T時，a+b=-2<2yJ\ab\=2,故C錯誤；

對于D：因為+所以/+2彷20,a2+b2>-2ab,當(dāng)且僅當(dāng)”時取等號，故D正確；

故選：D

2.（2022高一?全國?專題練習(xí)）已知a,6為實數(shù)，且分6片0,則下列命題錯誤的是（）

A.若a>0,b>0,則a；”4^B.>4ab,貝[]a>0,b>0

C.若則a；方>D.若a,>,貝!!a關(guān)b

【答案】C

【分析】對于A,利用基本不等式判斷，對于B,由已知結(jié)合完全平方式判斷，對于C,舉例判斷，對于D,

利用基本不等式判斷

【解析】對于A,由基本不等式可知當(dāng)。>0,6>0時，^>4ab,當(dāng)且僅當(dāng)。=b時取等號，所以A正確，

對于B,因為審2癡，a-b^0,所以且(&一〃『20,所以a>0,b〉0,當(dāng)且僅當(dāng)a=6

時取等號，所以B正確，

對于C,若。=-1,6=-4,則3=9<疝=〃=2,所以C錯誤，

a+b/—ftz+Z?>0,—

對于D,因為1r-a-b^0,所以<7n,且a+6—2八K>0,所以。>0/>0,

2［ab>0

［4a-4b^>0,所以。>0,6>0且axb,所以D正確，

故選：C

3.(22-23高一上?江蘇常州?階段練習(xí))下列說法，其中一定正確的是()

A.a1+b2>2ab(a,beR)B.a.4廣；：)2(a,6eR)

C.a曹N2(ab+0)D.dx。+2+「(xeR)的最小值為2

7abVx*+2

【答案】B

【分析】利用重要不等式判斷A、B、利用特殊值判斷C,利用對勾函數(shù)的性質(zhì)判斷D.

【解析】對于A：因為。,6eR,所以/+/N2必，當(dāng)且僅當(dāng)。=6時取等號，故A錯誤;

對于B：ma2+b2>2ab,ma2+b2+2ab>4ab,所以

4

即［等］>ab,當(dāng)且僅當(dāng)“=6時取等號，故B正確;

當(dāng)”=時，滿足。6片0,但是答=一2<2,

對于C：故c錯誤;

yjab

對于D：4/=Vx2+2>V2>因為了=:+；在［在+可上單調(diào)遞增,

.?1rr13A/2

所以〉=E+]NA/2+~^==-當(dāng)且僅當(dāng)，=后，即工=0時取等號,

即E+&的最小值為斗,

故D錯誤;

故選：B

?題型02利用基本不等式比較大小

4.（2023?河南開封?三模）己知。>0,b>0,且。+6=1,a^b,則下列不等式成立的是（）

A.+y/b<V2<B.+-\[b<----1——<V2

2a2b

C.----1——<V2<-\[Q.+y[bD.—+<y/a+y/b<V2

T2br2b

【答案】A

【分析】使用基本不等式求解，注意等號成立條件.

【角軍析】(G+C)=a+b+2y[ab=1+2y[ab<1+a+b=2,

???a*6,?,.等號不成立，故后+血<血；

...OKb,...等號不成立，故

綜上,4a+4b<41<-^+-^.

故選：A.

5.（21-22高三上?河南?階段練習(xí)）已知關(guān)于x的方程|腕2H=/（"0）有兩個實根加,n[m>n）,則下列不

等式中正確的有.（填寫所有正確結(jié)論的序號）

（1）m2+n2>2V2（m—H）；（2）m2+n2<2-72（m—w）

③加2一〃22血（加一九）；（4）m2-n2<2y[2^m-n^.

【答案】①

【分析】解方程|log2、|=，得到加=2,，n=2Jmn=\,再利用作差法和基本不等式得解.

【解析】因為|10g2%|=，，所以log2%二%或10g2X=T，

所以1=2'或工=2T,

因為關(guān)于％的方程|log2%|=，（％〉。）有兩個實根加，〃（加〉〃），

所以能二2’，n—2T，mn=2l?2一,=2°=1

對于①②，m2+n2-2亞(加-〃)=(m-ri)?+2mn-2?(m-n)

=(jn-n)2+2-2V2(m-H)=(m-n)2一2后(加一〃)+2=(m-n-y/2)2>0,

所以亞（加―幾），所以①正確，②錯誤.

