2024-2025學(xué)年湖南省永州市寧遠(yuǎn)縣九年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共10個(gè)小題，每小題3分，共30分）1．（3分）下列方程是一元二次方程的是（）A．x2﹣2x＝3 B．x2C．3x2+y＝2 D．x﹣3y+1＝02．（3分）某中學(xué)人數(shù)相等的甲、乙兩班學(xué)生參加了同一次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)，班平均分和方差分別為X甲＝89分，X乙＝89分，S甲2＝246，S乙2＝191，那么成績較為整齊的是（）A．甲班 B．乙班 C．兩班一樣整齊 D．無法確定3．（3分）已知反比例函數(shù)y=kA．（﹣2，5） B．（3，1） C．（﹣1，10） D．（﹣2，﹣5）4．（3分）若線段a，b，c，d是成比例線段，且a＝1cm，b＝2cm，c＝4cm，則d＝（）A．8cm B．0.5cm C．2cm D．3cm5．（3分）一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的根的情況為（）A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 C．只有一個(gè)實(shí)數(shù)根 D．沒有實(shí)數(shù)根6．（3分）已知△ABC∽△DEF，若∠A＝40°，∠E＝60°，則∠F的度數(shù)為（）A．55° B．60° C．65° D．80°7．（3分）“書是人類進(jìn)步的階梯!”某校為響應(yīng)閱讀活動(dòng)，利用節(jié)假日面向社會(huì)開放學(xué)校圖書館．據(jù)統(tǒng)計(jì)，第一個(gè)月進(jìn)館128人次，進(jìn)館人次逐月增加，第三個(gè)月進(jìn)館608人次，若進(jìn)館人次的月平均增長率相同．若設(shè)進(jìn)館人次的月平均增長率為x，則根據(jù)題意，可列方程是（）A．608（1﹣x）2＝128 B．128（1﹣x）2＝608 C．608（1+x）2＝128 D．128（1+x）2＝6088．（3分）如圖，已知△A1OB1與△A2OB2位似，且△A1OB1與△A2OB2的周長之比為1：2，點(diǎn)A1的坐標(biāo)為（﹣1，2），則點(diǎn)A2的坐標(biāo)為（）A．（1，﹣4） B．（2，﹣4） C．（﹣4，2） D．（?29．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，則tanB的值為（）A．45 B．35 C．3410．（3分）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別在邊AB，AC上，且AEAB=ADAC=37，則SA．1：3 B．9：49 C．9：40 二、填空題（本大題共8個(gè)小題，每小題3分，共24分；請(qǐng)將答案填在答題卡的答案欄內(nèi)）11．（3分）點(diǎn)A（1，m），B（﹣2，n）在反比例函數(shù)y=?3x的圖象上，則m12．（3分）把一元二次方程x（x+2）＝﹣3化成一般形式是．13．（3分）已知蓄電池的電壓為定值，使用蓄電池時(shí)，電流I（單位：A）與電阻R（單位：Ω）是反比例函數(shù)關(guān)系，它的圖象如圖所示．若蓄電池電流為2A時(shí)，電阻為Ω．14．（3分）數(shù)學(xué)趣題解答：阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)著作《算術(shù)之鑰》書中，記載著一道頗受阿拉伯人喜愛的數(shù)學(xué)題：“一群人走進(jìn)果園去摘石榴，第一個(gè)人摘了1個(gè)石榴，第二個(gè)人摘了2個(gè)石榴，第三個(gè)人摘了3個(gè)石榴，以此類推，后進(jìn)果園的人都比前面那個(gè)人多摘一個(gè)石榴，這群人剛好把果園的石榴全部摘下來了，如果平均分配，每個(gè)人可以得到10個(gè)石榴，問這群人共有多少人？”15．（3分）在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)定義運(yùn)算“☆”和“★”，其規(guī)則為：a☆b＝a2+b2，a★b=ab2，則方程2☆x＝x★8的解為16．（3分）在△ABC中，∠C＝90°，若tanA=125，則sinA＝17．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，斜邊上的高AD交BC于點(diǎn)D，若BD＝9，CD＝6，則AD的長度等于．