弧長和扇形面積（八大模塊）

目錄：

模塊1:求正多邊形的中心角

模塊2：已知正多邊形的中心角求邊數

模塊3：正多邊形和圓綜合

模塊4：尺規作圖

模塊5：求弧長

模塊6：求扇形面積

模塊7：圓錐的側面積綜合

模塊8：解答綜合題

模塊1：求正多邊形的中心角

1.正六邊形的中心角為（）

A.120°B.90°C.60°D.30°

【答案】C

【分析】本題考查了正多邊形中心角定義.根據題意正多邊形中心角即為360。除以正多邊形邊數即可選出

本題答案.

【解析】解：???是正六邊形，

360°

???中心角為：-=60。，

6

故選：C.

2.如圖，點。為正五邊形HBCQE的中心，連接。4,。￡,則//0E的度數為（）

A.72°B.54°C.60°D.36°

【答案】A

360°

【分析】根據正〃邊形的中心角的度數為一，進行求解即可.

n

【解析】解：由題意，得：/NOE的度數為3節60-°=72。；

故選A.

3.如圖，。。的內接正六邊形的邊長是6,則弦心距是.

【答案】3H

【分析】連接08、OC,過點。作OM18C,交于點證明△O8C為等邊三角形，根據等邊三角形的

性質，得出8M=；3C=3,根據勾股定理得出0河=36即可.

【解析】解：連接。2、OC,過點。作（W15C,交3C于點/，如圖所示：

,??六邊形ABCDEF為圓內接正六邊形,

.?.ZBOC=-x360°=60°,

J6

???OB=OC,

bOBC為等邊三角形，

/.OB=OC=BC=6,

OMLBC,

,-.BM=-BC=3,

2

OM=y]OB2-BM2=A/62-32=3百，

即弦心距是3vL

故答案為：3省.

【點睛】本題主要考查了正多邊形的性質，等邊三角形的判定和性質，勾股定理，作出輔助線，熟練掌握

等邊三角形的判定和性質是解題的關鍵.

4.如圖，正五邊形/8CDE內接于OO,P為標上一點，連接尸PE,則乙4尸￡的度數為（）

A.18°B.36°C.54°D.72°

【答案】B

【分析】本題考查的是正多邊形和圓，掌握正多邊形的中心角的計算公式”360°是解題的關鍵.

n

【解析】解：連接04、OB,

???/BCDE是圓內接五邊形,

???"A。

NAPE=-ZAOE=-x72°=36°,

22

故選B.

5.如圖，正五邊形Z3CQE和正三角形/尸。都內接于。O,則正的度數為<

【答案】24

【分析】連接。4,OB,OP,OC,分別求出正五邊形ZBCQE和正三角形NP。的中心角，結合圖形計算

即可.

【解析】解：連接CM,OB,OP,OC,

???五邊形ABCDE是正五邊形,

360°

：.ZAOB=—^=12°,

??.N/OC=720x2=144。，

???△4P。是正三角形,

360°

/AOP=——=120°,

3

ZPOC=ZAOC-NAOP=144。一120°=24°.

???京的度數為24。.

故答案為：24.

A

【點睛】本題考查圓心角和弧之間的關系，正多邊形與圓的有關計算.掌握正多邊形的中心角的計算公式

是解題的關鍵.

模塊2：已知正多邊形的中心角求邊數

6.一個圓的內接正多邊形中，一條邊所對的圓心角為18。，則該正多邊形的邊數是（）

A.14B.18C.16D.20

【答案】D

【分析】本題主要考查正多邊形的有關知識.根據正多邊形的中心角為36出0°計算即可.

n

【解析】解：???一個圓的內接正多邊形中，一條邊所對的圓心角為18。，

.?.該正多邊形的邊數為：〃=母=20,故D正確.

18

故選：D.

7.正多邊形的中心角為45。，則正多邊形的邊數是（）

A.4B.6C.8D.12

【答案】C

【分析】本題考查正多邊形與圓，根據中心角的度數等于360。除以邊數，進行求解即可.

