專題03三角形中的倒角模型之“8”字模型、“A”字模型與三角板模型

近年來各地考試中常出現一些幾何倒角模型，該模型主要涉及高線、角平分線及角度的計算（內角和

定理、外角定理等）。熟悉這些模型可以快速得到角的關系，求出所需的角。本專題“8”字模型、“A”字模型

與三角板模型進行梳理及對應試題分析，方便掌握。

大家在掌握幾何模型時，多數同學會注重模型結論，而忽視幾何模型的證明思路及方法，導致本末倒

置。要知道數學題目的考察不是一成不變的，學數學更不能死記硬背，要在理解的基礎之上再記憶，這樣

才能做到對于所學知識的靈活運用，并且更多時候能夠啟發我們解決問題的關鍵就是基于已有知識、方法

的思路的適當延伸、拓展，所以學生在學習幾何模型要能夠做到的就是：①認識幾何模型并能夠從題目中

提煉識別幾何模型；②記住結論，但更為關鍵的是記住證明思路及方法；③明白模型中常見的易錯點，因

為多數題目考察的方面均源自于易錯點。當然，以上三點均屬于基礎要求，因為題目的多變性，若想在幾

何學習中突出，還需做到的是，在平時的學習過程中通過大題量的訓練，深刻認識幾何模型，認真理解每

一個題型，做到活學活用！

.........................................................................................................................................................................................1

模型1.“8”字模型............................................................................................................................................1

模型2.“A”字模型...........................................................................................................................................7

模型3.三角板拼接模型................................................................................................................................10

.................................................................................................................................................14

