圓錐曲線的定值問題

目錄

高頻考點(diǎn)一：橢圓中的定值問題（橢圓中的定值問題）

高頻考點(diǎn)二：橢圓中的定值問題（橢圓中的定直線問題）

高頻考點(diǎn)三：雙曲線中的定值問題（雙曲線中的定值問題）

高頻考點(diǎn)四：雙曲線中的定值問題（雙曲線中的定直線問題）

高頻考點(diǎn)五：拋物線中的定值問題（拋物線中的定值問題）

高頻考點(diǎn)六：拋物線中的定值問題（拋物線中的定直線問題）

高頻考點(diǎn)一：橢圓中的定值問題（橢圓中的定值問題）

典型例題

例題1.（23-24高二上,河南鶴壁?開學(xué)考試）已知橢圓。3的離心率2,且圓

i=-過橢圓C的上、下頂點(diǎn).

⑴求橢圓C的方程；

（2）若直線l的斜率為三，且直線，與橢圓。相交于3,0兩點(diǎn)，點(diǎn)尸關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為后,點(diǎn)兒力」?

是橢圓。上一點(diǎn)，若直線從后與川。的斜率分別為*,證明：3-+幻為定值，并求出此定值.

【答案】⑴了；

（2）證明見解析，0.

【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)離心率求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、橢圓中的定值問題

【分析】（1）根據(jù)圓的上下頂點(diǎn)可求b,利用。，b,C的關(guān)系可得答案；

（2）設(shè)出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理表示出求和化簡即可.

【詳解】（1）由題意可得匕?W,乎，所以爐?8,

21

xBJ

所以橢圓c的方程為：；

（2）證明：設(shè)直線，的方程為X=?J+L設(shè)RH/），。住心），由題意Hffi,

聯(lián)立｛'i?8,整理可得曠+切+產(chǎn)-8?0,

A-ldf-4x8x|f-8）＞0即T＜y,且=W川s

.._-j*,-1jr：-l_（兀+1）（2力+12）+（力-1）（2乂?，?？）

所以“"~x,?2x,+21+t—2）（2,r.+/+2）

444悟“，鼻+4

4FJI+“J,+F＞）+418）I"_n

（況+，-2）（2月+，_2）j2兒+/-2）（況+f+2）

即證得*“?*"為定值，且定值為0.

-C—+^-l(a>i>>0)

例題2.(24-25高二上?全國?課后作業(yè))己知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓a，的左、右焦點(diǎn)

分另U為，卜"°)囚"°),若尸為c上一點(diǎn)，當(dāng)5鞏最大時(shí),8小痔■彳

⑴求。的方程；

(2)設(shè)直線、?川?'廣與C交于4B兩點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為A(A與E不重合),直線A3與1

軸交于點(diǎn)H,證明：1切1為定值.

工

【答案】⑴

⑵證明見解析

【知識(shí)點(diǎn)】橢圓中的定值問題、根據(jù)韋達(dá)定理求參數(shù)、橢圓中焦點(diǎn)三角形的其他問題

【分析】(1)根據(jù)焦點(diǎn)三角形，結(jié)合余弦定理以及基本不等式即可求解35"冏的最小值為丁-I,

即可求解，

(2)聯(lián)立直線與橢圓方程可得韋達(dá)定理，根據(jù)點(diǎn)斜式求解直線43方程，令，?0,代入化簡即可求解

陽的直

【詳解】⑴設(shè)附卜加附卜力，則曲=力幽=-----------------=嬴，

)yviWI，I'a

又V2),當(dāng)且僅當(dāng)m=x=a時(shí)取等號(hào)，

所以wia,,即854r尸七的最小值為a

2b21

所以W~-=4,又a：-V?3,解得a：=8,ir=5,

/jJ,■I

所以c的方程為了+了=.

(2)設(shè)"J”"i.J「，,I'd,易知

聯(lián)立lr+M-Lw（w+8）r+io^-i5-o

IQyfSin-15

則八5m：+8=’5”+8,

,」.一（■『/r.+r,..y.+r,..

因?yàn)?lt;->,則直線的方程為工7,

+|g+6,+（—+/帆、節(jié)J./r、-15jT8"

令，=。，得jr.+jr：J,+J-/>?/：-lOVSin5,

練透核心考點(diǎn)

1.（24-25高三上?云南昆明?階段練習(xí)）已知點(diǎn)P在橢圓「二’?-I">?>>⑴上，過點(diǎn)尸作直線/與橢

圓c交于點(diǎn)。，過點(diǎn)P作關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)。的對(duì)稱點(diǎn)P,「PI的最小值為二右，當(dāng)直線/的斜率為0時(shí),

存在第-象限內(nèi)的一點(diǎn)P使得陽川國卜2月.

