立體幾何初步（II）（七大題型+模擬精練）

題型歸納

目錄：

?題型01平面的基本性質

?題型02空間共點、共線、共面等問題

?題型03異面直線

?題型04空間直線與平面的位置關系

?題型05空間平面與平面的位置關系

?題型06空間中的角、距離問題綜合

?題型07空間中動點、旋轉、翻折等動態(tài)問題

?題型01平面的基本性質

1.下列說法正確的是（）

A.若直線兩兩相交，則直線/,加,〃共面

B.若直線/,加與平面&所成的角相等，則直線/，加互相平行

C.若平面1上有三個不共線的點到平面尸的距離相等，則平面。與平面月平行

D.若不共面的4個點到平面a的距離相等，則這樣的平面&有且只有7個

2.下列說法正確的是（）

A.四邊形確定一個平面

B.如果一條直線上的兩個點在一個平面內，那么這條直線在這個平面內

C.經(jīng)過三點確定一個平面

D.經(jīng)過一條直線和一個點確定一個平面

3.已知4P是兩個不同的平面，則下列命題錯誤的是（）

A.若=ea且/，則/e/

B.若42,C是平面c內不共線三點，Ae/3,Bc/3,貝

C.若直線autz,直線bu￡,則。與。為異面直線

D.若/ea且Bea,則直線48ua

4.下列結論正確的是（）

A.兩個平面a,夕有一個公共點/,就說a,產(chǎn)相交于過/點的任意一條直線.

B.兩兩相交的三條直線最多可以確定三個平面.

C.如果兩個平面有三個公共點，則這兩個平面重合.

D.若直線a不平行于平面a,且aCa,貝布內的所有直線與“異面.

?題型02空間共點、共線、共面等問題

5.已知互不重合的三個平面a、￡、y,其中ac6=a,0C\y=b,=c,^,aC\b=P,則下列結論一

定成立的是（）

A.b與c是異面直線B.。與。沒有公共點

C.bileD.b[}c=P

6.如圖，在三棱柱NBC-44G中，E,尸,G,H分別為8綜cc/4,4G的中點，則下列說法錯誤的是（）

A.￡1,G,〃四點共面B.EFHGH

C.三線共點D.NEGB[=NFHCi

?題型03異面直線

7.設加，〃是兩條不同的直線，名￡是兩個不同的平面，則下列結論正確的是（）

A.若〃z〃a,"http://a,貝！B.若加〃〃，加//a,則〃〃a

C.若mua,nu/3,則%"是異面直線D.若aI/0,mua,nu/3,則加〃”或〃?，〃是異面直線

8.已知四邊形是矩形，尸/,平面/BCQ,/B=1,8C=2,P/=2,E為8c的中點，則異面直線/E與

所成的角為（）

9.已知圓錐SO的母線長為6,48是底面圓的直徑，C為底面圓周上一點，ZAOC=120°,當圓錐SO的體

積最大時，直線ZC和S3所成角的余弦值為（）

A.交B.克C.與D.B

2354

10.直線/與平面二成角為30。，點P為平面夕外的一點，過點P與平面成角為60。，且與直線/所成角為50°

的直線有（）

A.0條B.1條C.2條D.4條

?題型04空間直線與平面的位置關系

11.若加，〃為兩條直線，a為一個平面，則下列結論中正確的是（）

A.若mlla,〃ua,則加〃〃B.若加〃0,nlla,則能〃“

C.若機//a,nLa,則D.若加//a,nLa,則加與"相交

12.如圖，已知四棱錐P—48CD中，平面平面a1DC=90°,4D=2BC=2CD=4,

BCHAD,E,尸分別為AB,PC的中點.

（1）求證：斯〃平面尸N。；

⑵若側面PAD為等邊三角形，求四面體5-CM的體積.

13.如圖,在四棱錐尸一/BCD中，底面48co是菱形，NB4D=120°,AB=2,ACCiBD=O,POl^ABCD,

點E在棱尸。上.

（1）求證：4。_1_平面網(wǎng)。；

⑵若。尸=2,點￡為尸。的中點，求二面角P-/C-E的余弦值.

14.如圖，在四棱錐E-4BCD中，EC,平面48cD,AB〃DC,A4C7）為等邊三角形，DC=2AB=2,CB=CE,

點尸為棱BE上的動點.

E

(1)證明：DC，平面8CE；

⑵當二面角尸-ZC-3的大小為45。時，求線段CF的長度.

