湖北省“高中名校聯(lián)盟圓創(chuàng)教育”屆高三第三次聯(lián)合測評數(shù)學試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共分．在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的．1.若，則（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)條件，利用復數(shù)的運算法則，得到，再利用共軛復數(shù)的定義，即可求解.【詳解】因為，所以，故選：C.2.已知集合，，則（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由交集、補集的運算即可求解；【詳解】解：因為集合，所以或，又，.故選：C3.已知等差數(shù)列的前n項和為若，，則為（）A.88B.77C.66D.55【答案】B【解析】第1頁/共21頁【分析】利用等差數(shù)列的前項和公式及等差數(shù)列的性質(zhì)即可求解.【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：，則由等差數(shù)列前項和公式可得：故選：B.4.已知，，則的值為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)條件，利用平方關(guān)系，即可求解.【詳解】由，，可得，故選：B.5.已知函數(shù)的導函數(shù)為，且滿足，則的值為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由導數(shù)的四則運算及賦值即可求解.【詳解】解：，則，第2頁/共21頁故選：A6.在測量降雨量的實踐活動中，某小組利用現(xiàn)有儀器，將一個玻璃漏斗固定在一個較大的錐形瓶上，漏斗直徑為，玻璃漏斗口直徑為，收集完畢后測得水面距瓶底，水面直徑，則平地降雨量大約為（）注：平地降雨量等于收集到的雨水體積與收集雨水玻璃漏斗口的面積之比A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)條件，利用圓臺的體積公式，求出收集到的雨水體積，再求出收集雨水的玻璃漏斗口面積，即可求解.【詳解】設(shè)收集到的雨水體積為，收集雨水的面積為，則，，故平地降雨量為，故選：D.7.已知一個等比數(shù)列的前項的和分別為，，）A.B.C.D.【答案】D第3頁/共21頁【解析】【分析】ABC通過反例即可判斷，D通過等比數(shù)列求和公式可判斷.【詳解】解：前三個選項舉反例，令，等比數(shù)列為1，2，4，則，，對于A，，故A錯誤；對于B，，，故B錯誤；對于C，，故C錯誤；對于D，因為，，，故D正確．故選：D8.過拋物線上的一點作切線與軸相交于點為交于另一點，則面積的最小值為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)，根據(jù)條件得到，從而得到，構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性間的關(guān)系，求出的最小值，即可求解.【詳解】設(shè)，由拋物線的對稱性，不妨設(shè)，設(shè)直線，由，消得，因直線與拋物線相切，得到，得到，故直線的方程為，第4頁/共21頁令，得點M的坐標為，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，得，所以有，于是，則，令，則，當時，，得到在區(qū)間單調(diào)遞減；當時，，得到在區(qū)間上單調(diào)遞增，故，所以的最小值為故選：C.【點睛】關(guān)鍵點點晴：本題的關(guān)鍵在于，設(shè)，根據(jù)條件得到，再構(gòu)造函數(shù)，求出的最值，即可求解.二、多選題：本題共3小題，共分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.下列說法正確的有（）第5頁/共21頁A.若樣本數(shù)據(jù)，，，的平均數(shù)為，則數(shù)據(jù)，，，，的平均數(shù)為B.若隨機變量，且，則C.若隨機變量，則D.若隨機變量，設(shè)，則【答案】AB【解析】AB公式和方差的性質(zhì)判斷CD.【詳解】若樣本數(shù)據(jù)，，，的平均數(shù)為，則，所以數(shù)據(jù)，，，，的平均數(shù)為，A正確；若隨機變量，則正態(tài)分布曲線關(guān)于直線對稱，因為，所以，B正確；若隨機變量，則，C錯誤；若隨機變量，，又，則，D錯誤．