⑴求橢圓c的方程；

（2）設(shè)直線/的斜率為％（麻0）,直線QP的斜率為求X/的值.

二.￡■1

【答案】

*r=-l

（2）3

【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)a、b、c求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程、橢圓中的定值問題

【分析】（1）由題意可得'■二點(diǎn)尸坐標(biāo)為（9』，進(jìn)而計(jì)算可求橢圓的方程；

區(qū)+丘=[①

，左?[②

（2）設(shè)點(diǎn)P（-）,力?“川，由題可得1不2計(jì)算可得結(jié)論.

【詳解】（1）因?yàn)?Ppl的最小值為:!。，所以第?26，所以2-JJ,

當(dāng)直線i的斜率為零時(shí)，點(diǎn)「與點(diǎn)Q關(guān)于『軸對(duì)稱，又點(diǎn)P與點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)0對(duì)稱，

由橢圓的對(duì)稱性可知，此時(shí)點(diǎn)Q與點(diǎn)P關(guān)于（軸對(duì)稱，則“0P=9O\

由幾何關(guān)系可解得點(diǎn)P坐標(biāo)為（百」），

r2y1,31.

代入橢圓。的方程：a2得：a-2,解得T?6,

二+￡=i

故橢圓。的方程為丁+丁=；

(2)設(shè)點(diǎn)“3”,QC"I,PLJ,

上+上=1①

L區(qū).[②上

162，由；，得：6

r-~=11a>h>0Ir

2.（24-25高三上?河北滄州?階段練習(xí)）已知橢圓。?的左焦點(diǎn)為,，上、下頂點(diǎn)分別

為兒凡且？，點(diǎn)

I在r上.

（1）求橢圓「的方程；

⑵過左焦點(diǎn)耳的直線交橢圓「于M.N兩點(diǎn)，交直線T-_2于點(diǎn)/>,設(shè)月"優(yōu)，圖.即,證明:

J+"為定值.

土+-=1

【答案】⑴2

⑵證明見解析

【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)a、b、c求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程、根據(jù)橢圓過的點(diǎn)求標(biāo)準(zhǔn)方程、橢圓中的定值問題、根據(jù)韋達(dá)定

理求參數(shù)

乙/

【分析】（1）由-,得再把點(diǎn)I-1代入橢圓方程求a出D即可；

（2）設(shè)出直線皿的方程，代入橢圓方程，設(shè)MxJJM"；）,由加小?即，表示

出”+“，利用韋達(dá)定理化簡得定值.

【詳解】（[）由題意可知,所以a.叵

kg

因?yàn)辄c(diǎn)itJ在「上，所以亍,彳*,

解得力=1,故a=#,

r22.

^―+r-1

所以橢圓廠的方程為？.

(2)由已知得直線的斜率必存在，可設(shè)直線的方程為

4k：-1|

設(shè)),則l*工-設(shè)2M1+2<J,

又年2.-乃.甲-1,0|,由市=畫廊=詞得

2xtx,+3(x,+XJ+4

所以lx,+l)(x,4-11

I)(4E

2%/+3(匹+勺)+4-——-+3-+4=0

1+賀I

因?yàn)?+2<

所以2+30為定直

高頻考點(diǎn)二：橢圓中的定值問題(橢圓中的定直線問題)

典型例題

例題1.(23-24高二上,湖北恩施?期末)已知?jiǎng)訄AT過定點(diǎn)國一L5,且在定圓°仆-11+「="的內(nèi)部

與其內(nèi)切.

⑴求動(dòng)圓圓心了的軌跡方程.

(2)當(dāng)過點(diǎn)的動(dòng)直線,與圓心廠的軌跡相交于兩不同點(diǎn)45時(shí)，在線段48上取點(diǎn)。，滿足

網(wǎng)網(wǎng)=|珂網(wǎng)則點(diǎn)〔是否在某條定直線上？若在，求該直線的方程；若不在，請(qǐng)說明理由.

/J.1

【答案】(1)7+7二

⑵點(diǎn)。在定直線I上.

【知識(shí)點(diǎn)】橢圓中的定直線、軌跡問題一一橢圓

【分析】（1）根據(jù)橢圓的定義求得軌跡方程；

AP國

（2）設(shè)點(diǎn).」，由冏網(wǎng)同網(wǎng)均不為零,J同網(wǎng),

則且

4wl,由橢圓方程說明點(diǎn)P在橢圓外，得出麗=一屈,而=4詼，用坐標(biāo)表示出該等式，然后求得

并利用點(diǎn)AB在橢圓上消去各參數(shù)得出關(guān)于XJ的方程，從而得出結(jié)論.

