第四章三角形

第18講等腰三角形

口題型12手拉手模型

模擬基礎練口題型13與等腰三角形有關的折疊問題

□題型14與等腰三角形有關的動點問題

口題型01分類討論思想在等腰三角形中的應用

口題型15與等腰三角形有關的新定義問題

口題型02根據等邊對等角求解或證明

口題型16與等腰三角形有關的規律探究問題

□題型03根據三線合一求解或證明

口題型17與等腰三角形有關的多結論問題

□題型04在格點圖中畫等腰三角形

□題型18探究等腰三角形中存在的線段數量關系

口題型05根據等角對等邊求邊長

口題型06根據等角對等邊證明重難創新練

□題型07確定構成等腰三角形的點

口題型08等腰三角形性質與判定綜合

口題型09利用等邊三角形的性質求解真題實戰練

口題型10等邊三角形的判定

口題型11等邊三角形性質與判定綜合

模擬基礎練?

口題型01分類討論思想在等腰三角形中的應用

1.（2024.云南昆明.一模）已知等腰三角形的兩邊長分別是一元二次方程/-6x+8=0的兩根，則該等腰

三角形的周長為.

【答案】10

【分析】本題考查了等腰三角形的性質，三角形的三邊關系，解一元二次方程，能求出方程的解并能夠判

斷三角形三邊存在的條件是解此題的關鍵.求出一元二次方程的解，得出三角形的邊長，用三角形存在的

條件分類討論邊長，即可得出答案.

【詳解】解：x2-6x+8-0

（x—2）（x-4）=0

解得：x=2或％=4,

當等腰三角形的三邊為2,2,4時，不符合三角形三邊關系，此時不能組成三角形；

當等腰三角形的三邊為2,4,4時，符合三角形三邊關系，此時能組成三角形，周長為2+4+4=10,

所以三角形的周長為10,

故答案為：10.

2.（2024?江蘇?模擬預測）若實數優，"滿足-7|+|3-=o,且機，〃恰好是等腰△4BC的兩條邊的

邊長，則ATIBC的周長是.

【答案】17

【分析】根據偶次方、算術平方根的非負性可得：m-7=0,3-n=0,從而可得爪=7,n=3,然后分

兩種情況：當等腰三角形的腰長為7,底邊長為3時；當等腰三角形的腰長為3,底邊長為7時，從而進行

計算即可解答.

【詳解】解：：|由一7|+|3—n|2=0,

m—7=0,3—?i=0,

解得：m-7,n-3,

分兩種情況：

當等腰三角形的腰長為7,底邊長為3時，

△2BC的周長=74-7+3=17；

當等腰三角形的腰長為3,底邊長為7時，

V3+3=6<7,

,不能組成三角形；

綜上所述：AABC的周長是17,

故答案為：17.

【點睛】本題考查了等腰三角形的定義，偶次方，算術平方根的非負性，三角形的三邊關系，分兩種情況

討論是解題的關鍵.

3.（2024.內蒙古赤峰.二模）學完等腰三角形的性質后，小麗同學將課后練習“一個等腰三角形的頂角是36。，

求底角的度數”改為“等腰三角形的一個角是36。，求底角的度數”.下面的四個答案，你認為正確的是（）

A.36°B.144°C.36?；?2°D.72°或144°

【答案】C

【分析】本題考查了等腰三角形的性質、三角形內角和定理，熟練掌握三角形內角和等于180度是解題的

關鍵.根據題意分以下兩種情況，當36。是等腰三角形的底角，以及當36。是等腰三角形的頂角，討論求解,

即可解題.

【詳解】解：當36。是等腰三角形的底角，則底角的度數為36。；

當36。是等腰三角形的頂角，則底角的度數為又等￡=72。；

綜上所述，等腰三角形的一個角是36。，其底角的可以是36。或72。.

故選：C.

4.（2024?河南駐馬店?三模）如圖，在等腰AABC中，ABAC=120°,AB=AC=4,。是邊BC上的動點，

連接4D,將AABD沿4D折疊，點8的對應點為e，若NBDB'=120。，貝的長為.

【分析】本題考查等腰三角形中的翻折問題，當ZBD8'=120。時，分兩種情況：①當點B'在下方；②當

點B'在上方，解直角三角形求解即可

【詳解】解：當NBDB，=120。時，分兩種情況：

①當點夕在BC下方時，如圖，

圖①

設4m與的交點為。，

V/.BAC=120°,AB=AC,

:.乙B=ZC=30°,

由折疊得，N9=乙8=30°

;乙BDB'=120°,

:.乙B'DO=60°

/./.DOB'=90°,

：.DO=-B'D=-BD,

22

13

：.BO=BD+DO=BD+-BD=-BD,

22

在Rt△ABO中，BO=AB-cos30°=2A/3,

C.-BD=2V3

2

解得，BD=^；

圖②

由折疊得，乙ADB'=^ADB==60°,

VzB=30°,

A/.BAD=90°,

*：AB=4,

.DnAB48V3

??DL）-~-―/="一,

cos300在3

2

綜上所述，BD的長為挈或苧

故答案為：竽或第

5.（22-23八年級上?河南南陽?期末）在等腰三角形中有一個角為40。,則腰上的高與底邊的夾角為

【答案】20。或50。

【分析】分已知的角是等腰三角形的底角和頂角兩種情況計算.