【解析】解：???正多邊形的中心角為45。，

這個多邊形的邊數是360。+45。=8,

???正多邊形的邊數是8.

故選：C.

8.如圖，A、B、C、。為一個正多邊形的頂點，。為正多邊形的中心，若乙4。2=18。，則這個正多邊

形的邊數為（）

D

0?

//C

A

A.7B.8C.9D.10

【答案】D

【分析】本題考查了正多邊形與圓，圓周角定理，連接。4,。2,根據圓周角定理得到

NAOB=2/ADB=36°,即可得到結論，熟練掌握圓周角定理的應用及正確理解正多邊形與圓的關系是解題

的關鍵.

【解析】解：連接CM,OB,

???A、B、C、。為一個正多邊形的頂點，。為正多邊形的中心，

.?.點A、B、C、。在以點。為圓心，0/為半徑的同一個圓上，

,:NADB=18。,

ZAOB=2/ADB=36°,

??.這個正多邊形的邊數3=60曾°=10,

故選：D.

9.如圖，P,。分別是。。的內接正五邊形的邊相，8c上的點，BP=CQ,則/尸。。=()

【答案】C

【分析】本題考查的是正多邊形和圓、全等三角形的判定和性質，掌握正多邊形的中心角的求法、全等三

角形的判定定理是解題的關鍵.連接CM、OB、0C,證明△。/”△OCQ,根據全等三角形的性質得到

/BOP=/COQ,結合圖形計算即可.

【解析】解：連接。4、OB、OC,

???五邊形ABCDE是OO的內接正五邊形,

:.ZAOB=/BOC=720,

vOA=OB,OB=OC,

AOBA=ZOCB=54°,

在△OAP和△OCQ中,

OB=OC

ZOBP=ZOCQf

BP=CQ

.??△05月且△OCQ(SAS),

/BOP=/CO。,

ZAOB=ZAOP+ZBOP,ABOC=ZBOQ+ZQOC,

:.ZBOP=ZQOC,

???ZPOQ=ZBOP+ZBOQ,/BOC=ABOQ+ZQOC,

ZPOQ=ABOC=72°.

故選：C.

10.如圖，點4、B、C、。為一個正多邊形的頂點，點。為正多邊形的中心，若//。8=18。，則這個正多

邊形的邊數為（）

B

A.10B.12C.15D.20

【答案】A

【分析】作正多邊形的外接圓，根據圓周角定理得到4405=36。，根據中心角的定義即可求解.

【解析】解：如圖，作正多邊形的外接圓，

；?/AOB=2/ADB=36。,

???這個正多邊形的邊數為36券0°=10.

故選：A.

【點睛】此題主要考查正多邊形的性質，解題的關鍵是熟知圓周角定理.

模塊3：正多邊形和圓綜合

11.如圖，正六邊形ZBCQE廠內接于。連接30.則/CD5的度數是（）

C.45°D.30°

【答案】D

【分析】本題考查的是正多邊形和圓，熟記多邊形的中心角是解題的關鍵.

360°

根據正六邊形的性質得出/BOC=h=60。，再根據圓周角定理即可得到結論.

6

【解析】解：連接。民

???六邊形ABCDEF為正六邊形,

360°

??.ZBOC=——=60°,

6

vBC=BC，

.-.ZCDB=-ZBOC=30°,

12.正三角形的內切圓半徑、外接圓半徑和正三角形高的比為（）

A.1:2:3B.2:3:4C.1：板:gD.1：百：2

【答案】A

【分析】本題考查的是正多邊形和圓，畫出圖形，連接連接/。并延長交2C于點。，得到直角三角

形B0D,利用30。角所對的直角邊等于斜邊的一半，得到R=2r,然后求出，與『的關系，計算r，R與h

的比，正確畫出圖形得到相應關系是解題的關鍵.

【解析】解：如圖，畫出圖形，連接連接49并延長交BC于點得到直角三角形8。。，則

N0BD=30°,

R=2r,

?.?4。是5C邊上的高力，OA=OB,

:.h=R+r=3r.