【詳解】（1）設(shè)動(dòng)圓r和定圓。切于點(diǎn)”?

由題意可得動(dòng)點(diǎn)r到定點(diǎn)團(tuán)-LOl和定圓圓心CILO）的距離之和恰好等于定圓。的半徑，即

|7z|+|rq-|7w|+|rc|-4

r尸-

由橢圓定義可得動(dòng)圓圓心T的軌跡方程為43.

（2）點(diǎn)。在定直線.I"上.理由如下.

設(shè)點(diǎn)。（XJIMKJJ㈤工,「|

由題設(shè)知網(wǎng)網(wǎng)網(wǎng)網(wǎng)均不為零,記

,貝口＞0且"1,

因?yàn)閮篟B?四點(diǎn)共線，將點(diǎn)R4」）代入軌跡方程r得了+行＞,所以點(diǎn)p在橢圓外，又點(diǎn)Q在線段

45上,所以"?-祖.而?磔,

X,-4X.

x=-------L,

1-A11+4

F1一為：」J+打：

于是i①，1+4②.

又點(diǎn)AB在橢圓上，所以

（即一生）（x,+\xjI（『「廿：）（1+川J,7

③一④xZ'得4+3,代入①②有

例題2.（23-24高二上?安徽?期中）已知橢圓a0的左、右焦點(diǎn)分別為歹，可，。為

坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)n在橢圓C上，且I12,直線才過點(diǎn)歹且與橢圓C交于A,B兩點(diǎn).

⑴求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵已知就?根，垣?耳札

若直線XA4,加交于點(diǎn)D,探究：點(diǎn)。是否在某定直線上？若是，求

出該直線的方程；若不是，請(qǐng)說明理由.

【答案】⑴7+7=

⑵點(diǎn)。在直線g-4上.

【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)韋達(dá)定理求參數(shù)、橢圓中的定直線、根據(jù)a、b、c求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程

【分析】

（1）利用兩點(diǎn)距離公式可計(jì)算焦點(diǎn)坐標(biāo)，待定系數(shù)法計(jì)算橢圓方程即可；

（2）由題意先確定N位置，設(shè)直線，與A、B坐標(biāo)，聯(lián)立直線與橢圓方程利用韋達(dá)定理得出A、B縱

坐標(biāo)關(guān)系式，再利用點(diǎn)A、B坐標(biāo)表示直線,、BN,法一、求出。點(diǎn)橫坐標(biāo)化簡計(jì)算即可；法二、直

接利用直線,、邱'方程作比計(jì)算4-?為定值，計(jì)算即可.

【詳解】（1）設(shè)@CO）,?>0）,

則由卜卜Y"濟(jì),

貝!]?+】）：=4,解得（。--3舍去），

則①

代入點(diǎn)pIfVT]得±a：+協(xié)2_=i，②

聯(lián)立①②，解得蘇?4,-3,

依題意，"IT。），

'X-）節(jié)―1

設(shè)直線/i=P-l,聯(lián)立13k“jr—l"。,

整理得1"+4廣的-9=0,

△*36m*+36（3H:+4）?l44|l+m*|>0

設(shè)4（M》I）,日（力?力），

dm9

則'3".4「八3次.4,

所以加3（.】:+.匚）?0

AM:y=_2J_（X+2）即J.」I（x-2）

可設(shè)直線』+?，直線"v.~-

x_2F：（x.+』+FJ%一2）

得"-［r（x,+2i-rji,-2）_

=2+1>+解”葉「3）=/%FJ：+F：-3y）

=［八（憾+1卜川）*-3）「，力+3久J

』>rm+3E+j：）-』一+3.〉）］

-2--------------------:-----------------I

工+巾.,

故點(diǎn)。在直線x。-4上.

3,、31

冊,+2_.優(yōu)+2）.呷5+廠..JJ'JJ?力?產(chǎn)?尹1

不二％（『2）=.JL_*F+川-3jJ§

法二:故■?一

解得L-7,

故點(diǎn)。在直線*=T上.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下:

（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（HJ

（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于X（或F）的一元二次方程，必要時(shí)計(jì)算△；

（3）列出韋達(dá)定理；

（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為H+與、丁國（或》+外、FJ：）的形式；

（5）代入韋達(dá)定理求解.

練透核心考點(diǎn)

>6C過點(diǎn)“印書

1.（23-24高二上?陜西漢中?期中）已知橢圓C且離

正

心率為-.