【詳解】當40。角為底角時，如圖，

*：CA=CB,

：./.CAB==40°,

過點A作/交的延長線于點Q,

J.Z.ADC=90°,

：.^DAB=90°-Z.B=50°；

當40。角為頂角時，如圖，

,：CA=CB,

180°—40°

J.Z.CAB=ZB==70°,

2

過點A作4G1C8,交BC于點G,

J./-AGB=90°,

/./.GAB=90°-Z.B=20°；

故答案為20?；?0。.

【點睛】本題考查了等腰三角形的角的計算，熟練掌握分類思想是解題的關鍵.

口題型02根據等邊對等角求解或證明

6.（2024?陜西渭南三模）如圖，點。是正八邊形4BCDEFGH的中心，連接04、OB,若。4=2,則該正八

邊形的面積為.（結果保留根號）

【答案】8V2

【分析】本題考查正多邊形的性質，等腰直角三角形的性質，先求出乙4。8=等=45。，作于點

8

H,構造等腰直角△。氏4,求出4H,進而可依次求出S-oB和該正八邊形的面積.

【詳解】解：如圖，作4HJ.0B于點"

E

F.D

???該多邊形為正八邊形,OA=2,

OB=OA=2,乙408=—=45°,

8

又「AH1OB,

.??△。凡4是等腰直角三角形，

AH=-0A=—X2=y[2,

22

???S^AOB=|OB?AH=|x2xV2=V2,

?,?該正八邊形的面積=8sMOB=8V2,

故答案為：8V2.

7.（2024.陜西.模擬預測）如圖，在正五邊形ABCDE中，/D,CE相交于點F,連接貝此CF8的度數是

【分析】根據五邊形43coE是正五邊形，求出4CDE==108。，再根據等腰三角形的定義及三角形

內角和定理求出乙以M=4/ME=36。，同理得NQEC=36。，再求出4DFE=108。，證明△/FEw/kCFO,

得至Ij/F=CF,再證明△4BE三ZkCBF,推出乙。尸8=4人尸8=1ZTIFC=[NDFE,即可解答.

【詳解】解：,??五邊形/BCDE是正五邊形，

???乙CDE=乙DEA=（5-2）：180：=log。，

DE=AE,

???/LEDA=乙DAE=|（180°-^DEA）=36°,

同理NDEC=36°,

???4DFE=180°-乙DEF-乙EDF=180-36°-36°=108°,

v乙DEF=乙EDF,乙EDF=Z-EAD,

???Z-DEF=Z.EAD,

???(DEF=Z.DCE,

Z.DCE=Z.EADf

??.AAFE=乙CFD,CD=AE,

AFE=△CFD,

AF=CF,

vZ.BAE=乙BCD,乙DAE=乙DCE,

???^BAE-/.DAE=乙BCD-乙DCE,即ZJBZF=乙BCF,

BF=BF,

ABF=△CBF,

11

.SB=NWC=/ME=54°,

故答案為：54°.

【點睛】本題考查正多邊形的性質，三角形內角和定理，等腰三角形的性質，三角形全等的判定與性質，

熟練掌握正多邊形的性質是解題的關鍵.

8.（2024?河北秦皇島?模擬預測）如圖，在△ABC中，45=4C,zS=30。，點尸為直線BC上一點，且AC=CP,

連接力P,貝lUBAP的度數是（）

A

A.45°B.135°C.45°或135°D.30°或135°

【答案】C

【分析】本題考查了三角形內角和性質，等邊對等角，三角形外角性質，正確掌握相關性質內容是解題的

關鍵.注意點尸為直線2C上一點，分別作圖，運用三角形內角和性質，等邊對等角，三角形外角性質分別

列式計算，即可作答.

【詳解】解：如圖所示：

以點C為圓心，AC為半徑畫弧，分別交直線BC于兩點，即七，P2,連接4Pi，AP2

9CAB=AC,AB=30°

J./-BCA=30°,Z-BAC=180°-30°X2=120°

*：AC=CP1

：.=(180°-Z.BCA)+2=75°,

：.^PrAB=120°-75°=45°,

*：AB=AC,乙B=30°

：.^BCA=30°,ABAC=180°-30°x2=120°

9

：AC=CP2

：.ACAP2=Z-AP2C=15°

:?乙P2AB=120°+15°=135°,

故選：C

9.(2024?廣東河源?二模)如圖，在四邊形/BCD中，4c4。=90。，Z.B=30°,乙。=60。且AC=BC.

(2)若AD=1,求四邊形/BCD的面積.

【答案】(1)見解析

(2)也

v74

【分析】本題主要考查了平行線的判定、三角形內角和定理、等腰三角形三線合一、等邊對等角、含30度

角的直角三角形的性質、勾股定理、三角形面積公式等知識，熟練掌握平行線的判定、含30度角的直角三

角形的性質是解題的關鍵.

