成都二診文數試題及答案姓名：____________________

一、選擇題（每題[3]分，共[30]分）

1.若函數$f(x)=x^3-3x+1$，則$f'(1)$的值為（）

A.0B.1C.-1D.-2

2.若$\lim_{x\to0}\frac{e^x-1-x}{x^2}$等于（）

A.0B.$\frac{1}{2}$C.1D.$\frac{1}{3}$

3.在$\triangleABC$中，若$a^2+b^2=2c^2$，則$C$角的度數為（）

A.$45^\circ$B.$60^\circ$C.$90^\circ$D.$120^\circ$

4.若$a$，$b$，$c$是等差數列，且$a+b+c=15$，$b-c=3$，則$a^2+b^2+c^2$的值為（）

A.45B.50C.55D.60

5.若$x^2+y^2=1$，則$x^2+2xy+y^2$的最大值為（）

A.1B.2C.$\sqrt{2}$D.3

6.若$x$，$y$是方程$x^2-5x+6=0$的兩個根，則$x+y$的值為（）

A.2B.3C.4D.5

7.若$\log_2(x+3)=\log_2(2x-1)$，則$x$的值為（）

A.1B.2C.3D.4

8.若$f(x)=ax^2+bx+c$，且$f(1)=2$，$f(2)=6$，$f(3)=12$，則$a$，$b$，$c$的值分別為（）

A.1，2，1B.1，3，2C.1，4，3D.1，5，4

9.若$f(x)=\frac{x}{x-1}$，則$f'(1)$的值為（）

A.0B.1C.-1D.不存在

10.若$f(x)=e^{2x}-e^{-2x}$，則$f'(0)$的值為（）

A.0B.1C.2D.不存在

二、填空題（每題[2]分，共[20]分）

1.若$a^2-2a-3=0$，則$a^3-2a^2-3a$的值為______。

2.若$\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}$等于______。

3.在$\triangleABC$中，若$a=3$，$b=4$，$c=5$，則$\cosA$的值為______。

4.若$a$，$b$，$c$是等差數列，且$a+b+c=9$，$b-c=3$，則$a^2+b^2+c^2$的值為______。

5.若$x^2+y^2=1$，則$x^2+2xy+y^2$的最小值為______。

6.若$x$，$y$是方程$x^2-5x+6=0$的兩個根，則$x\cdoty$的值為______。

7.若$\log_2(x+3)=\log_2(2x-1)$，則$x-3$的值為______。

8.若$f(x)=ax^2+bx+c$，且$f(1)=2$，$f(2)=6$，$f(3)=12$，則$a+b+c$的值為______。

9.若$f(x)=\frac{x}{x-1}$，則$f'(2)$的值為______。

10.若$f(x)=e^{2x}-e^{-2x}$，則$f'(0)$的值為______。

四、解答題（每題[10]分，共[50]分）

1.已知函數$f(x)=x^3-3x+1$，求$f'(x)$并求$f(x)$在$x=1$處的切線方程。

2.求解方程組$\begin{cases}2x+3y=5\\4x-y=1\end{cases}$。

3.若$a$，$b$，$c$是等差數列，且$a+b+c=15$，$b-c=3$，求$a$，$b$，$c$的值。

4.若$x^2+y^2=1$，求$x^2+2xy+y^2$的最大值和最小值。

5.若$x$，$y$是方程$x^2-5x+6=0$的兩個根，求$x+y$和$x\cdoty$的值。

五、證明題（每題[10]分，共[20]分）

1.證明：對于任意實數$x$，有$(x+1)^2\geq4x+1$。

2.證明：對于任意實數$x$，有$\log_a(x+1)>\log_a(x)$當且僅當$0<a<1$。

六、應用題（每題[10]分，共[20]分）

1.已知$f(x)=x^3-3x+1$，求$f(x)$在區間$[1,3]$上的最大值和最小值。

2.一批貨物共有$120$件，每天可以生產$20$件，已知每件貨物的生產成本為$10$元，每件貨物的銷售價格為$15$元，求每天最多可以生產多少件貨物以獲得最大利潤。

試卷答案如下：

一、選擇題答案及解析思路：

1.答案：A

解析思路：對函數$f(x)=x^3-3x+1$求導得$f'(x)=3x^2-3$，代入$x=1$得$f'(1)=0$。

2.答案：B

解析思路：根據洛必達法則，$\lim_{x\to0}\frac{e^x-1-x}{x^2}=\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{2x}=\lim_{x\to0}\frac{e^x}{2}=\frac{1}{2}$。

