第三章圖形的平移與旋轉（5類題型突破）

題型一圖形的平移

【例題】

1.下列生活現象中，屬于平移現象的是（）

A.急剎車時汽車在地面滑行

B.風車的轉動

C.投影片的文字經投影轉換到屏幕上

D.鐘擺的擺動

鞏固訓練：

2.將點（-L2）先向左平移2個單位長度，再向下平移3個單位長度后得到的點的坐標為（）

A.(-3,5)B.(-3,-1)C.(1,5)D.(1,-1)

3.在平面直角坐標系中，線段A的是由線段A3經過平移得到的，已知點A（-2,1）的對應

點為4（1,-2）,點3的對應點為夕（2,0）.則3點的坐標為（）

A.(1,3)B.(1,-3)C.(-1,3)D.(-t-3)

4.如圖，將AABC沿3c所在直線向右平移得到ADEF,則下列說法錯誤的是（）

A.AABC^ADEFB.AC1.DE

C.AB//EDD.BE=CF

5.如圖，在平面直角坐標系中，點的坐標為4。,3）,沿軸向右平移后得到A’,A點的對應點A

在直線＞=%上，則點B與其對應點B，間的距離為（）

A.2B.3C.4D.5

6.如圖，在三角形ABC中，ZBAC=90°,AB=3,AC=4,BC=5,將三角形ABC沿直線BC向

右平移3個單位得到三角形。Eb,連接AD.則下列結論：

@AC/IDF,AC^DF-

②NEDF=90°；

③四邊形ABFD的周長是18；

④AZ）:EC=3:2；

⑤點A到2c的距離為2.4.

其中正確結論的個數有（）

A.5B.4C.3D.2

題型二圖形的旋轉

【例題】

7.下列運動屬于數學上的旋轉的是）

A.乘坐升降電梯B.地球繞太陽轉動

C.鐘表上的時針運動D.將等腰三角形沿著底邊上的高對折

鞏固訓練：

8.下列圖案中，不能由其中一個圖形通過旋轉而構成的是（）

A.

事tB蛛4A

9.如圖，&43C繞點P逆時針旋轉一個角度得到ADEF,則下面選項中不能表示旋轉角的是

()

ZAPDC.NBPED.ZCPF

10.如圖，在4x4的正方形網格中，△/〃、口繞某點旋轉一定的角度，得到△MNP,則其旋轉

中心可能是（）

MN

A.點AB.點8C.點CD.點。

11.如圖，A。鉆繞點。順時針旋轉40。得到AOCD,若450c=15。，則/O的度數是（）

A.45°B.50°C.55°D.60°

12.如圖，在Rt^ABC中，ZC=90°,ZABC=30°,AC=1cm將RtAABC繞點A逆時針旋轉得

到RtZXAB'C',AB'=()

A.1cmB.2cmC.&cmD.26cm

13.AA5C和△BD石是等邊三角形，且人民。在一條直線上，連接A瓦交于點P,則下列結

論中錯誤的是（）

A.AC||BE

B.ZAPC=60°

C.可以看作是AA5c平移而成的

D.ACBD可以看作是△ABE繞點B順時針旋轉60。而成的

14.以原點為中心，將點尸（4,5）按逆時針方向旋轉90。，得到的點。的坐標為（）

A.（-4,5）B.（-5,4）C.（4,5）D.（-…）

15.如圖，正六邊形繞中心。旋轉一定的角度后能與自身重合，則旋轉角至少是（）

16.如圖，在AABC中，ZACB=90°,AC=3,BC=4,將繞點3順時針旋轉得到△ABC,

使點A在BC的延長線上，則4c的長為（）

17.如圖，在中，ZCMB=90°,邊。1在x軸上，04=4,AB=3.將AOAB繞點。順時針

18.如圖，在平面直角坐標系中，射線是第一象限的角平分線，線段08=2夜，將A。出繞

原點逆時針旋轉，每次旋轉45。，則第2023次旋轉結束后，點B對應點的坐標為（）

C.(0,-272)D.(0,2碼

19.兩塊完全相同的含30。角的直角三角板ABC和AbC重合在一起，將三角板AEC繞直角

頂點C按逆時針方向旋轉a(0°<?<90°),如圖所示.以下結論錯誤的是()

A.當a=30。時，AC與A8的交點恰好為中點.

B.當《=60。時，A的恰好經過點8.

C.在旋轉過程中，存在某一時刻，使得

D.在旋轉過程中，始終存在A4U32.

題型三中心對稱

【例題】

鞏固訓練:

21.下列圖形中,既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是)

A.B.C.D.

22.如圖，AABC與AAEC關于點。成中心對稱，則下列結論不成立的是（）

BO=B0

C.AB//AB'D.NACB=NC'A'B'

23.如圖，AABC與關于點。成中心對稱，則下列結論不成立的是（）

B.AO=A'O

C.ZAOB=ZAOB'D.ZACB=ZC'AB'

題型四設計圖案

【例題1

24.如圖，由圖案(1)到圖案（2）再到圖案（3）的變化過程中，不可能用作的圖形變化是

(

(1)

A.軸對稱B.旋轉C.中心對稱D.平移

鞏固訓練:

25.如圖，由圖案(1)到圖案（2）再到圖案（3）的變化過程中，不可能用到的圖形變換是

()

(1)(2)(3)

A.軸對稱B.旋轉C.中心對稱D.平移

26.下圖由正六邊形與兩條對角線所組成，添加一條對角線使圖形是中心對稱圖形，添加方

法有（）種.