(1)根據等邊對等角，得出NE4C=NB=30。,根據三角形內角和定理，計算求出乙4CD的度數，得出N84C=

“CD,根據“內錯角相等，兩直線平行”，即可證明力BIICD；

(2)過點C作CEL4B于E,根據含30度角的直角三角形的性質、等腰三角形三線合一，結合勾股定理，求

、

出AC、CE4B的長，根據S&4CD=|x4CXAD>ShABC=|XCFXAB計算，最后根據S四邊形=^^ACD+

S-BC得出答案即可.

【詳解】(1)證明：：N8=30。，4c=8C,

?.^BAC=NB=30°,

\9Z.CAD+4。+Z,ACD=180°,^CAD=90°,乙D=60°,

J.Z-ACD=180°-/.CAD一乙D=180°-90°-60°=30°,

：.￡.BAC=乙ACD,

：.AB\\CD；

(2)解：9：Z-CAD=90°,AD=1,由(1)得乙4。。=30。,

ACD=2,BC=AC=y/CD2-AD2=V22-l2=V3,

如圖，過點。作CE14B于E,

VzB=30°,

：.CE=-BC=—,

22

,*.AE=BE=VBC2—CE2=J(V5)2—O=I，

：.AB=AE+BE=-+-=3

22f

???SAABC=3XCEX4B=乎，

?Q_$.Q_V33y/3_5\/3

??3四邊形4BCO=3-CD+30BC

10.(2024?海南省直轄縣級單位.模擬預測)如圖，已知矩形力BCD,點E在C8延長線上，點廠在BC延長線

上，過點尸作FH1EF交ED的延長線于點”，連接2F交E”于點G.若GE=G"，—=AD=4,貝U

FH6

EF=.

【答案】6

【分析】本題主要考查了矩形的性質，相似三角形的性質與判定，等邊對等角，直角三角形的性質，全等

三角形的性質與判定等等，先由矩形的性質得到CD1BC,CD=AB,BC=AD=4,乙4BC=乙DCB=90°,

再證明ADCEsAHFE得到*=若=；；根據直角三角形的性質得到GE=GF=GH,則NGFE=NE,進而

FHFH6

證明AABF三△DCE(AAS),推出BE=CF.設BE=CF=x,貝i]CE=x+4,EF=2x+4,可得出=三,

2x+46

解得％=1,貝IJEF=6.

【詳解】解：:四邊形/BC。是矩形，

：.CD1BC,CD=AB,BC=AD=4,A.ABC=^.DCB=90°,

VFH1EF,

：.CDWFH,

：.△DCEs〉HFE,

.EC_CD

99EF~TH9

,CD_AB_5

??FH-FH-6,

VFH1EFfGE=GH,

：.GE=GF=GH,

:,(GFE=乙E,

A△ABF三△OCE(AAS),

：.BF=CE,

:.BF-BC=CE-BC,即BE=CF.

設BE=CF=x,

■;BC=/O=4,

/.CE=x+4,EF=2x+4,

,x+4_5

2x4-4-6’

解得％=1,

經檢驗％=1是原方程的解，

：.EF=6.

故答案為：6.

口題型03根據三線合一求解或證明

11.（2024?貴州黔東南?二模）如圖，△ABC中，ZB=6O°,BA=3,BC=5,點E在B4的延長線上，點。在BC

邊上，且ED=EC.若4E=4,則BD的邊長為（）

C.2D.V3+1

【答案】C

【分析】本題考查了含30度角的直角三角形的性質，等腰三角形的性質.過點E作EF1BC于工先在Rt△BEF

中利用30。角所對的直角邊等于斜邊的一半得出8F==3.5,于是CF=BC—BF=1.5,再根據等腰三

角形三線合一的性質得出OC=2CF=3,然后根據=BC—OC即可求解.

【詳解】解：過點E作于尸.

在RtABEF中，???乙BFE=90°,zB=60°,

???4BEF=30°,

'：AE=4,AB=3,BE=AE+AB,

：.BF=-BE=3.5,

2

??.CF=BC-BF=5-3.5=1.5.

vED=EC,EF1BC^F,

.?.DC=2CF=3,

.-.BD=BC-DC=5-3=2.

故選：C.

12.(2024?陜西西安?模擬預測)如圖，在△ABC中，48=AC,點/在反比例函數y=￡(k>0,%>0)的圖

象上，點B、C在久軸上，BC=40C,若A4BC的面積等于8,貝丸的值為

【分析】本題考查了反比例函數比例圖象上點的特征、等腰三角形三線合一的性質、三角形的面積.要求

學生掌握設而不求的方法解題.設OC=a,過點A作4E1*軸于點E,表示出BC、AE,結合△力BC的面積

即可求出人的值.

【詳解】解：設。C=a,貝UC(a,O),

???BC=40C,

OB=5a,CB=4a,

過點A作4E上工軸于點E,

??,AB=AC,

CE=EB=2a,

OE=3a,

vOE?AE=k,

11u

-BC-AE=-^a--=8

?，S^ACB=223af

???k=12.

故答案為：12.

13.（2024?山西?模擬預測）如圖，在等腰三角形力BC中，AB=AC,取4C的中點E,連接BE,過點C作BE的

垂線，交BE的延長線于點D,若BD=8,DC=2,則DE的長為.

