專題18相似三角形的判定與性質（10大題型）【題型目錄】題型一證明兩三角形相似題型二選擇或補充條件使兩個三角形相似題型三重心的有關性質題型四相似三角形的判定與性質綜合題型五利用相似三角形的性質求解題型六證明三角形的對應線段成比例題型七利用相似求坐標題型八在網格中畫與已知三角形相似的三角形題型九相似三角形——動點問題題型十相似三角形的綜合問題【知識梳理】知識點一、相似三角形的判定預備定理平行于三角形的一邊的直線與其他兩邊（或兩邊的延長線）相交，所構成的三角形與原三角形相似．判定1有兩個角對應相等的兩個三角形相似．判定2兩邊對應成比例且夾角相等的兩個三角形相似．判定3三邊對應成比例的兩個三角形相似直角三角形的特殊判定若一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和直角邊對應成比例，那么這兩個直角三角形相似．知識點二、相似三角形的性質性質1相似三角形的對應邊成比例，對應角相等。性質2相似三角形的周長比等于相似比。∽，則由比例性質可得：類似地，我們還可以得到：相似多邊形周長的比等于相似比。性質3相似三角形的面積比等于相似比的平方。∽，則分別作出與的高和，則要點詮釋：相似三角形的性質是通過比例線段的性質推證出來的。如果把兩個相似多邊形分成若干個相似的三角形，我們還可以得到：相似多邊形面積的比等于相似比的平方。性質4相似三角形的對應高的比、對應中線的比、對應角平分線之比等于相似比。要點詮釋：要特別注意“對應”兩個字，在應用時，要注意找準對應線段。【經典例題一證明兩三角形相似】1．（2023秋·黑龍江哈爾濱·九年級校考開學考試）如圖，銳角的邊上的高線交于點，連接，則圖中相似的三角形有（

）

A．5對 B．6對 C．7對 D．8對2．（2023春·山東淄博·八年級統考期末）如圖，在正方形中，點E，F分別在上，且，將繞點A順時針旋轉，使點E落在點處，則下列判斷不正確的是（

）

A．是等腰直角三角形 B．垂直平分C． D．是等腰三角形3．（2023秋·黑龍江哈爾濱·九年級哈爾濱工業大學附屬中學校校考開學考試）在綜合與實踐課上，老師組織同學們以“矩形的折疊”為主題開展數學活動．有一張矩形紙片如圖所示，點在邊上，現將矩形折疊，折痕為，點對應的點記為點，若點恰好落在邊上，則圖中與一定相似的三角形是．

4．（2023秋·九年級課時練習）如圖，的高，相交于點，寫出一個與相似的三角形，這個三角形可以是．5．（2023秋·全國·九年級專題練習）如圖，在正方形中，E是的中點，點F在上，且．

(1)求證：；(2)與相似嗎？為什么？【經典例題二選擇或補充條件使兩個三角形相似】1．（2023秋·全國·九年級專題練習）如圖，如果，那么添加下列一個條件后，仍不能判定的是（

）

A． B．C． D．2．（2023秋·山東濱州·九年級校考期末）如圖，在中，是上一點，連接，添加下列條件中的一個，不能判斷的是（）A． B． C． D．3．（2023春·吉林長春·八年級校考期中）如圖D，E兩點分別在線段和上，在下列四個條件中：①；②；③；④．其中能使與相似的是．(填序號)4．（2023春·北京豐臺·九年級北京市第十二中學校考階段練習）如圖，中，，點D是邊上的一個動點（點D與點不重合），若再增加一個條件，就能使與相似，則這個條件可以是（寫出一個即可）．5．（2023秋·河北邢臺·九年級邢臺市第七中學校考期末）如圖所示，，，：，點從點出發，沿向點以的速度移動，點從點出發沿向點以的速度移動，如果、分別從、同時出發，過多少秒時，以、、為頂點的三角形恰與相似？【經典例題三重心的有關性質】1．（2023·浙江·九年級專題練習）如圖，點是的重心，點是邊的中點，交于點，交于點，若四邊形的面積為6，則的面積為（）

