第10講立體幾何初步認(rèn)識(shí)

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學(xué)習(xí)目標(biāo)

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掌握長(zhǎng)方體正方體的體積及表面積

掌握表面積和體積的變化規(guī)律

掌握表面積和體積的應(yīng)用

||豳基礎(chǔ)知識(shí)^

---------------------llllillllllllllllllllllllllllllllllllllll-----------------------

模塊一：長(zhǎng)方體正方體的體積與表面積

長(zhǎng)方體和正方體的認(rèn)識(shí)

特征：長(zhǎng)方體有6個(gè)面，每個(gè)面都是長(zhǎng)方形（特殊的有一組對(duì)面是正方形），相對(duì)的面完全

相同；有12條棱，相對(duì)的棱平行且相等；有8個(gè)頂點(diǎn)。正方形有6個(gè)面，每個(gè)面都是正方

形，所有的面都完全相同；有12條棱，所有的棱都相等；有8個(gè)頂點(diǎn)。

相交于一個(gè)頂點(diǎn)的三條棱的長(zhǎng)度分別叫做長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高。

長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)總和=（長(zhǎng)+寬+高）x4用字母表示：（a+b+h）x4

正方體的棱長(zhǎng)總和=棱長(zhǎng)X12用字母表示：12a

長(zhǎng)方體和正方體的表面積的計(jì)算

表面積：長(zhǎng)方體或正方體6個(gè)面的總面積叫做它的表面積。

長(zhǎng)方體的表面積=（長(zhǎng)x寬+長(zhǎng)x高+寬x高）x2

用字母表示：S=（ab+ah+bh）x2

正方體的表面積=棱長(zhǎng)x棱長(zhǎng)X6

用字母表示：S=6a2

單位：平方厘米、平方分米、平方米In?=100dm21dm2=100cm2

長(zhǎng)方體和正方體的體積的計(jì)算

物體所占空間的大小叫做物體的體積。

長(zhǎng)方體的體積=長(zhǎng)x寬x高用字母表示：V=abh

正方體的體積=棱長(zhǎng)x棱長(zhǎng)x棱長(zhǎng)用字母表示：V=a3

立方厘米、立方分米和立方米ImJlOOOdn?ldm3=1000cm3lm3=1000000cm3

長(zhǎng)方體或正方體的體積=底面積x高用字母表示：V=Sh

把高級(jí)單位化成低級(jí)單位，用高級(jí)單位數(shù)乘以進(jìn)率；--一大乘小

把低級(jí)單位聚成高級(jí)單位，用低級(jí)單位數(shù)除以進(jìn)率。一一小除大

模塊二：表面積與體積的變化

1、當(dāng)相同的正方體拼在一起的時(shí)候，這里重疊的地方就把它叫做接縫，重疊部分的面積就

叫做接縫處的面積。

2、接縫條數(shù)=正方體個(gè)數(shù)一1。

3、每有1條接縫就減少了原來(lái)的2個(gè)面的面積。

4、拼成的長(zhǎng)方體的表面積=原來(lái)正方體表面積之和一減少的面的面積。

5、接縫處的面積=接縫條數(shù)x2x每個(gè)面的面積。

石塊投入水里：增加的體積就是石塊的體積

表面積減少情況：

1、把兩個(gè)棱長(zhǎng)1厘米的正方體粘成一個(gè)長(zhǎng)方體，表面積比原來(lái)減少了多少平方厘米?

2、把三個(gè)棱長(zhǎng)1厘米的正方體粘成一個(gè)長(zhǎng)方體，表面積比原來(lái)減少了多少平方厘米?

3、把四個(gè)棱長(zhǎng)1厘米的正方體粘成一個(gè)長(zhǎng)方體，表面積比原來(lái)減少了多少平方厘米?

表面積增加的情況100個(gè)100個(gè)

1,把一個(gè)長(zhǎng)方體正好切成兩個(gè)棱長(zhǎng)1厘米的正方體，表面積比原來(lái)增加了多少平方厘米?

2、把一個(gè)長(zhǎng)方體正好切成三個(gè)棱長(zhǎng)1厘米的正方體，表面積比原來(lái)增加了多少平方厘米?

3、把一人長(zhǎng)方體正好切成四個(gè)棱長(zhǎng)1厘米的正方體，表面積比原來(lái)增加了多少平方厘米?

模塊三：表面積與體積的綜合應(yīng)用

三視圖畫(huà)法：長(zhǎng)對(duì)正，高平齊，寬相等（需要添加對(duì)應(yīng)的題目）

平面圖：立體圖形的直觀圖

涂色問(wèn)題：（需要添加對(duì)應(yīng)的題目）

對(duì)于nxnxn的正方形，其涂色情況如下：

3面涂色：8個(gè)（每個(gè)頂點(diǎn)均有一個(gè)涂色）、

2面涂色：（n-2）xl2個(gè)

1面涂色：（n-2）x（n-2）x6個(gè)

各面均沒(méi)有涂色：總數(shù)減去上面3個(gè)總數(shù)或者（n-2）x（n-2）x（n-2）個(gè)

1，，"、

IQ考點(diǎn)剖析

------------------llllllllllllllllllllitlllllillillllllllll-----------------------

I模塊一：長(zhǎng)方體正方體的體積與表面積

二:一圖形計(jì)算

1.計(jì)算下面圖形的表面積和體積。（單位：厘米）

【答案】表面積：216平方厘米，體積：216立方厘米；

表面積：640平方厘米，體積：800立方厘米

【分析】根據(jù)正方體的表面積公式：S=6a2,正方體的體積公式：V=a3；根據(jù)長(zhǎng)方體的表

面積公式：S=（ab+ah+bh）x2,長(zhǎng)方體的體積公式：V=abh；據(jù)此進(jìn)行計(jì)算即可。

【詳解】6x6x6

=36x6

=216（平方厘米）

6x6x6

=36x6

=216（立方厘米）

（20x10+20x4+10x4）x2

=（200+80+40）x2

=320x2

=640（平方厘米）

20x10x4

=200x4

=800（立方厘米）

2.分別計(jì)算下面兩個(gè)圖形的表面積和體積。（單位：cm）

【答案】表面積為462cm2,體積為669cm二表面積為230cm°,體積為165cm'

