專題8.3簡(jiǎn)單幾何體的表面積與體積【八大題型】【人教A版（2019）】TOC\o"1-3"\h\u【題型1棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積與體積】 2【題型2圓柱、圓錐、圓臺(tái)的表面積與體積】 5【題型3球的表面積與體積】 7【題型4組合體的表面積與體積】 9【題型5球的截面問題】 13【題型6幾何體的外接球問題】 16【題型7幾何體的內(nèi)切球問題】 20【題型8實(shí)際應(yīng)用問題】 23【知識(shí)點(diǎn)1簡(jiǎn)單幾何體的表面積與體積】1．多面體的側(cè)面積、表面積和體積多面體圖形側(cè)面積與表面積體積棱柱直棱柱的側(cè)面展開圖是矩形，

S直棱柱側(cè)=Ch(C為底面周長(zhǎng)，h為高)，

S直棱柱表=S直棱柱+2S底(S底為底面面積)V柱=S底h(S底為底面面積，h為高)棱錐正棱錐的側(cè)面展開圖是一些全等的等腰三角形，S正棱錐側(cè)Ch'(C為底面周長(zhǎng)，h'為斜高)，S正棱錐表=S正棱錐側(cè)+S底(S底為底面面積)(S底為底面面積，h為高)棱臺(tái)正棱臺(tái)的側(cè)面展開圖是一些全等的等腰梯形，S正棱臺(tái)側(cè)(C+C')h'(C'、C分別為上、下底面的周長(zhǎng)，h'為斜高)，S正棱臺(tái)表=S正棱臺(tái)側(cè)+S+S′(S′、S分別為上、下底面面積)(S'、S分別為上、下底面面積，h為棱臺(tái)的高)2．旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積、表面積和體積旋轉(zhuǎn)體圖形側(cè)面積與表面積體積圓柱圓柱的側(cè)面展開圖是矩形，S圓柱側(cè)=2πrl，表面積S=2πr2+2πrl=2πr(r+l)體積V=S底h(S底為底面面積，h為高)圓錐圓錐的側(cè)面展開圖是扇形，S圓錐側(cè)=πrl，表面積

S=πr2+πrl=πr(r+l)體積V=S底h(S底為底面面積，h為高)圓臺(tái)圓臺(tái)的側(cè)面展開圖是扇環(huán)，S圓臺(tái)側(cè)=π(r1+r2)l，

表面積體積(S'、S分別為上、下底面面積，h為圓臺(tái)的高)球半徑為R的球的表面積S=4πR2半徑為R的球的體積3．空間幾何體表面積與體積的常見求法(1)常見的求幾何體體積的方法

①公式法：直接代入公式求解.

②等體積法：四面體的任何一個(gè)面都可以作為底面，只需選用底面面積和高都易求出的形式即可.

③補(bǔ)體法：將幾何體補(bǔ)成易求解的幾何體，如棱錐補(bǔ)成棱柱，三棱柱補(bǔ)成四棱柱等.

④分割法：將幾何體分割成易求解的幾部分，分別求體積.

(2)求組合體的表面積與體積的方法

求組合體的表面積的問題，首先應(yīng)弄清它的組成部分，其表面有哪些底面和側(cè)面，各個(gè)面的面積應(yīng)該怎樣求，然后根據(jù)公式求出各個(gè)面的面積，最后相加或相減.求體積時(shí)也要先弄清各組成部分，求出各簡(jiǎn)單幾何體的體積，再相加或相減.【題型1棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積與體積】【例1】（24-25高一下·全國·課后作業(yè)）如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1的八個(gè)頂點(diǎn)中，有四個(gè)頂點(diǎn)A，B1，C，D1恰好是正四面體的頂點(diǎn)，則此正四面體的表面積與正方體的表面積之比為（