對于③④,加2-n2-2V2[m-n)=(m-ri)(jn+n-2>/2),

因為機〉〃，，加一〃>0.

m+?-2V2=2z+2^-272>272^2^-272=2-272，

所以蘇-"222&(加-〃)或者療—n2<2V2(m-/?).

所以③④錯誤.

故答案為：①

?題型03利用基本不等式求最值

6.(23-24|W|一'上,重慶,期末)函數(shù)y=3xH—(x>0)的最小值是()

A.4B.5C.3亞D.2A/3

【答案】D

【分析】利用基本不等式即可得解.

【解析】因為x>0,

所以>=3x+Lz2j3x-L=2Q,

XVX

當(dāng)且僅當(dāng)3x=,，即時，等號成立.

x3

貝5|y=3x+：（x>0）的最小值是26.

故選：D.

7.（23-24高一上?北京?階段練習(xí)）已知。>0,則。+,+1的最小值為（）

a

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【分析】用基本不等式求解即可.

【解析】因為。>0,

所以。+4+122.a—+1=3，當(dāng)且僅當(dāng)〃=,即Q=1時取等號；

a\aa

故選：B

8.（23-24高三上?陜西西安?階段練習(xí)）函數(shù)尸/+3^儼>5）的最小值為（

A.2B.5C.6D.7

【答案】D

【分析】由基本不等式即可求解.

【解析】由/>5可得/一5>0,所以尸=/一s++］+5=7,

x-5x-5V、7\x-5J

01

當(dāng)且僅當(dāng)--5=-=，即1時等號成立，

x-5

故選:D

?題型04條件等式求最值

9.（23-24高三上?湖北武漢?期末）已知正數(shù)。，b滿足〃+26=1,則（）

A.ab>—B.ab>—C.0<ab<—D.0<ab<—

8888

【答案】C

【分析】根據(jù)基本不等式直接計算即可.

【解析】由題意得，a>0,b>Q,則a6>0,a+2b=l>242^b,即

O

當(dāng)且僅當(dāng)。=26,即a=：,6=9時等號成立.

24

故選：C

10.（23-24高三上?江蘇連云港?階段練習(xí)）若。>0,b>0,且a+6=ab,則2a+6的最小值為（

A.3+272B.2+2后C.6D.3-2應(yīng)

【答案】A

【分析】利用基本不等式"1"的妙用求出最小值.

［解析］a>0,b>0,由a+b=a6得,+'=1,

ab

故2〃+6=（24+6）［1+"=2+1+生+223+2、伊丁=3+2收，

\ab）ba\ba

當(dāng)且僅當(dāng)學(xué)=2,即0=1+也為=1+a時，等號成立，

ba2

故2a+6的最小值為3+2行.

故選：A

?題型05基本不等式“1”的妙用

12

11.（2024?黑龍江哈爾濱■二模）已知正實數(shù)x,y滿足一+—=1,貝|2盯-3x的最小值為（）

xy

A.8B.9C.10D.11

【答案】B

【分析】利用基本不等式計算即可.

12fl?

【解析］易知一+—=］n2x+y=肛，則2盯_3x=2(2x+y)_3x=(x+2y).―+―

xylxy

=5+az+^>5+2Jl￡lZ=9,

xyyxy

當(dāng)且僅當(dāng)2V上=2一x，即》=>=3時取得等號.

xy

故選：B

21

12.（23-24高三下?江蘇揚州?開學(xué)考試）已知實數(shù)。>1,b>0,滿足。+6=3,則丁石的最小值為（）

八3+2^D3+2夜「3+4行c3+4百

4224

【答案】B

【分析】根據(jù)給定條件，利用基本不等式“1〃的妙用求解即得.

