多選題加練(十)計數原理、概率、隨機變量及其分布1.(2024·青島質檢)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(2,x)))eq\s\up12(6)的展開式中，下列結論正確的是()A.展開式共6項B.常數項為64C.所有項的系數之和為729D.所有項的二項式系數之和為64答案CD解析eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(2,x)))eq\s\up12(6)的展開式共有7項，A不正確；其通項Tr＋1＝Ceq\o\al(r,6)x6－req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,x)))eq\s\up12(r)＝Ceq\o\al(r,6)2rx6－2r，令6－2r＝0，解得r＝3，所以常數項為Ceq\o\al(3,6)23＝160，B不正確；令x＝1，則eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(2,1)))eq\s\up12(6)＝36＝729，C正確；所有項的二項式系數的和為26＝64，D正確.2.(2024·白山模擬)將A，B，C，D這4張卡片分別給甲、乙、丙、丁4人，每人分得一張卡片，則下列正確的是()A.甲得到A卡片與乙得到A卡片為對立事件B.甲得到A卡片與乙得到A卡片為互斥但不對立事件C.甲得到A卡片的概率為eq\f(1,4)D.甲、乙2人中有人得到A卡片的概率為eq\f(1,2)答案BCD解析甲得到A卡片與乙得到A卡片不可能同時發生，但可能同時不發生，所以甲得到A卡片與乙得到A卡片為互斥但不對立事件，A不正確，B正確；甲得到A卡片的概率為eq\f(Aeq\o\al(3,3),Aeq\o\al(4,4))＝eq\f(1,4)，C正確；甲、乙2人中有人得到A卡片的概率為eq\f(Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(3,3),Aeq\o\al(4,4))＝eq\f(1,2)，D正確.3.已知兩個離散型隨機變量X，Y，滿足Y＝2X＋1，其中X的分布列如下：X012Pabeq\f(1,6)若E(X)＝1，則()A.a＝eq\f(1,6) B.b＝eq\f(2,3)C.E(Y)＝2 D.D(Y)＝eq\f(4,3)答案ABD解析由分布列的性質，可得eq\f(1,6)＋a＋b＝1，解得a＋b＝eq\f(5,6)，①因為E(X)＝1，所以0×a＋1×b＋2×eq\f(1,6)＝1，即b＝eq\f(2,3)，②聯立①②解得a＝eq\f(1,6)，b＝eq\f(2,3)，所以D(X)＝(0－1)2×eq\f(1,6)＋(1－1)2×eq\f(2,3)＋(2－1)2×eq\f(1,6)＝eq\f(1,3)，因為Y＝2X－1，所以E(Y)＝2E(X)－1＝1，D(Y)＝4D(X)＝4×eq\f(1,3)＝eq\f(4,3).4.(2024·武漢模擬)已知事件A，B滿足A?B，且P(B)＝0.5，則一定有()A.P(eq\o(A,\s\up6(－))B)＞0.5 B.P(eq\o(B,\s\up6(－))|A)＜0.5C.P(Aeq\o(B,\s\up6(－)))＜0.25 D.P(A|B)＞0.5答案BC解析對于A，因為(eq\o(A,\s\up6(－))B)?B，所以P(eq\o(A,\s\up6(－))B)≤P(B)＝0.5，A不正確；對于B，因為A?B，所以事件A，eq\o(B,\s\up6(－))不可能同時發生，所以P(eq\o(B,\s\up6(－))A)＝0，則P(eq\o(B,\s\up6(－))|A)＝eq\f(P（\o(B,\s\up6(－))A）,P（A）)＝0＜0.5，B正確；對于C，因為A?B，所以事件A，eq\o(B,\s\up6(－))不可能同時發生，所以P(Aeq\o(B,\s\up6(－)))＝0＜0.25，C正確；對于D，因為A?B，所以P(AB)＝P(A).若A＝?，則P(A|B)＝eq\f(P（AB）,P（B）)＝eq\f(P（A）,P（B）)＝0，D不正確.5.(2024·南京質檢)某個家庭中有若干個小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，設M＝“該家庭中有男孩、又有女孩”，N＝“該家庭中最多有一個女孩”，則下列結論正確的是()A.若該家庭中有兩個小孩，則M與N互斥B.若該家庭中有兩個小孩，則M與N不相互獨立C.若該家庭中有三個小孩，則M與N不互斥D.