）A．3:1 B．1:2 C．6:2【解題思路】設(shè)出正方體的棱長(zhǎng)，求出正方體的表面積，再求正四面體的表面積，求比值即可．【解答過程】設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，則正方體的表面積是6a正四面體A?B1CD1的棱長(zhǎng)為2因此正四面體的表面積與正方體的表面積之比為1:3故選：D．【變式1-1】（23-24高一下·天津?yàn)I海新·階段練習(xí)）廡殿頂是中國古代傳統(tǒng)建筑中的一種屋頂形式，宋代稱為“五脊殿”、“吳殿”，清代稱為“四阿殿”（1）所示.現(xiàn)有如圖（2）所示的廡殿頂式幾何體ABCDMN，其中正方形ABCD的邊長(zhǎng)為3，MN//AB,MN=32，且MN到平面ABCD的距離為2，則幾何體A．274 B．94 C．52【解題思路】將幾何體ABCDMN分割為一個(gè)三棱柱ADM?FEN和一個(gè)四棱錐N?FBCE，由柱體和錐體的體積公式，計(jì)算可得所求值.【解答過程】解：取AB,CD的中點(diǎn)F,E，連接EF，可得幾何體ABCDMN分割為一個(gè)三棱柱ADM?FEN和一個(gè)四棱錐N?FBCE，將三棱柱ADM?FEN補(bǔ)成一個(gè)底面與矩形ADEF全等的矩形的平行六面體，可得該三棱柱的體積為平行六面體的一半，則三棱柱ADM?FEN的體積為12四棱錐N?FBCE的體積為13則幾何體ABCDMN的體積為3+9故選：D.【變式1-2】（23-24高一下·吉林·期末）中國國家館以“城市發(fā)展中的中華智慧”為主題，表現(xiàn)出了“東方之冠，鼎盛中華，天下糧倉，富庶百姓”的中國文化精神與氣質(zhì).如圖，現(xiàn)有一個(gè)類似中國國家館結(jié)構(gòu)的正四棱臺(tái)ABCD?A1B1C1D1，A．2823 B．282 C．28【解題思路】由正四棱臺(tái)的側(cè)面積求出斜高，再求出高及體積.【解答過程】取正四棱臺(tái)ABCD?A1B1C1D連接OO1,OE,EE1依題意，SBCC1在直角梯形OEE1O則OO所以正四棱臺(tái)ABCD?A1B故選：A.【變式1-3】（23-24高一下·安徽馬鞍山·期中）已知點(diǎn)P為三棱柱ABC?A1B1C1側(cè)棱AA1上靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)，若四棱錐A．5V4 B．4V3 C．3V2【解題思路】設(shè)三棱柱ABC?A1B1C1的高為【解答過程】設(shè)三棱柱ABC?A1B因?yàn)辄c(diǎn)P為三棱柱ABC?A1B1C所以點(diǎn)P到平面ABC的距離為13?，到平面A1所以VP?ABC因?yàn)閂ABC?所以VP?ABC因?yàn)閂P?BC所以VABC?得VABC?故選：C.【題型2圓柱、圓錐、圓臺(tái)的表面積與體積】【例2】（23-24高一下·江蘇常州·期末）已知圓柱的底面半徑為2cm，體積為12πcm3，則該圓柱的表面積為（A．12πcm B．16πcm2 C．18【解題思路】根據(jù)圓柱的表面積和體積公式即可求解.【解答過程】設(shè)圓柱的高為?，因?yàn)閳A柱的底面半徑為2cm，體積為12πcm3，則圓柱的底面周長(zhǎng)為V=s??4π?=12π故選：D.【變式2-1】（23-24高一下·廣西南寧·期末）已知圓錐的底面半徑為2，其側(cè)面展開圖為一個(gè)半圓，則該圓錐的體積為（

）A．63π B．263π 【解題思路】由側(cè)面展開圖求得母線長(zhǎng)后求得圓錐的高，再由體積公式計(jì)算．【解答過程】設(shè)圓錐母線長(zhǎng)為l，高為?，底面半徑為r=2則由2π×2=π所以V=1故選：B．【變式2-2】（23-24高一下·陜西寶雞·期末）如圖，圓錐PO的底面直徑和高均是4，過PO的中點(diǎn)O1作平行于底面的截面，以該截面為底面挖去一個(gè)圓柱，則剩下幾何體的表面積為（