?題型05空間平面與平面的位置關系

15.已知兩條直線機，〃和三個平面a,P，y,下列命題正確的是()

A.若加||a,m\\/3,則a//(3

B.若c_L￡,al/,則夕〃/

C.若a_Ly,BLy,aV\/3=m,則機_Ly

D.若“uy,n//a,n\\/3,aC\/3=m,則機〃7

16.如圖，已知四棱錐P-/BC。中，底面/BCD為平行四邊形，點〃,N,0分別在尸482PD上.

若PM:MA=BN:ND=PQ:QD,求證：平面跖V。〃平面依C；

⑵若點。滿足尸。：。。=2:1,則點“滿足什么條件時，即〃/平面/0C?并證明你的結論.

TT

17.如圖，在四棱錐尸-/BCD中，尸4=3,AB=2,四邊形48co為菱形，ZABC=-,P/工平面/BCD,

E,F,0分別是8C,PC,尸。的中點.

(1)證明：平面EF。//平面P48；

(2)求二面角/-斯-。的正弦值.

18.如圖所示的幾何體是由等高的直三棱柱和半個圓柱組合而成，為半個圓柱上底面的直徑,

ZACB=90°,AC=BC=2,點E,尸分別為ZC,的中點，點。為南的中點.

⑴證明：平面3a)//平面&EF；

⑵若尸是線段GF上一個動點，當cq=2時，求直線4尸與平面3co所成角的正弦值的最大值.

?題型06空間中的角、距離問題綜合

19.在平行六面體48cz中，已知48=AD=NW=1，-邵=N&AD=NB4D=60。,則下列選

項中錯誤的一項是()

__________C!

AB

A.直線4c與8。所成的角為90。

B.線段4c的長度為亞

c.直線4c與所成的角為90。

D.直線4c與平面所成角的正弦值為"

3

20.在四棱錐尸-48CD中，AP/D為等邊三角形，四邊形N3CD為矩形，且AB=6BC，平面尸ND，平面

ABCD,則直線/C與平面尸CD所成角的正弦值為()

p

A.；B.—C.—D.1

222

21.已知棱長為1的正方體-42￡A，M,N分別是N3和2C的中點，則到平面的距離為

()

AR^6rV3NA/6

3322

22.在四面體4BC尸中，平面48cl平面上4C,是直角二角形，PA=PC=4,AB=BC=3,則二

面角/-PC-8的正切值為.

?題型07空間中動點、旋轉、翻折等動態(tài)問題

23.若將正方體ABCDTBCA繞著棱AB旋轉30。后,CD所在位置為CD,的位置,則直線BBX和平面CDC

所成的角為.

24.邊長都是為1的正方形/BCD和正方形/BE尸所在的兩個半平面所成的二面角為27rg，P、0分別是對

角線/C、上的動點，且/?=尸0,則尸。的取值范圍是()

A.('1]B.g,及)C.巴揚D.咚,1]

2/2/

25.如圖，AB//CD,CD//EF,AB=DE=EF=CF=2,CD=4,4D=BC=M,/E=26,河為CD的

中點.

⑴證明：EM7/平面5CF；

⑵求點M到4DE的距離.

26.已知棱長為1的正方體48CD-44GA內有一個動點M,滿足M4=MR,且九必=1,則四棱錐

M-ADDXAX體積的最小值為.

27.如圖1,在矩形48co中，點E在邊CD上，BC=DE=2EC=2,將沿NE進行翻折，翻折后。

點到達P點位置，且滿足平面PAE_L平面ABCE,如圖2.

（1）若點尸在棱尸/上，四門平面CEF=G,求證：CE//FG；

⑵求點E到平面PAB的距離.

28.在正方體/BCD-中，點P為線段80上的動點，直線初為平面4。尸與平面2c尸的交線，現(xiàn)

有如下說法

①不存在點P，使得BBJ1平面AXDP

②存在點尸，使得用尸，平面NQP

③當點尸不是的中點時，都有〃?//平面

④當點尸不是3,的中點時，都有機，平面

其中正確的說法有（）

C.②③D.①④

02模擬精練

一、單選題

1.（2024?西藏?模擬預測）已知心12,/是三條不同的直線，a,尸是兩個不同的平面，且（ua,卜u0,

an〃=/.設甲：lx//l,乙：lt//l2,則甲是乙的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