【答案】v

【分析】作4MLBC,EN1BC,垂足為點M、N.先由勾股定理求得BC的長，再由等腰三角形“三線合一”

與三角形中位線的逆定理可求得BM、MN的長,從而可知BN的長,最后利用△BNEBDC可求得DE的長.

【詳解】解：如圖，過點4、點E分別作4M18C,ENLBC,垂足為點M、N.貝必M||EN,

VZ.BDC=90°,BD=8,DC=2,

：.BC=y/BD2+DC2=V82+22=2g.

\'AB=4C,AM1BC,

：.BM=CM=^BC=V17,

為AC的中點，AM||EN,

：.MN=CN=-CM=—.

22

：.BN=BM+MN,

2

設DE=%,貝UBE=BD-DE=8-x.

■:乙BNE=^BDC=90。,乙EBN=cCBD,

：.△BNEfBDC,

.BEBN口門8-X3V17

=—,即：1==二一,

BCBD2V178

.*.8(8-%)=51,

解得：

o

即：DE=-.

8

故答案為：V-

O

【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質、三角形中位線定理的逆定理、相似三角形的性質、勾股定理

等，解題的關鍵作出恰當的輔助線.

14.(2024?浙江?模擬預測)在勞動課上，小華同學所在小組進行了風箏框架設計比賽

(1)小華設計的風箏框架平面圖如圖1,已知.AB^AD,CB=CD,AC與BD交于點。，求證：BO=DO

(2)小明提出了改進建議：制作風箏框架只需要兩個支架AC和BD(如圖2),當4c垂直平分BD時即可固定風

箏.現在有總長度為120cm的細木條用于制作該風箏框架，小明同學想做面積最大的風箏，請你幫他設計：

當4C為何值時，風箏的面積最大，面積最大值為多少？

【答案】(1)見解析

(2)4C為60cm時，風箏的面積最大，面積最大值為1800cm2

【分析】本題考查二次函數的應用，全等三角形的判定和性質，等腰三角形的性質：

(1)先證AABC三△ADC(SSS),推出=根據等腰三角形三線合一即可證明B。=DO；

(2)設=貝/0=120-列出風箏的面積S關于尤的二次函數關系式，變形為頂點式，求出最值

即可.

【詳解】(1)證明：r48=4。，CB=CD,AC=AC,

.-.LABCSAXDC(SSS),

???Z-BAC=Z-DAC,

即/C平分4840,

又「AB=ADf

BO=DO；

(2)解：設4c=xcm,貝！JBO=(120—%)cm,

v4c垂直平分BQ,

OB=OD=-BD,AC1BD,

2

???風箏的面積S=SXABC+SAADC=|xc-OB+|xc-OD=|XC-BD,

???S=jx(120-x)=-1(%-60)2+1800,

?■1-1<0,

.?.當x=60時，S取最大值1800,

即AC為60cm時，風箏的面積最大，面積最大值為1800cm2.

15.(2024?山東聊城?三模)如圖，△ABC中，點。是BC上一點，過點。作DEII4B,點尸是4。的中點，連

接EF,并延長EF交AB于點G.

(1)連接DG,求證：四邊形4GDE是平行四邊形.

(2)若使四邊形4GDE是菱形，△ABC應為什么特殊三角形？點。在BC的什么位置？證明你的猜想.

【答案】(1)見解析

(2)AABC為等腰三角形時，4GDE是菱形；點。為BC中點

【分析】本題考查了平行四邊形的判定，菱形的判定，全等三角形的判定與性質，等腰三角形的性質，其

中證明三角形全等是解題的關鍵.

(1)證明AAGF三△DEF,得DE=4G；再由DE||4B即可證明四邊形4GDE是平行四邊形；

(2)當為等腰三角形且48=4C時，由。是中點，則NE4D=^EDA,從而得4E=DE,即四邊形AGDE

是菱形.

【詳解】(1)證明：?.?點/是AD的中點，

?-.AF=DF；

???DEWAB,

Z.GAF=Z.EDF,

vZ.AFG=Z.DFE,

.*.△AGF=△DEF(ASA),

??.DE=AG；

???DEWAB,

???四邊形4GDE是平行四邊形；

(2)解：當為等腰三角形且48=/C時，且。中點，四邊形4G0E是菱形;

BDC../B=4。時，且。是中點，

Z.GAD=Z.EAD；

???DEWAB,

Z.GAD=Z.EDA,

???Z.EAD=Z.EDA,

???AE=DE,

即平行四邊形力GDE是菱形.

口題型04在格點圖中畫等腰三角形

16.(2024?貴州貴陽?二模)在如圖所示的網格紙中，有A,8兩個格點，使得AABC是等腰三角形，則這樣

的格點C有一一個.

【答案】8

【分析】根據勾股定理的逆定理解答即可.本題考查了勾股定理的逆定理，關鍵是根據AABC是直角三角形

得出多種情況解答.