△A-\

/

A.1B.2C.3D.4

27.風車應做成中心對稱圖形,并且不是軸對稱圖形，才能在風口處平穩旋轉.現有一長條矩形

硬紙板（其中心有一個小孔）和兩張全等的矩形薄紙片,將紙片黏到硬紙板上，做成一個能繞著

小孔平穩旋轉的風車.正確的黏合方法是（）

仁00

28.小明有一個俯視圖為等腰三角形的積木盒，現在積木盒中只剩下如圖所示的九個空格,

下面列有積木的四種搭配方式，其中恰好能放入盒中空格的有（）

搭配①搭配②搭配③搭配④

!>>■豁EM

MMES.Ew

A.1種B.2種C.3種D.4種

題型五圖形的平移與旋轉綜合解答題

【例題

29.如圖，在邊長為1的小正方形格中，AAC?頂點均在格點上,

(1)將SOB向左平移3個單位長度得到AA。#,請畫出A4。4；

(2)以原點。為旋轉中心，畫出把AAOB順時針旋轉180。的圖形^OB2

鞏固訓練：

30.如圖，在平面直角坐標系中，4(3,4),3(4,2),C(l,l).

⑴畫出AABC關于y軸的對稱圖形△ABC；

⑵畫出△&4G沿y軸向下平移4個單位長度后得到的鳥a；

⑶若線段2c上有一點M(a,b)經過上述兩次變換，則對應的點外的坐標是.

31.圖①、圖②和圖③都是5x5的正方形網格，每個小正方形邊長均為1.按要求分別在圖①、

圖②和圖③中畫圖：

S?囪面面面

⑴在圖①中畫等腰AABC,使其面積為3,并且點C在小正方形的頂點上；

⑵在圖②中畫四邊形ARDE,使其是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形，D,E兩點都在小正方

形的頂點上；

⑶在圖③中畫四邊形ABBG,使其是中心對稱圖形但不是軸對稱圖形，F,G兩點都在小正

方形的頂點上；

32.如圖，在RtA4BC中，ZC=90°,把AABC繞著點3順時針旋轉得到△8DE,點C的對應

點。落在上，連接

E

⑴若3C=6,AC=8,求AE的長；

(2)若。為AB的中點，求證：右4珥是等邊三角形.

33.如圖，等邊三角形ABC內一點。，將線段AD繞點A逆時針旋轉60。，得到線段AE,連接

CD,BE,DE.

(1)請判斷△⑷汨的形狀,并寫出判斷的依據

⑵若ZAT>C=105。，求/3瓦)的度數.

34.如圖，在等腰直角AABC中，AC=3C=4,ZACB=90。，點D,召分別為邊AC,8C的中點，點

尸為線段OE上一點，現將線段CP繞點C順時針旋轉90。得到線段。。，連接BP,AQ.

(1)求證：NPBC=NQAC；

(2)若DP=2PE,連接QD,求絲的值.

35.如圖，在RtAABC中，ABAC^9Q0,將RtA4BC繞點A順時針旋轉一定的角度得到Rt/\ADE,

且點E恰好落在邊2C上.

⑴若/4BC=20。，貝l]NCAE=0

(2)求證：￡4平分NCE。；

(3)連接OB,判斷線段OB與線段BC的位置關系，并說明理由.

36.在等邊AABC中,

(1)如圖1,。為&4BC外一點，ZBDC=120°.求證；AD=DB+DC-

⑵如圖2,。為AB邊上一動點，連8,將CD繞著。逆時針旋轉120。得到DE,連BE,取BE

中點F,連。/，猜想AD與。尸的數量關系，并證明你的猜想；

(3)如圖3,/尸。。=60。，過C作CDLO尸于。，作CE，。。于E,(OD>Q4,OE>O3),若相>=?BE,

求黑的值.(用含〃的代數式表示)

(JD

第三章圖形的平移與旋轉(5類題型突破)

答案全解全析

題型一圖形的平移

【例題】

1.下列生活現象中，屬于平移現象的是()

A.急剎車時汽車在地面滑行

B.風車的轉動

C.投影片的文字經投影轉換到屏幕上

D.鐘擺的擺動

【答案】A

【解析】略

鞏固訓練：

2.將點(T，2)先向左平移2個單位長度，再向下平移3個單位長度后得到的點的坐標為()

A.(-3,5)B.(-3,-1)C.(1,5)D.(1,-1)

【答案】B

【分析】此題主要考查了坐標與圖形變化-平移，根據平移變化規律，橫坐標，右移加，左移

減；縱坐標，上移加，下移減可得所得到的點的坐標為2-3),再解即可.

【解析】解：(T，2)先向左平移2個單位長度，再向下平移3個單位長度后得到的點的坐標是

(-1-2,2-3),即(-3,-1).

故選：B.

3.在平面直角坐標系中，線段AB是由線段A3經過平移得到的，已知點A(-2,1)的對應

點為4(1,-2),點3的對應點為8(2,0).則3點的坐標為()

A.(1,3)B.(1,-3)C.(-1,3)D.(一1,-3)

【答案】C

【分析】根據對應點A、4找出平移規律，然后設點5的坐標為(x,y),根據平移規律列式

求解即可.

【解析】解：???點A(-2,1)的對應點為4(1,-2),

.*.-2+3=1,1-3=-2,

???平移規律是橫坐標向右平移3個單位，縱坐標向下平移3個單位，

設點B的坐標為（x,y）,

則x+3=2,y-3=0,

解得x=-l,y=3,

所以點3的坐標為（-1,3）.