2.（2024?安徽蕪湖?三模）下列說法正確的是（）

A.正方體各面所在平面將空間分成27個部分

B.過平面外一點，有且僅有一條直線與這個平面平行

C.若空間中四條不同的直線6，/2，/3，滿足/1，/2，，/34，/4,則

D.若加,“為異面直線，7“，平面色”，平面口，且a與6相交，若直線/滿足/_￡機,/，〃，貝!]/必平行于

。和萬的交線

3.（2024?山東濟南二模）已知正方體-48cA分別是4。,功8的中點，則（）

A.&D"D、B,MNH平面ABCD

B.AXD//DtB,MN1平面BB、D、D

C.4D_L。尻ACV〃平面48C。

D.4。_123,斷_1平面34。]。

4.（2024?陜西商洛?模擬預測）如圖，四邊形是圓柱的軸截面，E是底面圓周上異于A,8的一點，

則下面結論中錯誤的是（）

A.AELCE

B.8c〃平面4DE

C.平面/DE_L平面3CE

D.平面8CE

5.（2024?陜西商洛?模擬預測）如圖，正三棱柱/BC-44G的底面邊長是2,側棱長是26，M為4cl的

中點，N是側面8CG片內的動點，且〃平面/BQ,則點N的軌跡的長度為（）

G

A.V6B.2C.V2D.4

6.（2024?遼寧?三模）如圖，已知正四面體D-NBC（所有棱長均相等的三棱錐），P,Q,&分別為48,

BC,◎上的點，AP=PB,器阜=2,分別記二面角。一改一。，D-PQ-R,。一。尺-尸的平面角為

KA

a,夕，7,貝!]()

A.y<a<[3B.a<y</3

C.a<（3<yD.fi<y<a

7.（2024?湖北武漢?模擬預測）如圖所示是一個以為直徑，點S為圓心的半圓，其半徑為4,尸為線段/S

的中點，其中C,D,E是半圓圓周上的三個點，且把半圓的圓周分成了弧長相等的四段，若將該半圓圍

成一個以S為頂點的圓錐的側面，則在該圓錐中下列結果正確的是（）

A.4CE尸為正三角形B.S4_L平面CEF

C.SD〃平面CE尸D.點。到平面CE尸的距離為2G

8.（2024?浙江紹興?二模）在邊長為4的正三角形/8C中，E,尸分別是48,NC的中點，將A/EF沿著EF

翻折至△/'￡"廠,使得48,尸C,則四棱錐/-3CEE的外接球的表面積是（）

A.8兀B.12兀C.16兀D.32兀

二、多選題

9.（2024?湖南衡陽?三模）設。，力是兩個不同的平面，m,〃是兩條不同的直線，則下列結論正確的是（）

A.若加J_a,mL(3,則a〃/?

B.若allB,加ua,nu0,則mlln

C.若nila,m.Ln,貝！J冽-La

D.若aJL",m-La,nL/3,則冽_L〃

io.（2024?貴州六盤水?三模）（多選）如圖，在棱長為1的正方體48co中，點尸是線段4。上

B.三棱錐4-的體積為:

C.存在點尸，使得8尸，尸G

D.存在點P使得平面P8G

11.（2024.L1I東泰安■模擬預測）如圖，在五邊形ABCDE中，四邊形ABCE為正方形，CD工DE,CD=DE=亞，

廠為中點，現(xiàn)將ANBE沿8E折起到面48E位置，使得則下列結論正確的是（）

A.平面8cDE_1_平面48E

B.若。為3E的中點，貝1JOE〃平面FOC

7T

C.折起過程中，尸點的軌跡長度為:

4

D.三棱錐4-COE的外接球的體積為幾兀

三、填空題

12.（2024?福建泉州?模擬預測）若將正方體力3c0-44G2繞著棱旋轉30。后，CD所在位置為C力’的

位置，則直線和平面CDC所成的角為.

13.（2023?廣西?模擬預測）如圖，已知在矩形N3CD和矩形/8EF中，48=2,AD=AF=\,且二面角

C-48-尸為60。，則異面直線/C與3尸所成角的正弦值為.

D,_______________C

14.（2024?山東?模擬預測）如圖，正方形/BCD和矩形/8EF所在的平面互相垂直，點尸在正方形4BCD及

其內部運動，點。在矩形/8E尸及其內部運動.設/8=2,AF=6，若PCPE,當四面體尸NQE體積最

大時，則該四面體的內切球半徑為.

四、解答題

15.（2024?浙江?模擬預測）如圖，已知正三棱柱48C-48C，/8="14，D,E分別為棱4綜BC的中點.

8

（I）求證：48，平面/。。；

（2）求二面角/-的正弦值.

16.(2022?全國?模擬預測)已知四棱錐S-/3CD的底面為正方形，其中點S在平面48co上的投影為。,

點”在線段S8上.