:.r:R:h=r:2r:3r=\:2:3,

即正三角形的內切圓半徑、外接圓半徑和高的比為1:2:3.

故選：A.

13.如圖，正四邊形N5CQ和正五邊形CEFG"內接于。O,4。和E尸相交于點〃，則N/MF的度數為

）

F

A.26°B.27°C.28°D.30°

【答案】B

【分析】本題考查了圓內接正多邊形的性質，圓周角定理，三角形內角和定理，對頂角的性質，直角三角

形的性質，連接OE、OD,設CD與石尸相交于點N,由圓的內接正多邊形的性質可得=90。，

ZCOE=12°,即得=/COE=18。，即可由圓周角定理得NDCE=g/OOE=9。，進而由三

角形內角和定理得/OW=/CNE=63。，再由直角三角形兩銳角互余得到/4WF=/OW=27。，正確作

出輔助線是解題的關鍵.

【解析】解：連接OE、OD,設CD與所相交于點N,

???正四邊形/BCD和正五邊形CEFGH內接于G>O,

??.NCOD=360。+4=90°,/COE=360。+5=72°,

??.ZDOE=ZCOD-/COE=90°-72°=18°,

???/DCE=-ZDOE=lxl8°=9°,

22

（5-2）x180°

???ZCEF=——1---二108。，

5

???/CNE=180。-108。-9。=63。，

4DNM=/CNE=63°,

???ZADC=90°,

/DMN=900—63°=27°,

:"AMF-DMN=27。，

故選：B.

F

14.如圖，正n邊形444…4的兩條對角線44、44的延長線交于點尸，若NP=24。，則〃的值是

【答案】B

【分析】連接44，44,根據正〃邊形的性質知441144,得NP==24°,則正〃邊形中心角

為24。，即可解決問題.本題主要考查了正〃邊形和圓的知識，熟練掌握正〃邊形的性質是解題的關鍵.

..44II44，

ZP=ZA2A6A4=24°,

「?正〃邊形中心角為24。,

.?.〃=360。+24。=15,

故選：B.

模塊4：尺規作圖

15.如圖，已知/C為。。的直徑.請用尺規作圖法，作出OO的內接正方形48CD.（保留作圖痕跡.不寫

作法）

【分析】作/C的垂直平分線交。。于3、D,則四邊形N5CO就是所求作的內接正方形.

【解析】解：如圖，正方形/BCD為所作.

???8。垂直平分/C,NC為。。的直徑，

.?.8。為OO的直徑，

.-.BDLAC,OB=OD,OA=OC,BD=AC,

???四邊形ABCD是。。的內接正方形.

【點睛】本題考查了作圖-復雜作圖：解決此類題目的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性質，結合幾何圖形的基

本性質把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作.也考查了圓的基本性質，正方形的判定.

16.在8x6的正方形網格中，正方形邊長為1單位，4ABC的三個頂點均在格點上，請用無刻度的直尺作圖.

⑴在圖1中畫一個與aABC面積相等，且以BC為邊的平行四邊形，頂點均在格點上；

（2）在圖2中畫一個以點C為頂點的正方形，其余三點均在格點上，此正方形的面積與aABC面積相等.

【分析】（1）根據平行四邊形的面積公式和三角形的面積公式可得，平行四邊形的BC的對邊到BC的距離

等于A到BC的距離的一半，然后根據平行四邊形的對邊相等解答；（2）根據4ABC的面積求得正方形的面

積，然后確定邊長，即可作出.

圖1

【點睛】本題考查了平行四邊形的判定，正確求得正方形的面積，進而確定邊長是關鍵.

17.尺規作圖：

Ai---------------------Ai-----------------------------------------iD

BT-------------------'ctr-----------------------------C

圖①圖②

⑴請在圖①中以矩形4BCD的邊為邊作菱形NDEF,使得點￡在5c上；

⑵請在圖②中以矩形的邊為直徑作。。，并在。。上確定點P,使得ABCP的面積與矩形/BCD

的面積相等.