⑴求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若直線/：，='+'”與橢圓C交y軸右側(cè)于不同的兩點(diǎn)A,B,證明：AK43的內(nèi)心在一條定直線上.

三+匚=]

【答案】⑴7+彳=

（2）證明見詳解

【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)橢圓過的點(diǎn)求標(biāo)準(zhǔn)方程、根據(jù)離心率求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、橢圓中的定直線

【分析】（1）根據(jù)題意建立關(guān)于。，b的方程組，再求解即可得到橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)由工J/,聯(lián)立直線i和橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程，得到關(guān)于X的一元二次方程，再根據(jù)韋達(dá)

定理證明年，進(jìn)而即可得出結(jié)論.

X"!J*M.

所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為7+彳一

（2）設(shè)山功工.『：），

x1y1,

■42

聯(lián)立?兩,消F整理得3亡+4陽—＞）：-4—（1,

則解得

4nlW-4

工?'=―—―XX.=---------

可得?3,'t13,

2m

y+y=\+T+2in=—

所以113,

8

+-xi+2x,x.+m（x,+x.）---

所以*3

卮2y/6、884而”4m8c

又W+xj―?。╔+t1/）+3=-3+—p------p-m+3=0

所以尢.+l,=0恒成立，則乙M/8的平分線總垂直于x軸，

】瓜

所以一M45的內(nèi)心在定直線,.丁上.

2.(2024?四川資陽?模擬預(yù)測)橢圓E的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，左、右頂點(diǎn)分別為

42atI),“叫,點(diǎn)”淘在橢圓E上.

⑴求橢圓E的方程.

(2)過點(diǎn)的直線/與橢圓E交于P,。兩點(diǎn)(異于點(diǎn)A,B),記直線AP與直線8。交于點(diǎn)M,試問

點(diǎn)M是否在一條定直線上？若是，求出該定直線方程；若不是，請(qǐng)說明理由.

【答案】⑴丁+篦=

(2)點(diǎn)“在定直線-4上

【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)韋達(dá)定理求參數(shù)、橢圓中的定直線、根據(jù)橢圓過的點(diǎn)求標(biāo)準(zhǔn)方程、根據(jù)a、b、c求橢圓標(biāo)

準(zhǔn)方程

【分析】(1)根據(jù)左右頂點(diǎn)及點(diǎn)在橢圓上列式求解寫書橢圓方程即可；

(2)先設(shè)直線方程再聯(lián)立方程組求韋達(dá)定理，再求兩個(gè)直線的交點(diǎn)，確定交點(diǎn)橫坐標(biāo)即得.

【詳解】⑴設(shè)橢圓E的方程為改+可

故橢圓E的方程為4S.

(2)依題可設(shè)直線/的方程為t="(XJ

聯(lián)立方程組t丁至.1,整理得曰".+1r-4k6=0,

直線A尸的方程為，直線5。的方程為.

:一』，+_--二r,-6r-

tJ**_??

聯(lián)立方程組，得IV*2ir-iv.-2)/,

由,'+；=而71,2m3+1,得KFJL"

4nyj：-6j;+丁：-60+乃)?",?了：-I"1J：

Xo

所以3y,+j.3M+JJ

故點(diǎn)M在定直線x--4上.

高頻考點(diǎn)三：雙曲線中的定值問題(雙曲線中的定值問題)

典型例題

例題1.(2024?全國?模擬預(yù)測)已知雙曲線C的中心是坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，且過42。,

31,3)

兩點(diǎn).

⑴求C的方程；

(2)設(shè)尸，M,N三點(diǎn)在C的右支上，BMAP,HNBP,證明：

(i)存在常數(shù)L滿足三亞?聲?？麗；

(ii)，A以'P的面積為定值.

工上7

【答案】⑴43

(2)(i)證明見解析；(ii)證明見解析

【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)雙曲線過的點(diǎn)求標(biāo)準(zhǔn)方程、雙曲線中的定值問題、雙曲線向量共線比例問題

、，?Am=一只=一

【分析】(工)設(shè)C的方程為,即-礦-I,其中.由C過A,2兩點(diǎn)，代入解得4,3即

可.

:

(2)(i)設(shè)/'QJ?)，W,\其中TK-4jr,=12；z=0,1,2.因?yàn)锽///4P,

k「工

所以直線的斜率為*，+L方程為『-“d"

"+4)結(jié)合韋達(dá)定理得到、=工+工,

同理t=.1「與再結(jié)合向量運(yùn)算即可解決.