【解析】實數(shù)b>0,由〃+b=3,得（a—l）+b=2,

EH211八71/21、12ba—1、、1八__3+2V2

因止匕一^7+工=二r［z5一1)+句(--+-)=-(3+—-+——)>-(3+2.

a—1b2a—1b2a-1b2

當(dāng)且僅當(dāng)々=?,即〃一1=業(yè)=4一2a時取等號,

a-1b

所以/■[■+<的最小值為3+25.

a-ib7

故選：B

?題型06對勾函數(shù)'類對勾函數(shù)求最值

13.（2023高三?全國,專題練習(xí)）函數(shù)y=x+J（x>2）取得最小值時的x值為

x+1

【答案】2

【分析】令尤+1=《企3）,則有/"）=/+；—1在⑶+8）上單調(diào)遞增，當(dāng)，=3時,

即可求解.

【解析】依題意，

55

y--X~\~=x+1~\"1,

Jx+1x+1

設(shè)=因為/（/）=￡+——1在⑶+°°）上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)％=3,即x=2時，y=x-\--二（也2）取得最小值.

故答案為：2.

X2+3

14.（2023高三?全國?專題練習(xí)）函數(shù)了（尤）"GI+1的最小值為

【答案】逑+1

2

【分析】先對函數(shù)進(jìn)行化簡，然后利用對勾函數(shù)的單調(diào)性可求出“X）有最小值.

%2+3+]x?+2+l,——_1

【解析】/（x）

]x2+2&+2

令才=J*+2,正［亞，+oo）,

則函數(shù)/（x）可轉(zhuǎn)化為g（/）=/+；+1,怎［亞，+°°）.令uQt）=，+；（尼行），

1a6

則由〃（/）在［a,+-）上單調(diào)遞增可知，U（力2亞+-后=土，

722

貝!］g⑺2封^+1,

2

所以函數(shù)/（%）的最小值為迤+1;

2

故答案為：逆+1.

2

15.（22-23高三上?江蘇南通?期中）已知正實數(shù)x,>滿足x+>=加，函數(shù)/（工））=卜+；，>+￡|的最小值

9

為,則實數(shù)加取值的集合為.

【答案】｛尤｝

【分析】根據(jù)基本不等式求得中的最大值，結(jié)合對勾函數(shù)單調(diào)性，即可求得結(jié)果.

【角軍析】m=x+y>2Jxy,^xy<—,/（幾歹）=盯+1+1+——=盯+——+2,

4肛肛

（加21

令孫=t,Ze0,—,g（t）=t+-+2

當(dāng)［與時，g（入n=4,與已知矛盾；

當(dāng)。<1時，g（。在單調(diào)遞減，

加24c9

——+—r+2

4m2

解得相=近或-后（舍去）,

???加的取值集合｛&｝.

故答案為：｛&｝.

?題型07基本不等式在其他模塊的應(yīng)用

16.（23-24高三下,北京順義,階段練習(xí)）若數(shù)列｛。“｝為等比數(shù)列，則"%21"是"%+%22"的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】

設(shè)出公比9,先由生21得到％/21,利用基本不等式可得%+牝=%（1+/”20422,得到"?21"是

"al+a5>2”的充分條件，再通過舉反例q=g,%=2說明"221"不是"%+%N2”的必要條件，故得結(jié)論.

【解析】因數(shù)列｛4｝為等比數(shù)列，不妨設(shè)公比為1，則4片0,由可得。口221，故為>0,而

ax+a5=4|（1+/）,

由1+/22/知4+%,當(dāng)且僅當(dāng)/=1時取等號，而生才.，故為+%22,

此時《=土1,%=1,故"的21"是"%+%22”的充分條件;

r\22/=^-<1

?42a

由4+%=%(1+q)22可得%之］+［4，貝|J3=%q2>q4,而］+/,41~

\+qq2+—

q

故不一定能得到%NL

如夕=：嗎=2時,滿足4+a5>2,但是牝=a/=2x（；>=；<1,

故"?N1"不是"%+生22〃的必要條件.

即〃〃321〃是〃％+%22〃的充分不必要條件

故選：A.