A．4+45π C．8+45π 【解題思路】通過圓錐的底面半徑和高，可求出圓柱的高和底面半徑，再結(jié)合圓錐的表面積與圓柱的側(cè)面積可求得剩下幾何體的表面積.【解答過程】設(shè)圓柱的底面半徑為r，高為h，則r=12×2=1圓錐的母線長(zhǎng)為22過PO的中點(diǎn)作平行于底面的截面，以該截面為底面挖去一個(gè)圓柱，則剩下的幾何體的表面積為π故選：C.【變式2-3】（23-24高一下·廣東廣州·階段練習(xí)）已知母線長(zhǎng)為a的圓錐的側(cè)面展開圖為半圓，在該圓錐內(nèi)放置一個(gè)圓柱，則當(dāng)圓柱的側(cè)面積最大時(shí)，圓柱的體積為（

）A．3πa364 B．3πa【解題思路】根據(jù)側(cè)面展開圖為半圓可求底面半徑，再求出圓柱的底面半徑和高的關(guān)系后可求何時(shí)側(cè)面最大，從而可求此時(shí)圓柱的體積.【解答過程】設(shè)圓錐底面半徑為r，則2πr=12故圓錐的高為3a2，設(shè)圓柱底面半徑為r1，則r其中0<?<32a而?32a??故圓柱的側(cè)面積取最大值時(shí)，?=34a此時(shí)體積為π×故選：A.【題型3球的表面積與體積】【例3】（23-24高一下·安徽六安·期末）已知正四棱錐OABCD的體積為322，底面邊長(zhǎng)為3，則以O(shè)為球心，OA為半徑的球的體積為（A．6π B．26π C．4【解題思路】根據(jù)棱錐的體積公式，結(jié)合正四棱錐的性質(zhì)、勾股定理、球的體積公式進(jìn)行求解即可.【解答過程】設(shè)O在底面的射影為H，則OH為該正棱錐的高，因?yàn)檎睦忮FOABCD的體積為322，底面邊長(zhǎng)為所以有32因?yàn)樵谠撜睦忮F中，底面是正方形，所以AH=1因此由勾股定理可得OA=A所以O(shè)A為半徑的球的體積為43故選：D.【變式3-1】（23-24高一下·浙江杭州·期中）已知球的體積為4π3，則該球的表面積為（A．6π B．92π C．4【解題思路】根據(jù)求得體積和表面積公式求解.【解答過程】根據(jù)題意，V=4π3則該球的表面積為S=4π故選：C.【變式3-2】（2024高二下·河北·學(xué)業(yè)考試）已知A是球O的球面上一點(diǎn)，過線段OA的中點(diǎn)O1作垂直于直線OA的平面，若該球被這個(gè)平面截得的圓面的面積為9π，則該球的表面積是（A．12π B．36π C．48π【解題思路】本題涉及球的截面相關(guān)概念.球的截面是一個(gè)圓，根據(jù)圓的面積公式S=πr2（其中S為面積，r為半徑），可求出截面圓的半徑.再利用球的截面性質(zhì)，設(shè)球的半徑為R，截面圓半徑為r，球心到截面的距離d（這里d=R2），通過勾股定理R【解答過程】已知截面圓的面積為9π，根據(jù)圓的面積公式S=πr2，可得設(shè)球的半徑為R，因?yàn)镺1是OA的中點(diǎn)，所以球心O到截面的距離d=根據(jù)勾股定理R2=r2+R2=32+R22,則根據(jù)球的表面積公式S=4πR2S=4π×【變式3-3】（23-24高一下·河北邢臺(tái)·期中）如圖，圓錐SO的頂點(diǎn)及底面圓的圓周都在球M的球面上，且圓錐SO的母線長(zhǎng)和底面圓的直徑均為2，則球M的表面積為（

