單元質量評估(二)(第二章)(120分鐘150分)一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的)1.袋中有2個黑球6個紅球,從中任取2個,可以作為隨機變量的是()A.取到的球的個數B.取到紅球的個數C.至少取到1個紅球D.至少取到1個紅球的概率【解析】選B.取到的球的個數是一個固定的數字,不是隨機變量,故A不正確;取到紅球的個數是一個隨機變量,它的可能取值是0,1,2,故B正確;至少取1個紅球表示取到1個紅球或取到2個紅球,表示一個事件,故C不正確;D顯然不正確,故選B.2.設X～B(n,p),E(X)=12,D(X)=4,則n,p的值分別為()A.18,13 B.36,C.36,23 D.18,【解析】選D.由E(X)=12,D(X)=4,則p=233.(2017·漢口高二檢測)設X～B(10,0.8),則E(2X+2)等于()A.64 B.32 C.18 【解析】選C.因為E(X)=10×0.8=8,E(2X+2)=2×8+2=18.4.某射擊運動員射擊一次,命中目標的概率為0.8,則他連續射擊兩次都沒命中的概率為() B.0.64【解析】選D.由題意知,運動員射擊一次命中概率為0.8,則沒命中的概率為10.8=0.2,故兩次都沒命中的概率為0.22=0.04.5.若隨機變量ξ服從正態分布N(0,1),已知P(ξ<1.96)=0.025,則P(|ξ|<1.96)=()A.0.025 B.0.050【解析】選C.由隨機變量ξ服從正態分布N(0,1),得P(ξ<1.96)=1P(ξ≤1.96),所以P(|ξ|<1.96)=P(1.96<ξ<1.96)=P(ξ<1.96)P(ξ≤1.96)=12P(ξ≤1.96)=12P(ξ<1.96)=12×0.025=0.950.6.(2017·濟南高二檢測)對含標有不同編號的6件正品和4件次品的產品進行檢測,不放回地依次摸出2件.在第一次摸出正品的條件下,第二次也摸到正品的概率是()A.35 B.25 C.110 【解析】選D.設“第一次摸出正品”為事件A,“第二次摸出正品”為事件B.則事件A和事件B相互獨立,所以P(B|A)=P(AB)P(A)=6107.已知離散型隨機變量ξ的分布列為ξ135P0.5m0.2則均值E(ξ)等于()A.1 B.0.6 C.2+3m 【解析】選D.因為m=10.50.2=0.3,所以E(ξ)=1×0.5+3×0.3+5×0.2=2.4.8.一個電路上裝有甲、乙兩根熔絲,甲熔斷的概率是0.85,乙熔斷的概率是0.74,兩根同時熔斷的概率為0.629,至少有一根熔斷的概率為()A.2.22 B.0.96 C.0.74 【解析】選B.P=1(10.85)·(10.74)≈0.96.9.(2017·武漢高二檢測)某市期末數學質量檢測,甲、乙、丙三科考試成績近似服從正態分布,則由如圖所示曲線可得下列說法中正確的是()A.甲學科總體的方差最小B.丙學科總體的均值最小C.乙學科總體的方差及均值都居中D.甲、乙、丙學科的總體的均值不相同【解析】選A.由題中圖象可知甲、乙、丙圖象的對稱軸相同,故三科總體的平均數相等,又根據正態分布密度曲線的性質;方差越大,正態曲線越扁平;方差越小,正態曲線越陡峭,可得三科總體的方差從小到大依次為甲、乙、丙,A項符合題意.10.同時轉動如圖所示的兩個轉盤,記轉盤甲得到的數為x,轉盤乙得到的數為y,x,y構成數對(x,y),則所有數對(x,y)中滿足xy=4的概率為()A.116 B.C.316 D.【解析】選C.滿足xy=4的所有可能如下:x=1,y=4;x=2,y=2;x=4,y=1,所以所求事件的概率P=P(x=1,y=4)+P(x=2,y=2)+P(x=4,y=1)=14×14+14×14=31611.(2017·浙江高考)已知隨機變量ξi滿足P(ξi=1)=pi,P(ξi=0)=1—pi,i=1,2.