17.（22-23高三上?寧夏石嘴山?階段練習(xí)）下列結(jié)論正確的是（）

A.當(dāng)x>0且xwl時，Inxd------>2

Inx

B.當(dāng)時，sinx+/一的最小值為4

12」sinx

C.當(dāng)x>0時，x+—>2

x

D.當(dāng)abwO時，—+—>2

ab

【答案】C

【分析】對AD,舉反例判斷即可；對B,根據(jù)基本不等式成立的條件判斷即可；對C,根據(jù)基本不等式判

斷即可.

【解析】對A,當(dāng)x時，lnx+1L=-2,故A錯誤；

eInx

4I4~4.

對B,當(dāng)sinx>0時，sinx+------>2/sinxx-------=4,當(dāng)且僅當(dāng)sinx=1—,即sinx=2時取等號，但當(dāng)

sinxAVsinxsmx

xjog時，0<sinx<l,故B錯誤；

對C,當(dāng)％>0時，x+->2Ixx-=2f當(dāng)且僅當(dāng)x=4,即％=1時取等號，故C正確；

x\xx

ha

對D,當(dāng)”=1,6=-1時2+:=-2,故D錯誤.

ab

故選：C

18.（2024?廣東湛江?一模）已知必>0,a2+ab+2b2=l,則/+2〃的最小值為（）

.8-272R2V2-37-2V2

7348

【答案】A

【分析】利用不等式/+2〃22后成，將等式/+成+2〃=1左邊轉(zhuǎn)化為因式/+2〃表示，求解即可.

【解析】因為。6>0,得：a2+2b2>2-j2a2b2=l4lab（當(dāng)且僅當(dāng)a=也6時成立）,

即得：ab<=—(a2+2b2),

2V24

貝!h=〃+"+2b2<a2+2b2+—(a2+2b2)=4+^(a2+2廬),

44

2c72、18-272

,日ci+2Z?2------=-------------

得：4+07，

4

2

所以/+2b的最小值為巴迪，

7

故選：A.

19.（23-24高三下?廣東廣州?階段練習(xí)）已知正實數(shù)6滿足a+26=l,則4+2后的取值范圍是（）

A.(1,V2)B.(0,1)C.(1,V3]D.(0,V3]

【答案】C

【分析】先證明1<&+2新46,然后證明對左（1,6］總存在相應(yīng)的使得&+2〃=f,即可說明

6+2振的取值范圍是(1,6].

【解析】一方面有/=?+2—>?+4^=Ja+26+J8a6>Ja+26=1，及

y[a+2y[b=yja+4b+4y[ab<Ja+46+2（、+6）=j3（a+26）=A/3.

1+&-2產(chǎn)6-72+2fJ6-2t

3

另一方面，對存在.______滿足a,6>0,a+26=l,

2t-yl6-2t3+產(chǎn)一2/J6-2產(chǎn)

4a+l4b=t.

所以6+2揚的取值范圍是(1,正].

故選：C.

20.(23-24高一上?山西太原?階段練習(xí))中國南宋大數(shù)學(xué)家秦九韶提出了“三斜求積術(shù)”，即已知三角形三邊

長求三角形面積的公式：設(shè)三角形的三條邊長分別為a,b,c,則三角形的面積S可由公式

S=Jp(p_a)(i)(0_c)求得,其中p為三角形周長的一半，這個公式也被稱為海倫一秦九韶公式，現(xiàn)

有一個三角形的邊長滿足。=6,b+c=8,則此三角形面積的最大值為()

A.377B.8C.477D.973

【答案】A

【分析】a=6,b+c=8.可得"絲衿=7.代入S2=M0-a)(p-6)5-c),利用基本不等式的性質(zhì)即

可得出.

【斛析】???4=6,b+c=S.P=---=W=7.

當(dāng)且僅當(dāng)b=c=4時取等號.

.?.SW3V7,即三角形面積的最大值為3b.

故選：A.

21.(2023?浙江杭州?二模)已知。>1,b>\,Mlog2Va=logh4,則仍的最小值為()

A.4B.8C.16D.32

【答案】C

【分析】運用對數(shù)運算及換底公式可得log?“Jog?%=4,運用基本不等式可求得好的最小值.