）

A．π B．4π C．8π3【解題思路】作出輔助線，求出各邊長(zhǎng)，利用勾股定理列出方程，求出半徑，得到表面積.【解答過程】如圖，連接AM，由題意可得OA=1，SA=2，由勾股定理得OS=S設(shè)SM=AM=r．因?yàn)镺M2+OA2所以球M的表面積為4π

故選：D.【題型4組合體的表面積與體積】【例4】（23-24高一下·四川成都·期中）遼寧省博物館收藏的商晚期饕餮紋大圓鼎(如圖1)出土于遼寧省略左縣小波汰溝．此鼎直耳，深腹，柱足中空，胎壁微薄，口沿下及足上端分別飾單層獸面紋，足有扉棱，耳、腹、足皆有炱痕．它的主體部分可以近似地看作是半球與中空無蓋圓柱的組合體(忽略鼎壁厚度)，如圖2所示．已知球的半徑為R，圓柱的高近似于半球的半徑，則此鼎主體部分的容積與外表面積之比約為（

）A．23R B．712R C．【解題思路】利用球體、圓柱體體積公式和球體表面積，圓柱體側(cè)面積公式可得答案.【解答過程】由球的半徑為R，則圓柱體的高為R此鼎主體部分的容積約為：1此鼎主體部分外表面積約為：1所以此鼎主體部分的容積與外表面積之比約為：5故選：D.【變式4-1】（23-24高一下·海南海口·期末）陀螺是中國民間較早的娛樂工具之一，它可以近似地視為由一個(gè)圓錐和一個(gè)圓柱組合而成的幾何體，如圖1是一種木陀螺，其直觀圖如圖2所示，P為圓錐的頂點(diǎn)，A，B分別為圓柱上、下底面圓的圓心，若圓錐的底面周長(zhǎng)為6π，高為3，圓柱的母線長(zhǎng)為4，則該幾何體的表面積為（

A．33+92π B．24+92π C．【解題思路】設(shè)圓錐（圓柱）的底面圓的半徑為r，圓錐的母線為l，根據(jù)圓錐的底面周長(zhǎng)求出r，再由勾股定理求出l，最后由表面積公式計(jì)算可得.【解答過程】設(shè)圓錐（圓柱）的底面圓的半徑為r，圓錐的母線為l，依題意可得2πr=6π所以l=3所以該幾何體的表面積S=π故選：A.【變式4-2】（23-24高一下·廣東云浮·期中）如圖是一個(gè)獎(jiǎng)杯的直觀圖，它由球?長(zhǎng)方體和正四棱臺(tái)構(gòu)成．已知球的半徑為4cm，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)?寬和高分別為8cm,6

(1)求下部分正四棱臺(tái)的側(cè)面積；(2)求獎(jiǎng)杯的體積．（結(jié)果取整數(shù)，π取3）【解題思路】（1）首先求出斜率，再由梯形面積公式計(jì)算可得；（2）根據(jù)球、柱體、臺(tái)體的體積公式計(jì)算可得.【解答過程】（1）因?yàn)檎睦馀_(tái)的上、下底面邊長(zhǎng)和高分別為11cm，15cm，則該四棱臺(tái)的斜高為15?1122+所以正四棱臺(tái)的側(cè)面積為4×1（2）因?yàn)閂正四棱臺(tái)=1V長(zhǎng)方體=6×8×18=864cm所以這個(gè)獎(jiǎng)杯的體積V=V所以這個(gè)獎(jiǎng)杯的體積約為1972cm【變式4-3】（23-24高一下·貴州六盤水·期中）亭子是一種中國傳統(tǒng)建筑，多建于園林，人們?cè)谛蕾p美景的同時(shí)也能在亭子里休息、避雨、乘涼（如圖1）.某學(xué)生到工廠勞動(dòng)實(shí)踐，利用3D打印技術(shù)制作一個(gè)亭子模型（如圖2），該模型為圓錐PO1與圓柱OO1構(gòu)成的幾何體Ω（圓錐PO1的底面與圓柱OO1的上底面重合）.已知圓錐PO1的高為18cm，母線長(zhǎng)為30cm，其側(cè)面展開圖是一個(gè)圓心角為(1)求圓錐PO(2)求幾何體Ω的體積.【解題思路】（1）由勾股定理求出圓錐底面半徑，然后由側(cè)面積公式求解即可；（2）分別求出圓錐，圓柱的體積，然后求和即可求出幾何體Ω的體積.【解答過程】（1）因?yàn)閳A錐PO所以圓錐底面半徑為r=30所以圓錐PO1（2）由（1）可知，圓錐POV1圓柱OO1的體積為：所以幾何體Ω的體積為：V1【知識(shí)點(diǎn)2球的截面、幾何體與球的切、接問題】1．球的截面(1)球的截面形狀