若0<p1<p2<12A.E(ξ1)<E(ξ2),D(ξ1)<D(ξ2)B.E(ξ1)<E(ξ2),D(ξ1)>D(ξ2)C.E(ξ1)>E(ξ2),D(ξ1)<D(ξ2)D.E(ξ1)>E(ξ2),D(ξ1)>D(ξ2)【解析】選A.根據已知得ξi(i=1,2)均服從兩點分布,由兩點分布的均值和方差知E(ξi)=pi,D(ξi)=pi(1pi),因為0<p1<p2<12所以E(ξ1)=p1<p2=E(ξ2),D(ξ1)D(ξ2)=p1p12(p2=(p1p2)1-(已知p1<p2,p1+p2<1,所以D(ξ1)D(ξ2)<0,即D(ξ1)<D(ξ2).12.一個籃球運動員投籃一次得3分的概率為a,得2分的概率為b,不得分的概率為c(a,b,c∈(0,1)),已知他投籃一次得分的均值為2(不計其他得分情況),則ab的最大值為()A.148 B.124 C.112 【解析】選D.由已知,得3a+2b+0×c=2,得3a+2b=2,所以ab=16×3a×2b≤16×3a+2b二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分.請把正確答案填在題中的橫線上)13.設離散型隨機變量X～N(0,1),則P(X≤0)=________;P(2<X≤2)=________.【解析】依題意得:μ=0,σ2=1.因為正態曲線的對稱軸為x=0,且P(X≤0)+P(X>0)=1,所以P(X≤0)=P(X>0)=12又P(μ2σ<Χ≤μ+2σ)=0.9545,所以P(2<Χ≤2)=P(02×1<X≤0+2×1)=0.9545.答案:1214.(2017·太原高二檢測)已知隨機變量X的分布列如下,若E(X)=3,則D(X)=________.X1234Pn0.20.3m【解析】因為E(X)=3,由概率分布表知:n解得:m所以D(X)=(13)2×0.1+(23)2×0.2+(33)2×0.3+(43)2×0.4=1.答案:115.某人射擊一次擊中目標的概率為0.6,經過3次射擊,此人至少有兩次擊中目標的概率為________.【解析】由題意得:C320.62×0.4+C3答案:0.64816.甲罐中有5個紅球,2個白球和3個黑球,乙罐中有4個紅球,3個白球和3個黑球.先從甲罐中隨機取出一球放入乙罐,分別以A1,A2和A3表示從甲罐取出的球是紅球、白球和黑球的事件;再從乙罐中隨機取出一球,以B表示從乙罐取出的球是紅球的事件,則下列結論中正確的是________(寫出所有正確結論的序號).①P(B)=25;②P(B|A1)=5③事件B與事件A1相互獨立;④A1,A2,A3是兩兩互斥的事件;⑤P(B)的值不能確定,因為它與A1,A2,A3中究竟哪一個發生有關.【解析】由題意,顯然A1,A2,A3是兩兩互斥的事件,P(B|A1)=511,P(B|A2)=411,P(B|A3)=4而P(B)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B)=P(A1)·P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=510×511+210×411=922P(A1B)=522,P(A1)P(B)=510×922故P(A1B)≠P(A1)P(B).綜上可知:②④正確,而①③⑤錯誤.答案:②④三、解答題(本大題共6小題,共70分,解答時寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)17.(10分)一個盒子里裝標號為1,2,…,10的標簽,今隨機地選取兩張標簽,如果(1)標簽的選取是無放回地.(2)標簽的選取是有放回地.求兩張標簽上的數字為相鄰整數的概率.【解析】(1)如果標簽的選取是無放回地,共有10×9÷2=45種可能結果,而兩張標簽上的數字相鄰的可能結果有9種;(1,2)(2,3)(3,4)(4,5)(5,6)(6,7)(7,8)(8,9)(9,10),故所求事件的概率為945=1(2)如果選取是有放回地,則共有10×10÷2=50種可能結果,故所求事件的概率為95018.