【分析】看圖1可知，一個(gè)長(zhǎng)方體和正方體疊加之后，減少了兩個(gè)正方形的表面積，組合圖

形的表面積等于長(zhǎng)方體的表面積加上正方體四個(gè)面的表面積,利用表面積公式分別代入計(jì)算

即可；疊加后體積不變，組合圖形的體積等于長(zhǎng)方體的體積加上正方體的體積，利用體積公

式計(jì)算即可。

看圖2可知，一個(gè)長(zhǎng)方體和正方體疊相鄰放齊之后，減少了兩個(gè)長(zhǎng)方體側(cè)面的表面積，組合

圖形的表面積等于正方體的表面積加上長(zhǎng)方體上、下、前、后四個(gè)面的表面積，表面積公式

分別代入計(jì)算即可；組合圖形的體積等于長(zhǎng)方體的體積加上正方體的體積，利用體積公式計(jì)

算即可。

【詳解】圖1：

長(zhǎng)方體表面積：11x5x4

=55x4

=220（cm2）

正方體四個(gè)面的表面積：11x11x2

=121x2

=242（cm2）

圖1的表面積：220+242=462(cm2)

長(zhǎng)方體體積：11x11x5

=121x5

=605(cm3)

正方體體積：4x4x4

=16x4

=64(cm3)

圖1的體積：605+64=669(cm3)

圖2：

正方體的表面積：5x5x6

=25x6

=150(cm2)

長(zhǎng)方體四個(gè)面的表面積：10x2x4

=20x4

=80(cm2)

圖2的表面積：150+80=230(01?)

正方體的體積：5x5x5

=25x5

=125(cm3)

長(zhǎng)方體的體積：10x2x2

=20x2

=40(cm3)

圖2的體積：125+40=165(cm3)

二、解答題

3.根據(jù)下面兩人的對(duì)話信息，回答下列問(wèn)題:

在這個(gè)魚(yú)缸中放入

從里面量長(zhǎng)8分米，

觀賞石，且完全浸

寬5分米，高5分米,

里面盛有水，水深

2一4分米。

(1)這個(gè)魚(yú)缸的容積是多少立方分米？

(2)放入的觀賞石的體積是多少立方分米？

(3)清洗魚(yú)缸時(shí)，如果水管以每分鐘抽吸8立方分米的速度，那么至少需要多長(zhǎng)時(shí)間才能

將魚(yú)缸的水抽干？

【答案】(1)200立方分米

(2)32立方分米

(3)12分鐘

【分析】(1)根據(jù)長(zhǎng)方體的容積公式：V=abh,據(jù)此計(jì)算可求出這個(gè)魚(yú)缸的容積是多少；

(2)根據(jù)不規(guī)則物體的體積=容器的底面積x水面上升的高度，據(jù)此進(jìn)行計(jì)算即可；

(3)根據(jù)長(zhǎng)方體的體積公式：V=abh,據(jù)此求出水的體積，用水的體積除以每分鐘抽吸的

速度即可求解。

【詳解】(1)8x5x5

=40x5

=200(立方分米)

答：這個(gè)魚(yú)缸的容積是200立方分米。

(2)8x5x(3.2-2.4)

=40x0.8

=32(立方分米)

答：放入的觀賞石的體積是32立方分米。

(3)8x5x24+8

=40x2.4+8

=96+8

=12(分鐘)

答：至少需要12分鐘才能將魚(yú)缸的水抽干。

【點(diǎn)睛】本題考查求不規(guī)則物體的體積，結(jié)合長(zhǎng)方體的容積的計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵。

4.實(shí)驗(yàn)小學(xué)要建一個(gè)長(zhǎng)方體游泳池，長(zhǎng)20米，寬15米，深3米。

(1)如果在底部和四周貼上邊長(zhǎng)為5分米的瓷磚，至少需要多少塊才能夠用？

(2)如果將水池注入1.4米深的水，一共能注多少噸水？(1立方米水重1噸)

【答案】(1)2040塊

(2)420噸

【分析】(1)由題意可知，用貼瓷磚的面積除以一塊瓷磚的面積即可求出需要多少塊；貼

瓷磚的面積等于長(zhǎng)方體五個(gè)面的面積，即貼瓷磚的面積=長(zhǎng)乂寬+(長(zhǎng)x高+寬x高)x2,據(jù)

此解答即可；

(2)根據(jù)長(zhǎng)方體的體積公式：V=abh,據(jù)此求出水池中水的體積，再用水的體積乘1立方

米水的重量即可求解。

【詳解】(1)20x15+(20x3+15x3)x2

=300+(60+45)x2

=300+105x2

=300+210

=510（平方米）

=51000（平方分米）

51000+（5x5）

=51000-25

=2040（塊）

答：至少需要2040塊才能夠用。

（2）20x15x1.4x1

=300x1.4x1

=420x1

=420（噸）

答：一共能注420噸水。

【點(diǎn)睛】本題考查長(zhǎng)方體的表面積和體積，熟記公式是解題的關(guān)鍵。

5.求下面假山的體積是多少？

10cm

.5cm___

15cm15cm

【答案】900立方厘米

【分析】根據(jù)不規(guī)則物體的體積=容器的底面積x水面上升的高度，據(jù)此進(jìn)行計(jì)算即可。

【詳解】15xl5x（14-10）

=225x4

=900（立方厘米）

答：假山的體積是900立方厘米。

【點(diǎn)睛】本題考查求不規(guī)則物體的體積，結(jié)合長(zhǎng)方體的體積的計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵。