（ii）結(jié)合前面結(jié)論，運(yùn)用點(diǎn)到直線距離公式，三角形面積公式可解.

【詳解】（1）設(shè)C的方程為‘代一bT,其中皿<0.

11

j”=九=

由C過A,2兩點(diǎn)，故4m-1,l&n-Pn-l,解得4,3.

X'

因此c的方程為彳一不

(2)(i)設(shè)P(-),w(*i.yi>,*(必.%)1其中工>Q,i=0,I,2.

因?yàn)镠M//4P,所以直線8M的斜率為'9+?,方程為人3?hx+4l

J-3="T+4)得(3-代片-跖(%.3)x?4[|伙+3八3]?0

由

川包+3-3]

-4x,

(3-4*.*1)

所以

16k;+24c,+1216+X心區(qū)?2)+12(x0+2『

3-際

12|￡-4)+24兒|*,+>1+1)一+」「

---------------------------------------------=2x0+況

12(2)

,/J2X+2J+4)3.八43,

=?.|x,+4)+3=--------0------0------+3-2汽+fx-2+3=+2y

因此3?-0-0

同理可得直線AN的斜率為：*+4,直線AN的方程為

x'r1

<43

由"hX+」得13■叱）r-1陽-（咻+1?）.0

-|16之+12)

-2x,=----------：——

所以,3?〃；，

T_曲：+6燈.-3：+"%+4)’6x：+町：+48(%-J%)+168

L3?41工3)：.絢。4

_dr；+8j-j+14(3Xo-4r-)?48(x,-jr0)_

怎Xo+『°+D',

因此

=況_6_-_4)=一3+況

則說?麗?｛曲.4「而即存在4**4,滿足QM+CftT.40P.

j

(ii)由(i),直線MN的方程為

+[4九)’

所以點(diǎn)P到直線MN的距離

而

…Es=：4卬卜6

所以一MMP的面積2r1為定值.

【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：本題屬于中難題，考查直線與雙曲線.本題第(1)小問設(shè)問基礎(chǔ)，但需要注意所設(shè)

方程的形式；第(2)(i)小問在題干條件翻譯上未設(shè)置較多障礙，但是對(duì)4個(gè)坐標(biāo)分量的求解非?？?/p>

驗(yàn)學(xué)生的代數(shù)基本功和計(jì)算能力，區(qū)分度較大.

p//T

C.-"T-11^7>O.i>0I-

例題2.(24-25高三上?貴州?開學(xué)考試)已知雙曲線才夕的離心率為3,實(shí)軸長

為6,A為雙曲線C的左頂點(diǎn)，設(shè)直線/過定點(diǎn)日―一"，且與雙曲線C交于￡,B兩點(diǎn).

⑴求雙曲線C的方程；

(2)證明：直線AE與AF的斜率之積為定值.

二一J1

【答案】⑴93~

(2)證明見詳解

【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)離心率求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、雙曲線中的定值問題

2V3

【分析】(])由實(shí)軸長為6,得a-3,由離心率為丁，得再由東+方=(?'得力.力，即可

得到雙曲線C的方程；

(2)設(shè)電J),曲.匚)，直線]t”-2,直線與雙曲線聯(lián)立方程得0獻(xiàn)?獷?4中?57,根據(jù)

4m”.-5

韋達(dá)定理得=疝-3,J=；tr-3,根據(jù)斜率公式得即，",最后代入化簡計(jì)算即可得證.

【詳解】(1)因?yàn)殡p曲線的實(shí)軸長為6,所以a=3,

273j空

因?yàn)殡p曲線的離心率為丁，所以￡=亍，解得

X2J1.1

由a：+加?r,得L,則c的方程為萬一不一.

(2)

E

1A

廣旅"O\F2x

設(shè)鼠XJ),取J：),因?yàn)橹本€/過定點(diǎn)B(-2,0),顯然直線/不垂直于F軸，則設(shè)直線

1r7可一切工土⑨

fx.他?-2

歸上.1、

聯(lián)立方程組I亍’T*,消去尤得(刖-3》-Mr-5=0,

.5

ldm:?20(J?:-3)>0汨>T

4m一5

y^y=-：~~7ir=—：—

則冽?一3,八八w-3,

因?yàn)锳為雙曲線C的左頂點(diǎn)，所以4J3.0),

直線AE的斜率即+3,直線A尸的斜率4+3,

Ku*，-*M------J--5---------_------------F--J--：------------

所以(*1?3XW?3)0^1-243XBL”$

“?