3.答案：C

解析思路：由余弦定理$c^2=a^2+b^2-2ab\cosC$，代入$a^2+b^2=2c^2$得$\cosC=\frac{1}{2}$，故$C=90^\circ$。

4.答案：C

解析思路：由等差數列的性質$a+b+c=3b$，代入$b-c=3$得$b=6$，$a=3$，$c=3$，故$a^2+b^2+c^2=3^2+6^2+3^2=45$。

5.答案：C

解析思路：由不等式$x^2+y^2\geq2xy$，得$x^2+2xy+y^2\geq2xy+2xy=4xy$，當$x=y$時取等號，故最大值為$2$。

6.答案：B

解析思路：由韋達定理，$x+y=5$。

7.答案：C

解析思路：由對數函數的性質，$\log_2(x+3)=\log_2(2x-1)$，得$x+3=2x-1$，解得$x=4$。

8.答案：B

解析思路：由韋達定理，$a+b+c=1+2+3=6$。

9.答案：D

解析思路：由于$f(x)$在$x=1$處無定義，故$f'(1)$不存在。

10.答案：C

解析思路：由導數的定義，$f'(0)=\lim_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\to0}\frac{e^{2x}-e^{-2x}}{x}=2$。

二、填空題答案及解析思路：

1.答案：$-4$

解析思路：由等差數列的性質，$a^3-2a^2-3a=a(a^2-2a-3)=a\cdot0=0$。

2.答案：$1$

解析思路：根據極限的定義，$\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=\lim_{x\to0}\frac{x}{x}=1$。

3.答案：$\frac{1}{2}$

解析思路：由余弦定理，$\cosA=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{4^2+5^2-3^2}{2\cdot4\cdot5}=\frac{1}{2}$。

4.答案：$45$

解析思路：由等差數列的性質，$a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+ac+bc)=15^2-2\cdot3\cdot3=45$。

5.答案：$1$

解析思路：由不等式$x^2+y^2\geq2xy$，得$x^2+2xy+y^2\geq2xy+2xy=4xy$，當$x=y$時取等號，故最小值為$1$。

6.答案：$6$

解析思路：由韋達定理，$x\cdoty=6$。

7.答案：$2$

解析思路：由對數函數的性質，$\log_2(x+3)=\log_2(2x-1)$，得$x+3=2x-1$，解得$x=4$，故$x-3=1$。

8.答案：$6$

解析思路：由韋達定理，$a+b+c=1+2+3=6$。

9.答案：$1$

解析思路：由導數的定義，$f'(2)=\lim_{x\to2}\frac{f(x)-f(2)}{x-2}=\lim_{x\to2}\frac{x}{x-1}=1$。

10.答案：$2$

解析思路：由導數的定義，$f'(0)=\lim_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\to0}\frac{e^{2x}-e^{-2x}}{x}=2$。

四、解答題答案及解析思路：

1.答案：$f'(x)=3x^2-3$，切線方程為$y=0$。

解析思路：對函數$f(x)=x^3-3x+1$求導得$f'(x)=3x^2-3$，代入$x=1$得$f'(1)=0$，故切線斜率為$0$，切線方程為$y=0$。

2.答案：$x=2$，$y=1$。

解析思路：將方程組$\begin{cases}2x+3y=5\\4x-y=1\end{cases}$中的第一個方程乘以$2$，得$\begin{cases}4x+6y=10\\4x-y=1\end{cases}$，兩式相減得$7y=9$，解得$y=1$，代入第一個方程得$x=2$。

3.答案：$a=3$，$b=6$，$c=3$。

解析思路：由等差數列的性質$a+b+c=3b$，代入$b-c=3$得$b=6$，$a=3$，$c=3$。

4.答案：最大值為$2$，最小值為$1$。

解析思路：由不等式$x^2+y^2\geq2xy$，得$x^2+2xy+y^2\geq2xy+2xy=4xy$，當$x=y$時取等號，故最大值為$2$，最小值為$1$。

5.答案：$x+y=5$，$x\cdoty=6$。

解析思路：由韋達定理，$x+y=5$，$x\cdoty=6$。

五、證明題答案及解析思路：

1.答案：證明如下：

解析思路：將不等式$(x+1)^2\geq4x+1$展開得$x^2+2x+1\geq4x+1$，化簡得$x^2-2x\geq0$，即$x(x-2)\geq0$，故原不等式成立。

2.答案：證明如下：

解析思路：當$0<a<1$時，$\log_a(x+1)>\log_a(x)$，當且僅當$x+1>x$，即$x>0$。故原命題成立。

六、應用題答案及解析思路