模型1.“8”字模型

“8”字模型通常是由兩條相交直線和它們所夾的兩條線段（或延長線）組成的，形狀類似于數字“8”。

圖1圖2

1）8字模型（基礎型）

條件：如圖1，AD、BC相交于點O，連接AB、CD；結論：①ABCD；②ABCDADBC。

證明：在?ABO中，∠A+∠B+∠AOB=180°；

在?COD中，∠C+∠D+∠COD=180°；

∵∠AOB=∠COD∴∠A+∠B=∠C+∠D；

在?ABO中，AB＜AO+BO；在?COD中，CD＜CO+DO；

∴AB+CD＜AO+BO+CO+DO=AD+BC；∴ABCDADBC。

2）8字模型（加角平分線）

條件：如圖2，線段AP平分∠BAD，線段CP平分∠BCD；結論：2∠P=∠B+∠D

證明：∵線段AP平分∠BAD，線段CP平分∠BCD∴∠BAP=∠PAD,∠BCP=∠PCD

∵∠BCP+∠P=∠BAP+∠B①∠PAD+∠P=∠PCD+∠D②

1

①+②得2∠P=∠B+∠D，則PBD，即2∠P=∠B+∠D

2

例1．（2023·重慶·八年級期中）如圖，AB和CD相交于點O，∠A＝∠C，則下列結論中不能完全確定正確

的是（）

A．∠B＝∠DB．∠1＝∠A＋∠DC．∠2＞∠DD．∠C＝∠D

【答案】D

【分析】利用三角形的外角性質，對頂角相等逐一判斷即可．

【詳解】∵∠A＋∠AOD＋∠D＝180°，∠C＋∠COB＋∠B＝180°，∠A＝∠C，∠AOD＝∠BOC，

∴∠B＝∠D，∵∠1＝∠2＝∠A＋∠D，∴∠2＞∠D，故選項A，B，C正確，故選D．

【點睛】本題考查了對頂角的性質，三角形外角的性質，熟練掌握并運用兩條性質是解題的關鍵．

例2．（2023春·山西臨汾·七年級統考期末）如圖，求ABCDEFG的度數．

【答案】GAEFBCCDEFG540

【分析】連結AB，令BF與AG交于點M，由三角形內角和得FGGABFBA，從而所求角的和

轉化為求五邊形ABCDE的內角和問題解決．

【詳解】連結AB，如圖，設BF與AG交于點M，

∵FGFMG180，GABFBAAMB180，

又∵FMGAMB，∴FGGABFBA，

∴GAEFBCCDEFGGAEFBCCDEGABFBA

(GAEGAB)(FBCFBA)CDE

EABABCCDE18052540．

【點睛】本題考查了三角形內角和定理，多邊形內角和定理，通過轉化為多邊形內角和是解題的關鍵．

例3．（2023·山東德州·八年級校考階段練習）如圖1，已知線段AB,CD相交于點O，連接AC,BD，則我們

把形如這樣的圖形稱為“8字型”．(1)求證：ACBD；(2)如圖2，若CAB和BDC的平分線AP

和DP相交于點P，且與CD,AB分別相交于點M、N．①若B100,C120，求P的度數；②若角

11

平分線中角的關系改為“CAPCAB,CDPCDB”，試探究P與B,C之間的數量關系．

33

1

【答案】(1)見解析(2)①110；②PB2C

3

【分析】（1）利用三角形內角和定理和對頂角相等即可證明；

（2）①根據角平分線的定義得到CAPBAP，BDPCDP，再根據“8字形”得到

CAPCCDPP,BAPPBDPB，兩等式相減得到CPPB，即

1112

PBC，即可求解．②根據CAPCAB,CDPCDB，可得BAPBAC，

2333

2

BDPBDC，再由三角形內角和定理和對頂角相等，可得2CPPB，即可求解．

3

【詳解】（1）證明：在AOC中，AC180AOC，

在BOD中，BD180BOD，∵AOCBOD，∴ACBD；

（2）解：①∵CAB和BDC的平分線AP和DP相交于點P，∴CAPBAP,BDPCDP，

∵CAPCCDPP①，BAPPBDPB②，

1

由①②，得：CPPB，即PCB，

2

1

∵B100,C120，∴P100120110；

2

1122

②∵CAPCAB,CDPCDB，∴BAPBAC，BDPBDC，

3333

∵CAPCCDPP，BAPPBDPB，

111222

∴CPBDCBACBDCBAC，PBBDCBACBDCBAC，

333333

11

∴2CPPB，∴PB2C），故答案為：PB2C．

33

【點睛】本題考查了三角形內角和、有關角平分線的計算，解題的關鍵是靈活運用“8字形”求解．

例4．（2023春·廣東深圳·七年級統考期末）定理：三角形任意兩邊之和大于第三邊．

(1)如圖1，線段AD，BC交于點E，連接AB，CD，判斷ADBC與ABCD的大小關系，并說明理由；

(2)如圖2，OC平分AOB，P為OC上任意一點，在OA，OB上截取OEOF，連接PE，PF．求證：PEPF；

(3)如圖3，在ABC中，ABAC，P為角平分線AD上異于端點的一動點，求證：PBPCBDCD．

【答案】(1)ADBCABCD；理由見詳解(2)證明見詳解(3)證明見詳解

【分析】（1）根據三角形任意兩邊之和大于第三邊知，AEBEAB，CEEDCD，兩式相加即可得出結

論；（2）根據SAS證△OEP≌△OFP即可得出結論；

（3）在AB上取一點E，使AEAC，連接DE交BP于點F，證APE≌APC，即PCPE，同理證CDDE，

然后同理（1）得PBCDPCBD，變形不等式即可得出結論．

【詳解】（1）解：ADBCABCD，理由如下：

AEBEAB，CEEDCD，AEBECEEDABCD，即ADBCABCD；

（2）證明：OC平分AOB，EOPFOP，

OEOF

在OEP和△OFP中，EOPFOP，OEP≌OFPSAS，PEPF；

OPOP

（3）證明：在AB上取一點E，使AEAC，連接DE交BP于點F，

AD是BAC的角平分線，EAPCAP，

AEAC

在VAPE和△APC中，EAPCAP，APE≌APCSAS，PEPC，同理可證DEDC，

APAP

EFPFEP，BFFDBD，EFPFBFFDEPBD，即PBDEEPBD，

PBCDPCBD，PBPCBDCD．

【點睛】本題考查三角形的綜合題，熟練掌握三角形的三邊關系和全等三角形的判定和性質等知識是解題

的關鍵．

例5．（2023春·廣東深圳·七年級部校考期中）探究題

(1)如圖1的圖形我們把它稱為“8字形”，則A，B，C，D四個角的數量關系是______；

(2)如圖2，若BCD，ADE的角平分線CP，DP交于點P，則P與A，B的數量關系為P______；

(3)如圖3，CM，DN分別平分BCD，ADE，當AB70時，試求MN的度數（提醒：解

決此問題可以直接利用上述結論）；

11

(4)如圖4，如果MCDBCD，NDEADE，當ABn時，則MN的度數為______．

44

11

【答案】(1)ABCD(2)P90(AB)(3)235(4)225n

24

【分析】（1）根據三角形內角和定理即可證明；（2）如圖2，設PCDx，ADPy，根據外角的性質

得：Pyx，COD2y2x，所以COD2P，最后由三角形內角和定理可得結論；(3)如圖3，

延長CM、DN交于點P，根據（2）的結論，并將AB70，代入可得

結論；（4）如圖4，同理計算可得結論．

【詳解】（1）在AOB中，ABAOB180，在△COD中，CDCOD180，

∵AOBCOD，∴ABCD故答案為：ABCD

（2）設PCDx，ADPy，

∵CP，DP分別平分BCD，ADE，∴BCD2x，ADE2y，

∵PPDEPCDyx，∴CODODEBCD2y2x，∴COD2P，

∵ABCOD180，∴2PAB180，

11

∴P90(AB)，故答案為：P90(AB)