【解析】???log24a=log44,

1,2log,4

???;log,a=10gz,4,即：log2a=-~~=—

2log2b

：.log2a-log26=4,

a>1,b>\,

：.log2a>0,log2b>0,

log2(M)=log2a+log?bN2Jlog2a,log26=4,當(dāng)且僅當(dāng)log?a=log?6即。=b時取等號，

即：“6224=16,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取等號，

故的最小值為16.

故選：C.

22.(2023?江蘇常州?一模)設(shè)z為復(fù)數(shù)，i為虛數(shù)單位，關(guān)于x的方程V+zx+i=()有實數(shù)根，則復(fù)數(shù)z的模

目的范圍是()

A.[2,+co)B.[①+qC.[4,+00)D.[8,+oo)

【答案】B

【分析】設(shè)%是方程的實數(shù)根，易知廝/0,貝Uz=-x0-Li,根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義可得目=x；+』，結(jié)

合基本不等式計算即可求解.

【解析】由題意知，設(shè)%是方程x2+zx+i=0的實數(shù)根,

則竟+zXo+i=O,若%=0,貝！ji=0,等式不成立，

所以/W°,有z=------i=-----i，

21

當(dāng)且僅當(dāng)其==即/=±1時等號成立.

所以目的取值范圍為[V2,+oo).

故選：B.

23.(2024?河北滄州?模擬預(yù)測)已知拋物線T：/=2°x(p>0)的焦點為凡直線/交拋物線7于1,8兩點,

M為線段月8的中點，過點M作拋物線7的準(zhǔn)線的垂線，垂足為N,若|兒不|=|力州|,則盟的最大值為

()

A.1B.—C.；D.-

223

【答案】B

【分析】設(shè)|/刊=加，忸5=〃，如圖，根據(jù)拋物線的定義和梯形的中位線的性質(zhì)可得|小|=歲，結(jié)合基

本不等式的應(yīng)用即可求解.

Kf]^\AF\=m,\BF\=n,^\MF\=\AM\=\MB\,所以4尸，所,

所以上理=+"?,過點4,2分別作4G,8匹垂直準(zhǔn)線于點G,W,

由拋物線的定義可知》耳=|/G|,忸同=忸叼,

4I拈Tt/g+/、心一r斤?I+\BW\\A-F\+\BF\m+n

由梯形的中位線可知\MN\=J一u——LJ—u一L=----.

11222

因為小+”2>2mn,所以2(/+/”2加〃+〃/+/=("?+/,

當(dāng)且僅當(dāng)機=”時，等號成立，所以以同=./+〃22￡^=拒|兒叫

41

所以\MN"\4.，故\口^N的\最大值為上?

M卻2\AB\2

故選：B

24.(20-21高三?北京?強基計劃)在“8C中，角/,B,C的對邊長分別為a,b,c,且

b+c=n,bc=a2-14a+85,貝~8C的周長為()

A.17B.18C.19D.前三個選項都不對

【答案】C

【分析】利用基本不等式可得6=c=6,從而可求三角形的周長.

【解析】注意至!j6c=/-14a+85=(a-7)2+36236=,

結(jié)合均值不等式，可得6=c=6且。=7,因此“8C的周長為7+6+6=19.

故選：C.

41

25.(2024?河南?三模)在“3C中，角4瓦。的對邊分別為,若a+6+c=2,則一7+-的最小值

a+bc

為.

【答案】|

【分析】a,6,c是“8C的邊長，所以它們是正數(shù)，利用乘"1"法結(jié)合基本不等式即可求解.

【解析】因為a+b+c=2,

所以/r;

]_「4ca+b}1rLeI4ca+b9

5+-----+------->--5+2--------------

2a+bcJ2\Va+bc2

當(dāng)且僅當(dāng)4c嗯=a"+b,即a+6=2c時等號成立，故4」71+士的最小值為Q處

a+bca+bc2

故答案為：，9

26.(2023?上海靜安?二模)已知函數(shù)/(x)=￡、(a>0)為偶函數(shù)，則函數(shù)/⑴的值域為.