①當(dāng)截面過球心時(shí)，截面的半徑即球的半徑，此時(shí)球的截面就是球的大圓；

②當(dāng)截面不過球心時(shí)，截面的半徑小于球的半徑，此時(shí)球的截面就是球的小圓.

(2)球的截面的性質(zhì)

①球心和截面圓心的連線垂直于截面；

②球心到截面的距離d與球的半徑R及截面的半徑r之間滿足關(guān)系式：.

圖形解釋如下：

在球的軸截面圖中，截面與球的軸截面的關(guān)系如圖所示.若設(shè)球的半徑為R，以O(shè)'為圓心的截面的半徑為r，OO'=d.則在Rt△OO'C中，有，即.2．幾何體與球的切、接問題常見的與球有關(guān)的組合體問題有兩種：一種是內(nèi)切球，另一種是外接球.

常見的幾何體與球的切、接問題的解決方案：【題型5球的截面問題】【例5】（23-24高一下·貴州安順·期末）已知球O的體積為36π，球O被一個(gè)平面所截得的截面面積為5π，則球心A．1 B．2 C．3 D．4【解題思路】根據(jù)給定條件，求出球半徑及截面小圓半徑即可得解.【解答過程】設(shè)球O的半徑為R，則4π3R由截面圓面積為5π，得截面圓半徑r=所以球心O到該截面的距離d=R故選：B.【變式5-1】（2024·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）球面被平面所截得的一部分叫做球冠（如圖）.球冠是曲面，是球面的一部分.截得的圓叫做球冠的底，垂直于截面的直徑被截得的一段叫做球冠的高.阿基米德曾在著作《論球與圓柱》中記錄了一個(gè)被后人稱作“Archimedes’Hat-BoxTheorem”的定理：球冠的表面積=2πR?（如上圖，這里的表面積不含底面的圓的面積）.某同學(xué)制作了一個(gè)工藝品，如下圖所示.該工藝品可以看成是一個(gè)球被一個(gè)棱長(zhǎng)為4的正方體的六個(gè)面所截后剩余的部分（球心與正方體的中心重合），即一個(gè)球去掉了6個(gè)球冠后剩下的部分.若其中一個(gè)截面圓的周長(zhǎng)為2πA．20π B．245?34π C．【解題思路】設(shè)截面圓半徑為r，球的半徑為R，求出截面圓的半徑，利用幾何關(guān)系可求出球體的半徑，求出球體的表面積和一個(gè)球冠的表面積，再利用球體的表面積減去6個(gè)球冠的表面積并加上6個(gè)截面圓的面積可得出該實(shí)心工藝品的表面積.【解答過程】設(shè)截面圓半徑為r，球的半徑為R，則球心到某一截面的距離為正方體棱長(zhǎng)的一半即此距離為2，根據(jù)截面圓的周長(zhǎng)可得2π=2πr，得r=1，故所以球的表面積S=20π如圖，OA=OB=R=5，且OO2得所截的一個(gè)球冠表面積S1且截面圓面積為π×所以工藝品的表面積S′故選：B.【變式5-2】（23-24高一下·河南駐馬店·期末）已知正四面體P?ABC內(nèi)接于球O，E為底面三角形ABC中邊BC的中點(diǎn)，過點(diǎn)E作球O的截面，若存在半徑為23的截面圓，則此四面體的棱長(zhǎng)的取值范圍（

