第六節(jié)方差分析的基本假定和數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換

方差分析必須滿足一定條件方可進行。一、方差分析的基本假定：

1、效應的可加性（Additivity）

方差分析的模型均為線性可加模型，要求各種變異來源的效應是“可加的”，因而試驗觀測值總平方和與自由度可以線性分解。如：倍性關(guān)系不符合“可加性”，如細菌的繁殖試驗。

2、試驗誤差的正態(tài)性（Normality）

據(jù)

F分布的定義可知,樣本為正態(tài)總體的一個隨機樣本。試驗誤差應該是相互獨立的，且服從正態(tài)分布N(0，σ2)。二項分布(百分數(shù)/次數(shù)）的誤差不具有正態(tài)性。3、誤差方差的同質(zhì)性（Homogenity）

即各個處理所在總體的方差σ2

應是同質(zhì)的。只有這樣，才能將各個處理內(nèi)的均方加權(quán)成合并均方，以此做為測驗各處理差異顯著性的誤差均方。如何判斷資料是否符合基本假定？

1、憑對資料的了解如二項資料平均數(shù)與標準差有相關(guān)性。

2、方差的同質(zhì)性測驗

簡便方法：選取大、中、小處理，簡單求其平均數(shù)和方差（或極差），判斷方差是否相差太大，或與平均數(shù)是否相關(guān)。

科學方法：卡平方測驗（第七章）。

對不符合基本條件的資料，可采取以下措施：

1、剔除某些表現(xiàn)“特殊”的觀察值。

2、將全試驗誤差分解為幾個較為同質(zhì)的試驗誤差，分別進行方差分析。

3、采用幾個觀察值的平均數(shù)作方差分析。

4、采用相應的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換，用轉(zhuǎn)換后的數(shù)據(jù)作方差分析。二、數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換(transformationofdata)

1、平方根轉(zhuǎn)換適用于樣本平均數(shù)與其方差之間有某種函數(shù)關(guān)系的資料，尤其是呈泊松分布的次數(shù)資料。轉(zhuǎn)換的方法是求出原數(shù)據(jù)x的平方根。若原觀測值中有0的數(shù)或多數(shù)觀測值小于10，則把原數(shù)據(jù)變換成，對于穩(wěn)定方差，使方差符合同質(zhì)性的作用更加明顯。變換也有利于滿足效應的可加性和誤差的正態(tài)性要求。【例題】一定面積燕麥田中（A1、A2、A3、A4、A5）的雜草株數(shù)調(diào)查結(jié)果見下表。試進行方差分析。處理A1A2A3A4A514385387717182442422613126331937715187774380315521620395413853835δ

94

45

28燕麥田中某種雜草株數(shù)的平方根處理A1A2A3A4A5120.923.28.84.14.2221.020.57.85.65.1317.919.412.39.38.8419.517.77.24.04.519.820.29.05.85.7δ2.32.32.1方差分析表變異來源

dfSSMSFF0.05F0.01處理間誤差總變異41519866.6669.99936.65216.664.66746.43**3.064.892、對數(shù)轉(zhuǎn)換

如果各組數(shù)據(jù)表現(xiàn)的效應呈倍加性或可乘性，或者樣本平均數(shù)與其標準差(或全距)大體成比例，則將原數(shù)據(jù)（X）變換為對數(shù)(lgx或lnx)后，可以使方差變成比較一致而且使效應由相乘性變成相加性。如果原數(shù)據(jù)包括有0且大部分數(shù)據(jù)小于10，可以采用lg(x+1)變換的方法。一般而言，對數(shù)轉(zhuǎn)換對于削弱大變數(shù)的作用要比平方根轉(zhuǎn)換更強。例如變數(shù)1、10、100作平方根轉(zhuǎn)換是1、3.16、10，作對數(shù)轉(zhuǎn)換則是0、1、2。不同時期的觀察值極差相差很大，且與平均數(shù)近于正比關(guān)系。對數(shù)轉(zhuǎn)換后三個極差較為接近，且與平均數(shù)無關(guān)。3、反正弦轉(zhuǎn)換

如果資料是二項分布的百分數(shù)資料，這一分布的方差與平均數(shù)相關(guān)。轉(zhuǎn)換的方法是求出每個原數(shù)據(jù)(百分數(shù)或小數(shù)表示)的反正弦。若資料中的百分數(shù)介于30%-70%，因資料的分布接近于正態(tài)分布，可不轉(zhuǎn)換。

各種百分數(shù)的反正弦轉(zhuǎn)化可查附表10（P353-354）。【例題】

下表為黃河流域甲、乙、丙三個地區(qū)棉花黃萎病發(fā)病率資料，試對資料進行方差分析。這是服從二項分布的百分率資料，且有低于30%和高于70%的，應先對百分率資料作反正弦轉(zhuǎn)換。

資料的反正弦轉(zhuǎn)換值Ti測驗結(jié)果表明，甲地區(qū)黃萎病發(fā)病率64.2%，極顯著高于乙地區(qū)（29.0%）和丙地區(qū)（22.8%），乙地區(qū)與丙地區(qū)黃萎病發(fā)病率差異不顯著。以上介紹了三種數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換常用方法。對于一般非連續(xù)性的資料，最好在方差分析前先檢查各處理平均數(shù)與相應處理內(nèi)均方是否存在相關(guān)性和各處理均方間的變異是否較大。如果存在相關(guān)性，或者數(shù)據(jù)變