18．（3分）如圖，點(diǎn)A是反比例函數(shù)y=kx(x＞0)圖象上的一點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)A的直線與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)C和點(diǎn)D，過點(diǎn)A作AB⊥y軸于點(diǎn)B，BDOD=12，連接BC三、解答題（本大題共8個(gè)小題，共66分；解答應(yīng)寫出必要的文字說明、演算步驟或證明過程）19．（6分）計(jì)算：|?820．（6分）解方程：（1）（x﹣3）2﹣9＝0；（2）x2﹣7x+10＝0．21．（8分）某校為了解本校學(xué)生對(duì)小說、散文、詩歌、寓言四類書籍的喜愛情況，隨機(jī)抽取了部分學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制了兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖．請(qǐng)根據(jù)圖中信息，解答下列問題：（1）本次被調(diào)查的學(xué)生有人；（2）請(qǐng)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；（3）在扇形統(tǒng)計(jì)圖中，“寓言”所對(duì)應(yīng)的扇形圓心角是；（4）若該校有2600名在校學(xué)生，請(qǐng)你估計(jì)喜愛“小說”的大約有多少人？22．（8分）莽山多奇峰，假期某一天，天氣晴好，熱愛戶外運(yùn)動(dòng)的胡老師到莽山公園爬山．有一段山的形狀如圖①，爬山路線示意圖如圖②，胡老師從山腳A出發(fā)，沿AB走400米到B點(diǎn)，再沿BC到山頂C點(diǎn)，已知山高CF為384米，BE∥AF，BD⊥AF，CE⊥BE交AD的延長線于點(diǎn)F，∠1＝30°，∠2＝50°．（圖中所有點(diǎn)均在同一平面內(nèi)）（1）求BD的長；（2）求胡老師從山腳A點(diǎn)到達(dá)山頂C點(diǎn)共走了多少米？（結(jié)果精確到1米）．（參考數(shù)據(jù)：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）23．（9分）樂樂同學(xué)的媽媽經(jīng)營了一家童裝專賣店，她在銷售中發(fā)現(xiàn)，一款童裝每件進(jìn)價(jià)為120元，銷售價(jià)為280元時(shí)，平均每天可售出3件，為了迎接“元旦”，商店決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施，以擴(kuò)大銷售量，盡快減少庫存，增加利潤，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，若每件童裝降價(jià)10元，則平均可多售出1件．設(shè)每件童裝降價(jià)10x元．（1）每天可銷售件，每件盈利元；（用含x的代數(shù)式表示）（2）求每件童裝降價(jià)多少元時(shí)，銷售這款童裝平均每天可盈利840元．24．（9分）如圖，在正方形ABCD中，在BC邊上取中點(diǎn)E，連接DE，過點(diǎn)E作EF⊥ED交AB于點(diǎn)G、交AD延長線于點(diǎn)F．（1）求證：△ECD∽△DEF；（2）若CD＝4，求AF的長．25．（10分）綜合與實(shí)踐：如圖1，這個(gè)圖案是我國漢代的趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”，受這幅圖的啟發(fā)，數(shù)學(xué)興趣小組建立了“一線三直角模型”．如圖2，在△ABC中，∠A＝90°，將線段BC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段BD，作DE⊥AB交AB的延長線于點(diǎn)E．（1）【觀察感知】如圖2，通過觀察，線段AB與DE的數(shù)量關(guān)系是；（2）【問題解決】如圖3，連接CD并延長交AB的延長線于點(diǎn)F，若AB＝1，AC＝3，求△BDF的面積；（3）【拓展延伸】在（2）的條件下，連接CE交BD于點(diǎn)N，則BNBC=26．