【詳解】解：如圖所示：

GC4

點G的位置如圖，

2222

其中力C/=Vl+l=V2,BCr=Vl+l=V2,4B=2,

由勾股定理得：aC/+BC/=4B2,

故△4EC1為直角三角形，

2222

同理：AC2=V1+I=V2,BC2=V1+1=V2,4B=2,

由勾股定理得：ACl+BCl=AB2,

故△力BC2為直角三角形，

網格中其他點C如圖所示，

所以格點C的個數是8,

故答案為：8.

17.(2024?吉林長春?模擬預測)圖①、圖②、圖③均是2義2的正方形網格，每個小正方形的頂點稱為格點，

點A、C均在格點上.只用無刻度的直尺，在給定的網格中，分別按下列要求作格點圖形，保留作圖痕跡.

圖1圖2圖3

(1)在圖①中，以2C為中線作AABD,使4B=a。；

(2)在圖②中，以2C為中線作Rt△力EF,使NA￡T=90。；

(3)在圖③中，以AC為中線作A4MN,使NAMN為鈍角且tan/MAC=1.

【答案】(1)見解析

(2)見解析

(3)見解析

【分析】本題主要考查應用與設計作圖，理解題意，靈活運用所學知識是解題的關鍵.

(1)根據三角形中線的定義以及題意要求畫出圖形；

(2)根據直角三角形的判定三角形中線的定義畫出圖形；

(3)根據三角形中線的定義以及題意要求畫出圖形；

【詳解】(1)解：使=即讓AAB。是等腰三角形，根據等腰三角形的性質可得，過C點作4c的垂線,

使C為BD中點即可；

(2)解：在2點正下方與C點對齊的地方找到E點，過點E、C畫直線使C為BD中點即可得到點F；

圖2

(3)解：過點C畫斜線使C為中點找到M、N,連接起來即可使tanzMAC

圖3

18.(2024?浙江嘉興?一模)如圖，在2X4的方格紙力BCD中，每個小方格的邊長為1,已知格點P,請按要

求完成以下問題.

(1)在圖中畫一個格點等腰三角形PEF,使得底邊長為我；

(2)在圖中再找一個格點G,使得P,E,F,G四點構成平行四邊形，則該平行四邊形的面積為

【答案】(1)見解析

(2)1或3

【分析】本題主要考查了格點作圖，等腰三角形的性質，平行四邊形的性質，解題關鍵是掌握網格的特點，

理解相關圖形的性質.

(1)底邊長為或即底邊為小方格的對角線，根據要求畫出底邊，再在其底邊的垂直平分線找到在格點上的

頂點即可得到等腰APEF,即可求解；

(2)根據平行四邊形的性質，找到點G的位置，即可求解.

等腰三角形PEF,即為所求；

(2)當PE=EF=1,。9=或時，點G如圖所示，

此時該平行四邊形的面積為1XI-1；

當PE=￡1尸=有，=/時，點G如圖所示，

此時該平行四邊形的面積為2x|xlx3=3；

故答案為：1或3.

19.(2024?河北邯鄲?三模)如圖中的點都在格點上，使AAB4("為1~4的整數)不是軸對稱圖形的點是()

P

B.2C.P3D.P4

【答案】B

【分析】本題主要考查了軸對稱圖形的識別，等腰三角形的定義，勾股定理，根據網格的特點和勾股定理

可得^ABP4,△力BP3都是等腰三角形，而A4BP2不是等腰三角形，再根據軸對稱圖形的定義即

可得到答案.

【詳解】解：根據網格的特點和勾股定理可得AaBPi、^ABP4,A/lBPs都是等腰三角形，即這三個三角

形都是軸對稱圖形，

△4BP2不是軸對稱圖形，

故選：B.

口題型05根據等角對等邊求邊長

20.（2024.廣西桂林?一模）如圖，在等邊4ABC中,AB=6,BD平分N&8C,點E在的延長線上，且NE=30°,

則CE的長為.

【答案】3

【分析】本題考查了等邊三角形的性質，三角形外角性質，等角對等邊，由等邊三角形的性質可得力C=AB=

6,乙4cB=60°,CD=171C=3,再根據三角形外角性質可得=乙4cB—乙E=30°,得到/CDE=乙E,

進而即可求解，掌握等邊三角形的性質是解題的關鍵.

【詳解】解：ABC為等邊三角形，AB=6,

：.AC=AB=6,4ACB=60°,

平分N4BC,

/.CD=-2AC=3,

VZE=30°,

:,乙CDE=AACB一乙E=60°-30°=30°,

Z.CDE=Z.E,

ACE=CD=3.

21.（2024.貴州畢節?三模）如圖，在RtZkABC中，乙4cB=90。，AC=BC,點。在AB上，AD=4,

CD=V10，則BD的長為

A

【答案】2

【分析】本題考查了勾股定理，矩形的判定與性質，等腰三角形的判定，過D作DE1BC于點E,作DF1AC

于點尸，得四邊形DECF是矩形，根據性質可知CF=DE,再由等角對等邊得DE=BE,AF=DF,最后由

勾股定理即可求解，熟練掌握知識點的應用是解題的關鍵.