A．12 B．14 C．18 D．242．（2023秋·九年級單元測試）如圖，在等腰中，，點是的重心，連結，將繞點逆時針旋轉得到，連結，若的周長為6，則的周長是（）A． B．3 C．4 D．3．（2023·山東濱州·統考一模）如圖，點是的重心，過點作交，于，，交于點，若，，則四邊形的周長為．4．（2023秋·廣東廣州·九年級廣東實驗中學校考期末）如圖，在菱形中，，點E、F分別在上，且，連接與相交于點G，連接與相交于點H．①若，則；②若，則四邊形的面積最大值為．5．（2023春·湖南永州·九年級校考開學考試）閱讀材料：三角形的三條中線必交于一點，這個交點稱為三角形的重心．

(1)特例感知：如圖（1），已知邊長為2的等邊的重心為點，則的面積為______；(2)性質探究：如圖（2），已知的重心為點，對于任意形狀的，是不是定值，如果是，請求出定值為多少，如果不是，請說明理由；(3)性質應用：如圖（3），在任意矩形中，點是的中點，連接交對角線于點，的值是不是定值，如果是，請求出定值為多少，如果不是，請說明理由．【經典例題四相似三角形的判定與性質綜合】1．（2023·江蘇徐州·校考模擬預測）如圖，“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成的一個大正方形．連接，若平分，且正方形的面積為3，則正方形的面積為（

）A． B． C． D．152．（2023·安徽滁州·校考一模）如圖，已知、，與相交于點，作于點，點是的中點，于點，交于點，若，，則值為（

）

A． B． C． D．3．（2023秋·福建福州·九年級福建省福州第十九中學校考階段練習）如圖，在等邊中，點，分別在邊和上，連接，點關于的對稱點是點，連接和分別交于點和，若，，若和四邊形面積相等，則的長為．4．（2023秋·陜西西安·九年級校考階段練習）如圖，在平行四邊形中，對角線與相交于點O在的延長線上取一點E，連接交于點F，延長交于點H．若，，，則的值為．

5．（2023春·廣東·九年級專題練習）綜合與探究在矩形的邊上取一點E，將沿翻折，使點C恰好落在邊上的點F處．(1)如圖①，若，求的度數；(2)如圖②，當，且時，求的長；(3)如圖③，延長，與的角平分線交于點M，交于點N，當時，請直接寫出的值．【經典例題五利用相似三角形的性質求解】1．（2023·陜西榆林·校考三模）如圖，在等邊中，點分別在邊上，，若，則的長度為（

）

A．1 B． C．2 D．2．（2023春·江蘇蘇州·八年級蘇州市立達中學校校考期末）如圖已知中，，，，將繞著邊中點旋轉得到，、分別交于點、，若，則（

）

A． B． C． D．3．（2023·安徽滁州·校考一模）在等邊三角形中，，、是上的動點，是上的動點，且，連接，；4．（2023秋·黑龍江哈爾濱·九年級哈爾濱德強學校校考開學考試）如圖，在平行四邊形中，E為上一點，連接、，且、交于點F，，若的面積是4，則四邊形的面積是．

5．（2023秋·浙江·九年級專題練習）如圖，在中，．

(1)求邊上的高的長度；(2)正方形的一邊在上，另兩個頂點E、H分別在邊上，求正方形的邊長．【經典例題六證明三角形的對應線段成比例】1．（2023·黑龍江哈爾濱·統考二模）如圖，在中，AC和BC上分別有一點E和點H，過點E和點H分別作BC和AC的平行線交于點D，DE交AB于點G，DH交AB于點F，則下列結論錯誤的是（

）

A． B． C． D．2．（2023秋·九年級單元測試）如圖，在中，點D、E分別在AB、AC邊上，，BE與CD相交于點F，下列結論正確的是（

）A． B． C． D．3．（2021秋·全國·九年級專題練習）如圖，在中，若，，，則的長為.