加JJ：+*J1+「2)+l

-5

后3_55

即直線AE與AF的斜率之積為定值.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第二問的關(guān)鍵在于設(shè)出直線/的方程，然后直曲聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，代入

"*，?的表達(dá)式，化簡即可得到定值.

練透核心考點(diǎn)

C----r=l(fl--'O).

1.(2024高三?全國?專題練習(xí))如圖，已知雙曲線。的右焦點(diǎn)尸，點(diǎn)48分別在。的

兩條漸近線上，兒？1丫軸，R?_LC6.BFHOA(。為坐標(biāo)原點(diǎn)).

⑴求雙曲線C的方程;

(2)過C上一點(diǎn)HjW)的直線/與直線A尸相交于點(diǎn)M,與直線'=三相交于點(diǎn)及，證明點(diǎn)P在。上移動(dòng)

網(wǎng)

時(shí)，”了1恒為定值，并求此定值.

■

工-八1

【答案】⑴3--

網(wǎng)20

(2)證明見解析，陽3

【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)a、b、c求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、雙曲線中的定值問題

【分析】(1)由漸近線方程和已知平行關(guān)系可得直線2尸的方程，與直線方程聯(lián)立解得2坐標(biāo)，再求

得A坐標(biāo)，利用垂直得等量關(guān)系即可.

M“戶-3)

(2)本題雖為證明實(shí)質(zhì)為計(jì)算的值.分別用坐標(biāo)表示直線，與A尸的交點(diǎn)3,'及直線/與直

線

x=-雇?二一)--I=1

2的交點(diǎn)為-，并利用31化簡，即可得到定值.

【詳解】(1)由題意知，直線。8方程為」=一￡'，直線。4的方程為J=￡',

I,、

J*二—(t一￡)

因?yàn)榧此灾本€3尸的方程為.0,與直線。2方程聯(lián)立，

3C——Mk=一

解得”2a,把x*c代入直線。4的方程得C,口,所以“a

又因?yàn)锳8_LOB,所以"aa,解得＜r-3,

X2，■]

故雙曲線c的方程為了一'-

(2)由⑴知?jiǎng)t直線/的方程為亍........,

1K-3

T--20;—

即抗

A/(2,3S21)

因?yàn)橹本€AF的方程為T-2,所以直線7與A尸的交點(diǎn)3幾，

3Tx?_3

TIN(------)

直線/與直線■?的交點(diǎn)為y譏，因?yàn)榫W(wǎng)2,o),

(工-才

產(chǎn)次：:工?丹

則9刀

因?yàn)榭痋.幾)是C上一點(diǎn)，則丁"，代入上式得

兇j__%工-3)：4

k百.2丁吟…(7J即3萬阿？百

,所求定值為網(wǎng)

2.(23-24高三下?湖南長沙,階段練習(xí))已知橢圓‘7+‘A/.N分別為雙曲線

c.1r2-1

一的左，右頂點(diǎn)，^上：分別為？和的離心率.

厲

&2=-----

⑴若4.

(i)求C的漸近線方程；

(ii)過點(diǎn)”的直線/交C的右支于48兩點(diǎn)，MB與直線1交于B兩點(diǎn)，記48乂，8坐

標(biāo)

1111

分別為(EJJ111-求證：Jiy：Ti幾；

(2)從。上的動(dòng)點(diǎn)「‘1-』'*±內(nèi)引(?的兩條切線，經(jīng)過兩個(gè)切點(diǎn)的直線與C的兩條漸近線圍成三角形

的面積為S,試判斷S是否為定值?若是，請(qǐng)求出該定值；若不是，說明理由.

1’?士一X

【答案】⑴(i)2；(ii)證明見解析

(2)是，定值為。

【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)離心率求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、橢圓中的定值問題、雙曲線中的定值問題

【分析】(1)根據(jù)離心率可求。，故可得(i)中方程；設(shè)直線的方程為*=夕+4,聯(lián)立直線方程和

1111

—,一+—

橢圓方程后利用韋達(dá)定理化簡工y-r'匚后可得它們相等.

(2)設(shè)到。是求出切點(diǎn)弦的方程后再求出切點(diǎn)弦與漸近線的交點(diǎn)后可求得面積為定值.

?jo:—1Ja：+1-1

【詳解】(1)(i)由題意得aa,所以“產(chǎn)一？T,

解得a：-4,又a>l,所以a?2.

故雙曲線a的漸近線方程為'w±7l；

(ii)證明：設(shè)直線AB的方程為x=T+4,

卜”+4.