6.一個(gè)游泳池長(zhǎng)50米，寬25米，內(nèi)蓄滿水2500立方米。

（1）這個(gè)游泳池的高是多少米？

（2）如果要把游泳池內(nèi)貼上5分米X5分米的正方形瓷磚，需要瓷磚多少塊？

【答案】（1）2米

（2）6200塊

【分析】（1）根據(jù)長(zhǎng)方體的體積公式：V=abh,據(jù)此求出這個(gè)游泳池的高是多少；

（2）由題意可知，貼瓷磚的面積等于長(zhǎng)方體五個(gè)面的面積，即貼瓷磚的面積=長(zhǎng)乂寬+（長(zhǎng)

x高+寬x高）x2,據(jù)此求出貼瓷磚的面積，用貼瓷磚的面積除以一塊正方形瓷磚的面積即

可求出需要瓷磚多少塊。

【詳解】(1)2500:50:25

=50:25

=2(米)

答：這個(gè)游泳池的高是2米。

(2)50x25+(50x2+25x2)x2

=1250+(100+50)x2

=1250+150x2

=1250+300

=1550(平方米)

=155000(平方分米)

155000-(5x5)

=155000:25

=6200(塊)

答：需要瓷磚6200塊。

【點(diǎn)睛】本題考查長(zhǎng)方體的體積和表面積，熟記公式是解題的關(guān)鍵。

三、填空題

7.將一個(gè)長(zhǎng)8dm,寬和高都是5dm的長(zhǎng)方體框架，拆開(kāi)后再焊接成一個(gè)正方體，并給它表

面貼上紙，這個(gè)正方體的棱長(zhǎng)是()dm,表面積是()dm2,體積是

3

()dmo

【答案】6216216

【分析】這個(gè)正方體的棱長(zhǎng)=(長(zhǎng)方體的長(zhǎng)+寬+高)X4-12；正方體的表面積=棱長(zhǎng)x棱

長(zhǎng)x6,正方體的體積=棱長(zhǎng)x棱長(zhǎng)x棱長(zhǎng)。

【詳解】(8+5+5)x4X2

=18x4;12

=72勺2

=6(dm)

6x6x6

=36x6

=216(dm2)

6x6x6

=36x6

=216(dm3)

這個(gè)正方體的棱長(zhǎng)是6dm,表面積是216dm2,體積是216dm3。

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵是熟悉正方體特征，掌握并靈活運(yùn)用正方體表面積和體積公式。

8.做一個(gè)棱長(zhǎng)為0.4米的正方體紙盒，至少需要平方米的紙板，紙盒的體積是

__________立方米。

【答案】0.960.064

【分析】根據(jù)正方體的表面積公式：S=6a2,正方體的體積公式：V=a3,據(jù)此進(jìn)行計(jì)算即

可。

【詳解】0.4x0.4x6

=0.16x6

=0.96（平方米）

0.4x04x0.4

=0.16x0.4

=0.064（立方米）

則至少需要0.96平方米的紙板，紙盒的體積是0.064立方米。

【點(diǎn)睛】本題考查正方體的表面積和體積，熟記公式是解題的關(guān)鍵。

、模塊二：表面積與體積的變化

L2J

例1、把下圖的長(zhǎng)方體按照三種不同的方法切成兩個(gè)長(zhǎng)方體，表面積分別增加了多少平方厘

解析：S=7x用謹(jǐn)來(lái)40（平方厘米）

答：表面積增加了140平方厘米。

解析：S=10x8x2=160（平方厘米）

答：表面積增加了160平方厘米。

例2、在棱長(zhǎng)為4cm的正方體的6個(gè)面上，各挖去一個(gè)棱長(zhǎng)為1cm的正方體，挖后的正方

體的體積是（）cm3,表面積增加了（）cm2o

【答案】6324

【分析】用大正方體的體積減去6個(gè)小正方體的體積就是剩下的體積；每挖去一個(gè)小正方體

就會(huì)增加四個(gè)小正方形的面，計(jì)算出增加的小正方形面的個(gè)數(shù)即可計(jì)算增加的面積。

【詳解】4x4x4—1x1x1

=16x4—1

=64-1

=63（cm3）

Ixlx4x6

=1x4x6

=4x6

=24（cm2）

則挖后的正方體的體積是63cm3,表面積增加了24cm2。

【點(diǎn)睛】本題考查正方體的體積和表面積，明確每挖去一個(gè)小正方體就會(huì)增加四個(gè)小正方形

的面是解題的關(guān)鍵。

模塊三：表面積與體積的綜合應(yīng)用

前1.把10個(gè)棱長(zhǎng)1厘米的小正方體拼擺成一個(gè)立體圖形（如圖），這個(gè)立體圖形的體積

是（）立方厘米，表面積是（）平方厘米。

【答案】1036

【分析】先根據(jù)正方體的體積公式V=a3,求出1個(gè)小正方體的體積，再乘小正方體的個(gè)數(shù),

即是這個(gè)立體圖形的體積。

立體圖形從上面、前面、左面分別看到6個(gè)小正方形，同理從下面、后面、右面也有6個(gè)正

方形，所以一共有（6+6+6）義2個(gè)小正方形，再乘每個(gè)小正方形的面積，即是這個(gè)立體圖

形的表面積。

【詳解】體積：1x1x1x10=10（立方厘米）

小正方形的個(gè)數(shù)：

（6+6+6）*2

=18x2

=36（個(gè)）

表面積：1x1x36=36（平方厘米）

這個(gè)立體圖形的體積是10立方厘米，表面積是36平方厘米。

【點(diǎn)睛】本題考查不規(guī)則立體圖形的體積、表面積的求法，運(yùn)用從不同方向觀察立體圖形的

知識(shí)，從6個(gè)方向觀察到的圖形的總面積，就是這個(gè)立體圖形的表面積。

例2.求下面組合圖形的體積。

【答案】1296dm3

【分析】長(zhǎng)方體體積=長(zhǎng)、寬X高，正方體體積=棱長(zhǎng)X棱長(zhǎng)X棱長(zhǎng)，據(jù)此先分別求出長(zhǎng)方體