【答案】

【分析】利用偶函數(shù)的定義求出”=0，則/(x)=6型，設(shè)”(應(yīng))工0>0),利用基本不等式，即可求出

2X+1

結(jié)果.

【解析】???函數(shù)無)=/'(a>0)是偶函數(shù),

aX2

n-=ana

2X+1a

：?f(x)=,易得/(%)>°，

設(shè)￡=(偽x?>0),

則=[

I-]—

t

當(dāng)且僅當(dāng)即f=l時，等號成立，

t

所以0<145,

所以函數(shù)的值域為.

故答案為：,

27.(22-23高三上?云南曲靖?階段練習(xí))已知6>0,直線/x+y+l=o與ax—(/+2)>+3=0互相垂直，貝|ab

的最小值為.

【答案】2&

【分析】根據(jù)，>0,由兩直線垂直的充要條件，可得。=匕9，所以仍=b+],再利用基本不等式的性

bb

質(zhì)即可得出.

【解析】根據(jù)b>0,直線加工+歹+1=0與直線辦一(〃+2)y+3=0互相垂直,

/x〃+lx[一伊+2)]=0,

白+2

所以

4=~ir

所以ab=b+2z2/bxZ=2a,當(dāng)且僅當(dāng)6=0時取等號.

b\b

則ab的最小值等于2也，

故答案為：2vL

28.(2024?湖南?二模)若銳角a,僅滿足3cos(a+0=cosacos/,則tan(a+￡)的最小值為()

A.272B.26C.2MD.276

【答案】D

【分析】利用兩角和的余弦公式得tanatan4,再由基本不等式求得tan(a+0的最小值.

2

【解析】3cos(a+夕)=cosacos^=>3cosacos￡-3sinasin夕=cosacos力ntanatan/?=—.

于是tan(a+￡)=:a—+tan,=3佃皿+tan￡)>6jtanata”=2^6,當(dāng)且僅當(dāng)tana=tan4=—時取等號,

l-tanatan，13

則tan(a+/)的最小值為2屈.

故選：D.

29.（2023?河南開封?模擬預(yù)測）在三棱錐尸-48。中，平面N5C,AB±AC,PA=1,AB+AC=4,當(dāng)

三棱錐的體積最大時，三棱錐P-/3C外接球的體積為.

9兀

【答案】y

【分析】根據(jù)棱錐體積公式及基本不等式可得/8=/C=2體積最大，然后利用長方體的性質(zhì)及球的體積公

式即得.

【解析】由題可知三棱錐尸的體積為：

ABAC

VPABC=-^--AB-AC-AP^-AB-AC<-\-\=-,當(dāng)且僅當(dāng)48=NC=2時等號成立,

‘加3266\23

此時，PA=1,AB=AC=2,將三棱錐P-/3C補成長方體PEFG-ABDC,

._______________3

則三棱錐P-/BC外接球的直徑為2R=^P^+AB^AC1=3，則火=5，

4Qjr

因此，三棱錐尸-N3C外接球的體積為*3=^.

、9兀

故答案為：—.

30.（20-21高三下?浙江?階段練習(xí)）已知拋物線/=28的焦點為尸，若點A,5是該拋物線上的點，

阿|=6,AF-BF=0,線段的中點”在拋物線的準(zhǔn)線上的射影為N,則|疝|的最大值為.

【答案】3G

【分析】設(shè)|/尸|=。，忸尸|=6由勾股定理可得|/司=行二廬，根據(jù)拋物線的性質(zhì)可得|九困=審，再利

用基本不等式可得―4的手，即可求出|"N|的最大值；

【解析】解：如圖所示,設(shè)|/困|=。，忸尸|=6,則網(wǎng)3+62=6,

結(jié)合平方平均值與算術(shù)平均值的關(guān)系式等4”當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取等號，

~r所以?施v區(qū)在以回，即pw|的最大值為火|/同=30

|叫777F-222

故答案為：3亞

【點睛】在應(yīng)用基本不等式求最值時，要把握不等式成立的三個條件，就是"一正一一各項均為正；二定一一

積或和為定值；三相等一一等號能否取得"，若忽略了某個條件，就會出現(xiàn)錯誤.