(1)求證：平面M4CL平面SD3；

⑵若S3與平面N3CD所成角為45。，求二面角C-8S-。的余弦值.

17.(23-24高三上?山東棗莊,期末)如圖，直四棱柱/BCD-4gq。的底面為平行四邊形，分別為

力瓦。2的中點.

(1)證明：〃平面4BN；

(2)若底面/BCD為矩形，=24)=4,異面直線DM與4N所成角的余弦值為叵，求用到平面48N的

距離.

18.(2024?山西晉中?模擬預測)如圖，在多面體48CDE戶中，側面88尸為菱形，側面/CDE為直角梯形,

ACHDE,AC±CD,N為的中點，點M為線段。尸上一動點，旦BC=2。,AC=2DE,ZJDCS=120°.

⑴若點M為線段的中點，證明：〃平面4E■尸；

(2)若平面8CD尸1,平面NCDE,且。￡=2,在線段Z)廠上是否存在點M,使得直線血W與平面廠所成角

的余弦值為叵？若存在，求出器的值；若不存在，請說明理由.

10DF

19.(2024?江西南昌,二模)如圖所示，用一個不平行于圓柱底面的平面，截該圓柱所得的截面為橢圓面，

得到的幾何體稱之為"斜截圓柱".圖一與圖二是完全相同的“斜截圓柱是底面圓。的直徑，AB=2BC=2,

橢圓所在平面垂直于平面且與底面所成二面角為45°,圖一中，點尸是橢圓上的動點，點尸在底面

上的投影為點6,圖二中，橢圓上的點耳。=1,2,3,…/)在底面上的投影分別為耳，且耳均在直徑N8的同

一側.

PiFi

圖一圖二

(1)當4404=彳時，求期的長度；

(2)⑴當〃=6時，若圖二中，點瓦居,…，片將半圓均分成7等份，求(4>-2>(6居-2>(仁瑪一2)；

(ii)證明:/耳￡耳+耳勺/苞+…+工_】月?紇工

立體幾何初步（II）（七大題型+模擬精練）

01題型歸納

目錄：

?題型01平面的基本性質

?題型02空間共點、共線、共面等問題

?題型03異面直線

?題型04空間直線與平面的位置關系

?題型05空間平面與平面的位置關系

?題型06空間中的角、距離問題綜合

?題型07空間中動點、旋轉、翻折等動態(tài)問題

?題型01平面的基本性質

1.下列說法正確的是（）

A.若直線/,根,"兩兩相交，則直線/,加,"共面

B.若直線/,加與平面e所成的角相等，則直線/,加互相平行

C.若平面&上有三個不共線的點到平面尸的距離相等，則平面&與平面萬平行

D.若不共面的4個點到平面］的距離相等，則這樣的平面戊有且只有7個

【答案】D

【分析】根據(jù)題意，結合空間中直線與平面位置關系的判定和性質，逐項判定，即可求解.

【解析】對于A中，當直線/,加，“交于同一點時，則直線可能不共面，所以A錯誤；

對于B中，當直線/,機傾斜方向不同時，直線/，加與平面c所成的角也可能相等，所以B錯誤;

對于C中，當這3個點不在平面廣的同側時，平面a與平面耳相交，所以C錯誤；

對于D中，根據(jù)題意，顯然這4個點不可能在平面a的同側，

當這4個點在平面a兩側1,3分布時，這樣的平面&有4個，

當這4個點在平面a兩側2,2分布時，這樣的平面夕有3個，

所以這樣的平面C有且只有7個，所以D正確.

故選：D.

2.下列說法正確的是（）

A.四邊形確定一個平面

B.如果一條直線上的兩個點在一個平面內，那么這條直線在這個平面內

C.經(jīng)過三點確定一個平面

D.經(jīng)過一條直線和一個點確定一個平面

【答案】B

【解析】略

3.已知名尸是兩個不同的平面，則下列命題錯誤的是（）

A.若=且則/e/

B.若42,C是平面a內不共線三點，Ae/3,Be/3,貝iJC"

C.若直線aua,直線6u￡,則。與。為異面直線

D.若Zea且Bec,則直線ABua

【答案】C

【分析】根據(jù)基本事實3（公理2）可判斷A；根據(jù)基本事實1（公理3）可判斷B；根據(jù)異面直線的定義可

判斷C；根據(jù)基本事實2（公理1）可判斷D.