【答案】（1）見解析

（2）見解析

【分析】（1）結合菱形的判定，以點。為圓心，4。的長為半徑畫弧，交BC為點E,再分別以點￡、點/

為圓心，4D的長為半徑畫弧，兩弧交于點尸，連接DE、EF、4月即可；

（2）作線段4。的垂直平分線交于點。，以點。為圓心，49的長為半徑畫圓，即可得。O,以

點。為圓心，48的長為半徑畫弧，在ND的上方交于點再作=作直線E尸，分別

交。。于點P、P",即可求解.

【解析】（1）解：如圖，菱形4DE尸即為所求，

父

【點睛】本題考查作圖-復雜作圖、菱形的判定、矩形的性質、垂直平分線的性質，理解題意、靈活運用相

關知識是解題的關鍵.

模塊5：求弧長

18.若圓的半徑為1,則60。的圓心角所對的弧長為（）

717171

A.—B.ITC.1D.一

263

【答案】D

【分析】本題主要考查了弧長公式，掌握弧長公式/=黑是解題的關鍵.

180

根據弧長公式；怒wjrr進行計算即可.

1OV

【解析】解：根據題意得/=怒=端^=1

1oU1o（J3

故選：D.

19.如圖，點在半徑為3的OO上，/4c8=30。，則標的長為（）

A

o

兀_3%

A.3B.-C.乃D-T

2

【答案】c

【分析】本題考查圓周角定理，弧長的計算.根據/4C5=30。,先計算N4O3=2N/C3=60。，再用弧長

公式計算即可.

【解析】解：???/ZCB=30。

:.ZAOB=2ZACB=60°

G60%x3

..AB==7i.

180

故選：c.

20.如圖，OO的半徑為2,四邊形48CD是圓內接四邊形，/C=120°,則麗的長為（）

B--------'C

【答案】C

【分析】本題考查了圓內接四邊形的性質，圓周角定理和弧長公式，熟練掌握圓內接四邊形的性質，圓周

角定理和弧長公式是解題的關鍵.先根據圓內接四邊形的性質求出//=60。，再根據圓周角定理得

48=24=120。，再代入弧長公式計算即可.

【解析】解：???/。=120。,

...N4=60°，

NBOD=2/A=120。，

120%x24萬

，麗的長為:

1803

故選：C.

21.如圖，是一個圓形人工湖，弦AB是湖上的一座橋.己知4B的長為10,圓周角NC=30。，則蕊的長

為（）

1020

A.一萬B.—71C.5死D.—71

333

【答案】B

【分析】此題主要考查了弧長計算以及圓周角定義，正確掌握弧長公式是解題關鍵.根據圓周角定理可得

乙405=60。，再根據弧長公式計算即可.

【解析】解：如圖，設圓心為。，連接/。，BO,則。4=。8,

NAOB=60°,

OA=OB,

是等邊三角形,

/.OA=OB=AB=10,

60^x10_10乃

.,.弧的長為:

1803

故選：B.

22.如圖，與O。相切于點8,連接CM交O。于點C,弦BD〃OA,連接CD.若NOCZ)=25°,QO

)

C.5兀D.6兀

【答案】B

【分析】本題考查了切線的性質，平行線的性質，等腰三角形的性質和三角形內角和定理及弧長公式，熟

練掌握知識點并添加適當的輔助線是解題的關鍵.連接。民8,先根據切線的性質得出4450=90。，再根

據平行線的性質得出"CD=ZCDB=25。,/COB=AOBD,再根據等腰三角形的性質和三角形內角和定理

得出/8。。=80。，繼而根據弧長公式求解即可.

【解析】連接。民。。，

???/5與。。相切于點5,

???AB1OB,

AABO=90°,

vBD//OA,ZOCD=25°,

??.ZOCD=/CDB=25°,/COB=ZOBD,

??.ABOC=2ZCDB=50°=ZOBD,

OB=OD,

ZOBD=ZODB=50°,

/.ZBOD=180°-ZOBD-ZODB=80°,

???。。的半徑是9,

773807ix9

BD=---------=44兀，

180

故選：B.