22

1

（3）由（2）可知：P90(AB)，

2

∵AB70，∴P55，∴PMNPNM125，∴CMNDNM360125235，

（4）如圖4，延長CM、DN交于點P，設PCDx，NDEy，

∴PPDEPCDyx，COD4y4x，∴COD4P，∴4PAB180，

180(AB)180n

∴P，∴P，

44

11

∴PMNPNM180P，18045n，135n，

44

111

∴CMNDNM360(PMNPNM)360(135n)225n故答案為：225n

444

【點睛】本題考查三角形內角和，三角形的外角的性質、角平分線的定義等知識，解題的關鍵是學會用方

程的思想思考問題．

模型2.“A”字模型

如圖，B、C分別是∠DAE兩邊上的點，連結BC，形狀類似于英文字母A，故我們把它稱為“A”字模型。

條件：如圖，在?ABC中，∠1、∠2分別為∠3、∠4的外角；

結論：①∠1+∠2=∠A+180°；②∠3+∠4=∠D+∠E

證明：①∵∠1=∠A+∠ACB∴∠1=∠A+180°-∠2∴∠1+∠2=∠A+180°。

②在?ABC中，∠A+∠3+∠4=180°；在?ADE中，∠A+∠D+∠E=180°∴∠3+∠4=∠D+∠E。

例1．（2023·廣西北海·八年級統考期中）按如圖中所給的條件，1的度數是（）

A．62B．63C．75D．118

【答案】A

【分析】根據鄰補角求得225，然后根據三角形外角的性質即可求解．

【詳解】解：如圖，

∵218015525，∴1372372562，故選：A．

【點睛】本題考查了求鄰補角，三角形的外角的性質，掌握三角形的外角的性質是解題的關鍵．

例2．（23-24七年級下·福建泉州·期末）如圖，在ABC中，A55，若剪去A得到四邊形BCDE，則

12．

【答案】235°/235度

【分析】此題考查了多邊形的內角和，先利用三角形內角和為180計算，然后根據鄰補角的定義計算即可．

【詳解】解：∵A55，∴AEDADE180A18055125，

∴12180AED180ADE360AEDADE360125235，故答案為：235．

例3．（23-24七年級下·河北石家莊·期末）如圖1，直線l與ABC的邊AC，AB分別相交于點D，E（都

不與點A重合）.

(1)若A64，①求12的度數；②如圖2，直線m與邊AB，AC相交得到3和4，直接寫出34

的度數.(2)如圖3，EO，DO分別平分BED和CDE，寫出EOD和A的數量關系，并說明理由；

(3)如圖4，在四邊形BCDE中，點M，N分別是線段DC、線段BE上的點，NG，MG分別平分BNM和

CMN，直接寫出NGM與E，D的關系.

1

【答案】(1)①244；②244(2)EOD90A，理由見解析(3)ED2NGM360.