A．[22,23] B．[23,2【解題思路】根據(jù)條件設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為a，用棱長(zhǎng)a表示出其外接球的半徑R=64a，過E點(diǎn)作外接球O的截面，只有當(dāng)OE⊥截面圓所在的平面時(shí)，截面圓的面積最小，此時(shí)此時(shí)截面圓的半徑為r=12【解答過程】如圖，在正四面體P?ABC中，設(shè)頂點(diǎn)P在底面的射影為O1則球心O在PO1上，O1在AE上，且AO1設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為a，則AE=3則正四面體的高PO設(shè)外接球半徑為R，在Rt△OO1A中，OA∴在Rt△OO1過E點(diǎn)作外接球O的截面，只有當(dāng)OE⊥截面圓所在的平面時(shí)，截面圓的面積最小，此時(shí)截面圓的半徑為r=R最大截面圓為過球心的大圓，半徑為R=6由題設(shè)存在半徑為23的截面圓，∴12a≤2故選:C.【變式5-3】（2024·云南曲靖·模擬預(yù)測(cè)）正方體ABCD?A1B1C1D1外接球的體積為43π，E、A．5π3 B．4π3 C．【解題思路】由已知，得到正方體ABCD?A1B【解答過程】

設(shè)正方體ABCD?A1B1C因?yàn)檎襟wABCD?A1B所以43πR由3a2=設(shè)球心O到平面EFG的距離為?，平面EFG截球的截面圓的半徑為r，設(shè)A1到平面EFG的距離為?因?yàn)镋、F、G分別為棱AA所以△EFG是邊長(zhǎng)為2的正三角形,由VA1?EFG則13解得?′=3所以A1到平面EFG的距離為?則?=OAr2所以平面EFG截球的截面面積為，πr故選：A.【題型6幾何體的外接球問題】【例6】（2024·安徽馬鞍山·模擬預(yù)測(cè)）已知三棱錐P-ABC中，PA=PB=PC=5?，?AC=A．9π2 B．125π16 C．【解題思路】根據(jù)勾股定理可得，點(diǎn)P在底面的投影O即為△ABC的外心，再利用正弦定理求得△ABC外接圓的半徑，然后找到球心的大致位置，根據(jù)半徑相等列等式求解即可.【解答過程】過點(diǎn)P作PO⊥平面ABC，垂足為O，連接AO、BO、CO，因?yàn)镻A=PB=PC=5，所以AO=BO=CO=故點(diǎn)O是底面△ABC的外心，設(shè)△ABC外接圓的半徑AO=R，由正弦定理ACsin∠ABC=2R，所以2R=所以5?PO2=1設(shè)三棱錐P-ABC的外接球球心為M，顯然M在線段設(shè)OM=?，三棱錐P-ABC的外接球的半徑為則PM=2??，AM=12+所以2??=12+?2三棱錐P-ABC的外接球的體積為故選：C.【變式6-1】（23-24高一下·浙江溫州·期中）在三棱錐P?ABC中，PA⊥底面ABC，PA=2，∠ABC=120°，△ABC的面積為332，則三棱錐P?ABC的外接球表面積的最小值為（A．24π B．28π C．32π【解題思路】由面積公式可得ac=6，由余弦定理結(jié)合基本不等式可求b≥32，根據(jù)正弦定理可得△ABC外接圓半徑r【解答過程】如圖，取△ABC的外接圓圓心H，過點(diǎn)H作平面ABC的垂線，則三棱錐P?ABC的外接球的球心O在該垂線上，且OH=1，在△ABC中，S△ABC=1所以b2即b≥32（當(dāng)且僅當(dāng)a=c設(shè)△ABC外接圓半徑為r，由正弦定理得2r=bsinB所以外接球的半徑R=r2+1故三棱錐P?ABC的外接球表面積的最小值為28π故選：B.【變式6-2】（23-24高一下·安徽·階段練習(xí)）如圖，已知點(diǎn)P在圓柱OO1的底面圓O上，AB為圓O的直徑，OA=2，∠AOP=120°，三棱錐(1)求圓柱OO(2)求三棱錐A1【解題思路】（1）首先求出AP、BP，即可得到S△APB，再由VA1（2）三棱錐A1?APB外接球即為圓柱【解答過程】（1）∵在△AOP中，OA=OP=2,∠AOP=120∴AP=2又在△BOP中，OB=OP=2，∠BOP=60°，∴而點(diǎn)P的圓柱OO1的底面圓O上，∴所以S△APB于是由VA1?APB∴AA∴圓柱OO1的表面積（2）三棱錐A1?APB外接球即為圓柱則外接球的球心是OO1的中點(diǎn)，半徑所以三棱錐A1?APB外接球的體積【變式6-3】（23-24高一下·福建泉州·期中）如圖，三棱柱ABC?A