模塊6：求扇形面積

23.如圖是2022年杭州亞運會徽標的示意圖，將其抽象繪制成右圖所示的兩個有公共圓心。的扇形，若

/。=5,2。=2,=120。，則陰影部分面積為（）

【分析】本題考查與扇形相關的陰影部分面積計算，正確識別陰影部分面積為兩個扇形面積之差，以及正

確運用扇形面積公式進行計算是解題的關鍵.

陰影部分面積為扇形40。的面積與扇形80c的面積之差.

HR.°°120x萬x5?120x萬x22_

【解析】解：$陰影=S扇形_S扇形BOC=*=7萬

故選：B.

24.如圖，4B是。。的直徑，弦CDL4B,NCDB=30。,CD=26,則陰影部分的面積為（）

【分析】本題考查圓周角定理，垂徑定理，扇形面積的計算，連接0D,則根據垂徑定理可得出CE=DE,

繼而將陰影部分的面積轉化為扇形的面積，代入扇形的面積公式求解即可.

=

故S、0CESAODE，

即可得陰影部分的面積等于扇形的面積,

又丁/CDS=30。，

，/COB=60。,

CF

OC=---------=2,

cos30°

士心s_60Kx222K

型D扇形050____=_，

即陰影部分的面積為?2兀?

故選D.

25.如圖，扇形的圓心角為120。，點C在圓弧上，NABC=30°,OA=2,陰影部分的面積為（）

B

O

A,加+3B.紅「2乃c2九百

C..-----------L）.-

【答案】B

【分析】本題考查了扇形面積的計算，通過平行線將陰影部分的面積轉化為扇形CMC的面積，熟練掌握扇

形面積的計算公式是解題的關鍵.

【解析】連接/C,CO

ZABC=30°,

ZAOC=2ZABC=60°,

又?.s=oc,

.?.△/oc是等邊三角形,

ZCAO=60°,

又?.2/08=120°,

:.ZCAO+ZAOB=180°,

AC//OB,

?q-q

…°aABC一'

_<_60-^--22_2/r

$陰='扇形we=一正°-=石

故選：B.

26.如圖，在矩形480中，分別以點A和C為圓心，AD長為半徑畫弧，兩弧有且僅有一個公共點.若

34,則圖中陰影部分的面積為（）

A.32—8TCB.16A/3-4TT

C.32-471D.16V3-8TI

【答案】D

【分析】本題考查扇形面積的計算，勾股定理等知識.根據題意可得4C=2/。=8,由勾股定理得出

AB=4日用矩形的面積減去2個扇形的面積即可得到結論.

【解析】解：連接NC,

根據題意可得/C=240=8,

■矩形/BCD,AD=BC=4,ZABC=90°,

在Rt/\ABC中，AB=>JAC2-BC2=4百，

???圖中陰影部分的面積=4x4石一2><^^=]66_8萬.

360

故選：D.

27.如圖，在半徑為2,圓心角為90。的扇形內，以08為直徑作半圓交于點。，連接0D,則陰影部分

的面積是（)

A

-71-2C.兀一2D.兀一1

22

【答案】C

【分析】本題主要考查了扇形面積的計算.先根據題意可知CM=08=2,ZABO=ABAO=45°,從而證明

OD=BD,最后根據陰影部分的面積=扇形的面積-的面積，進行解答即可.

【解析】解：由題意可知：04=02=2,NAOB=90°,

AABO=ABAO=45°,

???08為直徑,

Z0DB=90°,

ZDOB=ZDBO=45°,

OD=BD,

???弓形。。的面積=弓形AD的面積,

???陰影部分的面積

二扇形AOB的面積fAOB的面積

90兀x2?1…

---------------x2x2

3602

=71—2,

故選：C.