故選C

【點睛】本題考查了平移變換與坐標與圖形的變化，根據已知對應點A、4找出平移規律是

解題的關鍵，平移中點的變化規律是：橫坐標右移加，左移減；縱坐標上移加，下移減.

4.如圖，將&43C沿8C所在直線向右平移得到ADEF,則下列說法錯誤的是（）

A.Z\ABC^/\DEFB.ACIDE

C.AB//EDD.BE=CF

【答案】B

【分析】本題考查了平移和三角形全等的性質，由平移的性質得到AXBC二△DEF,由三角形

全等的性質得Z6=ZDEF和3C=EF,即可得到答案.

【解析】解：A、AABC沿BC所在直線向右平移得到由平移性質得△ABC/ADEb,此

選項正確，不符合題意；

B、ACLDE無法證明是否正確，此選項錯誤，故本選項符合題意；

C、由△ABC當△DEF得ZB=ZDEF,則成立，此選項正確，不符合題意；

D、由△ABC/跖得3C=EF,則3E=CF成立，此選項正確，不符合題意；

故選：B.

5.如圖，在平面直角坐標系中，點的坐標為4。，3）,沿軸向右平移后得到A’,A點的對應點4

在直線"%上，則點B與其對應點B，間的距離為（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】c

【分析】先根據平移的特點可知所求的距離為83',且跖=44'=。。'，點4縱坐標與點A縱

坐標相等，再將其代入直線＞=%求出點A’橫坐標，從而可知。。’的長，即可得出答案.

【解析】???4(0,3)

由平移的特點得：所求的距離為38,88=44=0。，點4縱坐標與點A縱坐標相等，即點4

縱坐標為3

令y=3,代入直線丫=%得，X=4

則BB=AA=Od=4

故選：C.

【點睛】本題考查了平移的特點、一次函數的圖象，掌握理解平移的特點是解題關鍵.

6.如圖，在三角形A3C中，ABAC=90°,AB=3,AC=4,BC=5,將三角形ABC沿直線2C向

右平移3個單位得到三角形連接AD.則下列結論：

@AC//DF,AC^DF-

②NEDF=90°；

③四邊形ABFD的周長是18；

④AD:EC=3:2；

⑤點A到BC的距離為2.4.

其中正確結論的個數有()

A.5B.4C.3D.2

【答案】A

【分析】設AC與DE的交點為H,根據平移的性質可得

AC=DF^4,AC//DF,AB//DE,AD=CF=BE=3,然后可得ZEHC=ZBAC=ZEDF=90°,過點A作

AG,3c于點G,則AG即為點A到3C的距離，然后利用等積法可進行求解.

【解析】解：設AC與DE的交點為如圖所示：

VAC=4,將三角形ABC沿直線2C向右平移3個單位得到三角形D卯，連接AD,

???根據平移的性質知，AC=DF=4,ACHDF,ABHDE,AD=CF=BE=3,故①正確；

ABAC=90°,

：.NEHC=ABAC=NEDF=90°,故②正確；

VAB=3,BC=5,

???四邊形ABED的周長為

AB+BF+DF+AD=AB+BC+CF+AC+AD=3+4+5+6=18,故③正確；

*.?EC=BC-BE=5-3=2,

：.AD:EC=3:2,故④正確；

過點A作AG,3c于點G,則AG即為點A到3c的距離，如圖，

,：S^c=^AB-AC=^BC-AG,

???AG=U=2.4,故⑤正確；

???正確的個數有5個；

故選A.

【點睛】本題主要考查平移的性質及平行線的性質與判定，熟練掌握平移的性質是解題的關

鍵.

題型二圖形的旋轉

【例題】

7.下列運動屬于數學上的旋轉的是（）

A.乘坐升降電梯B.地球繞太陽轉動

C.鐘表上的時針運動D.將等腰三角形沿著底邊上的高對折

【答案】C

【分析】此題主要考查了生活中的旋轉現象，根據旋轉的定義，在平面內，把一個圖形繞著

某一個點旋轉一個角度的圖形變換叫做旋轉，進而分別判斷得出答案，正確把握定義是解題

的關鍵.

【解析】A、乘坐升降電梯屬于平移，不符合題意；

B、地球繞太陽轉動不屬于旋轉，不符合題意；

C、鐘表上的時針運動屬于旋轉，符合題意；

D、將等腰三角形沿著底邊上的高對折屬于軸對稱，不符合題意;

故選：D.

鞏固訓練：

8.下列圖案中，不能由其中一個圖形通過旋轉而構成的是（）

【答案】C

【分析】本題考查旋轉的性質和軸對稱的定義：（1）旋轉的性質：旋轉變化前后，對應線段、

對應角分別相等，圖形的大小、形狀都不改變.要注意旋轉的三要素：①定點-旋轉中心；

②旋轉方向；③旋轉角度.（2）軸對稱的定義：如果一個圖形沿著一條直線對折后兩部分完

全重合，這樣的圖形叫做軸對稱圖形.能否構成旋轉，關鍵是看有沒有旋轉中心、旋轉方向

和旋轉角度.

【解析】解：選項A,B,D都是可以由一個基本圖形旋轉得到.選項C是軸對稱圖形，不

能旋轉得到.

故選：C

9.如圖，AABC繞點P逆時針旋轉一個角度得到AQEF,則下面選項中不能表示旋轉角的是

（）

A.NCPDB.ZAPDC.NBPED.ZCPF

【答案】A

【分析】本題考查旋轉的性質，關鍵是掌握旋轉角的定義.旋轉角是指旋轉中心與旋轉前后

的對應點連線的夾角，由此即可判斷.