2

【分析】本題主要考查三角形內角和定理、三角形外角性質，掌握三角形內角和定理、角平分線的定義等

知識點，靈活運用相關知識是正確解答的關鍵．（1）①根據三角形內角和定理，角平分線的定義進行計算

即可；②根據①的結論即可解答；（2）由（1）的結論以及三角形內角和定理即可解答；

（3）由（2）的結論可得BNMCMNDE，再根據三角形內角和定理進行解答即可．

【詳解】（1）解：①如圖1，

∵1AADE，2AAED，∴12AADEAEDA，

∵AADEAED180，A64，∴12

②由①方法可得：3412244．

1

（2）解：EOD90A，理由如下：由（1）可得BEDCDE180A．

2

11

∵EO，DO分別平分BED和CDE，∴OEDBED,EDOCDE，

22

111

∴OEDEDOBEDCDE180A90A，

222

11

∴EOD180OEDEDO18090A90A．

22

（3）解：ED2NGM360，理由如下：由圖2可得，BNMCMNDE，

11

∵NG，MG分別平分BNM和CMN，∴BNGMNGBNM,CMGNMGCMN，

22

11

∴MGN180MNGNMG180BNMCMN180DE，

22

∴2MGNDE360．

模型3.三角板拼接模型

由一副三角板拼湊出的幾個圖形我們稱他們為三角板模型。

圖①中：∠A=30°，∠C=60°，圖②中：∠A=∠C=45°，

當題中含三角板時，先根據度數或隱含條件判斷三角形的形狀，標注其中的特殊角度（90°、30°、45°、60°），

再根據題干解題。一副三角板可以拼接出的角度為三角板所含角度的和差，且均為15°的整數倍。

常見角度拼接（證明特別簡單，故略過）：

例1．（2023春·貴州遵義·八年級校聯考期中）把一副直角三角尺按如圖所示的方式擺放在一起，其中

E90，C90，A45，D30，則12．

【答案】210

【分析】根據三角形外角性質得出1DDOA，2EEPB，再根據三角形的內角和定理和解

答即可．

【詳解】解：如圖可知：1DDOA，2EEPB，

DOACOP，EPBCPO，

12DECOPCPODE180C309018090210，故答案為：210．

【點睛】此題考查三角形內角和，關鍵是根據三角形的內角和定理和三角形外角性質解答．

例2．（23-24七年級下·四川成都·期末）將一副直角三角板如圖擺放，點A落在DE邊上，AB∥DF，則1

的度數為（）

A．30B．45C．60D．75

【答案】D

【分析】本題主要考查了平行線的性質，三角形內角和定理．根據平行線的性質，可得BAED90，

從而得到CAE60，再由三角形內角和定理，即可求解．

【詳解】解：∵AB∥DF，DD=90°，∴BAED90，

∵BAC30，∴CAE60，∵E45，∴1180ECAE75．故選：D

例3．（2023春·江蘇無錫·七年級統考期末）有一副直角三角板ABC、DEF，其中ACBDEF90，

A30，D45．如圖，將三角板DEF的頂點E放在AB上，移動三角板DEF，當點E從點A沿AB

向點B移動的過程中，點E、C、D始終保持在一條直線上．下列結論：①當DEAB時，ACE60；

②BEF逐漸變小；③若直線DF與直線AB交于點M，則ACEDME為定值；④若ABC的一邊與DEF

的某一邊平行，則符合條件的點E的位置有3個．正確的有．（填序號）

【答案】①③④

【分析】①由DEAB即可判斷；②過點C作CHAB，即可判斷；③分別討論當直線DF與線段AB相

交、直線DF與線段AB的延長線相交即可判斷；④根據平行線的判定定理即可進行判斷．

【詳解】解：①∵DEAB，點E、C、D始終保持在一條直線上∴CEAB

∵A30∴ACE60故①正確；②如圖1：過點C作CHAB

當點E從點A移動到點H位置時，DEB的度數在逐漸增大∴BEF的度數在逐漸減小

當點E從點H移動到點B位置時，BEF的度數在逐漸增大故②錯誤；

③當直線DF與線段AB交于點M，如圖2：∵DEBAACE,DDEBDME180

∴ACE3045DME180∴ACEDME105

當直線DF與線段AB的延長線交于點M，如圖3：∵DEBAACE,DDEBDME180

∴ACE3045DME180∴ACEDME105

故若直線DF與直線AB交于點M，則ACEDME為定值故③正確；

④當點E在線段AH上時，且BEFB60，則EF∥BC；

當點E在線段BH上時，且BEFA30，則EF∥AC；

當ECBD45時，則DF∥BC；∴若ABC的一邊與DEF的某一邊平行，則符合條件的點E的位

置有3個故④正確；故答案為：①③④

【點睛】本題以三角板的運動為背景，考查了平行線的判定、三角形的內角和、三角形的外角等知識點．掌