【詳解】解：如圖，過。作DE于點E,作。F，力。于點F,

A

:.乙DEB=90°,Z.AFD=乙CFD=90°,

；4ACB=90°,

四邊形DECF是矩形，

ACF=DE,

\"AC=BC,

J.Z.A=48=45°,

:.乙B=乙EDB=45°,ZX=^ADF=45°,

：.DE=BE,AF=DF,

則由勾股定理得：BD=V2DE=近BE,AD=^2DF=&AF=4,

：.AF=DF=2VL

/27

在Rt中，由勾股定理得：DF=VCD2-CF2=J(VlO)-(2A/2)=&,

：.DE=CF=V2,

：.BD=42DE=V2XV2=2,

故答案為：2.

22.（2024?海南海口?一模）如圖，在Rt△力BC中，ZC=90°,AC=4,BC=3,點D是4C邊上的一點，過

點。作DFII2B,交BC于點尸，作NB2C的平分線交DF于點E,連接BE.若AABE的面積是2,則點E到的

距離為—，普的值是.

EF

【分析】本題考查的知識點是勾股定理、相似三角形的判定與性質、平行線的性質、等角對等邊，解題關

鍵是熟練掌握相似三角形的判定與性質.

先根據勾股定理求出48,即可分別用三角形面積公式推得點C到4B的距離和點E到4B的距離，再根據DF||

4B判定△CDFC4B即可推得相似比，從而由相似三角形的性質得到鄉=啜=|，由4E平分N84C和DF||

C/JTID5

AB可得ND4E=乙4ED,根據等角對等邊推得DE=4。=（后即可得解.

【詳解】解：：Rt△4BC中，AB=^JAC2+BC2=V32+42=5,

.?.點C到4B的距離無=與竺=三，

AB5

S^ABE=mx%=2,

???點E至!MB的距離九1=I，

???點C到D尸的距離九2=h-h1=1,

???DF||AB,

:△CDF八CAB,且相似比為九2：h=|，

.CD_DF_2

''CA~AB~

CD=-x4=PF=-x5=—,

3333

4

AD=AC-CD=

3

VZE平分NB4C,

???Z.BAE=Z.DAE,

??.DF||AB.

???乙BAE=Z.AED,

即皿IE=乙4E0,

4

DE=AD=

3

104

：.EF=DF-DE=---=2,

33

4

.DE_2_2

''EF~2-3,

故答案為：I;|.

23.（2024?陜西?模擬預測）實驗是培養學生的創新能力的重要途徑之一，如圖是高鎰酸鉀制取氧氣的化學

實驗裝置,安裝要求為試管略向下傾斜，試管夾應固定在距試管口的沙（BE=1AB）,已知試管AB=24cm,

試管傾斜角a為10。，實驗時，導氣管BF交C。的延長線于點F,且ED1CF,測得DE=27.36cm,ZXBF=145°,

【分析】本題考查解直角三角形，矩形的判定及性質，等腰三角形的判定.

過點8分別作1DE于點H,BP1FC于點P,則四邊形BPDH是矩形，得到=DP,BP=HD,在Rt△

BE"中，HE=BE-sin/EBH?1.36,BH=BE-cos^EBH?7.84,從而DP=BH=7.84,BP=HD=DE-

HE=26,證明PF=BP=26,根據DF=DP+PF即可解答.

【詳解】解：如解圖，過點8分別作B”IDE于點H,8「1尸。于點尸，

■:ED1CF

???四邊形BPDH是矩形，

：.BH=DP,BP=HD

9：AB=24,BE=-AB=8,乙EBH=a=10°,

3

???在Rt△BEH中，HE=BE-sin乙EBH=8?sinl0°?1.36,

BH=BE-cosZ-EBH=8-cosl0°?7.84,

：.DP=BH=7.84,

HD=DE-HE=27,36-1.36=26,

：.BP=HD=26,

"BF=145°-90°-10°=45°,

:?乙FBP=180°-Z.BPF-乙PBF=45°,

：.PF=BP=26

：.DF=DP+PF=7.84+26=33.84,

答：OF的長度約為33.84cm.

24.（2024?陜西咸陽?模擬預測）如圖，在中，D為BC邊上一點,且ZD平分NB4C,若ZB=5,AC=4,

則△ABD與△AC。的面積比為（）

【答案】A

【分析】過點。作CEIIAD,交3/的延長線于點E,利用平行線分線段成比例定理，等腰三角形判定和性質,

三角形面積特點解答即可.

本題考查了平行線分線段成比例定理，等腰三角形判定和性質，三角形面積，熟練掌握定理是解題的關鍵.

【詳解】解：過點。作CEII4。，交84的延長線于點石，

貝！J吧=—,LE=/.BAD,ADAC=^LACE,

DCAE

???/。平分乙3/。，

A￡.BAD=NO/C,

/.Z.E=/.ACE,

：.AE=AC,

*：AB=5,AC=4,

?\AE=4,

?

??B~D~=5一，

DC4

?S&ABD_￡￡_5

SxACDDC4'

故選A.

25.（2024?新疆烏魯木齊?一模）在△ABC中，BD平分NABC,交2C于點D,AE1BC,交BC于點E,且4B=5,

AE=BC4,則CD的長為—.

【答案］警《舊

99

【分析】過點C作4B的平行線，交BD的延長線于點E,利用AaBDSACFD結合等腰三角形CBF求出結果.