若該家庭中有三個小孩，則M與N相互獨立答案BCD解析若該家庭中有兩個小孩，樣本空間為Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}，M＝{(男，女)，(女，男)}，N＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}，MN＝{(男，女)，(女，男)}，則M與N不互斥，P(M)＝eq\f(1,2)，P(N)＝eq\f(3,4)，P(MN)＝eq\f(1,2)，于是P(MN)≠P(M)P(N)，所以M與N不相互獨立，則A錯誤，B正確；若該家庭中有三個小孩，樣本空間為Ω＝{(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}，M＝{(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)}，N＝{(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)}，MN＝{(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)}，則M與N不互斥，P(M)＝eq\f(3,4)，P(N)＝eq\f(1,2)，P(MN)＝eq\f(3,8)，于是P(MN)＝P(M)P(N)，所以M與N相互獨立，則C和D均正確.6.(2024·鄭州調研)以下說法正確的是()A.將4封不同的信全部投入3個郵筒，共有64種不同的投法B.將4本不同的數學書和2本不同的物理書排列一排，且物理書不相鄰的排法有480種C.若隨機變量X～N(0，σ2)，且P(X≤2)＝0.8，則P(0<X≤2)＝0.3D.若隨機變量X～B(10，0.7)，則D(2X＋1)＝4.2答案BC解析對于A，第1封信可以投入3個信箱中的任意一個，有3種投法；同理，第2，3，4封信各有3種投法.根據分步乘法計數原理，共有3×3×3×3＝81種投法，故A錯誤；對于B，先排4本不同的數學書有Aeq\o\al(4,4)種排法，再將2本不同的物理書插空有Aeq\o\al(2,5)種排法，所以共有Aeq\o\al(4,4)·Aeq\o\al(2,5)＝480種不同的排法，故B正確；對于C，因為X～N(0，σ2)，且P(X≤2)＝0.8，所以P(0<X≤2)＝P(X≤2)－P(X≤0)＝0.8－0.5＝0.3，故C正確；對于D，因為X～B(10，0.7)，所以D(X)＝10×0.7×(1－0.7)＝2.1，所以D(2X＋1)＝22×D(X)＝4×2.1＝8.4，故D錯誤.7.(2024·長沙調研)已知我市某次考試高三數學成績X～N(80，36)，從全市所有高三學生中隨機抽取6名學生，成績不少于80分的人數為Y，則()A.P(X≥80)＝eq\f(1,2)B.eq\f(X－80,36)服從標準正態分布C.D(Y)＝3D.P(Y>3)＝eq\f(11,32)答案AD解析X～N(80，36)，故μ＝80，σ2＝36，σ＝6，對于A，根據正態分布的對稱性得到P(X≥80)＝eq\f(1,2)，正確；對于B，eq\f(X－80,6)服從標準正態分布，錯誤；對于C，P(X≤80)＝eq\f(1,2)，則Y～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6，\f(1,2)))，故D(Y)＝6×eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＝eq\f(3,2)，錯誤；對于D，P(Y>3)＝Ceq\o\al(4,6)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋Ceq\o\al(5,6)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＋Ceq\o\al(6,6)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(6)＝eq\f(11,32)，正確.8.