故選：AB10.已知點為所在平面內(nèi)一點，則（）A若，則B.若，且，則為等邊三角形C.若，，則D.若，且，則的面積是面積的第6頁/共21頁【答案】BCD【解析】ABC，，進而有M為的垂心，即可求解；對于D，根據(jù)條件，可得，令，從而可得Q點在直線BC上，再利用比值，即可求解.【詳解】對于選項A，因為，所以，所以，故選項A錯誤，對于選項B，因為，所以，又，在區(qū)間上單調(diào)遞減，則，又，則，所以為等邊三角形，故選項B正確，對于選項C，若，，則，，故點M為的垂心，所以，則，故選項C正確，對選項D，由于，而，所以，其中，不妨設(shè)，則Q點在直線BC上，由于與同底，而高線之比等于MQ與AQ的比，即比值為，所以的面積是面積的，故選項D正確，第7頁/共21頁故選：BCD.已知函數(shù)，則（）A.B.在區(qū)間上單調(diào)遞增C.若在區(qū)間上恰有一個極值點，則的取值范圍是D.若在區(qū)間內(nèi)沒有零點，則取值范圍是【答案】ABD【解析】AB的范圍即可判斷，對于C，通過，確定的范圍，再結(jié)合恰有一個極值點得到即可判斷，對于D，先確定的范圍，再由和兩類討論即可.【詳解】解：，A正確；因為，所以，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，B正確；因為，所以，因為在區(qū)間上恰有一個極值點，所以，第8頁/共21頁所以，C錯誤；，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)沒有零點，，則，則，取，；，則，解得：，取，；綜上可知：的取值范圍是，D正確．故選:ABD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共分．12.的展開式中的系數(shù)為__________．第9頁/共21頁【答案】【解析】【分析】根據(jù)條件，利用二項展開式的通項公式，即可求解.【詳解】因為的展開式的通項為，令，得的系數(shù)為，故答案為：13.設(shè)點，分別是雙曲線的左、右焦點，過點的直線l與雙曲線C的左、右兩支分別交于A、B兩點，設(shè)與的內(nèi)切圓半徑分別為、，則的值為__________．【答案】3【解析】【分析】設(shè)圓與三邊分別切于點，根據(jù)圓的切線性質(zhì)、雙曲線的定義得，進而確定、，且，利用相似比求.【詳解】由，得，則，設(shè)圓與三邊分別切于點，如圖：由圓的切線的性質(zhì)可得，由雙曲線的定義可知，即，設(shè)，則，得，所以，則，第10頁/共21頁同理，設(shè)圓與切于點P，則，故，因為圓心、都在的角平分線上，所以點、、三點共線，則，可得故答案為：14.已知函數(shù)的方程實數(shù)的取值范圍為__________．【答案】【解析】【分析】作出圖象，令，得，再對分類討論，數(shù)形結(jié)合，利用二次函數(shù)根的分布問題及復合函數(shù)根的問題，即可求解.【詳解】作出圖象，如圖所示，令，則原方程即為，記方程的兩根為，，可知，，①當時，，當時，，此時方程恰有兩個不同的實數(shù)根，滿足題意；當時，，此時方程僅有一個實數(shù)根，不滿足題意；②當時，或，此時，不妨設(shè)，當時，，第11頁/共21頁則方程有三個不同的實數(shù)根，方程有一個實數(shù)根，不滿足題意；當時，，此時方程和各有一個實數(shù)根，且兩根不相等，滿足題意；綜上可知，實數(shù)k的取值范圍為，故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點點晴：本題的關(guān)鍵在于作出的圖象，令，得，先討論的根，再結(jié)合圖象，數(shù)形結(jié)合，即可求解.四、解答題：本題共5小題，共分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，，，D為BC邊上的點．（1）若，求角A的平分線AD的長；（2）求BC邊上中線AD長的最小值．【答案】（1）；（2）.【解析】1）應(yīng)用余弦定理可得，再由及已知列方程求；（2）根據(jù)線段的關(guān)系及向量加減、數(shù)乘的幾何意義有，整理并應(yīng)用基本不等式求最小值.【小問1詳解】因為，，，所以，所以，由，且是角A的平分線，第12頁/共21頁所以，所以.【小問2詳解】因為D是BC的中點，所以，兩式平方，并代換得，當且僅當時取等號，所以AD長的最小值為.16.如圖，AC是的直徑，PA垂直于所在的平面，B，D是圓周上不同于A，C的兩點．