(1)以上、下底面的內(nèi)切圓為底面，挖去一個(gè)圓柱，求剩余部分幾何體的體積V；(2)求該三棱柱的外接球的表面積.【解題思路】（1）求出三棱柱的體積，得到△ABC的內(nèi)切圓的半徑，進(jìn)而去除圓柱的體積，相減即可答案；（2）將三棱柱補(bǔ)形為長(zhǎng)方體得到外接球半徑，求出外接球的表面積.【解答過程】（1）因?yàn)榈酌嫒切蔚倪呴L(zhǎng)分別為3cm，4cm，5cm，所以底面三角形為直角三角形，兩直角邊分別為3cm，4cm，又因?yàn)槿庵鵄BC?A所以VABC?

設(shè)圓柱底面圓的半徑為r，則r=2圓柱體積VO所以剩下的幾何體的體積V=(12?2π（2）由（1）直三棱柱ABC?A它的外接球的球半徑R滿足2R=32+所以，該直三棱柱的外接球的表面積為S=4π

【題型7幾何體的內(nèi)切球問題】【例7】（23-24高三下·河南·階段練習(xí)）已知四棱錐P?ABCD的底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，側(cè)棱長(zhǎng)都等于2，則該四棱錐的內(nèi)切球的表面積為（

）A．8?43π B．12π C．8+4【解題思路】求出棱錐的高，進(jìn)而得到棱錐體積，設(shè)出內(nèi)切球半徑，根據(jù)體積得到方程，求出半徑，進(jìn)而得到表面積.【解答過程】設(shè)內(nèi)切球的半徑為r,AC的中點(diǎn)為O，則OP⊥平面ABCD，因?yàn)樗睦忮FP?ABCD的底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，所以O(shè)A=OC=2因?yàn)镻C=2，由勾股定理得PO=2故棱錐的體積為13×2設(shè)內(nèi)切球的半徑為r，