【解析】對于A,由根據(jù)/ec且則A是平面。和平面用的公共點，

又由基本事實3（公理2）可得故A正確；

對于B,由基本事實1（公理3）：過不在一條直線上的三個點，有且只有一個平面，

又,且43,Cea,則Cw￡,故B正確；

對于C,由于平面a和平面/位置不確定，則直線“與直線6位置亦不確定，可能異面、相交、平行、重合,

故C錯誤；

對于D,由基本事實2（公理1）：如果一條直線上的兩個點在一個平面內，那么這條直線在這個平面內，故

D正確.

故選：C.

4.下列結論正確的是（）

A.兩個平面a,￡有一個公共點/,就說a,6相交于過4點的任意一條直線.

B.兩兩相交的三條直線最多可以確定三個平面.

C.如果兩個平面有三個公共點，則這兩個平面重合.

D.若直線。不平行于平面a,且aCa,貝！la內的所有直線與。異面.

【答案】B

【分析】利用推論可判斷B正確；對A項，由基本事實3可知；對C項，兩個相交的平面有無數(shù)個公共點;

對D項，平面內可找到無數(shù)條直線與。相交.

【解析】對選項A,由基本事實3,兩個平面有一個公共點A,那么它們有且只有一條過/點的公共直線，

而不是任意一條過點A的直線都是兩平面的交線，故A項錯誤；

對于B,若兩兩相交的三條直線交于一點，則三條直線最多可以確定三個平面，故B正確；

對選項C,若這三個公共點共線，兩平面可能相交，不一定重合，故C項錯誤；

對選項D,若直線”不平行于平面a,且a<za,

則直線。與平面a相交，設交點為O,

則平面內所有過點。的直線都與。相交于點O,而不是異面，故D項錯誤.

故選:B.

?題型02空間共點、共線、共面等問題

5.已知互不重合的三個平面a、￡、y,其中=0C\y=b,/Aa=c,且尸，則下列結論一

定成立的是（）

A.6與c是異面直線B.。與。沒有公共點

C.bileD.b[}c=P

【答案】D

【分析】根據(jù)題設條件可得相應的空間圖形，從而可得正確的選項.

【解析】,."06=。：.Pe.a,Peb,

'：a=aC\/3,b=,：.Pea,P三/3,Pcy,

?.?ac/=c,：.Pec,：.bC\c=P,:.acc=P,

如圖所示：故A,B,C錯誤；

故選：D.

6.如圖，在三棱柱/3C-4BC中，旦尸,。”分別為8綜。的4耳4￡的中點，則下列說法錯誤的是（）

A.瓦尸,G,〃四點共面B.EF//GH

C.EG,M,N4三線共點D./EGB、=/FHG

【答案】D

【分析】對于AB,利用線線平行的傳遞性與平面公理的推論即可判斷；對于C,利用平面公理判斷得EG,

切的交點尸在山，從而可判斷；對于D,舉反例即可判斷.

【解析】對于AB,如圖，連接E尸，GH,

因為切是△/￡G的中位線，所以GHHBG,

因為用E//G尸，且片￡=。尸，所以四邊形片EFG是平行四邊形,

所以即〃4G，所以EF//GH,所以瓦￡G,H〃四點共面，故AB正確;

對于C,如圖，延長EG,EH■相交于點?，

因為尸e￡G,￡Gu平面43可4，所以Pe平面/班/，

因為尸e尸〃，切u平面ZCG4，所以尸e平面NCG4，

因為平面ABB^A平面ACCXAX=AAX,

所以所以EG,FH,44三線共點，故C正確；

對于D,因為EB]=Fq,當時，tanZEGBltanZFHQ,

TT

又。〈/EGBJFHC、W，則/EGqw/MC],故D錯誤.

故選：D.

?題型03異面直線

7.設加，〃是兩條不同的直線，名￡是兩個不同的平面，則下列結論正確的是（）

A.若mlla,nlla,則機〃〃B.若加〃〃，加//々，則〃〃a

C.若mua,nu/3,則見“是異面直線D.若a//ua,nu/3,則加〃〃或〃?，〃是異面直線

【答案】D

【分析】利用空間中線、面的位置關系一一判定選項即可.

【解析】

對于A,可設加=4。1，〃=4與a為平面/C,顯然m//a,〃//a,但%c〃=4，故A錯誤；

對于B,可設機=4〃,〃=40,a為平面/C，顯然〃?//明機〃a,但“ua,故B錯誤；

對于C,可設機=4￡>i，〃=4D,a,6分別為平面/￡,平面/C,

顯然機ua,〃u￡,但用〃〃，故c錯誤；

對于D,若a!I0,mua,nu/3,則兩平面不會有交點，所以機〃〃或加，〃是異面直線，

故D正確.