(2024·杭州質檢)一個袋子有10個大小相同的球，其中有4個紅球，6個黑球，試驗一：從中隨機地有放回摸出3個球，記取到紅球的個數為X1，期望和方差分別為E(X1)，D(X1)；試驗二：從中隨機地無放回摸出3個球，記取到紅球的個數為X2，期望和方差分別為E(X2)，D(X2)，則()A.E(X1)＝E(X2) B.E(X1)>E(X2)C.D(X1)>D(X2) D.D(X1)<D(X2)答案AC解析從中隨機地有放回摸出3個球，則每次摸到紅球的概率為eq\f(4,10)＝eq\f(2,5)，則X1～eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(2,5)))，故E(X1)＝3×eq\f(2,5)＝eq\f(6,5)，D(X1)＝3×eq\f(2,5)×eq\f(3,5)＝eq\f(18,25)，從中隨機地無放回摸出3個球，記紅球的個數為X2，則X2的可能取值是0，1，2，3；則P(X2＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(0,4)·Ceq\o\al(3,6),Ceq\o\al(3,10))＝eq\f(1,6)，P(X2＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(1,4)·Ceq\o\al(2,6),Ceq\o\al(3,10))＝eq\f(1,2)，P(X2＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(1,6),Ceq\o\al(3,10))＝eq\f(3,10)，P(X2＝3)＝eq\f(Ceq\o\al(3,4)·Ceq\o\al(0,6),Ceq\o\al(3,10))＝eq\f(1,30)，所以隨機變量X2的概率分布列為X20123Peq\f(1,6)eq\f(1,2)eq\f(3,10)eq\f(1,30)數學期望E(X2)＝0×eq\f(1,6)＋1×eq\f(1,2)＋2×eq\f(3,10)＋3×eq\f(1,30)＝eq\f(6,5)；D(X2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f(6,5)))eq\s\up12(2)×eq\f(1,6)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(6,5)))eq\s\up12(2)×eq\f(1,2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(6,5)))eq\s\up12(2)×eq\f(3,10)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(6,5)))eq\s\up12(2)×eq\f(1,30)＝eq\f(14,25)，故E(X1)＝E(X2)，D(X1)>D(X2).9.(2024·廣州模擬)有3臺車床加工同一型號的零件，第1臺加工的次品率為8%，第2臺加工的次品率為3%，第3臺加工的次品率為2%，加工出來的零件混放在一起.已知第1、2、3臺車床加工的零件數分別占總數的10%、40%、50%，從混放的零件中任取一個零件，則下列結論正確的是()A.該零件是第1臺車床加工出來的次品的概率為0.08B.該零件是次品的概率為0.03C.如果該零件是第3臺車床加工出來的，那么它不是次品的概率為0.98D.如果該零件是次品，那么它不是第3臺車床加工出來的概率為eq\f(1,3)答案BC解析記事件A：車床加工的零件為次品，記事件Bi：第i臺車床加工的零件，則P(A|B1)＝8%，P(A|B2)＝3%，P(A|B3)＝2%，P(B1)＝10%，P(B2)＝40%，P(B3)＝50%，對于A，任取一個零件是第1臺生產出來的次品概率為P(AB1)＝P(A|B1)P(B1)＝8%×10%＝0.008，故A錯誤；對于B，任取一個零件是次品的概率為P(A)＝P(AB1)＋P(AB2)＋P(AB3)＝8%×10%＋3%×40%＋2%×50%＝0.03，故B正確；對于C，如果該零件是第3臺車床加工出來的，那么它不是次品的概率為P(eq\o(A,\s\up6(－))|B3)＝1－P(A|B3)＝1－2%＝0.98，故C正確；對于D，如果該零件是次品，那么它不是第3臺車床加工出來的概率為1－P(B3|A)＝1－eq\f(P（AB3）,P（A）)＝1－eq\f(P（A|B3）P（B3）,P（A）)＝1－eq\f(2%×50%,0.03)＝eq\f(2,3)，故D錯誤.10.(2024·石家莊質檢)在正三棱柱ABC－A1B1C1中，若A點處有一只螞蟻，隨機的沿三棱柱的各棱或各側面的對角線向相鄰的某個頂點移動，且向每個相鄰頂點移動的概率相同，設螞蟻移動n次后還在底面ABC的概率為Pn，則下列說法正確的是()A.P1＝eq\f(1,2)B.P2＝eq\f(13,25)C.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(Pn－\f(1,2)))為等比數列D.Pn＝－eq\f(1,10)×eq\