PAGE1-第1講數列的概念與簡潔表示法[基礎題組練]1．已知數列{an}的通項公式為an＝n2－8n＋15，則()A．3不是數列{an}的項B．3只是數列{an}的第2項C．3只是數列{an}的第6項D．3是數列{an}的第2項和第6項解析：選D.令an＝3，即n2－8n＋15＝3.整理，得n2－8n＋12＝0，解得n＝2或n＝6.故選D.2．已知數列{an}的前n項和Sn滿意log2(Sn＋1)＝n，則an＝()A．eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1，n＝1，,2n，n≥2)) B．2nC．2n－1 D．2n－1－1解析：選C.log2(Sn＋1)＝n?Sn＋1＝2n.所以an＝Sn－Sn－1＝2n－2n－1＝2n－1(n≥2)，又a1＝S1＝2－1＝1，適合an(n≥2)，因此an＝2n－1.故選C.3．(2024·長沙市統一模擬考試)《九章算術》是我國古代第一部數學專著，全書收集了246個問題及其解法，其中一個問題為“現有一根九節的竹子，自上而下各節的容積成等差數列，上面四節容積之和為3升，下面三節的容積之和為4升，求中間兩節的容積各為多少？”該問題中的第2節，第3節，第8節竹子的容積之和為()A.eq\f(17,6)升 B.eq\f(7,2)升C.eq\f(113,66)升 D.eq\f(109,33)升解析：選A.自上而下依次設各節竹子的容積分別為a1，a2，…，a9，依題意有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＋a2＋a3＋a4＝3,a7＋a8＋a9＝4))，因為a2＋a3＝a1＋a4，a7＋a9＝2a8，故a2＋a3＋a8＝eq\f(3,2)＋eq\f(4,3)＝eq\f(17,6).選A.4．在數列{an}中，“|an＋1|>an”是“數列{an}為遞增數列”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解析：選B.“|an＋1|>an”?an＋1>an或－an＋1>an，充分性不成立，數列{an}為遞增數列?|an＋1|≥an＋1>an成立，必要性成立，所以“|an＋1|>an”是“數列{an}為遞增數列”的必要不充分條件．故選B.5．數列1，eq\f(2,3)，eq\f(3,5)，eq\f(4,7)，eq\f(5,9)，…的一個通項公式an＝________．解析：由已知得，數列可寫成eq\f(1,1)，eq\f(2,3)，eq\f(3,5)，…，故通項公式可以為eq\f(n,2n－1).答案：eq\f(n,2n－1)6．若數列{an}滿意a1·a2·a3·…·an＝n2＋3n＋2，則數列{an}的通項公式為________．解析：a1·a2·a3·…·an＝(n＋1)(n＋2)，當n＝1時，a1＝6；當n≥2時，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1·a2·a3·…·an－1·an＝（n＋1）（n＋2），,a1·a2·a3·…·an－1＝n（n＋1），))故當n≥2時，an＝eq\f(n＋2,n)，所以an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(6，n＝1，,\f(n＋2,n)，n≥2，n∈N*.))答案：an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(6，n＝1，,\f(n＋2,n)，n≥2，n∈N*))7．已知數列{an}的前n項和為Sn.(1)若Sn＝(－1)n＋1·n，求a5＋a6及an；(2)若Sn＝3n＋2n＋1，求an.解：(1)因為a5＋a6＝S6－S4＝(－6)－(－4)＝－2，當n＝1時，a1＝S1＝1，當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝(－1)n＋1·n－(－1)n·(n－1)＝(－1)n＋1·[n＋(n－1)]＝(－1)n＋1·(2n－1)，又a1也適合此式，所以an＝(－1)n＋1·(2n－1)．(2)因為當n＝1時，a1＝S1＝6；當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋2n＋1)－[3n－1＋2(n－1)＋1]＝2×3n－1＋2，由于a1不適合此式，所以an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(6，n＝1，,2×3n－1＋2，n≥2.))8．已知Sn為正項數列{an}的前n項和，且滿意Sn＝eq\f(1,2)aeq\o\al(2,n)＋eq\f(1,2)an(n∈N*)．(1)求a1，a2，a3，a4的值；(2)求數列{an}的通項公式．解：(1)由Sn＝eq\f(1,2)aeq\o\al(2,n)＋eq\f(1,2)an(n∈N*)，可得a1＝eq\f(1,2)aeq\o\al(2,1)＋eq\f(1,2)a1，解得a1＝1；S2＝a1＋a2＝eq\f(1,2)aeq\o\al(2,2)＋eq\f(1,2)a2，解得a2＝2；同理a3＝3，a4＝4.(2)Sn＝eq\f(1,2)aeq\o\al(2,n)＋eq\f(1,2)an，①當n≥2時，Sn－1＝eq\f(1,2)aeq\o\al(2,n－1)＋eq\f(1,2)an－1，②①－②得(an－an－1－1)(an＋an－1)＝0.