和正方體的體積，再相加求出組合體的體積。

【詳解】9x6x20+6x6x6

=1080+216

=1296（dm3）

所以，這個(gè)組合圖形的體積是1296dm3。

例3.求下面圖形的體積。（單位：厘米）

緯5

8

?---＞、_1

、----‘

【答案】119.32立方厘米

【分析】圓錐的底面直徑為4厘米，高為4.5厘米，利用“胃錐=；"產(chǎn)//”表示出上面圓錐的

體積，圓柱的底面直徑為4厘米，高為8厘米，利用“%柱=萬(wàn)/加，表示出下面圓柱的體積,

整個(gè)圖形的體積=圓錐的體積+圓柱的體積，據(jù)此解答。

【詳解】g萬(wàn)x（4+2）2x4.5+乃x（4+2）2x8

=」7TX4X4.5+?X4X8

3

4

=—%X4.5+4；Tx8

3

=6萬(wàn)+32萬(wàn)

=38?

=38x3.14

=119.32（立方厘米）

所以，圖形的體積是119.32立方厘米。

例4.求下圖的體積和表面積。（單位：厘米）

【答案】1317.12立方厘米；1192.96平方厘米

【分析】由圖可知，圓柱的底面直徑等于長(zhǎng)方體的寬，則圓柱的底面直徑為8厘米，高為

12厘米，利用“V長(zhǎng)方體=abh”求出長(zhǎng)方體的體積，利用“%柱="http://?，，求出圓柱的體積，圖形

的體積=長(zhǎng)方體的體積一圓柱的體積；利用“S長(zhǎng)方體=2（ab+ah+bh）”求出長(zhǎng)方體的表面積，

利用“S圓柱的惻面積="dh”求出圓柱的側(cè)面積，圖形的表面積=長(zhǎng)方體的表面積一圓柱的底面積

x2+圓柱的側(cè)面積，據(jù)此解答。

【詳解】體積：20x12x8

240x8

=1920（立方厘米）

3.14x（84-2）2x12

=3.14x16x12

=50.24x12

=602.88（立方厘米）

1920-602.88=1317.12（立方厘米）

表面積：（20x8+20x12+8x12）x2

=（160+240+96）x2

=496x2

=992（平方厘米）

3.14x8x12

=25.12x12

=301.44（平方厘米）

992-3.14x（8：2）2x2+301.44

=992-3.14x16x2+301.44

=992—50.24x2+301.44

=992-100.48+301.44

=891.52+301.44

=1192.96（平方厘米）

所以，圖形的體積是1317.12立方厘米，表面積是1192.96平方厘米。

例5.計(jì)算下面立體圖形的表面積和體積。

4dm

____/4dm

8dm

【答案】160dm2,128dm3；406cm2；489cm3

【分析】（1）根據(jù)長(zhǎng)方體的表面積=（長(zhǎng)X寬+長(zhǎng)X高+寬x高）X2,長(zhǎng)方體的體積=長(zhǎng)、寬

x高，代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可；

（2）從圖中可知，正方體與長(zhǎng)方體有重合部分，把正方體的上面向下平移，補(bǔ)給長(zhǎng)方體的

上面，這樣長(zhǎng)方體的表面積是完整的，而正方體只需計(jì)算4個(gè)面（前后面和左右面）的面積;

組合圖形的表面積=長(zhǎng)方體的表面積+正方體4個(gè)面的面積;組合圖形的體積=長(zhǎng)方體的體

積+正方體的體積；根據(jù)長(zhǎng)方體的表面積=（長(zhǎng)x寬+長(zhǎng)x高+寬x高）x2,正方體4個(gè)面的

面積=棱長(zhǎng)x棱長(zhǎng)x4,長(zhǎng)方體的體積=長(zhǎng)、寬x高，正方體的體積=棱長(zhǎng)x棱長(zhǎng)x棱長(zhǎng)，代入數(shù)

據(jù)計(jì)算即可。

【詳解】(1)(8X4+8X4+4X4)X2

=(32+32+16)x2

=80x2

=160(dm2)

8x4x4

=32x4

=128(dm3)

(2)3x3x4+(11x6+11x7+6x7)x2

=9x4+(66+77+42)x2

=36+185x2

=36+370

=406(cm2)

3x3x3+11x6x7

=9x3+66x7

=27+462

=489(cm3)

圉過(guò)關(guān)檢測(cè)

----------------------llllllilllltllllllllllllllllllllillllllll------------------------

1.如圖，一個(gè)圓柱的底面半徑為r,高為h。小明將圓柱表面展開(kāi)（圖1）,得到圓柱表面

積不同的計(jì)算方法。

圖2

⑴你能將這種方法用字母公式補(bǔ)充完整嗎？

(2)當(dāng)r=4厘米，h=10厘米時(shí)，用這種方法：圓柱表面積=長(zhǎng)方形面積，求出圓柱表面

積S表=(

【答案】（1）見(jiàn)詳解

（2）351.68平方厘米

【分析】（1）由圖可知：將圓柱的兩個(gè)底面的圓切分并拼成近似的長(zhǎng)方形，拼成的小長(zhǎng)方

形的長(zhǎng)即為底面圓周長(zhǎng)，寬為圓柱的底面半徑加上圓柱的高，與側(cè)面展開(kāi)的長(zhǎng)方形拼成的大

長(zhǎng)方形面積即為圓柱表面積，得出圓柱表面積=底面周長(zhǎng)X(h+r)；

(2)將r=4厘米，h=10厘米，代入公式計(jì)算出結(jié)果即可。

【詳解】(1)如圖：

圓柱表面積=整個(gè)長(zhǎng)方形的面積

=長(zhǎng)x寬

33

圓柱表面積S=2nrx(h+r)