握相關數學結論是解題關鍵．

例4．（23-24七年級下·貴州黔南·期末）如圖1，將一副三角板放在直線MN上，兩個直角頂點重合在一起，

交直線MN于點C，其中A30，EDC45．

(1)如圖2，將圖1中的三角板CDE繞點C按逆時針方向旋轉，在旋轉過程中，ECB與ACD的數量關

系是___________；(2)將圖1中的三角板CDE繞點C按逆時針方向旋轉至圖3所示的位置，此時CE在ACB

的內部，ED與AB相交于點P，當ECB30時，求DPB的度數；(3)將圖1中的三角板CDE繞點C按

逆時針方向旋轉，當DE∥AB時，DCB的度數為___________．（直接寫出結果即可）

【答案】(1)ECBACD(2)DPB135；(3)75或105．

【分析】本題考查了三角形的內角和定理，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和的性質，平

行線的性質，分情況討論，作出圖形是解答此題的關鍵．（1）利用同角的余角相等，即可得到ECBACD；

（2）證明AB∥CD，利用兩直線平行，同旁內角互補，即可求解；

（3）分兩種情況討論，利用平行線的性質結合三角形的外角性質求解即可．

【詳解】（1）解：ECBACD，理由如下：

∵ACBDCE90，∴ECB90ACEACD，即ECBACD；故答案為：ECBACD；

（2）解：由（1）得ECBACD，∴A30ECBACD，∴AB∥CD，

∵EDC45，∴DPB180D135；

（3）解：如圖，設DE與MN的交點為F，

∵DE∥AB，∴DFCABC60，∴MCEDFCE604515，∴DCB75；

如圖，設DE與MN的交點為F，∵DE∥AB，∴DFCABC60，

∴DCBDDFC4560105；綜上，DCB的度數為75或105．故答案為：75或105．

1．（2023·河北邯鄲·統考一模）如圖，已知在Rt△ABC中，C90，若沿圖中虛線剪去C，則12

的度數是（）．

A．270B．240C．180D．90

【答案】A

【分析】利用四邊形內角和為360和直角三角形的性質求解即可．

【詳解】解：∵在Rt△ABC中，C90，∴A+B90，

∵12AB360，∴12360AB270故選：A．

【點睛】此題考查了直角三角形的性質和四邊形的內角和，解題關鍵在于根據四邊形內角和為360和直角

三角形的性質求解．

2．（2024·河南商丘·八年級統考階段練習）如圖所示，五條線段首尾相連形成的圖形中A90，B45，

C30則DE等于（）

A．80B．75C．70D．65

【答案】B

【分析】利用三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個外角之和求出D1=DA+DB=135°，D2=DD+DE，

由C30，求出318030150，再由外角和是360即可求出答案．

【詳解】解：如圖，A90，B45，\D1=DA+DB=135°，

C30，318030150，

D1+D2+D3=360°，\D2=360°-285°=75°，

D2=DD+DE，\DD+DE=75°．

【點睛】本題考查了三角形外角的性質定理、多邊形外角和定理，熟練掌握相關知識是解題關鍵．

3．（2023·江蘇鹽城·統考二模）一副三角板如圖所示擺放，其中含45角的直角三角板的直角頂點在另一個

三角板的斜邊上，若118，則2的度數是（）

A．18B．23C．28D．33

【答案】D

【分析】利用三角形的外角性質進行求解即可．

【詳解】解：如圖，由題意得：A45，B30，

118，31A63，23B33．故選：D．

【點睛】本題考查三角形的外角性質，解答的關鍵是明確三角形的外角等于與其不相鄰的兩個內角之和．

4．（2023·廣東江門·八年級校考期中）如下圖，123456的度數為（）

A．540°B．500°C．460°D．420°

【答案】D

【分析】根據三角形內角和定理可得12140，根據平角的定義和四邊形內角和可得

3412140，同理可得5634140，據此即可求解．

【詳解】解：如圖所示，

∵A40，∴1218040140，

∵17180，28180，∴1278360

∵7834360∴3412140，

同理可得：5634140，∴1234561403420，故選：D．

【點睛】本題考查了三角形內角和定理，四邊形內角和定理，熟知四邊形內角和等于360是解題的關鍵．

5．（2023·廣東清遠·八年級校考階段練習）如圖所示，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的結果為（）