（10分）我們不妨約定，如果三條線段a，b，c的長度滿足一條線段長的倒數(shù)是另兩條線段長的倒數(shù)和，那么稱線段a，b，c為“和諧三線”，例如，長度為1，1，12（1）如圖1，若點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的數(shù)為1，點(diǎn)B為線段OA上，位于中點(diǎn)左側(cè)的數(shù)軸上的一點(diǎn)，若線段OA，OB，AB為“和諧三線”，求點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的數(shù)；（2）如圖2，已知AB∥CD，連接AD，BC交于點(diǎn)F，過F作AB的平行線交AC于點(diǎn)E，求證：AB，CD，EF為“和諧三線”；（3）如圖3，已知一次函數(shù)y＝﹣2x+6的圖象與x軸、y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，與函數(shù)y=kx（x＞0）的圖象交于C，D兩點(diǎn)，其中D點(diǎn)橫坐標(biāo)大于C點(diǎn)橫坐標(biāo)，若BC，CD，AD是“和諧三線”，求

2024-2025學(xué)年湖南省永州市寧遠(yuǎn)縣九年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析題號(hào)12345678910答案ABDAADDBDC一、選擇題（本大題共10個(gè)小題，每小題3分，共30分）1．（3分）下列方程是一元二次方程的是（）A．x2﹣2x＝3 B．x2C．3x2+y＝2 D．x﹣3y+1＝0【解答】解：A、是一元二次方程，故此選項(xiàng)符合題意；B、不是整式方程，故此選項(xiàng)不符合題意；C、含有兩個(gè)未知數(shù)，不是一元二次方程，故此選項(xiàng)不符合題意；D、未知數(shù)的最高次數(shù)是1，含有兩個(gè)未知數(shù)，不是一元二次方程，故此選項(xiàng)不符合題意；故選：A．2．（3分）某中學(xué)人數(shù)相等的甲、乙兩班學(xué)生參加了同一次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)，班平均分和方差分別為X甲＝89分，X乙＝89分，S甲2＝246，S乙2＝191，那么成績較為整齊的是（）A．甲班 B．乙班 C．兩班一樣整齊 D．無法確定【解答】解：甲、乙兩個(gè)班的平均分相同，而S甲2＞S乙2，因此乙班的成績比較整齊，故選：B．3．（3分）已知反比例函數(shù)y=kA．（﹣2，5） B．（3，1） C．（﹣1，10） D．（﹣2，﹣5）【解答】解：∵反比例函數(shù)y=k∴k＝1×10＝10，A、∵（﹣2）×5＝﹣10≠10，∴此點(diǎn)不在反比例函數(shù)的圖象上，不符合題意；B、∵3×1＝3≠10，∴此點(diǎn)不在反比例函數(shù)的圖象上，不符合題意；C、∵（﹣1）×10＝﹣10≠10，∴此點(diǎn)不在反比例函數(shù)的圖象上，不符合題意；D、∵（﹣2）×（﹣5）＝10，∴此點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，符合題意，故選：D．4．（3分）若線段a，b，c，d是成比例線段，且a＝1cm，b＝2cm，c＝4cm，則d＝（）A．8cm B．0.5cm C．2cm D．3cm【解答】解：∵線段a，b，c，d成比例線段，∴a：b＝c：d，即1：2＝4：d，∴d＝8（cm）．故選：A．5．（3分）一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的根的情況為（）A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 C．只有一個(gè)實(shí)數(shù)根 D．沒有實(shí)數(shù)根【解答】解：∵a＝1，b＝﹣1，c＝﹣1，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣1）＝5＞0，∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故選：A．6．（3分）已知△ABC∽△DEF，若∠A＝40°，∠E＝60°，則∠F的度數(shù)為（）A．55° B．60° C．65° D．80°【解答】解：∵△ABC∽△DEF，∠A＝40°，∴∠D＝∠A＝40°，∴∠F＝180°﹣∠D﹣∠E＝180°﹣40°﹣60°＝80°，故選：D．7．（3分）“書是人類進(jìn)步的階梯!”某校為響應(yīng)閱讀活動(dòng)，利用節(jié)假日面向社會(huì)開放學(xué)校圖書館．