(2)3.14x4x2x(4+10)

=3.14x8x14

=3.14x112

=351.68(平方厘米)

所以，圓柱的表面積是351.68平方厘米。

【點(diǎn)睛】本題的解答關(guān)鍵是從圖中得到長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是圓柱的底面周長(zhǎng)，長(zhǎng)方形的寬是圓柱的

底面半徑和高組成的。

2.一頂圓錐形斗笠(如圖所示)，這頂圓錐形斗笠的體積是多少立方厘米？

6dm

【答案】15072立方厘米

【分析】6分米=60厘米，根據(jù)圓錐的體積公式：V=g;ir2h,用3.14x(60-2)2xl6xg即

可求出圓錐形斗笠的體積。據(jù)此解答。

【詳解】6分米=60厘米

3.14x(60+2)2X16X-

3

=3.14X302X16X-

3

=3.14x900xl6x-

3

=15072(立方厘米)

答：這頂圓錐形斗笠的體積是15072立方厘米。

【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓錐的體積公式的應(yīng)用，要熟練掌握公式。

3

3.一個(gè)圓柱形汽油桶，底面半徑是3分米，高是12分米，內(nèi)裝汽油的高度為桶高的如

4

果每升汽油重0.8千克，那么現(xiàn)在桶內(nèi)裝有汽油多少千克？

【答案】203.472千克

3

【分析】已知汽油桶的高是12分米，內(nèi)裝汽油的高度為桶高的1，則把汽油桶的高看作單

4

3

位力、根據(jù)分?jǐn)?shù)乘法的意義，用12x1即可求出內(nèi)裝汽油的高度；然后根據(jù)圓柱的體積公

式：V=7tr2h,代入數(shù)據(jù)即可求出汽油的體積，把結(jié)果化為升作單位，最后乘0.8千克，即

可求出現(xiàn)在桶內(nèi)裝有汽油多少千克。據(jù)此解答。

3

【詳解】12x4=9（分米）

4

3.14x32x9

=3.14x9x9

=254.34（立方分米）

254.34立方分米=254.34升

254.34x0.8=203.472（千克）

答：現(xiàn)在桶內(nèi)裝有汽油203.472千克。

【點(diǎn)睛】本題主要考查了分?jǐn)?shù)的應(yīng)用以及圓柱的體積公式的應(yīng)用，明確求一個(gè)數(shù)的幾分之幾

是多少，用乘法計(jì)算。

4.如圖，用一根彩帶捆扎一個(gè)長(zhǎng)方體禮品盒，接頭處的彩帶長(zhǎng)25cm。這根彩帶長(zhǎng)多少厘

【答案】245厘米

【分析】根據(jù)圖形可知：所需彩帶的長(zhǎng)度等于長(zhǎng)方體的2條長(zhǎng)、2條寬、4條高的長(zhǎng)度和，

再加上接頭處的25厘米，根據(jù)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高的數(shù)值，代入進(jìn)行計(jì)算即可解答。