(12分)如圖,為某地成年男性體重的正態曲線圖,請寫出其正態分布密度函數,并求P(|X72|<20).【解析】由圖可知μ=72,σ=10,故正態分布密度函數為φμ,σ(x)=1102πe-(x-72)2則P(|X72|<20)=P(|Xμ|<2σ)=P(μ2σ<X<μ+2σ)=P(μ2σ<X≤μ+2σ)P(X=μ+2σ)≈0.95450=0.9545.19.(12分)某陶瓷廠準備燒制甲、乙、丙三件不同的工藝品,制作過程必須先后經過兩次燒制,當第一次燒制合格后方可進入第二次燒制,兩次燒制過程相互獨立.根據該廠現有的技術水平,經過第一次燒制后,甲、乙、丙三件工藝品合格的概率依次為0.5,0.6,0.4.經過第二次燒制后,甲、乙、丙三件工藝品合格的概率依次為0.6,0.5,0.75.(1)求第一次燒制后恰有一件工藝品合格的概率.(2)經過前后兩次燒制后,合格工藝品的件數為X,求隨機變量X的期望.【解析】(1)分別記甲、乙、丙經第一次燒制后合格為事件A1,A2,A3.設E表示第一次燒制后恰好有一件工藝品合格,則P(E)=P(A1A2A3)+P(A1A2A3)+P(A1=0.5×0.4×0.6+0.5×0.6×0.6+0.5×0.4×0.4=0.38.(2)因為每件工藝品經過兩次燒制后合格的概率均為p=0.3.所以X～B(3,0.3),故E(X)=np=3×0.3=0.9.20.(12分)(2017·太原高二檢測)某教學研究機構準備舉行一次數學教材研討會,共邀請50名一線教師參加,各校邀請教師人數如表所示:學校ABCD人數2015510(1)從50名教師中隨機選出2名,求2名教師來自同一學校的概率.(2)若會上從A,B兩校隨機選出2名教師發言,設選中來自A校的教師人數為ξ,求隨機變量ξ的分布列和數學期望E(ξ).【解析】(1)從50名教師中隨機選出2名的方法數為C502=1225.選出的2名教師來自同一學校的方法數為C202+C15故2名教師來自同一學校的概率為P=3501225=2(2)因為P(ξ=0)=C152C352=317,P(P(ξ=2)=C202C所以ξ的分布列為:ξ012P36038所以E(ξ)=317×0+1×60119+2×3811921.(12分)甲、乙兩支排球隊進行比賽,約定先勝3局者獲得比賽的勝利,比賽隨即結束,除第五局甲隊獲勝的概率是12外,其余每局比賽甲隊獲勝的概率都是2(1)分別求甲隊以3∶0,3∶1,3∶2勝利的概率.(2)若比賽結果為3∶0或3∶1,則勝利方得3分,對方得0分;若比賽結果為3∶2,則勝利方得2分、對方得1分.求乙隊得分X的分布列及數學期望.【解析】(1)記“甲隊以3∶0勝利”為事件A1,“甲隊以3∶1勝利”為事件A2,“甲隊以3∶2勝利”為事件A3,由題意知,各局比賽結果相互獨立,故P(A1)=233=P(A2)=C32×232×1-P(A3)=C42×232×1-所以,甲隊以3∶0勝利,以3∶1勝利的概率都為827,以3∶2勝利的概率為4(2)設“乙隊以3∶2勝利”為事件A4,由題意知,各局比賽結果相互獨立,所以P(A4)=C421-23由題意知,隨機變量X的所有可能的取值為0,1,2,3,根據事件的互斥性得,P(X=0)=P(A1+A2)=P(A1)+P(A2)=1627又P(X=1)=P(A3)=427P(X=2)=P(A4)=427P(X=3)=1P(X=0)P(X=1)P(X=2)=19故X的分布列為X0123P16441所以E(X)=0×1627+1×427+2×427+3×122.(12分)(2017·山東高考)在心理學研究中,常采用對比試驗的方法評價不同心理暗示對人的影響,具體方法如下:將參加試驗的志愿者隨機分成兩組,一組接受甲種心理暗示,另一組接受乙種心理暗示,通過對比這兩組志愿者接受心理暗示后的結果來評價兩種心理暗示的作用,現有6名男志愿者A1,A2,A3,A4,A5,A6和4名女志愿者B1,B2,B3,B4,從中隨機抽取5人接受