【解析】解：由旋轉角的定義知ZAP。，NBPE、NCPE都是旋轉角，

故3、C、。不符合題意；

旋轉后的對應點是F

?,./CPD不是旋轉角，

，A符合題意.

故選：A.

10.如圖，在4x4的正方形網格中，△WP繞某點旋轉一定的角度，得到則其旋轉

中心可能是（）

A.點AB.點BC.點CD.點。

【答案】B

【分析】本題考查了旋轉圖形的性質，根據旋轉圖形的性質，可知旋轉中心再對應頂點連線

的垂直平分線上，則連接PP,NN',分別作出PP,的垂直平分線，垂直平分線的交點

即為所求，熟練掌握旋轉圖形的性質是解此題的關鍵.

【解析】解：如圖，連接PP,NN',分別作出PP,的垂直平分線，

MN

PP',MV'的垂直平分線的交點為8,

二旋轉中心是點8,

故選：B.

11.如圖，AOAB繞點。順時針旋轉40。得到AOCD,若ZBOC=15。，則，。的度數是（）

A.45°B.50°C.55°D.60°

【答案】C

【分析】本題主要考查旋轉的性質、三角形的內角和定理、三角形外角性質，熟練掌握旋轉

的性質是解題關鍵.

根據旋轉得到AO=OC,根據等腰三角形的性質及三角形內角和定理得出ZA=ZAC。，再根據

三角形的外角定理即可求出.

【解析】解：由旋轉的性質可知，AO=OC,ZB=ZD,

：.ZA=ZACO,

：.ZAOC=40°,

ZA=ZACO=1(180°-ZAOC)=70°,

ZACO=Z.BOC+ZB,NBOC=15°,

.-.ZB=70°-15°=55°,

:.ZD=ZB=55°.

故選：C.

12.如圖，在RtAABC中，ZC=90°,ZABC=30°,AC=lcm將Rt△ABC繞點A逆時針旋轉得

到RtZXAB。,AB'=()

A.1cmB.2cmC.V3cmD.26cm

【答案】B

【分析】本題考查直角三角形30。角所對直角邊等于斜邊一半及旋轉的性質：旋轉前后圖形大

小形狀不變只是位置發生改變；

【解析】解：：NC=90。，ZABC=30°,AC=1cm,

AB=2AC=2cm,

??,將RtZkABC繞點A逆時針旋轉得到RtWC,

AB'=AB=2cm,

故選：B.

13.AABC和△血汨是等邊三角形，且A民〃在一條直線上，連接AE,。交于點尸，則下列結

論中錯誤的是()

A.AC\\BE

B.ZAPC=60°

C.△助DE可以看作是AABC平移而成的

D.ACBD可以看作是AABE繞點3順時針旋轉60。而成的

【答案】C

【分析】A、利用等邊三角形的定義可得：NCAB=NDBE=60°，由同位角相等可得：AC\\BE.

B、先證明則ZBDC=ZAEB,根據外角的性質得：ZAPC=/EBD=60。,

C、因為兩個等邊三角形的邊長不確定，所以本選項錯誤；

D、由B選項中的全等可得結論.

【解析】解：A、?.?3史和ABDE是等邊三角形，

/.ZCAB^ZDBE^60°,

：.AC\\BE,

選項正確，不符合題意；

B、：AABC和△BDE是等邊三角形，

/.AB=BC,BE=BD,ZABC=ZDBE=60°,

ZABC+ZCBE=NDBE+NCBE,

即ZABE=NCBD,

:.AABE玨CBD(SAS),

,NBDC=ZAEB,

：.ZAPC=/EAB+ZBDC=ZEAB+ZAEB=ZEBD=60°,

選項正確，不符合題意；

C、：AABC和△BDE是等邊三角形，

但邊長不一定相等，

選項錯誤，符合題意；

D、,:AABE二衛BD,且/EBD=60。，

ACBD可以看作是AABE繞點8順時針旋轉60。而成，

選項正確，不符合題意；

故選C.

【點睛】此題考查了等邊三角形的判定與性質與全等三角形的判定與性質，平行線的判定和

性質，本題是常考題型，解題的關鍵是仔細識圖，找準全等的三角形.

14.以原點為中心，將點尸(4,5)按逆時針方向旋轉90。，得到的點。的坐標為()

A.(-4,5)B.(-5,4)C.(4,5)D.(FT)

【答案】B

【分析】此題主要考查了坐標與圖形變換-旋轉.建立平面直角坐標系，作出旋轉后的圖形,

然后根據圖形寫出點Q的坐標即可.

【解析】解：如圖所示，建立平面直角坐標系，點Q的坐標為(-5,4).

)AP

故選：B.

15.如圖，正六邊形繞中心。旋轉一定的角度后能與自身重合，則旋轉角至少是()

B.60°C.90°D.150°

【答案】B

【分析】本題考查旋轉對稱圖形的知識，正六邊形可以被經過中心的射線平分成6個全等的

部分，則旋轉的角度即可確定.

【解析】解：正六邊形可以被經過中心的射線平分成6個全等的部分，則旋轉至少360+6=60

度，能夠與本身重合.

故選：B.

16.如圖，在AASC中，ZACB=90。，AC=3,BC=4,將AASC繞點B順時針旋轉得到△ABC,

使點4在BC的延長線上，則AC的長為（）

【答案】A

【分析】在AMC中，利用勾股定理可得鉆=阮7^=5,再由旋轉的性質可得A'3=AB=5,

然后由A'C=A3-BC即可獲得答案.