A．90°B．360°C．180°D．無法確定

【答案】C

【詳解】如圖，連接BC，

∵∠D+∠E+∠DOE=∠BOC+∠OCB+∠BOC=180°，∠DOE=∠BOC，∴∠D+∠E=∠OBC+∠OCB，

又∵∠A+∠ABO+∠ACO+∠OBC+∠OCB=180°，∴∠A+∠ABO+∠ACO+∠D+∠E=180°．故選：C．

6．（2024·安徽·八年級校考期中）如圖，若CGE125，則ABCDEF．

【答案】250/250度

【分析】按圖先進行標注，根據外角性質分別表示出EMGDC，HGNCDE，

AHGB55，ANG55F，再根據AAHGHGNANG360，進行求解即可得出最

后結果．

【詳解】解：如圖，進行標注，

EMG是△MDC的一個外角，EMGDC，

HGN是MEG的一個外角，HGNEEMG，即HGNCDE，

AHG是BHG的一個外角，AHGBBGH，

BGH180CGE18012555，AHGB55

ANG是VNGF的一個外角，

ANGNGFF180125F55F，AAHGHGNANG360

AB55CDEF55360

ABCDEF3605555250，故答案為：250．

【點睛】本題考查了三角形外角性質，圓周角及鄰補角的應用，熟練掌握外角性質是解答本題的關鍵．

7．（2023·四川綿陽·八年級統考期中）如圖，已知160，CDEFAB．

【答案】240/240度

【分析】由三角形的外角性質和三角形內角和定理即可得出結果．

【詳解】連接CG，ABACGBGC，

∴ABACFFACGBGCACFF

ACGACFBGCF180FGB1801120

又DE1801120，

∴ACFDEFAB1202240．故答案為：240．

【點睛】本題考查了三角形的外角性質、對頂角相等以及三角形內角和定理；熟練掌握三角形的外角性質

以及三角形內角和定理是解決問題的關鍵．

8．（2023·上海七年級課時練習）小明將一副三角板中的兩塊直角三角尺的直角頂點C按如圖所示的方式疊

放在一起，當ACE180，且點E在直線AC的上方時，他發現若ACE，則三角板BCE有

一條邊與斜邊AD平行．

【答案】30或120或165

【分析】分三種情形畫出圖形分別建立好幾何模型求解，即可解決問題．

【詳解】解：有三種情形：①如圖1中，當AD∥BC時．

∵AD∥BC，∴DBCD30，

∵ACEECDECDDCB90，∴ACEDCB30．

②如圖2中，當ADCE時，DCED30，可得ACE9030120．

③如圖3中，當ADBE時，延長BC交AD于M．

∵ADBE，∴AMCB45，∴ACM180604575，∴ACE7590165，

綜上所述，滿足條件的ACE的度數為30或120或165．故答案為：30或120或165．

【點睛】本題考查旋轉變換、平行線的判定和性質、三角形內角和定理等知識，解題的關鍵是學會用分類

討論的首先思考問題，屬于中考常考題型．

9．（2023·廣東·八年級假期作業）如圖，若EOC115，則ABCDEF．

【答案】230°

【分析】根據三角形外角的性質，得到∠EOC=∠E+∠2=115°，∠2=∠D+∠C，∠EOC=∠1+∠F=115°，∠

1=∠A+∠B，即可得到結論．

【詳解】解：如圖∵∠EOC=∠E+∠2=115°，∠2=∠D+∠C，∴∠E+∠D+∠C=115°，

∵∠EOC=∠1+∠F=115°，∠1=∠A+∠B，∴∠A+∠B+∠F=115°，

∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=230°，故答案為：230°．

【點睛】本題考查三角形內角和定理和三角形外角的性質，解決本題的關鍵是要熟練掌握三角形外角性質．

10．（2023·廣東揭陽·八年級校考期末）探索歸納：

（1）如圖1，已知ABC為直角三角形，∠A=90°，若沿圖中虛線剪去∠A，則∠1+∠2=°．

（2）如圖2，已知△ABC中，∠A=40°，剪去∠A后成四邊形，則∠1+∠2=°．

（3）如圖2，根據（△1）與（2）的求解過程，請你歸納猜想∠1+∠2與∠A的關系是．

【答案】270°/270度220°/220度180°+∠A

【分析】（1）利用了四邊形內角和為360°和直角三角形的性質求解；

（2）根據三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角和求解；（3）根據（1）（2）可以直接寫出結果．