據(jù)統(tǒng)計(jì)，第一個(gè)月進(jìn)館128人次，進(jìn)館人次逐月增加，第三個(gè)月進(jìn)館608人次，若進(jìn)館人次的月平均增長率相同．若設(shè)進(jìn)館人次的月平均增長率為x，則根據(jù)題意，可列方程是（）A．608（1﹣x）2＝128 B．128（1﹣x）2＝608 C．608（1+x）2＝128 D．128（1+x）2＝608【解答】解：∵第一個(gè)月進(jìn)館128人次，進(jìn)館人次逐月增加，第三個(gè)月進(jìn)館608人次，∴128（1+x）2＝608，故選：D．8．（3分）如圖，已知△A1OB1與△A2OB2位似，且△A1OB1與△A2OB2的周長之比為1：2，點(diǎn)A1的坐標(biāo)為（﹣1，2），則點(diǎn)A2的坐標(biāo)為（）A．（1，﹣4） B．（2，﹣4） C．（﹣4，2） D．（?2【解答】解：∵△A1OB1與△A2OB2的周長之比為1：2，∴△A1OB1與△A2OB2的位似之比為1：2，而點(diǎn)A1的坐標(biāo)為（﹣1，2），∴點(diǎn)A2的坐標(biāo)為（2，﹣4）．故選：B．9．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，則tanB的值為（）A．45 B．35 C．34【解答】解：∵∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，∴tanB=AC故選：D．10．（3分）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別在邊AB，AC上，且AEAB=ADAC=37，則SA．1：3 B．9：49 C．9：40 【解答】解：∵在△ADE與△ACB中，AEAB=ADAC=∴△ADE∽△ACB，∴S△ADE：S△ACB＝（AE：AB）2＝9：49，∴S△ADE：S四邊形BCED＝9：40．故選：C．二、填空題（本大題共8個(gè)小題，每小題3分，共24分；請(qǐng)將答案填在答題卡的答案欄內(nèi)）11．（3分）點(diǎn)A（1，m），B（﹣2，n）在反比例函數(shù)y=?3x的圖象上，則m＜【解答】解：∵反比例函數(shù)的比例系數(shù)為﹣3，∴圖象過二四象限，∵1＞﹣2，∴m＜0，n＞0，∴m＜n故答案為＜．12．（3分）把一元二次方程x（x+2）＝﹣3化成一般形式是x2+2x+3＝0．【解答】解：x（x+2）＝﹣3，x2+2x＝﹣3，x2+2x+3＝0，故答案為：x2+2x+3＝0．13．（3分）已知蓄電池的電壓為定值，使用蓄電池時(shí)，電流I（單位：A）與電阻R（單位：Ω）是反比例函數(shù)關(guān)系，它的圖象如圖所示．若蓄電池電流為2A時(shí)，電阻為18Ω．【解答】解：設(shè)該反比函數(shù)解析式為I=k∴k＝36，∴I=36把I＝2代入得，∴R＝18，故答案為：18．14．（3分）數(shù)學(xué)趣題解答：阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)著作《算術(shù)之鑰》書中，記載著一道頗受阿拉伯人喜愛的數(shù)學(xué)題：“一群人走進(jìn)果園去摘石榴，第一個(gè)人摘了1個(gè)石榴，第二個(gè)人摘了2個(gè)石榴，第三個(gè)人摘了3個(gè)石榴，以此類推，后進(jìn)果園的人都比前面那個(gè)人多摘一個(gè)石榴，這群人剛好把果園的石榴全部摘下來了，如果平均分配，每個(gè)人可以得到10個(gè)石榴，問這群人共有多少19人？”【解答】解：設(shè)這群人共有x人，則共摘了x(1+x)2根據(jù)題意得：x(1+x)2=10整理得：x2﹣19x＝0，解得：x1＝0（不符合題意，舍去），x2＝19，∴這群人共有19人．故答案為：19．15．（3分）在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)定義運(yùn)算“☆”和“★”，其規(guī)則為：a☆b＝a2+b2，a★b=ab2，則方程2☆x＝x★8的解為x1＝x2【解答】解：∵a☆b＝a2+b2，a★b=ab∴2☆x＝22+x2＝4+x2，x★8=8x∵2☆x＝x★8，∴4+x2＝4x，即x2﹣4x+4＝0，∵b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×4＝16﹣16＝0，∴x=4±∴x1＝x2＝2．故答案為：x1＝x2＝2．16．（3分）在△ABC中，∠C＝90°，若tanA=125，則sinA＝12【解答】解：由條件可知BCAC設(shè)BC＝12k，AC＝5k，其中k＞0，∴AB=B∴sinA=BC故答案為：121317．