?題型08高考新考法一以生活情境、傳統(tǒng)文化等為背景考查基本不等式

31.（2024?廣東韶關(guān)?二模）在工程中估算平整一塊矩形場地的工程量少（單位：平方米）的計算公式是

用=（長+4）x（寬+4）,在不測量長和寬的情況下，若只知道這塊矩形場地的面積是10000平方米，每平方

米收費1元，請估算平整完這塊場地所需的最少費用（單位：元）是（）

A.10000B.10480C.10816D.10818

【答案】C

【分析】設(shè)矩形場地的長為X米，則獷=4x+幽+10016,結(jié)合基本不等式計算即可求解.

X

【解析】設(shè)矩形場地的長為X米，則寬為幽2米，

X

w，八/0000八440000L40000

W=（x+4）（--------1-4）=4xH----------F10016>2.4x---------1-10016—1018A1O6ir,

xx

當(dāng)且僅當(dāng)4%=出"，即x=100時，等號成立.

X

所以平整這塊場地所需的最少費用為1x10816=10816元.

故選：C

32.（2024?黑龍江哈爾濱?一模）已知某商品近期價格起伏較大，假設(shè)第一周和第二周的該商品的單價分別

為加元和〃元（加W"）,甲、乙兩人購買該商品的方式不同，甲每周購買100元的該商品，乙每周購買20

件該商品，若甲、乙兩次購買平均單價分別為生,2，則（）

A.%=。2B.ax<a2C.at>a2D.%,電的大小無法確定

【答案】B

【分析】由題意求出生，出的表達(dá)式，利用基本不等式，比較大小，即得答案.

2002mn__,、

【斛析】由寇思得10。+1。0m+nf出=---而----=---，

mnJ

「八八,,m+nI——2mn2mn/—

因為機加故---->y/mn,-----<—~r=—vmn,

2m+n27mn

即ax<a2,

故選：B

33.（2024?廣東湛江?二模）當(dāng)x>0,>>0時，晝N歷.這個基本不等式可以推廣為當(dāng)x,>>。時，

Ax+//y>xAy^,其中4+〃=1且4〉0,4〉0.考慮取等號的條件，進(jìn)而可得當(dāng)時，+用

這個式子估計而可以這樣操作：loHgxlO+gx9=3則比6"7名3.167用這樣的方法，可得網(wǎng)

的近似值為（）

A.3.033B.3.035C.3.037D.3.039

【答案】C

【分析】根據(jù)給定的信息，求出21義273的近似值，進(jìn)而求出儂的近似值.

121r\QQQ

【解析】依題意，283X273R±X28+±X27=竺，貝U儂“一。3.037.

33327

故選：C

34.（22-23高三上?安徽合肥?期中）《幾何原本》卷2的幾何代數(shù)法（以幾何方法研究代數(shù)問題）成了后世

西方數(shù)學(xué)家處理問題的重要依據(jù)，通過這一原理，很多的代數(shù)的公理或定理都能夠通過圖形實現(xiàn)證明，也

稱之為無字證明.現(xiàn)有如圖所示圖形，點尸在半圓。上，點C在直徑N3上，且。尸設(shè)/C=a,

BC=b,則該圖形可以完成的無字證明為（）

F

A.—->4ab（tz>0,/>>0）B.a2+b2>2yl~ab(ci>0,b>0)

C.2^-<yfab^a>0,b>0）D.審工國^(0〉0,40)

a+b

【答案】D

【分析】利用數(shù)形結(jié)合計算出OR。。，再在RbOC尸中，利用勾股定理得CF,再由。尸之。尸，可得結(jié)論.

【解析】^AC=a,BC=b,可得圓。的半徑為r===

又由。C=O8-8C=巴吆-6=巴士

22

在RMOC尸中，可得尸c?=℃2+0尸2=（—j+1等）

因為尸OVFC,所以"當(dāng)且僅當(dāng)。=6時取等號.

2

故選：D.