28.如圖，正方形/5C。的邊長為8,以5C為直徑的半圓O交對角線B0于點E,則陰影部分的面積是（）

16—2兀C.16-47TD.32—471

【答案】D

【分析】本題考查了扇形面積的計算，正方形的性質，解題的關鍵是修改利用分割法求陰影部分面積.據

圖形可得，陰影部分的面積等于三角形3CD的面積減去扇形OCE的面積，代入面積公式進行計算即可.

【解析】解：???四邊形48CD為正方形，

BC=CD=8,

S陰影=S,BCD—S扇形OCE=jx8x8-9°：父=32—4兀?

2360

故選：D.

29.如圖，已知六邊形48CDE尸是。。的內接正六邊形，。。的半徑為3,連接04OB、BF,則圖中陰

影部分的面積是.

【分析】本題考查了圓內接多邊形的性質，扇形的面積，如圖，連接OC,OF,證明邑/BF=S/°B即可得

到答案，掌握知識點的應用是解題的關鍵.

【解析】如圖，連接。C,OF,

???六邊形ABCDEF是QO的內接正六邊形,

ZAOF=ZAOB=ZBOC=60°,

ZFOC=180°,

■■■F,O,C三點共線,

OA=OB,

??.△ZQB為等邊三角形，

???/OAB=ZAOF=60°,

AB〃CF,

電/=S.A°B，

_60TTX32_3

“Q陰影一4扇形NB_—癡—-2,

故答案為：V3.

30.如圖，依是。。的切線，切點為2,連接OP交。。于點C,4B是。。的直徑，連接NC,若

44=30。，04=2,則圖中陰影部分的面積為.

【分析】本題考查圓周角定理，切線的性質和扇形面積的計算，由條件可求得N8OC的度數，根據切線性

質得出2尸_L,則可求得AP長，再利用S陰影=-S扇形BOC可求得答案.

【解析】解：?.?//=30。，

ZBOC=2ZA=60°,

?；PB是。0的切線，

BPLOB,

在RtZ\O8尸中，08=0/=2,

BP=2xtan60°=2x^3=2G，

二?圖中陰影部分的面積=、2x2百-駟空=2百

23603

故答案為：2-73--

31.如圖，在RtZ\/3C中，ZABC=90°,BC=4,將△45。繞點4順時針旋轉60。得到石，則圖中

陰影部分的面積為.

【分析】本題主要考查了扇形的面積，若陰影部分的面積是一個規則的圖形或是幾個規則圖形的和與差,

則可用面積公式直接求解，若陰影部分不是規則圖形，也不是幾個規則圖形的和與差，則需要將原圖形中

的相關部分通過平移，旋轉，翻折等方式轉化為規則圖形后再求，利用割補法，則陰影部分的面積=扇形

E4C-扇形瓦即可求解.

【解析】解：由旋轉的性質可知，AABCmAADE,

???陰影部分的面積=扇形E/C的面積-扇形及4。的面積

22

60^xAC60兀義AB2XBC60^X428

一—360360~~-~360--360-3萬

故答案為：g萬.

32.如圖，正方形紙片48co中，AB=2,以/為圓心，以AD的長為半徑在正方形內部作而，點尸為C￡>

上一個動點，連接的，將的左側部分紙片沿⑷3折疊，點。落在點E處，連接8E.當△月功為等邊三角

形時，則線段尸E,PC,CB,彘圍成的陰影部分的周長為.

2jr

【答案】y+4

【分析】首先根據正方形的性質和折疊的性質得到PE+PC=DP+PC=CD=AB=2,然后根據等邊三角形

的性質得到NB/E=60。，AE=AB=2,然后利用弧長公式求出出?=煞「=/無，進而求解即可.

1803

【解析】???四邊形是正方形

CD=BC=AB=2

???將七左側部分紙片沿井折疊，點。落在點￡處,

DP=EP

；.PE+PC=DP+PC=CD=AB=2

?.?△NEB為等邊三角形

NBAE=60°,AE=AB=2

22

二陰影部分的周長為PE+PC+8C+2E=2+2+§7i=4+H7t.