由匕消元得5-4)「+防+HDQO且“±2,

故△?代叫―心。，故…

又直線日的方程為y=-（x+2）,

（2）設(shè)兩個(gè)切點(diǎn)為2??「"（￥』），由題意知斜率存在,

直線用方程為"工）?二，

4；1I

聯(lián)立旨”7,故（l+a*）x+勿cm11+（匚-Z/Ja'-a：=0

由△?0可得4叫也”占『?4（1**）［優(yōu)?也）%?刃-0

整理得到：匕＜X*?+J-T--0

故”"a，故.『，，所以‘a(chǎn)r，

同理直線惚方程為

cr

由7/過P點(diǎn)可得'=|可得直線FE的方程為務(wù)+R",

不妨設(shè)直線尸P與x軸交于點(diǎn)V1）,與兩條漸近線的交點(diǎn)分別為斤，8，

則圍成三角形的面積為:

因尸在雙曲線c上，小4?"，則為定值.

高頻考點(diǎn)四：雙曲線中的定值問題（雙曲線中的定直線問題）

典型例題

X*?**

------=】（a>0,b>0）rr

例題1.（23-24高二上?江西萍鄉(xiāng)?期中）已知雙曲線C：ab的離心率為J1,其左、

右頂點(diǎn)分別為人，4,右焦點(diǎn)為藥，尸為C的左支上不同于A的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)F的縱坐標(biāo)為1時(shí)，線段月弓的

中點(diǎn)恰好在軸上.

⑴求雙曲線「的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若點(diǎn)“（工山，連接"P交C的右支于點(diǎn)。，直線以與直線C從相交于點(diǎn)T,證明：當(dāng)尸在。的左支

上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)7在定直線上.

【答案】⑴i-尸=【

（2）證明見解析

【知識(shí)點(diǎn)】雙曲線中的動(dòng)點(diǎn)在定直線上問題、根據(jù)韋達(dá)定理求參數(shù)、根據(jù)離心率求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、根

據(jù)a、b、c求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

【分析】根據(jù)離心率公式和點(diǎn)的坐標(biāo)即可求出雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

仁）設(shè)點(diǎn)PKJ）,。（工J：）,分別根據(jù)韋達(dá)定理，兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出.

【詳解】（1）由離心率a',c+i>,得

當(dāng)戶的縱坐標(biāo)為I時(shí)，線段嗎的中點(diǎn)恰好在F軸上，

則尸尸11軸（式為C的左焦點(diǎn)），

故刊7）,代入的方程得：工?1,

故雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程X、尸.【；

（2）設(shè)點(diǎn)—）,小』|,其中，＜T,工＞1,

由題意知，直線MP的斜率存在且不為0,設(shè)MP：

;

代入V-廠/，得11一＜M+妹?A-12＜+4＞0,

由題意知，直線以：H+l，直線Q4：0-1相交于點(diǎn)了，

所以K,+lX.-l

x.一―3x,fif.%.4J

解得Lf+3x：-4.-X,+3K,-4-2-x.43tv.-4-

I，

故當(dāng)P在C的左支上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)T在直線'=3'上.

例題2.（2024?貴州畢節(jié)?三模）在平面直角坐標(biāo)系京丁中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，4-L。）.及10］，動(dòng)點(diǎn)P滿足

*'*■＜設(shè)點(diǎn)P的軌跡為曲線

⑴求曲線r的方程；

（2）過點(diǎn)C1D的直線/與曲線「在y軸右側(cè)交于不同的兩點(diǎn)M,N,在線段MN上取異于點(diǎn)M,N的點(diǎn)Z）,

滿足LI16'I.證明：點(diǎn)。在定直線上.

【答案】⑴T'3—=If'r*±1）

（2）證明見解析

【知識(shí)點(diǎn)】求平面軌跡方程、雙曲線中的動(dòng)點(diǎn)在定直線上問題

【分析】（1）設(shè)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（',』），根據(jù)斜率乘積為定值化簡即可；

（2）設(shè)直線/的方程為9-1?*保-。，聯(lián)立雙曲線方程得到韋達(dá)定理式，化簡弦長得

以“（X,+4?（X,?X「山，代入韋達(dá)定理式計(jì)算即可.