35.（2023?安徽池州?模擬預(yù)測）1471年米勒向諾德爾教授提出的有趣問題：在地球表面的什么部位，一根

垂直的懸桿看上去最長（即可見角最大）.后人將其稱為“米勒問題"，是載入數(shù)學(xué)史上的第一個極值問題?我們

把地球表面抽象為平面a,懸桿抽象為線段/8（或直線/上兩點A,B）,則上述問題可以轉(zhuǎn)化為如下的數(shù)學(xué)

模型：如圖1,一條直線/垂直于一個平面直線/有兩點A,3位于平面1的同側(cè)，求平面上一點C,使

得//CB最大?建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系?設(shè)A,B兩點的坐標(biāo)分別為（0,a）,（0,6）（0<6<a）,設(shè)

點C的坐標(biāo)為（c,0）,當(dāng)最大時，。=（）

A.2abB.abC.14abD.-fab

【答案】D

【分析】根據(jù)題意可得N/C3=NOC4-NOC3,然后由正切的和差角公式和基本不等式即可得到結(jié)果.

【解析】由題意可知//C3是銳角，S.ZACB=ZOCA-ZOCB,

而tanZOCA=-,tanZOCB=-,

而c+破22而,當(dāng)且僅當(dāng)c=辿,即c=?K時取等號,

因為/4C8是銳角,

所以當(dāng)c=而時，tan/ACB=二^&刀君最大,此時/NC8最大.

故選：D

?題型09高考新考法一新定義基本不等式壓軸題

36.(23-24高二下?廣東江門?階段練習(xí))青島膠東國際機場的顯著特點之一是彎曲曲線的運用，衡量曲線彎

曲程度的重要指標(biāo)是曲率.考察圖所示的光滑曲線C：N=〃x)上的曲線段藍(lán)，其弧長為加，當(dāng)動點從N

沿曲線段蕊運動到2點時，/點的切線。也隨著轉(zhuǎn)動到2點的切線記這兩條切線之間的夾角為(它

等于％的傾斜角與乙的傾斜角之差).顯然，當(dāng)弧長固定時，夾角越大，曲線的彎曲程度就越大；當(dāng)夾角固

_\0一

定時，弧長越小則彎曲程度越大，因此可以定義K=丁為曲線段蕊的平均曲率；顯然當(dāng)8越接近4即

As

加越小，K就越能精確刻畫曲線C在點/處的彎曲程度，因此定義曲線y=在點(xj(x))處的曲率計

⑴求單位圓上圓心角為60°的圓弧的平均曲率；

(2)已知函數(shù)/(x)=L(x>0),求曲線y=/(x)的曲率的最大值;

3

⑶已知函數(shù)g(x)=6/InX-lax-9x2,h(x)=2xex-4e%G|0,-|,若g(x),h(x)曲率為。時x的最小值

r2號

分別為芭廣2,求證：工>。3.

戶

【答案】(1)1

(2)立

2

⑶證明見解析；

-ZA(7

【分析】(1)根據(jù)平均曲率長=丁的定義，代入計算可得結(jié)果；

As

(2)對函數(shù)〃x)=!求導(dǎo)，代入曲率計算公式并化簡變形利用基本不等式可求得曲線y=〃x)的曲率的最

大值為正；

2

InxIny

(3)根據(jù)g(x),〃(x)曲率為0可求得〃=—,a=-xe)利用導(dǎo)數(shù)判斷出函數(shù)的單調(diào)性，可知”。⑴

XX

的兩解分別為王,三，且l<X1<e<X3,令警=警=?可得％=ef,對區(qū)整理變形并構(gòu)造函數(shù)

lnx3lnx3e*2

8(1)

雙。=Inf-3市+；)可得出證明.

TTJi

【解析】(1)易知單位圓上圓心角為60。的圓弧"=加=卜1=；,

71

根據(jù)定義可得平均曲率左=孚=3=1

Z巴

(2)由/(x)=L(x>0)可得/(》)=-」,

XX

2

又心)=/(%)可得?x)=F；

x

易知入詈2巨=2,當(dāng)且僅當(dāng)時，即E時等號成立;

2<2,2=6

所以一不一干運不，

即曲線y=/(x)的曲率的最大值為正.

2

(3)由g(x)