故選：D

8.已知四邊形/BCZ）是矩形，平面/3CD,/2=1,8C=2,PN=2,E為BC的中點，則異面直線/E與產(chǎn)。

所成的角為（）

7T7171

A.—B.—C.—D.兀

643

【答案】c

【分析】借助于長方體，由瓦尸為相應的棱的中點，得PD//EF,所以//跖即為異面直線NE與所成

的角或補角，計算即可.

【解析】根據(jù)題意，借助于長方體，及尸為相應的棱的中點，所以PD//EF,

所以N4E尸即為異面直線/E與尸。所成的角或補角,

根據(jù)題意可得，EF=-PD=~^AD2+PA2=V2,

22

AE=VAB2+BE2=V2>AF=VAB1+BF~~V2，

TT

所以△/所為等邊三角形，ZAEF=-.

故選：C.

9.已知圓錐SO的母線長為6,48是底面圓的直徑，C為底面圓周上一點，ZAOC=1200,當圓錐SO的體

積最大時，直線NC和S3所成角的余弦值為（）

A.遮B."C.亞D.旦

2354

【答案】A

【分析】設圓錐SO的底面半徑為，，高為h,利用圓錐體積公式可得%=；兀（36〃-結合可導數(shù)求出圓

錐體積最大時，h=2y/3,r=2y[6,延長CO交。。于點。，連接40,30,50,則四邊形/CSD是平行四邊

形，所以直線/C與S3所成的角為或其補角，求出cos/SAD,即可求解.

【解析】如圖，圓錐S。的母線長/=6.設圓錐SO的底面半徑為「，高為力，

則r2+h2=36,圓錐SO的體積V==；兀〃（36-r）=g兀（36〃-/）.

令/㈤=36h-h3（h>0）,則/'㈤=36-3/=-3（/z-2⑹e+2月）.令/㈤=0,得ft=26或h=-273?

因為〃>0,易知/（人）在（0,2百）上單調遞增，在（2百,+“）上單調遞減，

所以當〃=2百時，取得最大值，此時產(chǎn)=24/=2指.

因為N/OC=120。，所以"C=gr=6五.

延長CO交OO于點。，連接則四邊形NCS。是平行四邊形，所以BD//AC,BD=AC=6垃,

所以直線ZC與1sB所成的角為NS8。或其補角.

在等腰三角形S3。中，SB=SD=6,BD=672,所以cos/SSO=變，

2

所以直線4C與SB所成角的余弦值為旦.

2

故選：A.

10.直線I與平面二成角為30。，點P為平面夕外的一點，過點P與平面成角為60。，且與直線I所成角為50°

的直線有（）

A.0條B.1條C.2條D.4條

【答案】C

【分析】過戶與平面a成60。角的直線形成一個圓錐的側面（即圓錐的母線與底面成60。角），然后考慮這些

母線中與直線/成50°角的直線有幾條，通過圓錐的軸截面可得.

【解析】如圖所示，設直線/與平面a相交于8,直線/在平面a的射影為直線8C.

且直線I與平面a所成角為30。，

即ZDBC=30°.

設圓錐的頂點為P點，圓錐的軸尸0工平面a,

即圓錐的任意一條母線與平面c所成角都等于60°.

當過尸點的母線為直線總時，

直線與平面a所成角為60°,直線PB與直線/所成角為30°,即NP2O=30°,

當過P點的母線沿BC逆時針旋轉到直線尸C時，

直線尸C與直線/所成角為90°,BP/1PC,

所以過戶點的直線從沿前逆時針旋轉到直線尸C時，

與直線/所成角的范圍為［30°,90口,

故存在一條過P點的直線與直線/所成角為50°,

同理可得，過P點的直線從PB沿病順時針旋轉到直線尸。時，

也存在一條過P點的直線與直線/所成角為50°,

所以過尸點的直線與平面&所成角為60。，與直線/所成角為50°的直線有2條.

故選：C.

?題型04空間直線與平面的位置關系

11.若加，"為兩條直線，a為一個平面，則下列結論中正確的是（）

A.若加//a,〃ua,則加〃〃B.若加//a,nlla,則機〃〃

C.若加//a,nLa,則加_L〃D.若加//a,nLa,則M與〃相交

【答案】C

【分析】ABD可舉出反例；C選項，根據(jù)線線平行和線面垂直的性質得到答案.