4．（2022春·九年級課時練習）如圖，已知矩形ABCD中，AB=6，AD=8將矩形ABCD沿直線MN翻折后，點B恰好落在邊AD上的點E處，如果AE=2AM，那么CN的長為.5．（2023·吉林四平·校聯考三模）在中，，分別為，上一點，，交于點．

(1)設的面積為，的面積為，且．①如圖①，連接．若，求證：；②如圖②，若，，求的值．(2)如圖③，若，，，，直接寫出的值．【經典例題七利用相似求坐標】1．（2022·九年級單元測試）平面直角坐標系中有一直線，先將其向右平移3個單位得到，再將作關于x軸的對稱圖形，最后將繞與y軸的交點逆時針旋轉得到，則直線的解析式為（

）.A． B． C． D．2．（2021·廣東廣州·統考中考真題）在平面直角坐標系xOy中，矩形OABC的點A在函數的圖象上，點C在函數的圖象上，若點B的橫坐標為，則點A的坐標為（

）A． B． C． D．3．（2021春·江蘇·九年級專題練習）如圖，在平面直角坐標系中，點A，B的坐標分別為、，連接．動點P從點A開始在折線段上以每秒2個單位長度的速度向點O移動，同時動點Q從點B開始在線段上以每秒3個單位長度的速度向點A移動．設點P、Q移動的時間為t秒，當與相似時，點P的坐標是．4．（2023秋·全國·九年級專題練習）如圖，在平面直角坐標系中，與軸交于點，已知點，，，是線段上一點，連接，若與相似，則的長為．5．（2021·廣東湛江·統考三模）已知，如圖，已知拋物線與軸交于，兩點，與y軸交于點C，連接AC，BC，若點M是x軸上的動點（不與點B重合），于點N，連接CM．（1）求拋物線的解析式；（2）當時，求點N的坐標；（3）是否存在以點C，M，N為頂點的三角形與相似，若存在，請直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由．【經典例題八在網格中畫與已知三角形相似的三角形】1．（2023春·河北衡水·九年級校考期中）下列4×4的正方形網格中，小正方形的邊長均為1，三角形的頂點都在格點上，則與△ABC相似的三角形所在的網格圖形是（）A． B． C． D．2（2023秋·廣東揭陽·九年級校聯考階段練習）如圖，在正方形網格上有5個三角形（三角形的頂點均在格點上）：①△ABC，②△ADE，③△AEF，④△AFH，⑤△AHG，在②至⑤中，與①相似的三角形是（

）A．②④ B．②⑤ C．③④ D．④⑤3．（2023·山東煙臺·模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中，，，點為圖示中正方形網格交點之一（點除外），如果以、、為頂點的三角形與相似，那么點的坐標是．4．（2023秋·浙江紹興·九年級統考期末）如圖，在小正方形邊長均為1的的網格中，是一個格點三角形．如果，是該網格中與相似的格點三角形，且的面積最大；的面積最小，那么的值等于．5．（2023·浙江溫州·校考三模）如圖，在6×6正方形網格中，的頂點均在格點上，請按要求畫格點三角形（頂點在格點上），且三角形的各個頂點均不與點A，B，C重合．

(1)在圖1中，作一個格點，使得與相似（相似比不等于1），且；(2)在圖2中，作一個格點，使得與全等，且每條對應邊都互相垂直．注：圖1，圖2在答題卷上．【經典例題九相似三角形——動點問題】1．（2023春·吉林長春·九年級校考開學考試）如圖，中，，，，，點是邊上的一個動點，連接，當是直角三角形時，的值是（

）

A．2或 B． C．3或 D．32．（2023·河北邯鄲·校考三模）在中，于點，點從點出發沿向點運動，設線段的長為，線段的長為（如圖1），而關于的函數圖象如圖2所示．是函數圖象上的最低點．當為銳角三角形時的取值范圍為（

）A． B． C． D．3．（2023春·九年級課時練習）如圖1，在矩形中，動點從點出發，沿方向運動，當點到達點時停止運動，過點作交于點．設點運動路程為，如圖2所表示的是與的函數關系的大致圖象，當點在上運動時，的最大長度是，則矩形的面積是．