【詳解】解：過點C作48的平行線，交BD的延長線于點￡

在直角△ABE中，^LAEB=90°,

BE=yjAB2-AE2=V52-42=3,

=BC-BE=4—3=1,

在直角AAEC中，由勾股定理得

AC='AE?+CE2=V17.

*.?CFWAB,

：.AABDfCFD,

.AD_AB

**DC-CF'

?「BO平分乙48C,

Azi=Z2,

VCF\\AB,

Azl=ZF,

/.z2=Z-F.

：.CF=CB=4,

?,?AD—_―5，

CD4

：.CD=-AC=—.

99

故答案為：空.

【點睛】本題考查等腰三角形的判定，角平分線的定義，勾股定理以及相似三角形的判定和性質，通過平

行線構造相似三角形是解決問題的關鍵.

口題型06根據等角對等邊證明

26.（2024?湖南長沙?模擬預測）如圖，在AABC中，。是4B邊的中點，。是CO上一點，AE||BD交C。的延

長線于點E.

c

⑴求證：AE=BD；

(2)若42CB=90。，乙BDO=ACAO,AC=6,求BO的長.

【答案】(1)見解析；

⑵6.

【分析】本題主要考查三角形全等的判定與性質，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一般，平行線的性

質，等角對等邊以及中點定義，熟練掌握三角形全等的性質和判定方法是解題的關鍵.

(1)由。是28邊的中點，得2。=8。,由4E||BD,得4E=LBDO,/.OAE=Z.OBD,可得△OAE三4

OBD(AAS),即可證明結論成立；

(2)由。是4B邊的中點，N4CB=90。,得4。=BO=0C，進而N4C。=^CAO,由(1)BD=AE,^BDO=乙E,

由NBD。=ACAO,得乙4C。=ACAO=NE,從而AC=AE=6,進而即可得解.

【詳解】(1)證明：???。是4B邊的中點，

：.AO=BO.

5L'：AE||BD,

Z.E—Z.BDO,Z.OAE—/.OBD,

在AOAE^/s.OBD中，

'乙E=乙BDO

X.OAE=Z.OBD,

.OA=OB

：.△OAE=△OBD(AAS)

：.AE=BD；

(2)解：?.,。是AB邊的中點，4cB=90。，

1

：.AO=BO=OC=-AB.

2

J.Z.ACO=Z.CAO,

■:二OAEW2OBD(APS，

乙

：.BD=AEfBDO=(E,

■:(BDO=A.CAO,

Z-ACO—Z-CAO=Z-E,

：.AC=AE=6,

：.BD=AE=6.

27.(2024?江蘇連云港?模擬預測)某學習小組在學習了正方形的相關知識后發現：正方形對角線上任意一

點與正方形其他兩個頂點相連形成的線段一定相等.該學習小組進一步探究發現：若過該點作其中一條線

段的垂線與正方形的兩邊相交形成的較長線段和前面形成的兩條線段也有關系.請根據下列探究思路完成

作圖和解答：

(1)尺規作圖：過點E作EF14E.分別交邊4。、BC于點G、F.(保留作圖痕跡，不寫作法)

(2)求證：EC=EF=AE.

【答案】(1)見解析

(2)見解析

【分析】(1)根據基本作圖一經過一點作直線的垂線作出圖形即可；

(2)證明三△CDE(SAS),推出=再證明EF=EC,可得結論.

【詳解】(1)解：圖形如圖所示：

(2)證明：?.?四邊形2BCD是正方形

BO平分N4DC,/.ABC=乙BCD=4BAD=90°,ADCD.

???Z-ADE=乙CDE,

在和△COE中,

AD=CD

/.ADE=乙CDE

、DE=DE

.*.△ADE三△COE(SAS).

???乙DAE=Z-DCE,AE=CE,

又???乙BAE=乙BAD-乙DAE

(BCE=乙BCD-乙DCE

Z.BAE=(BCE,

vEF1AE,

???^AEF=90°,

???匕ABF+(BFE+AFEA+Z.BAE=360°,^ABF+Z.FEA=90°+90°=180°

???^BAE+乙BFE=180°

???Z-BFE+乙EFC=180°,

???乙EFC=Z-BAE.

???Z-ECF=乙EFC,

.?.EF=EC=AE.

【點睛】本題考查基本作圖一經過一點作直線的垂線，全等三角形的判定和性質，角平分線的性質，等腰

三角形的判定，正方形的性質等知識，解題的關鍵是正確尋找全等三角形解決問題.

口題型07確定構成等腰三角形的點

28.(2023九年級上?江蘇?專題練習)如圖，在3x3的正方形網格中，點A、B、C、D、E、尸都是格點.

⑴從4。、E、尸四點中任意取一點，以這點及點8、C為頂點畫三角形，求所畫三角形是等腰三角形的概

率;

⑵從A、D、E、尸四點中任意取兩點，以這兩點及點8、C為頂點畫四邊形，求所畫四邊形是平行四邊形的

概率.

【答案】⑴5

【分析】此題主要考查了利用樹狀圖求概率，根據已知正確列舉出所有結果，進而得出概率是解題關鍵.