【解析】根據(jù)題意，依次分析選項：

對于A,若加//a,〃ua,則加與〃平行或異面，A錯誤；

對于B,若mlla,nlla,則加與〃異面、平行或相交，B錯誤；

對于C,設直線/,滿足/ua且/〃加，

若〃_La,則〃_L/,而/〃加，則冽_L〃，C正確；

對于D,若加//a,則加與〃相交或異面，D錯誤.

故選：C.

12.如圖，已知四棱錐尸—/BCZ）中，平面尸4。_L平面力5c。，乙4。。=90°,AD=2BC=2CD=4,

BC///。,及尸分別為”，尸C的中點.

(1)求證：￡尸〃平面尸4D；

(2)若側面PAD為等邊三角形，求四面體2-C跖的體積.

【答案】⑴證明見解析

(2)也

3

【分析】(1)由三角形中位線結合BM//CD且=CD得到四邊形阻陽是平行四邊形，所以NHI/EF,

由線面平行的判定證得EFH平面PAD；

(2)由面面垂直得到線面垂直從而得到F到平面4BCD的距離〃尸“=V3,在梯形48co中得到AEBC

的面積，由VB_CEF=VF_EBC得到所求棱錐體積.

【解析】(1)如圖，取4D的中點”，取的中點N,取的中點"，連接NH,EN,BM,HF.

因為H,F分別為尸。，尸C的中點，所以HF//CD且HF=LCD,

2

因為分別為NN,48的中點，所以EN//BMaEN=^BM,

2

又因為BM/ICD豆BM=CD,所以HF//NE且HF=NE,

所以四邊形阻陽是平行四邊形，所以NHUEF.

又由斯(Z平面尸40,Mu平面尸，所以昉〃平面P4O.

(2)

因為△尸40為等邊三角形，所以PM_L4D,

因為平面P4D_L平面/BCD,平面P4Dc平面/BCD=4D,PA/u平面P4D,所以PM_L平面48CD.

因為NQ=4,所以AP=4,AM=2,PM7Ap?-AM?=2g，

又因為歹為PC的中點，所以點尸到平面ABCD的距離h：PM=6

2

在梯形NBC。中，由/皿C=90°,/D=23c=2CD=4,可得/g=2收，所以BE=；AB=6,

11

又由NE2C=135°,所以S=-xBExBCsinZEBC=-x>/2x2x—=l.

血c222

故唳CEF=腺EBC=EBCh=—x>/3x1=，所以四面體8-CEF的體積為.

D—CErr—LDC3ACX>C3,33

13.如圖，在四棱錐尸一48CD中，底面48CD是菱形，NB4D=120°,AB=2,ACHBD=O,PO1ABCD,

點E在棱尸。上.

(1)求證：/C_L平面尸AD；

(2)若O尸=2,點E為PD的中點，求二面角尸-/C-E的余弦值.

【答案】⑴證明見解析

⑵些

7

【分析】(1)先根據(jù)線面垂直的性質定理得尸OLNC,再結合菱形性質利用線面垂直的判定定理證明即可.

(2)根據(jù)二面角的平面角定義作出二面角的平面角，然后利用直角三角形的邊角關系求解即可.

【解析】(1)因為尸O/平面A8C。，NCu平面N8C。，所以尸O_L/C,

因為48co為菱形，所以

又BDCPO=O,BDu平面PBD,P0u平面PBD,

所以/C_L平面尸3。.

(2)如圖，連接則OEu平面/CE,

由NC_L平面PBO,0￡u平面PBD,OPu平面PBD,得NC_LOE,NC_LOP,

故/尸0E即為二面角尸-NC-E的平面角，

在菱形/BCD中，AB=AD=2,ZBAD=12Q°,

所以BD=2瓜OD=j,

又尸。=2,所以尸5=尸。=[2，+（后=用,

由點E為尸D的中點，^OE=-PD=—,PE=-PD=—,

2222

所以△尸0E為等腰三角形，在△尸OE內過點E作高，垂足為X,則HO=1,

所以cosZPOE=cosZHOE=-=-=—即二面角p_AC_E的余弦值為次.

T7

14.如圖，在四棱錐E-ABCD中，EC，平面ABCD,AB//DC,^ACD為等邊三角形，DC=2/8=2,CB=CE,

點尸為棱BE上的動點.

⑴證明：DC,平面3CE；

（2）當二面角尸-ZC-8的大小為45。時，求線段CF的長度.

【答案】⑴證明詳見解析

⑵運

3

【分析】（1）先求得BC,再根據(jù)線面垂直的判定定理證得。C1平面BCE.

（2）建立空間直角坐標系，利用向量法列方程來求得廠點的坐標，進而求得CF的長度.