2

故答案為：4+§兀

【點睛】此題考查了正方形的性質，等邊三角形的性質，弧長公式，折疊的性質等知識，解題的關鍵是掌

握以上知識點.

模塊7：圓錐的側面積綜合

33.圓錐的側面積為24萬，底面半徑為3,則該圓錐的母線長是.

【答案】8

【分析】本題考查了圓錐的側面積，根據圓錐的側面積=萬〃，列出方程求解即可.

【解析】解：設圓錐的母線長為/,

???圓錐的側面積為24萬，底面半徑為3,

.??3兀1=24?.

解得：/=8,

故答案為：8.

34.已知圓錐的底面圓半徑為3cm,母線長為5cm,則這個圓錐的側面積是

【答案】15%。//15萬平方厘米

【分析】本題考查求圓錐的側面積，根據圓錐的側面積公式進行計算即可.

【解析】解：由題意，得：這個圓錐的側面積是3x5x%=15?cm2；

故答案為：15?cm2.

35.某圓錐形生日帽子的母線長為6cm,底面半徑為2cm,將該帽子沿母線剪開，則其側面展開扇形的圓

心角為.

【答案】120。/120度

【分析】本題考查了求圓錐側面展開扇形的圓心角，設側面展開扇形的圓心角為則萬”=哄，代入數

據即可求解.

【解析】設側面展開扇形的圓心角為則=

360°

=2x360。=工x360°=120°.

I6

故答案為：120。.

36.如圖，將一個圓錐展開后，其側面是一個圓心角為120。，半徑為6cm的扇形，則該圓錐的高為

cm.

【答案】4近

【分析】本題主要考查了圓錐的相關計算，易得扇形的弧長，除以2萬即為圓錐的底面半徑，加上母線長6,

利用勾股定理即可求得圓錐的高.

【解析】解：圓錐的側面展開圖的弧長為：空＞=4%，

1oO

.??圓錐的底面半徑為4萬+2勿=2,

???該圓錐的高為：而―e=4桓.

故答案為：4后.

模塊8；解答綜合題

37.如圖，△N8C中，AB=3,/C=4,BC=5,。/與3c相切于點。.

nB

(1)求圖中陰影部分的面積；

(2)設04上有一動點P,連接。，BP.當CP的長最大時，求的長.

【答案】⑴6-||萬

(2)|A/4T

【分析】本題考查了切線的性質，勾股定理的逆定理，扇形的面積公式等知識，解題的關鍵是：

(1)連接ND,利用勾股定理的逆定理判定得出N"C=90。，利用切線的性質得出4。工2C,利用等面積

12

法求出，然后利用S陰影=LBC-S扇形求解即可；

(2)延長C4交。/于P,連接8尸，則CP最大，然后在RtA/8P中，利用勾股定理求解即可.

【解析】(1)解:連接4。，

VAB=3,AC=4,BC=5,

AB2+AC2=32+42=25=52=BC2,

:.ZBAC=90°,

???8C與04相切于，

AD1BC,

■：4AS5.L.RC2=-ADB2C=-AC-7AB,

AC-AB3x412

BC~~T~~59

907rx

(2)解:延長CZ交04于尸，連接AP,此時。尸最大,

p

由(1)知：ABAC=ZPAB=90°,AP=AD=—,

PB=yjAP2+AB2=-V41.

5

38.如圖，在△NBC中，AC=BC,過點。作半圓。的切線，交/C于點E.

(1)求證：/4CB=2NADE；

(2)若DE=3,AE=A求麗的長.

【答案】⑴見解析

【分析】本題考查了切線的性質，勾股定理，等邊三角形的判定和性質，等腰三角形的性質，圓周角定理,

正確作出輔助線是解答本題的關鍵.

(1)連接根據切線的性質得到N8E=90。，根據圓周角定理得到/3DC=90。，求得

ZADE=ZODC，根據等腰三角形的性質即可得到結論；

(2)根據勾股定理得到/￡>=,32+=2括,tan/=g,求得4=60。，推出△NBC是等邊三角形,

得到4=60。，BC=AB=2AD=46,根據弧長公式即可得到結論.