由于an＋an－1≠0，所以an－an－1＝1，又由(1)知a1＝1，故數列{an}是首項為1，公差為1的等差數列，故an＝n.[綜合題組練]1．(2024·廣東惠州模擬)已知數列{an}的前n項和為Sn，且Sn＝2an－1，則eq\f(S6,a6)＝()A.eq\f(63,32) B.eq\f(31,16)C.eq\f(123,64) D.eq\f(127,128)解析：選A.因為Sn＝2an－1，所以n＝1時，a1＝2a1－1，解得a1＝1；n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2an－1－(2an－1－1)，化為an＝2an－1.所以數列{an}是等比數列，公比為2.所以a6＝25＝32，S6＝eq\f(26－1,2－1)＝63，則eq\f(S6,a6)＝eq\f(63,32).故選A.2．(創新型)(2024·德陽診斷)若存在常數k(k∈N*，k≥2)，q，d，使得無窮數列{an}滿意an＋1＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an＋d，\f(n,k)?N*，,qan，\f(n,k)∈N*，))則稱數列{an}為“段比差數列”，其中常數k，q，d分別叫做段長、段比、段差．設數列{bn}為“段比差數列”，若{bn}的首項、段長、段比、段差分別為1，3，0，3，則b2016＝()A．3 B．4C．5 D．6解析：選D.因為{bn}的首項、段長、段比、段差分別為1，3，0，3，所以b2014＝0×b2013＝0，所以b2015＝b2014＋3＝3，所以b2016＝b2015＋3＝6.故選D.3．若數列{an}滿意an＝eq\f(n＋3,n＋2)，則該數列落入區間(eq\f(13,12)，eq\f(5,4))內的項數為________．解析：由eq\f(13,12)<eq\f(n＋3,n＋2)<eq\f(5,4)得，eq\f(13,12)<1＋eq\f(1,n＋2)<eq\f(5,4)，即eq\f(1,12)<eq\f(1,n＋2)<eq\f(1,4)，4<n＋2<12，2<n<10，明顯，落入區間(eq\f(13,12)，eq\f(5,4))內的項數為7.答案：74．(綜合型)(2024·臨汾期末)已知數列{xn}的各項均為正整數，且滿意xn＋1＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(xn,2)，xn為偶數，,xn＋1，xn為奇數，))n∈N*.若x3＋x4＝3，則x1全部可能取值的集合為________．解析：由題意得x3＝1，x4＝2或x3＝2，x4＝1.當x3＝1時，x2＝2，從而x1＝1或4；當x3＝2時，x2＝1或4，因此當x2＝1時，x1＝2，當x2＝4時，x1＝8或3.綜上，x1全部可能取值的集合為{1，2，3，4，8}．答案：{1，2，3，4，8}5．(2024·山東青島調研)已知Sn是數列{an}的前n項和，Sn＝3×2n－3，其中n∈N*.(1)求數列{an}的通項公式；(2)數列{bn}為等差數列，Tn為其前n項和，b2＝a5，b11＝S3，求Tn的最值．解：(1)由Sn＝3×2n－3，n∈N*，得(ⅰ)當n＝1時，a1＝S1＝3×21－3＝3.(ⅱ)當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝(3×2n－3)－(3×2n－1－3)＝3×(2n－2n－1)＝3×2n－1(*)．又當n＝1時，a1＝3也滿意(*)式．所以，對隨意n∈N*，都有an＝3×2n－1.(2)設等差數列{bn}的首項為b1，公差為d，由(1)得b2＝a5＝3×25－1＝48，b11＝S3＝3×23－3＝21.由等差數列的通項公式得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b2＝b1＋d＝48，,b11＝b1＋10d＝21，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b1＝51，,d＝－3.))所以bn＝54－3n.可以看出bn隨著n的增大而減小，令bn≥0，解得n≤18，所以Tn有最大值，無最小值，且T18(或T17)為前n項和Tn的最大值，T18＝eq\f(18（b1＋b18）,2)＝9×(51＋0)＝459.6．設數列{an}的前n項和為Sn.已知a1＝a(a≠3)，an＋1＝Sn＋3n，n∈N*.(1)設bn＝Sn－3n，求數列{bn}的通項公式；(2)若an＋1≥an，n∈N*，求a的取值范圍．解：(1)依題意得Sn＋1－Sn＝an＋1＝Sn＋3n，即Sn＋1＝2Sn＋3n，由此得Sn＋1－3n＋1＝2(Sn－3n)，即bn＋1＝2bn，又b1＝S1－3＝a－3，因此，所求通項公式為bn＝(a－3)2n－1，n∈N*.(2)由(1)可知Sn＝3n＋(a－3)2n－1，n∈N*，于是，當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝3n＋(a－3)2n－1－3n－1－(a－3)2n－2＝2×3n－1＋(a－3)2n－2，an＋1－an＝4×3n－1＋(a－3)2n