【解析】解：在AABC中，ZACB=90°,

VAC=3,BC=4,

?*-AB=VAC2+BC2=V32+42=5-

由旋轉可知，A'B=AB=5,

：.A,C=A,S-BC=5-4=1.

故選：A.

【點睛】本題主要考查了旋轉的性質以及勾股定理等知識，熟練掌握相關知識是解題關鍵.

17.如圖，在中，ZOAB=90°,邊04在x軸上，04=4,AB=3.將繞點。順時針

【答案】C

【分析】本題考查圖形規律.根據題意先將前幾次旋轉后的坐標表示出查看規律即可得到本

題答案.

【解析】解：：NQ4B=90。，邊0A在無軸上，0A=4,AB=3,

,將AOAB繞點。順時針旋轉，每次旋轉90。，

.?.點8（4,3）,

第一次旋轉片（3,-4）,第二次旋轉員（-4,-3）,第三次旋轉為（-3,4）,第四次旋轉為（4,3）,

???可知點B的坐標4次一循環，

??.第2023次旋轉結束時，2023+4=505……3,

.?.點5的坐標為（-3,4）,

故選：C.

18.如圖，在平面直角坐標系中，射線是第一象限的角平分線，線段。3=2夜，將A04B繞

原點逆時針旋轉，每次旋轉45。，則第2023次旋轉結束后，點3對應點的坐標為（）

A.（-2,-2）B.（20,0）C.（。,-2閭D.（。,2回

【答案】B

【分析】本題主要考查了坐標與圖形變化-旋轉及探索圖形規律.根據題意和角平分線的性

質，即可得到B點的坐標,根據旋轉的規律即可得到旋轉后B的坐標，找到規律，即可求解.找

到旋轉的規律是解題的關鍵.

【解析】?.?射線是第一象限的角平分線，08=2也，

???現2,2）,

由題意得：第一次旋轉后點3對應點的坐標為（。,2應），

第二次旋轉后點B對應點的坐標為（-2,2）,

第三次旋轉后點B對應點的坐標為卜20,0）,

第四次旋轉后點B對應點的坐標為（-2,-2）,

第五次旋轉后點B對應點的坐標為倒廠2行），

第六次旋轉后點3對應點的坐標為（2,-2）,

第七次旋轉后點B對應點的坐標為（20,0）,

第八次旋轉后點3對應點的坐標為（2,2）,

???第八次旋轉后與原來點B重合,

???每8次一個循環，

?.?2023+8=252……7,

.,.第2023次旋轉結束后，點B對應點的坐標與第七次的坐標相同為（20,0）.

故選：B.

19.兩塊完全相同的含30。角的直角三角板A3C和重合在一起，將三角板繞直角

頂點C按逆時針方向旋轉a（0°<a<90°）,如圖所示.以下結論錯誤的是（）

A.當。=30。時，AC與的交點恰好為AB中點.

B.當a=60。時，AE恰好經過點8.

C.在旋轉過程中，存在某一時刻，使得

D.在旋轉過程中，始終存在

【答案】C

【分析】根據全等三角形的性質可得AC=4C,BC=B'C,再根據旋轉角求出等邊三角形，

判斷出①②正確，假設44=38,則可推出AA4，C冬的C,可得AC=BC與已知矛盾，判斷出

③錯誤，再根據四邊形的內角和等于360。求出A4,與M，的夾角為90。，判斷出④正確.

【解析】解：：直角三角板ABC和重合在一起，

/.AC=AC,BC=B'C,

A：當a=30。時，ZACB=60°,

設AC與A3交點為G,如圖所示,

B'

(C)CIr/

'：ZB=60°,

：.ZCGB=60°,

.?.△BCG為等邊三角形，

BC=BG,

'：NA=30。，

/.BC=-AB,

2

/.BG=-AB,

2

即4c與AB的交點為AB的中點，

故A正確；

B：當&=60。時，/&CB=60。，

NB'=60°,

I.以點E、C、8構成的三角形是等邊三角形,

，B'B=B'C,

'：B'C=-A'B',

2

/.B'B=-A'B',

2

：.AF恰好經過B,

故B正確；

C在旋轉過程中，ZACA=ZBCB'=a,

XVAC=AC,BC=B'C

.ACA'C

??茲一匹’

...AAABABB'C,

.AA,ACr-

：.AA'*BB,

故C錯誤;

D：如圖，設直線A4,與直線班，交于M,

VZACA=a,AC=AC,

ZCAA'=ZCA'A=1(180°-?),

同理可得NCBa=NCB3=g(180O-a),

又*.*ZACB'=ZACA+ZACB'=900+a,

/.ZAMB'=360°-ZCAA-ZCB'B-ZACB'=360°-2x1(180°-a)-(90°+?)=90°,

：.AMIB'M,

...在旋轉過程中，始終存在A4U32,

故D正確；

故選：C.

【點睛】此題考查了旋轉的性質，等邊三角形的判定與性質，等腰三角形兩底角相等的性質,

熟記性質并準確識圖，理清圖中各角度之間的關系是解題的關鍵.

題型三中心對稱

【例題】

【答案】D

【分析】本題考查中心對稱圖形的識別，解題的關鍵是掌握中心對稱圖形的定義：在同一平

面內，如果把一個圖形繞某一點旋轉180度，旋轉后的圖形能和原圖形完全重合，那么這個

圖形就叫做中心對稱圖形.

根據中心對稱圖形的定義直接判斷即可.

【解析】解：A、不是中心對稱圖形，故此選不項符合題意；

B、不是中心對稱圖形，故此選項不符合題意；

C、不是中心對稱圖形，故此選項不符合題意；

D、是中心對稱圖形，故此選項符合題意；

故選：D.