則由等體積法可得1343所以S=8?4故選：A.【變式7-1】（23-24高一下·廣東深圳·階段練習(xí)）已知圓臺(tái)O1O2存在內(nèi)切球O（與圓臺(tái)的上、下底面及側(cè)面都相切的球），若圓臺(tái)O1O2的上、下底面面積之和與它的側(cè)面積之比為5:8，設(shè)球O的體積與圓臺(tái)O1A．23 B．34 C．613【解題思路】根據(jù)給定條件，結(jié)合圓臺(tái)軸截面等腰梯形的內(nèi)切圓是球的截面大圓，探討圓臺(tái)兩底半徑與母線的關(guān)系，再利用圓臺(tái)側(cè)面積公式及圓臺(tái)、球的體積公式求解即得．【解答過程】設(shè)圓臺(tái)O1O2的上、下底面半徑分別為r1，r2(r2>顯然圓臺(tái)軸截面等腰梯形的內(nèi)切圓是球的截面大圓，則l=r1+由π(r12+r22)π(因此圓臺(tái)的高?=l2?則圓臺(tái)O1O2內(nèi)切球O的體積V2=4故選：C.【變式7-2】（23-24高一下·山東濰坊·期末）已知圓錐的底面半徑為3，側(cè)面積為15π(1)求圓錐的體積；(2)求圓錐的內(nèi)切球的表面積.【解題思路】利用圓錐側(cè)面積公式、體積公式、圓錐內(nèi)切球關(guān)系分析運(yùn)算即可得解.【解答過程】（1）由題意圓錐的底面半徑為r=3，設(shè)母線長(zhǎng)為l，圓錐的高為?，由圓錐的側(cè)面積公式S=πrl得：3πl(wèi)=15π由圓錐的體積公式V=13S（2）如圖所示，圓錐及內(nèi)切球截面示意圖如上圖，設(shè)內(nèi)切球半徑為R，∵Rt△SCO相似于Rt∴OCBD=SO解得：R=32，所以內(nèi)切球表面積：【變式7-3】（23-24高一下·河南洛陽·期中）已知在圓錐SO中，底面⊙O的直徑AB=2，△SAB的面積為22(1)求圓錐SO的內(nèi)切球的體積；(2)點(diǎn)M在母線SB上，且SM=13SB，一只螞蟻若從【解題思路】（1）根據(jù)圓錐軸截面的性質(zhì)求得高和母線長(zhǎng)，根據(jù)三角形相似及內(nèi)切球的性質(zhì)求出內(nèi)切球的半徑，代入球的體積公式求解即可；（2）將圓錐沿母線展開，結(jié)合圓心角，利用余弦定理求解即可.【解答過程】（1）設(shè)圓錐SO的母線長(zhǎng)為l，底面⊙O的半徑為r，因?yàn)椤鱏AB的面積為22，所以S△SAB=由勾股定理，可得母線l=S如圖，作出圓錐的軸截面，球與圓錐側(cè)面相切，設(shè)球心為D，球的半徑為R，則DE⊥SB于E，DE=OD=R，則△SED∽△SOB，可得DE:BO=SD:SB，即R1=22?R（2）如圖，圓錐的側(cè)面展開圖為扇形SAN，扇形SAN的弧長(zhǎng)為2πr=2π，扇形SAN的圓心角α=在△SAM中，由余弦定理，AM所以AM=7，因?yàn)镾A+SM=4>7，所以螞蟻爬行的最短距離為即螞蟻爬行的最短距離為7.【題型8實(shí)際應(yīng)用問題】【例8】（23-24高一下·河北衡水·期末）某餐廳為了追求時(shí)間效率，推出一種液體“沙漏”免單方案（即點(diǎn)單完成后，開始倒轉(zhuǎn)“沙漏”，“沙漏”漏完前，客人所點(diǎn)的菜需全部上桌，否則該桌免費(fèi)用餐）.“沙漏”是由一個(gè)圓錐體和一個(gè)四棱柱相通連接而成.某次計(jì)時(shí)前如圖（1）所示，已知圓錐體底面半徑是6cm，高是6.75cm；四棱柱底面邊長(zhǎng)為6cm和2πcm，液體高是6.5cm.計(jì)時(shí)結(jié)束后如圖（2）所示，求此時(shí)“沙漏”中液體的高度為（

）A．2cm B．3cm C．4cm D．4.5cm【解題思路】先求出液體的體積，然后計(jì)算出計(jì)時(shí)結(jié)束后，圓錐中沒有液體的部分體積，在利用高度比的立方等于體積比即可得出結(jié)果.【解答過程】由已知可得：液體的體積為6×2π如圖，易知，△ABC、△CDE兩個(gè)相似的直角三角形，因?yàn)閳A錐的