【解析】(1)證明：連接。28,

A

??,OE是。。的切線，

/ODE=90°,

ZODC+ZEDC=90°,

?「BC為。0直徑，

/.ZBDC=90°,

/./ADC=90°,

:./ADE+/EDC=90。,

ZADE=NODC,

?;AC=BC,

AACB=2ZDCE=2ZOCD,

?.?OD=OC,

/ODC=/OCD,

^ZACB=2ZADE；

(2)解：由(1)知，/ADE+NEDC=90。,/ADE=/DCE,

ZAED=90°,

,:DE=34E=6

???AD=J32+(6)=,taib4==y/3,

ZA=60°,

?：AC=BC,

：.4BC是等邊三角形，

ZB=60°,BC=AB=2AD=473

：.zcoD=2ZB=no°,oc=2V3,

.西的長為也="友2回=生生，

"1801803

39.如圖，已知/4P8,點M是尸8上的一個定點.

(1)尺規作圖：請在圖中作。。，使得。。與射線依相切于點同時與尸/相切，切點記為N；

⑵在(1)的條件下，若N4P5=60。，PM=3,則所作的O。的劣弧MV與PM、尸N所圍成圖形的面積

是一

【答案】(1)見解析

(2)3月-乃

【分析】本題考查了作圖-復雜作圖：解決此類題目的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性質，結合幾何圖形的基

本性質把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作.也考查了切線的判定與性質、扇形的面積計算.

(1)先作—2P2的平分線PQ,再過〃r點作PB的垂線交尸。于點。，接著過。點作ON_LP/于N點，然后

以。點為圓心，為半徑作圓，則。。滿足條件；

(2)先利用切線的性質得到(W，尸8,ONLPN,根據切線長定理得到/初？。=/酒。=；44尸8=30。,

則NMON=120。，再利用含30度角的直角三角形三邊的關系計算出O〃=G，然后根據扇形的面積公式，

利用O。的劣弧而與尸河、尸N所圍成圖形的面積=S四邊形詠w-S扇形MON進行計算.

【解析】(1)如圖，O。為所作；

(2)和尸N為。。的切線，

OMLPB,ONLPN,ZMPO=ZNPO=-ZAPB=30°,

2

4OMP=4ONP=90。,

AMON=180。—/APB=120。，

在Rt^POM中，???ZMPO=30°,

???OAf=—PM=—x3=V3,

33

.?.o。的劣弧而與PM、PN所圍成圖形的面積

=S四邊形PMCW-S扇形MON

2

I120x萬x

=2x—x3x<3---------------------

2360

=3杷-兀

故答案為：36-萬

40.如圖，48為。。的直徑，點C是48上方。O上異于/、3的點，點。是凝的中點，過點。作。E〃22

交CB的延長線于點E,連接4C,AD.

⑴求證：DE是。。的切線；

⑵若2C=8,BC=6,求圖中陰影部分的面積.

【答案】(1)見解析

【分析】本題主要考查了切線的判定、圓周角定理、勾股定理、三角形的面積公式、扇形的面積公式等.

(1)連接。。，由益=礪，得乙4OD=NBOD,而//。。+/8。。=180°得至11/4。。=/8。。=90。，由

平行線的性質可得NODE=ZBOD=90°,從而即可得證；

(2)由圓周角定理可得44c2=90。，由勾股定理可得48=10,從而得至！JOD==(48=5,再由

S陰影=s.+S扇形B。。進行計算即可.

【解析】(1)證明：連接OD,

，丁點。是蒜的中點,

；?AD=BD，

/.ZAOD=/BOD,

ZAOD+ZBOD=1SO0,

/,2/400=180。，

ZAOD=/BOD=90°,

???DE//AB,

/ODE=/BOD=90°,

???QD是。。的半徑，且。￡_LO。，

:.DE是。0的切線；