鞏固訓練：

21.下列圖形中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（）

【答案】A

【分析】本題考查的是中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念.在平面內，把一個圖形繞著某個

點旋轉180。，如果旋轉后的圖形能與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這

個點叫做它的對稱中心；平面內，一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合

的圖形叫軸對稱圖形.

根據中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念進行判斷即可.

【解析】解：A、是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故本選項正確；

B、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故本選項錯誤；

C、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項錯誤；

D、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項錯誤.

故選：A.

22.如圖，AABC與關于點。成中心對稱，則下列結論不成立的是（）

B

A.AB=ABB.BO=BO

C.AB//AB'D.ZACB=ZC'A'B'

【答案】D

【分析】本題考查中心對稱的性質，掌握中心對稱的性質是求解本題的關鍵.

根據中心對稱的性質判斷即可.

【解析】解：；&ABC與AAEC關于點。成中心對稱，

:.AB=AB,BO=BO,AB//AB,故A,B,C選項正確，NACB=NA'C'B'，故D選項錯誤.

故選：D.

23.如圖，AABC與AAEC關于點。成中心對稱，則下列結論不成立的是（）

A.點A與點A是對稱點B.AO=AO

C.ZAOB=ZAOB'D.ZACB=ZC'AB'

【答案】D

【分析】本題主要考查了中心對稱的性質，熟練掌握“成中心對稱的兩個圖形，對應點的連線

被對稱中心平分，對應角相等，對應線段相等，”是解題的關鍵.根據中心對稱圖形的性質，

逐項進行判斷即可.

【解析】解：A、點A與點A是對稱點，故本選項正確，不符合題意；

B、AO=A'O,故本選項正確，不符合題意；

C、ZAOB=ZAOB',故本選項正確，不符合題意；

D、ZACB=ZAC'B'＞故本選項錯誤，符合題意.

故選：D.

題型四一元一次不等式（組）的解法

【例題】.

24.如圖，由圖案（1）到圖案（2）再到圖案（3）的變化過程中，不可能用作的圖形變化是

(1)⑵⑶

A.軸對稱B.旋轉C.中心對稱D.平移

【答案】D

【分析】考查圖形的對稱、平移、旋轉等變換，對稱有軸對稱和中心對稱，軸對稱的特點是

一個圖形繞著一條直線對折，直線兩旁的圖形能夠完全重合；中心對稱的特點是一個圖形繞

著一點旋轉180。后與另一個圖形完全重合，它是旋轉變換的一種特殊情況.平移是將一個圖

形沿某一直線方向移動，得到的新圖形與原圖形的形狀、大小和方向完全相同.旋轉是指將

一個圖形繞著一點轉動一個角度的變換.觀察時要緊扣圖形變換特點，認真判斷；

觀察本題中圖案的特點，根據對稱、平移、旋轉的特征進行判斷作答；

【解析】由圖案（1）到圖案（2）再到圖案（3）的變化過程中，可能用作的圖形變化是旋轉

變換和中心對稱、軸對稱變換，

圖（1）圖形沿某一直線方向移動不能得到圖（2）（3）中圖形重合，故沒有用到平移.

故選：D.

鞏固訓練：

25.如圖，由圖案（1）到圖案（2）再到圖案（3）的變化過程中，不可能用到的圖形變換是

（）

【答案】D

【分析】觀察本題中圖案的特點，根據對稱、平移、旋轉的特征進行判斷作答.

【解析】解：圖（2）將圖形繞著中心點旋轉90。的整數倍后均能與原圖形重合，圖案包含旋

轉變換和中心對稱.圖（3）中有4條對稱軸，本題圖案包含軸對稱變換.不符合題意；

圖（1）三角形沿某一直線方向移動不能與圖（2）（3）中三角形重合，故沒有用到平移.

故選：D.

【點睛】考查圖形的對稱、平移、旋轉等變換.對稱有軸對稱和中心對稱，軸對稱的特點是

一個圖形繞著一條直線對折，直線兩旁的圖形能夠完全重合；中心對稱的特點是一個圖形繞

著一點旋轉180。后與另一個圖形完全重合，它是旋轉變換的一種特殊情況.

平移是將一個圖形沿某一直線方向移動，得到的新圖形與原圖形的形狀、大小和方向完全相

同.旋轉是指將一個圖形繞著一點轉動一個角度的變換.觀察時要緊扣圖形變換特點，認真

判斷.

26.下圖由正六邊形與兩條對角線所組成，添加一條對角線使圖形是中心對稱圖形，添加方

法有（）種.

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【分析】根據中心對稱圖形的性質作答即可.

【解析】解：如圖，根據題意，添加一條對角線使圖形是中心對稱圖形的方法只有一種方法,

故選：A.

【點睛】本題考查的是中心對稱圖形的性質，熟悉相關性質是解題的關鍵.

27.風車應做成中心對稱圖形,并且不是軸對稱圖形，才能在風口處平穩旋轉.現有一長條矩形

硬紙板（其中心有一個小孔）和兩張全等的矩形薄紙片,將紙片黏到硬紙板上，做成一個能繞著

小孔平穩旋轉的風車.正確的黏合方法是（）

B.I6—

D.

【答案】A

【分析】風車應做成中心對稱圖形，并且不是軸對稱圖形，結合選項進行判斷即可.

【解析】風車應做成中心對稱圖形，并且不是軸對稱圖形，

A、是中心對稱圖形，并且不是軸對稱圖形，符合題意；

B、不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，不符合題意；

C、是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形，不符合題意；

D、不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，不符合題意；

故選A.