【詳解】解：（1）∵四邊形的內角和為360°，直角三角形中兩個銳角和為90°，

∴∠1+∠2=360°-（∠B+∠C）=360°-90°=270°，∴∠1+∠2等于270°，故答案為：270°；

（2）∠1+∠2=360°-（∠B+∠C）=360°-（180°-∠A）=180°+∠A=180°+40°=220°，故答案是：220°；

（3）∠1+∠2與∠A的關系是：∠1+∠2=180°+∠A；

證明：∠1+∠2=360°-（∠B+∠C）=360°-（180°-∠A）=180°+∠A；故答案為：180°+∠A．

【點睛】主要考查了三角形的內角和定理，四邊形內角和定理．熟練掌握三角形的內角和定理、四邊形內

角和定理是解題的關鍵．

11．（2024·重慶·八年級校考期中）如圖，在RtABC中，ACB90，A65，D是AB邊上一點，連接CD，

將ACD沿CD翻折，使A點落在BC邊上的E點處，則BDE的度數為度．

【答案】40

【分析】根據折疊的性質和三角形內角和的性質，求得ADC的度數，即可求解．

1

【詳解】解：根據折疊的性質可得ACDDCEACB45，ADCCDE

2

由三角形內角和的性質可得：ADC180AACD70，

∴ADE2ADC140∴BDE180ADE40故答案為：40

【點睛】此題考查了折疊的性質和三角形內角和的性質，解題的關鍵是熟練掌握相關基本性質．

12．（2024·湖北武漢·八年級校考階段練習）如圖所示，AB、CD相交于點O，∠A＝48°，∠D＝46°．

(1)若BE平分∠ABD交CD于F，CE平分∠ACD交AB于G，求∠BEC的度數；

(2)若直線BM平分∠ABD交CD于F，CM平分∠DCH交直線BF于M，求∠BMC的度數．

【答案】（1）47°；（2）43°

【分析】（1）根據三角形內角和定理以及對頂角相等可得出OBDACD2，由平分線的定義可得出

11

DBFACD1、OCGACO，再結合三角形內角和定理即可得出BECD1，代入D度數即

22

1

可得出結論；（2）由鄰補角互補結合角平分線可得出DCM90ACD，根據三角形外角性質結合（1）

2

11

中DBFACD1即可得出MFCDACD1，再根據三角形內角和定理即可得出

22

BMC91D，代入D度數即可得出結論．

【詳解】解：（1）DOBDBOD180，AACOAOC180，BODAOC，

DOBDAACO，A48，D46，OBDACD2．

BE平分ABD交CD于F，CE平分ACD交AB于G，

111

DBFOBDACD1，OCGACO．

222

DDBFBFD180BECOCGCFE，BFDEFC，

11

DACD1BECACD，BECD147．

22

（2）ACDDCH180，CM平分DCH交直線BF于M，

111

DCMDCH(180ACD)90ACD，

222

1

MFCDDBFDACD1，MFCDCMBMC180，

2

11

BMC180MFCDCM180(DACD1)(90ACD)91D43．

22

【點睛】本題考查了三角形內角和定義、角平分線、三角形的外角性質、對頂角以及鄰補角，解題的關鍵

是：（1）根據三角形內角和定理找出BECD1；（2）根據三角形內角和定理找出BMC91D．本

題屬于中檔題，難度不大，但重復用到三角形內角和定義稍顯繁瑣．

13．（2023·廣東湛江·八年級統考期中）問題情景：如圖①，有一塊直角三角板PMN放置在ABC上（P點

在ABC內），三角板PMN的兩條直角邊PM、PN恰好分別經過點B和點C．探究ABP與ACP是否存

在某種確定的數量關系．(1)特殊探究：若A50，則ABCACB_____度，PBCPCB_____

度，ABPACP_____度；(2)類比探索：請探究ABPACP與A的關系；(3)類比延伸：如圖②，

改變直角三角板PMN的位置，使P點在ABC外，三角板PMN的兩條直角邊PM、PN仍然分別經過點B和

點C，（2）中的結論是否仍然成立？若不成立，請直接寫出你的結論，并說明理由．

【答案】(1)130；90；40(2)ABPACP90A(3)不成立，ACPABP90A，理由見解析

【分析】（1）已知A50，根據三角形內角和定理易求ABCACB的度數，已知P90，根據三角

形內角和定理易求PBCPCB的度數，進而得到ABPACP的度數；

（2）由（1）中ABCACB的度數，PBCPCB的度數，相減即可得到ABPACP與A的關系；

（3）由于在ABC中，ABCACB180A，在PBC中，PBCPCB90，相減即可得到結論．

【詳解】（1）解：∵A50，∴ABCACB180A18050130，

∵P90，∴PBCPCB90，

∴ABPACPABCACBPBCPCB1309040．故答案為：130；90；40．

（2）ABPACP與A的關系為：ABPACP90A，

理由如下：由（1）得：ABCACB180A，∵P90，∴PBCPCB90，

∴ABPACPABCACBPBCPCB180A9090A．

∴ABPACP90A．

（3）不成立，存在ACPABP90A，

理由如下：在ABC中，ABCACB180A，在PBC中，∵P90，∴PBCPCB90，