根據從A、D、E、尸四個點中任意取一點，一共有4種可能，只有選取O點時，所畫三角形是等腰三角形,

即可得出答案；

⑵利用樹狀圖得出從A、D、E、尸四個點中先后任意取兩個不同的點，一共有12種可能，進而得出以點4

E、B、C為頂點及以F、B、C為頂點所畫的四邊形是平行四邊形，即可求出概率.

點評

【詳解】（1）

根據從4D、E、P四個點中任意取一點，一共有4種可能，只有選取。點時，所畫三角形是等腰三角形,

故P（所畫三角形是等腰三角形）=；;

4

（2）用“樹狀圖”列出所有可能的結果：

開始

ZAKZDNZNEF

DEFAEFADFAED;當選取的兩個頂點為點&、石或點。、尸時，所畫的四邊形是

平行四邊形，

???所畫的四邊形是平行四邊形的概率P=展=/

29.（2023蘭州市模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中，點4B分別在y軸和無軸上，^ABO=60°,在坐

標軸上找一點P,使得4PAB是等腰三角形，則符合條件的P點的個數是（）

【答案】B

【分析】分類討論：作AB的垂直平分線和坐標軸的交點，以A為圓心AB為半徑作圓和坐標軸的交點,

以B為圓心AB為半徑作圓和坐標軸的交點，根據兩邊相等的三角形是等腰三角形，可得答案.

【詳解】作AB的垂直平分線和坐標軸的交點，得到P5,此時AP=BP；

以A為圓心AB為半徑作圓和坐標軸的交點，得至UP2和P6,此時AB=AP；

以B為圓心AB為半徑作圓和坐標軸的交點，得到Pl、P3和P4,止匕時BP=BA；

綜上所述：符合條件的點P共有6個.

故選B.

【點睛】本題考查了等腰三角形的判定和性質，把所有可能的情況都找出來，不遺漏掉任何一種情況是本

題的關鍵.

30.(2020?江蘇泰州?一模)已知點A(2,m),點P在y軸上，且APOA為等腰三角形，若符合條件的點P

恰好有2個，則m=.

【答案】0或士學

【分析】由于當OP=OA時，這樣的P點一定有2個，易得PO=PA不存在，AP=AO也不存在，這時才滿足

符合條件的點P恰好有2個，從而得到m=0,當4P=。4時，可得n=2m,n為任何值均成立，然后將n=2m

分別代入另外兩種情況中求出m的值即可.

【詳解】設點P(0,n)

①當。尸=。4時，這樣的尸點一定有2個，

???PO二用不存在，也不存在，

???A點在x軸上，

此時m=0.

②當4P=。4時，22+(m—n)2=22+m2

可得九(九—2m)=0

??,點P、O、A能夠成三角形

：.n=2m,n為任何值均成立

③當。尸=P4時，n2=22+(m—n)2

可得44-m2-2mn=0

???符合條件的點P恰好有2個

.*.22+m2=層與4+m2—2mn=0應該存在兩個不同的解

/.將幾=27n代入2?+m2="中

可得2?+m2=(2m)2

解得血=±誓

將71=27n代入4+m2—2mn=0中

可得4+m2—4m2=0

解得血=±誓

故答案為：。或土?^.

P

.A

------------------------------------>

0

【點睛】本題考查了等腰三角形的問題，掌握等腰三角形的性質以及判定、勾股定理、解一元二次方程是

解題的關鍵.

31.(2024君山區一模)已知坐標原點。和點4(1,1),試在久軸上找到一點P,使A40P為等腰三角形，寫出

滿足條件的點P的坐標

【答案】(1,0)、(2,0)、(V2,0)、(-V2,0).

【分析】本題主要考查了坐標與圖形的性質及等腰三角形的判定；利用分類討論的思想是解題的關鍵.根

據題意分O4=4P1，OA=OP2,OP3^AP3=1,=?！?,四種情況討論求解即可.

【詳解】解：如圖：

...△40P1是等腰三角形，且B點的坐標是(2,0)；

②當。A=OP2時?！?=OA=Vl2+I2=V2,且P2在無軸的負半軸時，

點坐標是(一V2,0).

③當?！?=AP-i=1,

...△Q4P3就是等腰三角形，且P3的坐標是(1,0)；

④當。4=?！?應，且”在x軸的正半軸時，「4點坐標是(魚，0),

故答案為：(1,0)、(2,0)、(V2,0)、(-V2,0).

□題型08等腰三角形性質與判定綜合

32.(2024通遼市模擬)如圖，在ZMBC中，AB=AC,BC=4,面積是10.4B的垂直平分線ED分別交

邊于E、。兩點，若點尸為BC邊的中點，點P為線段ED上一動點，則APBF周長的最小值為.

【分析】本題考查軸對稱求最短距離，熟練掌握等腰三角形的性質、軸對稱的性質是解題的關鍵.由垂直

平分線的性質可得4與B關于ED對稱，連接4P,AF,當4、P、F三點共線時，APBF周長最小為2F+的

長.

【詳解】解：「ED是線段48的垂直平分線,

2與B關于ED對稱，

連接力P,AF

c

PBF周長=PB+PF+FB=