28.小明有一個俯視圖為等腰三角形的積木盒，現在積木盒中只剩下如圖所示的九個空格,

下面列有積木的四種搭配方式，其中恰好能放入盒中空格的有（）

搭配①搭配②搭配③搭配④

豁SM

MMES.EwMF

A.1種B.2種C.3種D.4種

【答案】D

【分析】把這四種搭配進行組合，可得出如圖的九個空格的形狀，即為本題的選項.

【解析】解：???將搭配①②③④組合在一起，正好能組合成九個空格的形狀，

???恰好能放入的有①②③④.

故選：D.

【點睛】本題考查了圖形的剪拼，解題關鍵是培養學生的空間想象能力以及組合意識.

題型五圖形的平移與旋轉綜合解答題

【例題

29.如圖，在邊長為1的小正方形格中，AAC?頂點均在格點上,

(1)將AAOB向左平移3個單位長度得到A4。4,請畫出A4。4；

(2)以原點。為旋轉中心，畫出把AAOB順時針旋轉180。的圖形^OB2

【答案】(1)詳見解析

(2)詳見解析

【分析】本題考查了平面直角坐標系內點關于對稱軸對稱或原點對稱，平移、旋轉變換，本

題的關鍵是找到平移后和旋轉后的對應點.

(1)根據平移的性質得到對應點，然后連線即可；

(2)根據旋轉的性質得到對應點，然后連線即可.

30.如圖，在平面直角坐標系中,4(3,4),3(4,2),C(l,l).

⑴畫出AABC關于y軸的對稱圖形△ABC；

⑵畫出△AB&沿y軸向下平移4個單位長度后得到的鳥a；

(3)若線段BC上有一點M(a,b)經過上述兩次變換，則對應的點加2的坐標是.

【答案】(1)畫圖見解析

(2)畫圖見解析

(3)(-a,b-4)

【分析】本題主要考查作圖一軸對稱變換和平移變換，解題的關鍵是掌握軸對稱變換和平移

變換的定義與性質及平面直角坐標系中點的坐標的平移、關于坐標軸對稱的特點.

(1)分別作出三個頂點關于＞軸的對稱點，再首尾順次連接即可；

(2)將△ABC的三個頂點分別向下平移4個單位長度，再首尾順次連接即可；

(3)根據“關于y軸對稱點的橫坐標互為相反數、縱坐標不變”及“右加左減、上加下減”求解

即可.

【解析】(1)解：如圖，△ABC即為所求作的三角形；

(2)如圖，自G即為所求作的三角形；

(3)”(“力)經過第一次變換后的坐標為：(-凡9,

再經過第二次變換后的坐標為：。-4),

???線段BC上有一點對(。力)經過上述兩次變換，則對應的點畫的坐標是(-4,。-4).

31.圖①、圖②和圖③都是5x5的正方形網格，每個小正方形邊長均為1.按要求分別在圖①、

圖②和圖③中畫圖：

⑴在圖①中畫等腰AABC,使其面積為3,并且點C在小正方形的頂點上；

(2)在圖②中畫四邊形AB/汨，使其是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形，D,E兩點都在小正方

形的頂點上；

(3)在圖③中畫四邊形使其是中心對稱圖形但不是軸對稱圖形，F,G兩點都在小正

方形的頂點上；

【答案】(1)作圖見解析

(2)作圖見解析

⑶作圖見解析

【分析】(1)取格點C,連接AC、2C即可；

(2)取格點。、E,連接AE、DE、即可；

(3)取格點F、G,連接AG、GF、所即可.

【解析】(1)解：取格點C,連接AC、BC,取格點。，連接B。，

???圖①是5x5的正方形網格，每個小正方形邊長均為1,

ACO=AO=1,BO=3,BOIAC,

80垂直平分AC,

/.BC=BA,

AABC是等腰三角形，

XVSAABC=|AC-OB=1X2X3=3,

等腰AABC面積為3,且點C在小正方形的頂點上，

則即為所作；

(2)取格點。、E,連接AE、DE、BD,

???圖②是5x5的正方形網格，每個小正方形邊長均為1,

AE//BD,AE^l,BD=3,

：.AE^BD,

四邊形AB3E是梯形，

,?*AB=A/12+32=A/10-ED=《fS=而，

AB=ED,

四邊形是等腰梯形，它是一個軸對稱圖形，不是中心對稱圖形,

則四邊形4切E即為所作；

圖②

(3)取格點F、G,連接AG、GF、所即可，

???圖③是5x5的正方形網格，每個小正方形邊長均為1,

AAG//BF,AG=2=BF,

四邊形ABFG是平行四邊形，它是一個中心對稱圖形，不是軸對稱圖形,

則四邊形AB/G即為所作.

G圖③

【點睛】本題考查作圖一應用與設計作圖，考查了垂直平分線的性質，等腰三角形的判定，

等腰梯形的判定，勾股定理，平行四邊形的判定，中心對稱圖形，軸對稱圖形，三角形的面

積等知識.解題的關鍵是理解題意，學會利用數形結合的思想解決問題.

32.如圖，在RtA4BC中，ZC=90°,把AABC繞著點3順時針旋轉得到△8DE,點C的對應

點。落在上，連接

⑴若3C=6,AC=8,求AE的長；

(2)若。為AB的中點，求證：AABE是等邊三角形.

【答案】(1)AE=40；

⑵見解析

【分析】本題考查了旋轉的性質，勾股定理，線段垂直平分線的判定和性質，等邊三角形的

判定.