∴ABCACBPBCPCB180A90，∴ACBPCBPBCABC90A，

∴ACPABP90A．∴（2）中的結論不成立．

【點睛】本題考查三角形內角和，直角三角形兩銳角互余．三角形內角和定理：三角形三個內角的和等于

180．注意運用整體法計算，解決問題的關鍵是求出ABCACB，PBCPCB的度數．

14．（2023春·河南洛陽·七年級統考期末）如圖，CAD與CBD的角平分線交于點P．

(1)若C35，D29，求P的度數；(2)直接寫出D，C，P的數量關系；(3)若CAD與CBD

的大小發生變化，（2）的結論是否仍然成立？若成立，說明理由，若不成立，寫出成立的式子．

1

【答案】(1)32(2)P(CD)(3)（2）的結論仍然成立，見解析

2

【分析】（1）頂角相等可得AECBEP，BFDAFP，利用三角形的內角和定理得

CCAEPPBE，DDBFPPAF，兩式相加并利用角平分線的定義和等式的基本

性質變形可得，CD2P，從而求出P的度數；

（2）頂角相等可得AECBEP，BFDAFP，利用三角形的內角和定理得

CCAEPPBE，DDBFPPAF，兩式相加并利用角平分線的定義和等式的基本

性質變形可得，CD2P，從而求出D，C，P的數量關系；

（3）的解析可得CD2P，時D，C，P的關系與CAD與CBD的大小無關，所以

1

P(CD)，即（2）的結論仍然成立．

2

【詳解】（1）解：∵AECBEP，BFDAFP，

∴180(CCAE)180(PPBE)，180(DDBF)180(PPAF)，

CCAEPPBE①

∴，

DDBFPPAF②

①②得，CCAEDDBFPPBEPPAF，

∵CAD與CBD的角平分線交于點P，

∴CAEPAF，DBFPBE，∴CD2P，

11

∴P(CD)(3529)32；

22

（2）解：∵AECBEP，BFDAFP，

∴180(CCAE)180(PPBE)，180(DDBF)180(PPAF)，

CCAEPPBE①

∴，

DDBFPPAF②

①②得，CCAEDDBFPPBEPPAF，

∵CAD與CBD的角平分線交于點P，∴CAEPAF，DBFPBE，

1

∴CD2P，∴P(CD)；

2

（3）解：∵AECBEP，BFDAFP，

∴180(CCAE)180(PPBE)，180(DDBF)180(PPAF)，

CCAEPPBE①

∴，

DDBFPPAF②

①②得，CCAEDDBFPPBEPPAF，

∵CAD與CBD的角平分線交于點P，

∴CAEPAF，DBFPBE，∴CD2P，

此時D，C，P的關系與CAD與CBD的大小無關，

即（2）的結論仍然成立．

【點睛】此題考查的是三角形的內角和定理和角的和與差，掌握三角形的內角和定理和角平分線的定義是

解題的關鍵．

15．（2023春·重慶黔江·七年級統考期末）如圖1，將三角板ABC與三角板ADE擺放在一起；如圖2，其中

ACB30，∠DAE45，BACD90．固定三角板ABC，將三角板ADE繞點A按順時針方向旋

轉，記旋轉角CAE(0180)．

(1)在旋轉過程中，當為度時，AD∥BC；當為度時，ADBC．

(2)當045時，連接BD，利用圖3探究BDECAEDBC值的大小變化情況，并說明理由．

【答案】(1)15，105(2)不變，理由見解析

【分析】（1）如圖1，記DE與AC的交點為點F，DE與BC的交點為點G，由AD∥BC，可得

DAFC30，再利用角的和差關系可得答案；如圖2，記AD與BC的交點為F，求解

DAC180AFCC180903060，由角的和差關系可得答案；

（2）如圖3，設BD分別交AC、AE于點M、N，在AMN中，可得AMNCAEANM180，結

合ANMEBDE，AMNCDBC，從而可得答案．

【詳解】（1）解：如圖1，記DE與AC的交點為點F，DE與BC的交點為點G，

AD∥BC，DAFC30，DAE45，CAE15，即15，

如圖2，記AD與BC的交點為F，

ADBC，AFC90，DAC180AFCC180903060，

CAEDACEAD6045105，即105，

（2）當045，BDECAEDBC105，保持不變，理由如下：

如圖3，設BD分別交AC、AE于點M、N，在AMN中，AMNCAEANM180，

ANMEBDE，AMNCDBC，EBDECAECDBC180

C30，E45，BDECAEDBC105．

【點睛】本題考查的是旋轉的性質，平行線的性質，垂直的定義，三角形的外角的性質的應用，熟練的利

用旋轉的性質與三角形的外角的性質解題是關鍵．

16．（2023·河南駐馬店·八年級統考期中）將三角尺（△MPN，MPN90）放置在ABC上（點P在ABC

內），如圖①所示，三角尺的兩邊PM、PN恰好經過點B和點C，我們來研究ABP與ACP是否存在某

種數量關系．

(1)特例探究：若A50，則PBCPCB________度，ABPACP________度．

(2)類比探究：ABP、ACP、A的關系是___________________．

(3)變式探究：如圖②所示，改變三角尺的位置，