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，斜邊上的高AD交BC于點(diǎn)D，若BD＝9，CD＝6，則AD的長度等于36．【解答】解：由射影定理得，AD2＝BD?CD，則AD2＝9×6＝54，∴AD＝36，故答案為：36．18．（3分）如圖，點(diǎn)A是反比例函數(shù)y=kx(x＞0)圖象上的一點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)A的直線與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)C和點(diǎn)D，過點(diǎn)A作AB⊥y軸于點(diǎn)B，BDOD=12，連接BC【解答】解：設(shè)A（a，ka∴AB＝a，BO=k∵AB⊥y軸，CO⊥y軸，∴AB∥CO．∴ABCO∴CO＝2AB＝2a，BD=13BO又∵S△BCD=12BD?OC=12∴k＝6．故答案為：6．三、解答題（本大題共8個(gè)小題，共66分；解答應(yīng)寫出必要的文字說明、演算步驟或證明過程）19．（6分）計(jì)算：|?8【解答】解：|?=8=22＝﹣3．20．（6分）解方程：（1）（x﹣3）2﹣9＝0；（2）x2﹣7x+10＝0．【解答】解：（1）（x﹣3）2﹣9＝0，（x﹣3）2＝9，∴x﹣3＝±3∴x﹣3＝3或x﹣3＝﹣3，∴x1＝6，x2＝0；（2）x2﹣7x+10＝0，（x﹣2）（x﹣5）＝0，∴x﹣2＝0或x﹣5＝0，∴x1＝2，x2＝5．21．（8分）某校為了解本校學(xué)生對(duì)小說、散文、詩歌、寓言四類書籍的喜愛情況，隨機(jī)抽取了部分學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制了兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖．請(qǐng)根據(jù)圖中信息，解答下列問題：（1）本次被調(diào)查的學(xué)生有200人；（2）請(qǐng)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；（3）在扇形統(tǒng)計(jì)圖中，“寓言”所對(duì)應(yīng)的扇形圓心角是54°；（4）若該校有2600名在校學(xué)生，請(qǐng)你估計(jì)喜愛“小說”的大約有多少人？【解答】解：（1）50÷25%＝200（人），所以本次被調(diào)查的學(xué)生有200人；故答案為：200；（2）喜歡“詩歌”的人數(shù)為200﹣80﹣50﹣30＝40（人），補(bǔ)全統(tǒng)計(jì)圖為：（3）在扇形統(tǒng)計(jì)圖中，“寓言”所對(duì)應(yīng)的扇形圓心角是：360°×30故答案為：54°；（3）2600×80所以估計(jì)喜愛“小說”的大約有1040人．22．（8分）莽山多奇峰，假期某一天，天氣晴好，熱愛戶外運(yùn)動(dòng)的胡老師到莽山公園爬山．有一段山的形狀如圖①，爬山路線示意圖如圖②，胡老師從山腳A出發(fā)，沿AB走400米到B點(diǎn)，再沿BC到山頂C點(diǎn)，已知山高CF為384米，BE∥AF，BD⊥AF，CE⊥BE交AD的延長線于點(diǎn)F，∠1＝30°，∠2＝50°．（圖中所有點(diǎn)均在同一平面內(nèi)）（1）求BD的長；（2）求胡老師從山腳A點(diǎn)到達(dá)山頂C點(diǎn)共走了多少米？（結(jié)果精確到1米）．（參考數(shù)據(jù)：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）【解答】解：（1）∵BD⊥AF，∴∠ADB＝90°，∵∠1＝30°，AB＝400米，∴BD=12∴BD的長為200米；（2）∵CE⊥BE，BD⊥AF，∴∠CEB＝∠BEF＝∠BDF＝90°，∵BE∥AF，∴∠AFE＝∠CEB＝90°，∴四邊形BDFE是矩形，∴BD＝EF＝200米，∵CF＝384米，∴EF＝CF﹣EF＝384﹣200＝184（米），在Rt△CBE中，∠2＝50°，∴BC=CE∵AB＝400米，∴AB+BC＝400+239＝639（米），∴胡老師從山腳A點(diǎn)到達(dá)山頂C點(diǎn)共走了約639米．23．