【解析】（1）依題意NA4c="CD=60。，所以°8=也2+12-2x2xlxcos60°=G，

所以所以則。CLC2,

由于CE_L平面48CD,DCu平面48CD,所以C￡_LDC,

由于5CcCE=C,8C,CEu平面3CE,所以。C_L平面BCE.

（2）由（1）可知DC,CE,CB兩兩相互垂直，由此以。為原點，建立如圖所示空間直角坐標系,

（0,6,0）,設尸（0,/,GT）,04/46,

平面/BC的法向量為而=（0,0,1）,

設平面E4c的法向量為蘇=(x,y,z),

n-CA=x+幣iy=0

貝"'n-CF=ty+^-t)z=0,

故可設歷=卜百/+3,/_百,/),

依題意，二面角b-的大小為45°,

m-nt41

整理得3/2_8岱+12=(血-2)(&-6)=0,

解得/=*或，（舍去），所以尸0,平,

3

?題型05空間平面與平面的位置關系

15.已知兩條直線冽，〃和三個平面a,P，y,下列命題正確的是（）

A.若加||a,則a〃6

B.若a_L￡,a_L7,則￡〃/

C.若。_L/,（3,aC\/3=m,則加_Ly

D.若“uy,n//a,aC\/3=m,則加〃7

【答案】C

【分析】利用面面平行的判定定理可判斷出A和B正誤，利用線面垂直的判定定理可判斷出C的正誤，利

用線面平行的判定定理可判斷出D的正誤.

【解析】對于A,當加||々，加||力時，兩平面a,p可能平行可能相交，所以A錯誤；

對于B,al/3,a±r,兩平面4，y可能平行可能相交，所以B錯誤；

對于C,當aD6=》,al/,時，

設&口/=6,〃n7=c,在y取一點O,過。分另IJ作于2,OCLc于C,

則OB_La,OC，0,因為"口尸=加，

所以機ua,mu0,所以08_L〃z,OCIm,

因為。8rlOC=。，OBuy,OCuy,所以〃7_L2,所以C正確；

對于D,當￡口￡=根，nuy,n//a,時，

可得加〃/或/uy,所以D錯誤.

故選：C.

16.如圖，已知四棱錐中，底面/BCD為平行四邊形，點M,N,0分別在尸48。,尸。上.

(V)若PM:MA=BN:ND=P。：QD,求證：平面跖V。〃平面依C；

⑵若點。滿足尸。：。。=2:1,則點“滿足什么條件時，〃平面/QC?并證明你的結論.

【答案】(1)證明見解析

（2）M為尸N中點，證明見解析

【分析】（1）根據(jù)平行線分線段成比例和線面平行的判定定理可證得平行于平面尸8C,由面面平

行的判定可證得結論；

（2）當M為尸/中點時，取尸。中點￡,根據(jù)三角形中位線性質、線面平行和面面平行的判定可證得平面

/QC//平面3皿，由面面平行性質可得結論.

【解析】（1）QPM:MA=PQ:QD,MQ//AD,

四邊形ABCD為平行四邊形，二AD//BC,：.MQHBC,

?.?8Cu平面尸BC,人坦0平面尸8（7,，〃。〃平面心（7；

???BN:ND=PQ:QD,QNHPB,

?.?P5u平面尸8C,QN①平面尸8C,.1QN〃平面尸8C；

QMQIQN=Q,平面.?.平面〃N0〃平面P3C.

（2）當〃■為尸/中點時，即〃/平面/0C,

證明如下：設8Oc/C=。，取PQ中點E,連接BE,ME,OQ,

四邊形/BCD為平行四邊形,:.0為BD中點,

???E為P。中點，PQ：QD=2:l,:.Q為DE中煎，：.OQ〃BE,

■：8EU平面BEM,Z平面BEM,OQH平面BEM；

分別為P4P。中點，二九回"0,

QAffiu平面BEM,平面BEN,；?/0〃平面,

?-?OQ[yAQ=Q,AQ,OQc^AQC,平面/0C〃平面8EW,

?.Wu平面BEM,〃平面N0C.

TT

17.如圖，在四棱錐尸-NBC。中，PA=3,AB=1,四邊形48co為菱形，ZABC=-,尸/!.平面/BCD,

E,F,0分別是3C,PC,PD的中點.

⑴證明：平面EF。//平面尸；

⑵求二面角/-防-。的正弦值.

【答案】（1）證明見解析；

（2）?.

20

【分析】（1）先利用中位線定理證得M//P5,FQIIAB,再利用線面與面面平行的判定定理即可得證；

（2）依題意建立空間直角坐標系，分