（1）求證：平面平面（2）若，，直線CD與平面PBC所成的角的正弦值為，求【答案】（1）證明見解析（2）1【解析】1）利用題目給的幾何關(guān)系先證明平面在證明平面平面（2CD與平面PBC所成的角的正弦值為建立關(guān)于線段長度的方程，然后再利用，得到關(guān)于線段長度的另外一個方程，進行求解即可.【小問1詳解】證明：平面ABCD，平面ABCD，，第13頁/共21頁又是直徑AC所對的圓周角，，，平面PAD，平面平面PCD，平面平面【小問2詳解】如圖，建立空間直角坐標系，由，，，得，則，設(shè)，得，，設(shè)平面PBC的一個法向量為，則，取，得，因為直線CD與平面PBC所成角的正弦值為，所以，得，得，第14頁/共21頁由，得，當時，代入式得，，即，得，此時，則，故，當時，代入式得，，即，得或，當時，此時，當時，得，則，故，經(jīng)檢驗，當時，C，D重合，不符題意綜上知，AD的長為17.已知函數(shù)，其中（1）當時，求曲線的對稱中心；（2）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）第15頁/共21頁（2）【解析】1）利用函數(shù)的定義域，就可以初步判斷對稱中心的橫坐標，再利用對稱性恒等式進行求解，就可得對稱中心的縱坐標，從而可得對稱中心；（2）由函數(shù)的單調(diào)遞減轉(zhuǎn)化為導函數(shù)值恒小于或等于0，再利用二次不等式在區(qū)間內(nèi)恒成立，轉(zhuǎn)化為端點值成立即可求解.【小問1詳解】當時，，定義域為，其定義域關(guān)于對稱，則，所以函數(shù)的對稱中心是.【小問2詳解】由，因為，所以，所以的定義域為，則，由題可得在區(qū)間上恒成立，則在區(qū)間上恒成立，第16頁/共21頁則，解得，故實數(shù)a的取值范圍為：18.已知橢圓的離心率為，.橢圓的上、下頂點分別記為，右頂點為.（1）求的方程；（2作直線與的延長線交于交于關(guān)于軸的對稱點為.延長交的延長線于，過作x軸的平行線交的延長線于點Q，連接、.①記直線與直線的斜率分別為，，求的值；②證明：.【答案】（1）（2）①；②證明見解析【解析】1）根據(jù)條件，直接求出，即可求解；（2i）設(shè)直線方程，聯(lián)立相應(yīng)直線與橢圓方程，直接求出ii）根據(jù)條件，利用（i）中結(jié)果，可得到四邊形為平行四邊形，即可求解.【小問1詳解】由已知，并且，所以，于是，所以橢圓的方程為：.【小問2詳解】第17頁/共21頁如圖所示，由已知直線的斜率存在并且其斜率k滿足條件，設(shè)其方程為，由，解得或舍去，所以點的坐標為，從而點的坐標為，于是直線的斜率，的方程為又直線的方程為：，由，得，由，得，因為直線的方程為：，的方程為，由，得，（i）因為直線的斜率，直線的斜率，所以；（ii）由（i）知，，所以，，所以四邊形為平行四邊形，因此第18頁/共21頁19.記集合，，，對于，，，定義.（1），且，記隨機變量，求（2中的元素個數(shù)最多，并說明理由；（3）若集合，對于，且，都有，求證：集合中至多有個元素．【答案】（1）（2），中一共有個元素，理由見解析（3）證明見解析【解析】1）根據(jù)集合的定義列舉出中的元素，根據(jù)古典概型的概率公式求解即可；（2）利用反證法，假設(shè)中除了外還有個元素，利用集合元素的互異性可知這些元素中至少含有個“1”，則一定存在兩個元素之中的某一個分量同時為1，與題設(shè)矛盾即可證明；可知若，即可證明結(jié)論.【小問1詳解】由題意可，中的元素有，，，，，，，，共8個，從8個元素中任選兩個元素有種，其中向量和剩下7個向量的數(shù)量積均為0，有7種情況；，，這3個向量中任選兩個，它們的數(shù)量積均為0，有3種情況；，，這3個向量分別和，，的數(shù)量積為0，有3種情況，則滿足的情況共有種，第19頁/共21頁所以.【小問2詳解】，中一共有中元素個數(shù)是最多的.理由如下：假設(shè)中除了外還有個元素，則根據(jù)集合中元素的互異性這些元素中至少含有個“1”，所以一定存在兩個元素，，，這兩個向量之中的某一個分量同時為1，即存在，使得，此時，與題設(shè)矛盾，故集合中至多有個元素．【小問3詳解】對于，令，定義與是一組“互補向量”，若，則，且，所以對于集合，若，則，因為若且，則，與已知對于，且，都有，矛盾，而中元素個數(shù)為個，與成對出現(xiàn)，所以集合中的元素個數(shù)至多為個，即.下面給出一種的取法：1”的個數(shù)較多的那個向量作為集合于，且，都有，第20頁/共21頁證明如下：①若，，則每一組“互補向量”里被選出來的向量都至少含有個“1”，可知