【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（'?』），

-2_■3

由*r■3得x+1x-1,化簡整理得3

所以曲線「的方程為"

（2）若直線/的斜率不存在，則直線/與曲線「只有一個(gè)交點(diǎn)，不符合題意，

所以直線/的斜率存在，設(shè)為％,則直線/的方程為1）,

設(shè)點(diǎn)

聯(lián)立方程組I'-丁.，整理得（3-H*-北）1信-北+小。，易知33,

△?（丁?川、4（3”）『?北川>0,解得太<2,

2k1-2k門

r+r,=-；--->0

'1J-3

■■北+4

（iV<-3,解得或k>5

綜上k<--或?<*<2,

因?yàn)閨e‘卜—K-1卜力+》（”rI,

同理由|*|16rl得KT（x：T）=（x「l）（xf）

化簡整理得罵H?/）?（*?K：-2）K,

所以-丁二*：-3I?：-3J

3K-4

化簡整理得-X-1,代入JT=ST）,

化簡整理得3*-J-3=0,

所以點(diǎn)。在定直線3=0上.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二問的關(guān)鍵是采用設(shè)線法聯(lián)立雙曲線方程得到韋達(dá)定理式，再對(duì)

化簡得招/■（?；+/）■（4+3-2”，代入韋達(dá)定理式計(jì)算即可

練透核心考點(diǎn)

C=上=1

1.（2024?貴州遵義?一模）已知雙曲線。b~（a>0,6>0）的左、右焦點(diǎn)分別為尸，為，直

線）=3與。的左、右兩支分別交于M,"兩點(diǎn)，四邊形MFFN為矩形，且面積為11.

⑴求四邊形M產(chǎn)尸耳的外接圓方程；

（2）設(shè)A,B為（？的左、右頂點(diǎn)，直線:過點(diǎn)（-3.0）與。交于廣，:兩點(diǎn)（異于八，5）,直線4?與82交

于點(diǎn)R,證明：點(diǎn)R在定直線上.

【答案】⑴V2J4

（2）證明見解析

【知識(shí)點(diǎn)】由圓心（或半徑）求圓的方程、求雙曲線中三角形（四邊形）的面積問題、雙曲線中的動(dòng)點(diǎn)在

定直線上問題

【分析】（1）依題意可得尸尸＞且網(wǎng)?3,由卜--C求出M點(diǎn)，再根據(jù)矩形面積及

c：?f+於求出。、b、c,即可得到雙曲線方程及M、石點(diǎn)坐標(biāo)，再求出線段的中點(diǎn)及線段長，最后求

出外接圓的方程；

（2）設(shè)直線，為＞叼-3,P,聯(lián)立消元、列出韋達(dá)定理，表示出AP與82的方程，

聯(lián)立求出x,即可得證.

【詳解】（1）由雙曲線a~~b~=的左、右焦點(diǎn)分別為八「"文月心叫

直線y?3與C的左、右兩支分別交于“，"兩點(diǎn)，且四邊形MFFN為矩形，

所以且卬卜3,

即\。人則a",又c'=d+>,S,*=3x?c=l?,

解得?2,a-1,,

T-J---"=1,

所以雙曲線。的方程為3,

所以矩形”FN的外接圓的方程-T

(2)由(1)知，1川,即川,

依題意知直線7的斜率不為零，設(shè)直線，為i=m.r-3,?0.3，Q(3V,

X1-—?1

'；3

由卜?紳-3,得(3)展-1y-1&置+工?0

當(dāng)劃：_].()且4?324m:-4x24(l?r-1)?3&M?96>0

IM24

所以'+,：=^^7^7,3：=3疝-1,

所以上",)F

一r--h—(x-1)

直線4尸的方程為3，直線R2的方程為0T

'1.(X+11=--~(X-1)

聯(lián)立兩方程可得，所以M+1工?|

K+1一x+1jr；1沖；-2氏_呷寸：二生

I1"--1°F/F?廣4廣町4-4久

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下:

(1)設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為0?>?、'

(2)聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于X(或F)的一元二次方程，必要時(shí)計(jì)算△；

(3)列出韋達(dá)定理；

(4)將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為'+4、X'的形式;

(5)代入韋達(dá)定理求解.

----=l|a>0,h>0）

2.（23-24高三上?河南周口?階段練習(xí)）己知雙曲線C：a0實(shí)軸的左、右端點(diǎn)分別為

2_

人，4,點(diǎn)尸二■在c上，且“加的斜率之積為5.

⑴求C的方程；

（2）已知直線/與C交于M,N兩點(diǎn)（均與尸不重合），與直線1-2交于點(diǎn)Q,且點(diǎn)M,N在直線1=?的

兩側(cè)，若1Mpi「兀卜四力/阿，線段MN的中點(diǎn)為R,證明：點(diǎn)R在一條定直線上.

--r:=1

【答案】⑴2

⑵證明見解析

【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)a、b、c求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、根據(jù)雙曲線過的點(diǎn)求標(biāo)準(zhǔn)方程、雙曲線中的動(dòng)點(diǎn)在定直線

上問題