(1)由勾股定理求得AB=10,由旋轉的性質得加=3C=6,OE=AC=8,求得仞=4,再根

據勾股定理即可求解；

(2)由旋轉的性質推出OE是線段A3的垂直平分線，得至==即可證明AABE是等

邊三角形.

【解析】(1)解：："=90。，3C=6,AC=8,

,,AB=46。+8。=10，

由旋轉的性質得3D=BC=6,DE=AC=8,NBDE=NC=ZADE=90。,

：.AD=AB—BD=4,

AE=-JAD-+DE2=>/42+82=4行;

(2)證明：由旋轉的性質得ZfiDE=/C=90。，BE=AB,

,。為A3的中點，

...DE是線段A5的垂直平分線，

/?AE=BE,

/?AE=BE=AB，

.??△ABE是等邊三角形.

33.如圖，等邊三角形ABC內一點。，將線段AD繞點A逆時針旋轉60。，得到線段AE,連接

CD,BE,DE.

（1）請判斷△㈤汨的形狀,并寫出判斷的依據;

⑵若NADC=105。，求的度數.

【答案】（1）等邊三角形；有一個角是60度的等腰三角形是等邊三角形

（2）45°

【分析】本題考查旋轉的性質，等邊三角形的性質，全等三角形的判定和性質：

（1）由旋轉的性質可得4）=〃?，結合旋轉角為60度，可證是等邊三角形；

（2）先證AEAB均D4C（SAS）,推出ZA￡B=ZADC=105。，再根據是等邊三角形，得出

ZAED=&）°,即可求出/BED的度數.

【解析】（1）解：???將線段AD繞點A逆時針旋轉60。，得到線段AE,

AD=AE,ZZME=60°,

AADE是等邊三角形（有一個角是60度的等腰三角形是等邊三角形），

故答案為：等邊三角形；有一個角是60度的等腰三角形是等邊三角形；

（2）解：；3c是等邊三角形，

AB=AC,ZBAC=60°,

由（1）知/ZME=60。，

ZEAB+ZBAD=ZDAC+ZBAD=60°,

ZEAB^ZDAC,

在和4c中，

AB=AC

<ZEAB=ZDAC,

AE=AD

A￡AB^AZMC（SAS）,

ZAEB=ZA￡>C=105°,

???ZVADE是等邊三角形,

ZA￡E>=60°,

ZB￡D=ZA￡B-ZAED=105°-60°=45°.

34.如圖，在等腰直角AABC中，AC=3C=4,ZACB=90。，點。，召分別為邊AC,8c的中點，點

尸為線段OE上一點，現將線段CP繞點C順時針旋轉90。得到線段Q2,連接BRAQ.

⑴求證：NPBC=NQAC；

(2)若DP=2PE,連接QD,求黑的值.

At

【答案】(1)見解析

⑵竺=立

AC6

【分析】本題考查了旋轉的性質，全等三角形的判定和性質，等腰直角三角形的性質，證明

三角形全等是解題的關鍵.

(1)由“SAS”可證△ACQ也ABCP,可得結論；

(2)由“&4S”可證△CPE2△CQD,可得尸后=。。=寺，即可求解.

【解析】(1)證明：???將線段CP繞點C順時針旋轉90。得到線段CQ,

:.CP=CQ,ZQCP=90°=ZACB,

:.ZBCP=ZACQ,

AC=BC=4,ZACB=90°,

在AACQ和ABCP中,

CQ=CP

<ZACQ=NBCP,

AC=BC

:.AACQ^ABCP(SAS),

NPBC=NQAC;

(2)解：分別為邊AC,3c上的中點,

:.DC=-AC=CE=-BC=2,

22

DE=>/2DC=2"

?：DP=2PE,

夕后

...PpE=_2---,

3

在△CPE和ACQD中,

CP=CQ

<ZBCP=ZACQ,

CE=CD

:.ACPE^CQD(SAS),

-,PE=QD=^^,

2V2

.QD卜卓

"AC~46'

35.如圖，在RtAABC中，ABAC=9Q°,將Rt^ABC繞點A順時針旋轉一定的角度得到RtAADE,

且點E恰好落在邊BC上.

(2)求證："平分NCED；

(3)連接判斷線段與線段BC的位置關系，并說明理由.

【答案】(1)40。

⑵見解析

(3)DB±BC,理由見解析

【分析】(1)由題意得NC=70。，根據旋轉得AC=AE,則ZAEC=NC即可求得/。場；

(2)由旋轉可得AE=AC和/AED=/C,則有N4￡C=NC,得至UWC=N4ED,即可證明結論;

(3)由旋轉得=和Z&4C=NZME,貝lj有ZZMB=/C4E和Z4DB=ZABD,進一步求得

ZABD=NC,結合NC+ZABC=90。，即可求得"BC=90。，故。3_L3c.

【解析】(1)解：,.?N/RC=20。，

/.ZC=70°,

根據旋轉得AC=AE,則ZAEC=NC=70。，

???ZG4E=40°.

故答案為：40°；

(2)解：由旋轉可得AE=AC,ZAED=NC,

：.ZAEC=ZC9

ZAEC=ZAED,

￡4平分NCED

(3)解：DBA.BC,理由如下：

ABAC=ZDAE=90°,

：.ZBAC-ZBAE=ZDAE-ZBAE9

：.ZDAB=ZCAE,

AB=AD,

ZADB=ZABD9

ZADB=ZABD=1(180°-ADAB),ZC=1(1800-ZCAE),

ZABD=/C,

ZC+Zz4BC=90°,

ZDB