4．（2023春·江蘇蘇州·八年級校考階段練習）如圖，在矩形中，．動點M從點A出發，沿邊向點D勻速運動，動點N從點B出發，沿邊向點C勻速運動，連接．動點M，N同時出發，點M運動的速度為，點N運動的速度為，且．當點N到達點C時，M，N兩點同時停止運動．在運動過程中，將四邊形沿翻折，得到四邊形．若在某一時刻，點B的對應點恰好與的中點重合，則的值為．

5．（2023秋·吉林長春·八年級吉林大學附屬中學校考階段練習）如圖，在中，，，，動點P從點A開始沿著邊向點B以的速度移動（不與點B重合），動點Q從點B開始沿著邊向點C以的速度移動（不與點C重合）．若P，Q兩點同時移動．

(1)當移動幾秒時，的面積為？(2)當移動幾秒時，四邊形的面積為？(3)當移動幾秒時，與相似？【經典例題十相似三角形的綜合問題】1．（2023·浙江寧波·模擬預測）如圖，矩形，分別以、為邊向內作等邊三角形（圖1）；分別以、為邊向內作等邊三角形（圖2），兩個等邊三角形的重疊部分用陰影表示，設圖1中陰影部分的面積為，圖2中陰影部分的面積為．若，則的值為（

）A． B． C． D．2．（2023·全國·九年級專題練習）如圖，在矩形紙片ABCD中，AB＝3，BC＝2，沿對角線AC剪開（如圖①）；固定△ADC，把△ABC沿AD方向平移（如圖②），當兩個三角形重疊部分的面積最大時，移動的距離AA′等于（

）A．1 B．1.5 C．2 D．0.8或1.23．（2023春·四川達州·九年級校考階段練習）如圖，在矩形ABCD中，點E在邊BC上，連結AE，將△ABE沿直線AE翻折得到△AFE，EF與AC相交于點M．若AB＝8，BC＝10，且BE＝BC，則點F到直線AD的距離為．4．（2023·山東德州·統考一模）在邊長為4的正方形中，E是邊上一動點(不與端點重合)，將沿翻折，點A落在點H處，直線交于點F，連接，，分別與AC交于點P、Q，連接，．則以下結論中正確的有________

(寫出所有正確結論的序號)．①；②；③；④為等腰直角三角形；⑤若連接，則的最小值為．5．（2023·江蘇蘇州·統考三模）【問題探究】課外興趣小組活動時，同學們正在解決如下問題：如圖1，在矩形中，點，分別是邊，上的點，連接，，且于點，若，，求的值．

(1)請你幫助同學們解決上述問題，并說明理由．【初步運用】(2)如圖2，在中，，，點為的中點，連接，過點作于點，交于點，求的值．【靈活運用】(3)如圖3，在四邊形中，，，，，點，分別在邊，上，且，垂足為，則__________________．【重難點訓練】1．（2023春·山東菏澤·八年級統考期末）如圖，下列條件：①；②；③；④；其中單獨能夠判定的條件有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個2．（2023秋·全國·九年級專題練習）如圖，，和分別是和的高，若，，則與的面積的比為（）

A． B． C． D．3．（2023秋·陜西西安·九年級校考階段練習）如圖，在菱形中，，，，垂足為E，與交于點F，則值為（

）

A． B． C． D．4．（2023春·山東泰安·八年級校考階段練習）如圖，矩形紙片中，，，折疊紙片使邊與對角線重合，折痕為，記與點A重合點為，則的面積與該矩形的面積比為（

）

A． B． C． D．5．（2023·河南安陽·校考二模）在四邊形中，，，，點為邊上一點，，且．連接交對角線于點．下列結論正確的有（

）個．①；②；③；④

A．1 B．2 C．3 D．46．（2023秋·江蘇揚州·九年級校考階段練習）如圖，D、E為的邊上的點，當時，．

7．（2023春·河北衡水·九年級校考期中）如圖，在矩形中，點E在上，，與相交于點O，與相交于點F．

（1）若平分，則與是否垂直？（填“是”或“否”）；（2）圖中與相似的三角形有（寫出兩個即可）8．（2023春