【詳解】40x2+30x2+20x4+25

=80+60+80+25

=140+80+25

=220+25

=245（厘米）

答：這根彩帶長(zhǎng)245厘米。

【點(diǎn)睛】本題考查長(zhǎng)方體的特征，關(guān)鍵是能確定有幾條長(zhǎng)、幾條寬、幾條高。

5.一個(gè)圓錐形沙堆，底面積36平方米，高0.8米。用這堆沙子去填一個(gè)長(zhǎng)7.5米、寬4米

的長(zhǎng)方體沙坑，沙坑里沙子的厚度是多少厘米？

【答案】32厘米

【分析】根據(jù)題意可知把圓錐形的沙堆填在長(zhǎng)方體沙坑里，沙的體積不變，根據(jù)圓錐的體積

公式：v=gsh,求出沙的體積，然后用沙的體積除以長(zhǎng)方體沙坑的底面積即可，據(jù)此解答。

【詳解】36x0.8+（7.5x4）

=12x0.8—30

=9.6+30

=0.32（米）

=32（厘米）

答：沙坑里沙子的厚度是32厘米。

【點(diǎn)睛】此題主要考查圓錐的體積公式、長(zhǎng)方體的體積公式的靈活運(yùn)用。

6.有圓柱體與正方體容器各一個(gè)。圓柱體的底面直徑與正方體的棱長(zhǎng)都是4分米。圓柱體

里裝有2分米高的水,這時(shí)水與圓柱體的接觸面積是多少平方分米？把圓柱體中的水倒入正

方體容器內(nèi)，這時(shí)水面高多少分米？（計(jì)算結(jié)果保留兀）

【答案】12無(wú)平方分米；0.5兀分米。

【分析】因?yàn)樗c圓柱體的容器的接觸面只有側(cè)面和底面，根據(jù)圓柱的表面積公式5=側(cè)面

積十底面積，將數(shù)據(jù)代入即可得出答案。

把圓柱體中的水倒入正方體容器內(nèi)，水的體積不變，根據(jù)圓柱的體積公式V=Sh,先求出水

的體積，再根據(jù)h=V+S（正方形面積公式S=棱長(zhǎng)x棱長(zhǎng)），將數(shù)據(jù)代入，即可得出水面高

度

【詳解】4/2+（4+2）2xn

=87I+22XTT

=8n+4兀

=12兀（平方分米）

（4+2）2xjtx2+（4x4）

=22xm2+16

=8兀+16

=0.5兀（分米）

答：水與圓柱體的接觸面積是12萬(wàn)平方分米，水面高0.5兀分米。

【點(diǎn)睛】本題考查學(xué)生對(duì)圓柱表面公式和圓柱體積公式的掌握和運(yùn)用，解答時(shí)要注意水從圓

柱體中倒入正方體容器內(nèi)，水的體積不變。

7.一塊長(zhǎng)方形的鐵皮（如圖），如果用它做一個(gè)高5分米的圓柱形油桶的側(cè)面，再另配一

個(gè)底面，做這樣一個(gè)油桶至少需要多少鐵皮？（用進(jìn)一法取近似值，得數(shù)保留整平方分米）

如果1升柴油重0.85千克，這個(gè)圓柱形油桶可以盛柴油多少千克？（得數(shù)保留一位小數(shù)）

粉米

1&84分米

【答案】123平方分米；120.1千克

【分析】根據(jù)圓柱的側(cè)面積公式：S=Ch,圓的面積公式：S="F,把數(shù)據(jù)代入公式求出需

要鐵皮的面積；再圓柱的體積（容積）公式：V=?r2h,把數(shù)據(jù)代入公式求出這個(gè)油桶能盛

柴油的體積，然后再乘每升柴油的質(zhì)量即可。

【詳解】18.84x5+3.14x（18.84+3.14+2）2

=94.2+3.14x（18.84+3.14+2）2

=94.2+3.14x（6+2）2

=94.2+3.14x32

=94.2+3.14x9

=94.2+28.26

=122.46（平方分米）

=123（平方分米）

3.14x（18.84+3.14+2）2x5x0.85

=3.14x（6+2）2x5x0.85

=3.14x32x5x0.85

=3.14x9x5x0.85

=28.26x5x0.85

=141.3x0.85

=120.105（千克）

-120.1（千克）

答：做這樣一個(gè)油桶至少需要123平方分米鐵皮，這個(gè)圓柱形油桶可以盛柴油120.1千克。

【點(diǎn)睛】此題主要考查圓柱的側(cè)面積公式、圓的面積公式、圓柱的體積（容積）公式的靈活

運(yùn)用，關(guān)鍵是熟記公式。

8.把一個(gè)底面直徑是10厘米的圓柱形木塊沿底面直徑分成相同的兩塊，表面積增加了100

平方厘米.求這個(gè)圓柱體的體積.

【答案】392.5立方厘米

【分析】要求圓柱的體積，已知底面半徑為10+2=5厘米，還需要求得圓柱的高；根據(jù)題干

把一個(gè)圓柱沿底面直徑切開(kāi)，分成兩個(gè)相等的半圓柱，表面積增加部分就是以這個(gè)圓柱的底

面直徑和圓柱的高為邊長(zhǎng)的兩個(gè)長(zhǎng)方形的面積，由此利用長(zhǎng)方形的面積公式即可求得圓柱的

高，代入圓柱的體積公式即可解決問(wèn)題.

【詳解】解：圓柱的身為：100+2+10

=504-10

=5（厘米）

所以圓柱的體積為：3.14X（104-2）2x5

=3.14x25x5

=392.5（立方厘米）

答：原來(lái)這個(gè)圓柱的體積是392.5立方厘米.

9.如下圖：用一張長(zhǎng)82.8厘米、寬10厘米的鐵皮，剪下一個(gè)最大的圓做圓柱的底面，剩

下的部分圍在底面上做成一個(gè)無(wú)蓋的鐵皮水桶，算一算這個(gè)鐵皮水桶的容積是多少？（鐵皮

厚度不計(jì)）.

82.8cm

【答案】1570立方厘米

【分析】由題意可知：在長(zhǎng)方形上剪一個(gè)最大的圓，圓的直徑應(yīng)該是10厘米，把剩下的鐵

皮分成兩塊，把兩塊上下對(duì)接，圍成的圓柱的高是20厘米.根據(jù)圓的面積計(jì)算公式S=m2,

算出圓的底面積，再根據(jù)圓柱的體積V=sh,算出圓柱的體積即可.

【詳解】解：3.14x（104-2）2x10x2

=3.14x25x20

=78.5x20

=1570（立方厘米）

答：這個(gè)鐵皮水桶的容積是1570立方厘米.

10.把一個(gè)小鐵塊放入圓柱形水槽后，測(cè)得水面上升了3cm,小鐵塊的體積是多少？

Y|（htn?

【答案】235.5cm3

【分析】水面上升3cm,那么上升水的體積就是小鐵塊的體積。上升水的體積是圓柱體的體

積，底面直徑是10cm,高為3cm。

【詳解】半徑：10+2=5（cm）

3.14x5x5x3

=15.7x5x3

=78.5x3

=235.5(cm3)

答：小鐵塊的體積是235.5cm3。

【點(diǎn)睛】本題考查圓柱體積的計(jì)算，關(guān)鍵是鐵塊的體積就是圓柱內(nèi)水上升的體積，再按照?qǐng)A

柱的體積=底面積x高計(jì)算。

11.一個(gè)圓柱形的蓄水池，從里面量，池底直徑20米，深5米。

(1)在這個(gè)蓄水池的底面和四周抹上水泥，如果每平方米用水泥3千克，一共需要水泥多

少千克？

(2)蓄水池最多能蓄水多少噸？(1立方米水重1噸)

【答案】(1)1884千克;

(2)1570噸

【分析】(1)先利用“$=萬(wàn)曲+琪2”求出抹水泥部分的面積，再乘每平方米需要水泥的質(zhì)

量求出一共需要水泥的質(zhì)量；

(2)先根據(jù)“丫=萬(wàn)戶人求出蓄水池的容積，再乘每立方米水的質(zhì)量求出蓄水池最多蓄水的

質(zhì)量，據(jù)此解答。

【詳解】(1)3.14x20x5+3.14x(20+2)2

=3.14x20x5+3.14x100

=3.14x(20x5+100)

=3.14x(100+100)

=3.14x200

=628(平方米)

628x3=1884(千克)