（9分）樂樂同學(xué)的媽媽經(jīng)營了一家童裝專賣店，她在銷售中發(fā)現(xiàn)，一款童裝每件進(jìn)價(jià)為120元，銷售價(jià)為280元時(shí)，平均每天可售出3件，為了迎接“元旦”，商店決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施，以擴(kuò)大銷售量，盡快減少庫存，增加利潤，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，若每件童裝降價(jià)10元，則平均可多售出1件．設(shè)每件童裝降價(jià)10x元．（1）每天可銷售（3+x）件，每件盈利（160﹣10x）元；（用含x的代數(shù)式表示）（2）求每件童裝降價(jià)多少元時(shí)，銷售這款童裝平均每天可盈利840元．【解答】解：（1）根據(jù)題意得：當(dāng)每件童裝降價(jià)10x元時(shí)，每天可銷售3+10x10=（3+x）件，每件盈利280﹣10x故答案為：（3+x），（160﹣10x）；（2）根據(jù)題意得：（160﹣10x）（3+x）＝840，整理得：x2﹣13x+36＝0，解得：x1＝4，x2＝9，又∵要盡快減少庫存，∴x＝9，∴10x＝10×9＝90（元）．答：每件童裝降價(jià)90元時(shí)，銷售這款童裝平均每天可盈利840元．24．（9分）如圖，在正方形ABCD中，在BC邊上取中點(diǎn)E，連接DE，過點(diǎn)E作EF⊥ED交AB于點(diǎn)G、交AD延長線于點(diǎn)F．（1）求證：△ECD∽△DEF；（2）若CD＝4，求AF的長．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，EF⊥ED，∴∠FED＝∠C＝90°，BC∥AD，∴∠CED＝∠FDE，∴△ECD∽△DEF；（2）解：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠C＝90°，AD＝BC＝CD＝4，∵E為BC的中點(diǎn)，∴CE=12在Rt△DCE中，由勾股定理得：DE=CE2∵△ECD∽△DEF，∴CEDE∴22解得：DF＝10，∵AD＝4，∴AF＝DF﹣AD＝10﹣4＝6．25．（10分）綜合與實(shí)踐：如圖1，這個(gè)圖案是我國漢代的趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”，受這幅圖的啟發(fā)，數(shù)學(xué)興趣小組建立了“一線三直角模型”．如圖2，在△ABC中，∠A＝90°，將線段BC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段BD，作DE⊥AB交AB的延長線于點(diǎn)E．（1）【觀察感知】如圖2，通過觀察，線段AB與DE的數(shù)量關(guān)系是DE＝AB；（2）【問題解決】如圖3，連接CD并延長交AB的延長線于點(diǎn)F，若AB＝1，AC＝3，求△BDF的面積；（3）【拓展延伸】在（2）的條件下，連接CE交BD于點(diǎn)N，則BNBC=9【解答】解：（1）DE＝AB，理由：∵將線段BC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段BD，作DE⊥AB交AB的延長線于點(diǎn)E．∵∠CBD＝90°，∴∠ABC+∠DBE＝90°，∴∠A＝90°，∴∠ABC+∠ACB＝90°，∴∠DBE＝∠ACB，在△ABC和△EDB中，∠ACB=∠DBE∠A=∠DEB=90°∴△ABC≌△EDB（AAS），∴DE＝AB，故答案為：DE＝AB；（2）解：∵∠CBD＝90°，∴∠ABC+∠DBE＝90°，∴∠A＝90°，∴∠ABC+∠ACB＝90°，∴∠DBE＝∠ACB，在△ABC和△EDB中，∠ACB=∠DBE∠A=∠DEB=90°∴△ABC≌△EDB（AAS），∴DE＝AB，BE＝AC，∵AB＝1，AC＝3，∴DE＝1，BE＝3，∴AE＝AB+BE＝1+3＝4，∵∠DEB+∠A＝180°，∴DE∥AC，∴△DEF∽△CAF，∴DEAC∴13∴EF＝2，∴BF＝BE+EF＝3+2＝5，∴S△BDF=1（3）如圖所示，連接CE，交BD于點(diǎn)N，過點(diǎn)N作MN⊥AF于點(diǎn)M，∵∠A＝∠BMN＝90°，∠ACB＝90°﹣∠ABC＝∠NBM，∴△ABC∽△MNB，∴BNBC即BNBC即MN=13又∵M(jìn)N∥AC，∴△EMN∽△ECA，∴ME設(shè)BM＝x，則ME＝BE﹣BM＝3﹣x，3?x4解得x=27∴BNBC故答案為：91326．（10分）我們不妨約定，如果三條線段a，b，c的長度滿足一條線段長的倒數(shù)是另兩條線段長的倒數(shù)和，那么稱線段a，b，c為“和諧三線”，例如，長度為1，1，12（1）如圖1，若點(diǎn)