答：一共需要水泥1884千克。

(2)3.14x(202)2x5

=3.14x100x5

=314x5

=1570(立方米)

1570x1=1570(噸)

答：蓄水池最多能蓄水1570噸。

【點(diǎn)睛】掌握?qǐng)A柱的表面積和體積計(jì)算公式是解答題目的關(guān)鍵。

12.一個(gè)無(wú)蓋的長(zhǎng)方體玻璃魚(yú)缸，長(zhǎng)10分米，寬6分米，高7分米。

c<(C

(1)做這個(gè)魚(yú)缸至少需要玻璃多少平方分米？

(2)若往魚(yú)缸里放入330升水，水面離缸口多少分米？

【答案】(1)284平方分米

(2)1.5分米

【分析】(1)因?yàn)轸~(yú)缸無(wú)蓋，所以求它的5個(gè)面的總面積，根據(jù)長(zhǎng)方體的表面積公式：表

面積=長(zhǎng)、寬+(長(zhǎng)x高+寬x高)x2,代入數(shù)據(jù)，即可解答；

(2)根據(jù)長(zhǎng)方體的體積公式：體積=長(zhǎng)乂寬x高，高=體積+長(zhǎng)+寬，代入數(shù)據(jù)，求出水的高

度，再用魚(yú)缸的高減去水的高度；即可解答。

【詳解】(1)10x6+(10x7+6x7)x2

=60+(70+42)x2

=60+112x2

=60+224

=284(平方分米)

答：做這個(gè)魚(yú)缸至少需要玻璃284平方分米。

(2)330升=330立方分米

330+10+6

=33+6

=5.5(分米)

7-5.5=1.5(分米)

答：水面離缸口1.5分米。

【點(diǎn)睛】本題主要考查長(zhǎng)方體的表面積公式、體積公式的靈活運(yùn)用，關(guān)鍵是熟記公式，注意

單位名數(shù)的換算。

13.佳佳有兩個(gè)圓柱形水杯，一個(gè)藍(lán)色的和一個(gè)綠色的。這兩個(gè)水杯的高都是20厘米，藍(lán)

色與綠色水杯的底面半徑之比是3：2,藍(lán)色水杯水深7厘米，綠色水杯水深4厘米，現(xiàn)在

往這兩個(gè)水杯里同時(shí)倒入同樣多的水，直到水面高度相等，這時(shí)藍(lán)色水杯的水面上升了多少

厘米？

【答案】2.4厘米

【分析】已知藍(lán)色與綠色水杯的底面半徑之比是3：2,則假設(shè)藍(lán)色水杯的底面半徑是3厘

米，綠色水杯的底面半徑是2厘米，已知現(xiàn)在往這兩個(gè)水杯里同時(shí)倒入同樣多的水，直到水

面高度相等，則現(xiàn)在藍(lán)色水杯里水的體積一原來(lái)藍(lán)色水杯里水的體積=現(xiàn)在綠色水杯里水的

體積一原來(lái)綠色水杯里水的體積，根據(jù)圓柱的體積公式：V=7tr2h,設(shè)現(xiàn)在水杯里水的高度

是X厘米，據(jù)此列方程為：3.14x3*2x3x—3.14X32X7=3.14X22XX—3.14x22x4,然后解出方程，

最后用現(xiàn)在水的高度減去原來(lái)藍(lán)色水杯里水的高度，即可求出藍(lán)色水杯的水面上升了多少厘

米。

【詳解】假設(shè)藍(lán)色水杯的底面半徑是3厘米，綠色水杯的底面半徑是2厘米，

解：設(shè)現(xiàn)在水杯里水的高度是x厘米。

2222

3.14X3XX-3.14X3X7=3.14X2XX-3.14X2X4

3.14x9xx-3.14x9x7=3.14x4xx—3.14x4x4

28.26x-197.82=12.56x-50.24

28.26x-12.56x=197.82-50.24

15.7x=147.58

x=147.58—15.7

x=9.4

9.4-7=2.4（厘米）

答：這時(shí)藍(lán)色水杯的水面上升了2.4厘米。

【點(diǎn)睛】本題可用列方程來(lái)解決問(wèn)題，關(guān)鍵是找到相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系式。

14.淘氣和笑笑去參觀溫室無(wú)土蔬菜養(yǎng)植園。

（1）養(yǎng)植園是個(gè)長(zhǎng)方形，畫(huà)在1:1000的圖紙上，長(zhǎng)10cm,寬3cm,這個(gè)養(yǎng)植園實(shí)際的長(zhǎng)和

寬各是多少米？

（2）養(yǎng)植園外形是一個(gè)半圓柱形（如圖），半圓柱形外覆蓋了一層塑料薄膜，需要多少平

方米的塑料薄膜？

（3）利用如圖中的陰影部分鐵皮，剛好能做成一個(gè)園區(qū)內(nèi)的圓柱形營(yíng)養(yǎng)液蓄儲(chǔ)桶（接口處

忽略不計(jì)），這個(gè)營(yíng)養(yǎng)液蓄儲(chǔ)桶的容積是多少？

-------------------

X

_____________

-4------33.12dm-----?

【答案】（1）1。0米；30米

（2）5416.5平方米

（3）803.84升

【分析】（1）根據(jù)實(shí)際距離=圖上距離+比例尺，進(jìn)行換算即可；

（2）養(yǎng)殖園的長(zhǎng)=圓柱的高，養(yǎng)殖園的寬=圓柱底面直徑，塑料薄膜面積=圓柱底面積十

側(cè)面積+2,據(jù)此列式解答；

（3）圓柱側(cè)面沿高展開(kāi)是個(gè)長(zhǎng)方形，觀察可知，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)=圓柱底面周長(zhǎng)，底面直徑x2

=圓柱的高，設(shè)底面直徑是x分米，根據(jù)底面直徑+底面周長(zhǎng)=33.12分米，列出方程求出

底面直徑，再根據(jù)圓柱體積=底面積x高，求出容積即可。

【詳解】（1）10^^^=10x1000=10000（厘米）=100（米）

3+」一=3x1000=3000（厘米）=30（米）

1000

答：這個(gè)養(yǎng)植園實(shí)際的長(zhǎng)和寬各是100米、30米。

（2）3.14x（30+2）2+3.14x30x100+2

=3.14x152+4710

=3.14x225+4710

=706.5+4710

=5416.5（平方米）

答：需要5416.5平方米的塑料薄膜。

（3）解:設(shè)底面直徑是x分米。

x+3.14x=33.12

4.14x=33.12

4.14x^4.14=33.12^4.14

x=8

3.14x（84-2）2x（8x2）

=3.14x42x16

=3.14x16x16

=803.84（立方分米）

=803.84（升）

答：這個(gè)營(yíng)養(yǎng)液蓄儲(chǔ)桶的容積是803.84升。

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵是掌握?qǐng)D上距離與實(shí)際距離的換算方法，熟悉圓柱特征，掌握并靈活運(yùn)用圓柱

表面積和體積公式。

15.甲流是甲型流行性感冒的簡(jiǎn)稱，是由甲型流感病毒感染人體所導(dǎo)致的急性呼吸道疾病。

李華感染了甲流，需要輸液。如圖①所示，輸液瓶液面高度是10厘米，液體是250毫升。

護(hù)士阿姨給李華設(shè)置了平均每分鐘5毫升的輸液速度，10分鐘后，空的部分高度是6厘米,

如圖②所示。

（1）這個(gè)輸液瓶的底面積是多少平方厘米？

（2）這個(gè)輸液瓶的容積是多少毫升？

【答案】（1）25平方厘米

（2）350毫升

【分析】（1）已知圖①的輸液瓶液面高度是10厘米，液體是250毫升；先根據(jù)進(jìn)率：1毫

升=1立方厘米，將250毫升換算成250立方厘米；然后根據(jù)圓柱的底面積$=丫+11,求出

這個(gè)輸液瓶的底面積。

（2）已知輸液速度為平均每分鐘5毫升，即每分鐘5立方厘米，那么10分鐘一共輸液5x10

=50立方厘米；由上一題可知這個(gè)輸液瓶的底面積是25平方厘米，根據(jù)圓柱的體積丫=511

可知，圖②空的部分的體積是（25x6）立方厘米；用原來(lái)液體的體積加上圖②空的部分的

體積，再減去10分鐘輸液的體積，即是這個(gè)輸液瓶的容積。

【詳解】（1）250毫升=250立方厘米

250+10=25（平方厘米）

答：這個(gè)輸液瓶的底面積是25平方厘米。

（2）5毫升=5立方厘米

250+25x6-5x10

=250+150-50

=350（立方厘米）

350立方厘米=350毫升

答：這個(gè)輸液瓶的容積是350毫升。

【點(diǎn)睛】本題考查圓柱體積公式的靈活運(yùn)用，關(guān)鍵是明白圖②空的部分的體積包含原來(lái)空的

部分體積和10分鐘輸液的體積。

16.一個(gè)圓柱形零件，底面半徑是6厘米，高是12厘米，在零件的底部有一個(gè)圓柱形的洞,

洞口直徑是10厘米，洞深4厘米。

（1）如果將這個(gè)零件與空氣接觸的表面都涂上防銹漆，涂防銹漆的面積是多少平方厘米？

（2）這個(gè)零件用鐵鑄造，如果每立方厘米的鐵約重7.8克，這個(gè)零件約重多少千克？（得

數(shù)保留一位小數(shù)）

【答案】（1）803.84平方厘米

(2)8.1千克

【分析】(1)由于底部有一個(gè)圓柱形的洞，那么與空氣接觸的面相當(dāng)于一個(gè)大圓柱的表面

積外加底面下面小圓珠的側(cè)面積，根據(jù)圓柱的側(cè)面積公式：S=?rdh,圓柱的表面積=側(cè)面

積+2x底面積，把數(shù)代入即可求解；

(2)根據(jù)圓柱的體積公式：底面積x高，用大的圓柱的體積減去挖去的體積再乘7.8即可求

解，之后再轉(zhuǎn)換單位，保留一位小數(shù)看小數(shù)點(diǎn)后的第二位，如果小數(shù)點(diǎn)后的第二位大于等于

5,則進(jìn)一，小于5,則舍去。

【詳解】(1)3.14x6x2x12+3.14x6x6x2+3.14x10x4

=452.16+226.08+125.6

=803.84(平方厘米)

答：涂防銹漆的面積是803.84平方厘米。

(2)3.14x6x6x12-3.14x(104-2)2x4

=1356.48—3.14x25x4

=1356.48-314

=1042.48(立方厘米)

1042.48x7.8=8131.344(克)

8131.344克=8.131344千克儀8.1千克

答：這個(gè)零件約重8.1千克.

【點(diǎn)睛】本題主要考查圓柱的表面積和體積的公式，熟練掌握它們的公式并靈活運(yùn)用。

17.有一個(gè)長(zhǎng)方體，長(zhǎng)與寬的比是2:1,寬與高的比是3:2。已知這個(gè)長(zhǎng)方體的全部棱長(zhǎng)之

和是220厘米，求這個(gè)長(zhǎng)方體的體積。

【答案】4500立方厘米

【分析】將寬與高的比的前項(xiàng)變成1,那么后項(xiàng)就是:，所以長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高的比是6：

3：2,而長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)之和=(長(zhǎng)方體的長(zhǎng)+長(zhǎng)方體的寬+長(zhǎng)方體的高)x4,那么長(zhǎng)方體

的長(zhǎng)+長(zhǎng)方體的寬+長(zhǎng)方體的高=220x；