第7節(jié)指數(shù)與對(duì)數(shù)的運(yùn)算考試要求1.理解有理數(shù)指數(shù)冪的含義，了解實(shí)數(shù)指數(shù)冪的意義，掌握指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì).2.理解對(duì)數(shù)的概念和運(yùn)算性質(zhì)，知道用換底公式能將一般對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對(duì)數(shù)或常用對(duì)數(shù).【知識(shí)梳理】1.根式的概念及性質(zhì)(1)概念：式子eq\r(n,a)叫做根式，這里n叫做根指數(shù)，a叫做被開(kāi)方數(shù).(2)性質(zhì)：①負(fù)數(shù)沒(méi)有偶次方根.②0的任何次方根都是0，記作eq\r(n,0)＝0.③(eq\r(n,a))n＝a(n∈N*，且n>1).④eq\r(n,an)＝a(n為大于1的奇數(shù)).⑤eq\r(n,an)＝|a|＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a，a≥0，,－a，a<0))(n為大于1的偶數(shù)).2.分?jǐn)?shù)指數(shù)冪規(guī)定：正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是aeq\f(m,n)＝eq\r(n,am)(a>0，m，n∈N*，且n>1)；正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是a－eq\f(m,n)＝eq\f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0；0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒(méi)有意義.3.有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q.4.對(duì)數(shù)的概念如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么數(shù)x叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作x＝logaN，其中a叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù).5.對(duì)數(shù)的性質(zhì)、運(yùn)算性質(zhì)與換底公式(1)對(duì)數(shù)的性質(zhì)①alogaN＝N；②logaab＝b(a>0，且a≠1).(2)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么①loga(MN)＝logaM＋logaN；②logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM(n∈R).(3)換底公式：logab＝eq\f(logcb,logca)(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1).[常用結(jié)論與微點(diǎn)提醒]換底公式的兩個(gè)重要結(jié)論(1)logab＝eq\f(1,logba)(a>0，且a≠1；b>0，且b≠1).(2)logambn＝eq\f(n,m)logab(a>0，且a≠1；b>0；m，n∈R，且m≠0).【診斷自測(cè)】1.思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”)(1)eq\r(4,（－4）4)＝－4.()(2)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪aeq\f(m,n)可以理解為eq\f(m,n)個(gè)a相乘.()(3)log2x2＝2log2x.()(4)若MN＞0，則loga(MN)＝logaM＋logaN.()答案(1)×(2)×(3)×(4)×解析(1)由于eq\r(4,（－4）4)＝eq\r(4,44)＝4，故(1)錯(cuò)誤.(2)當(dāng)eq\f(m,n)<1時(shí)，不可以，故(2)錯(cuò)誤.(3)log2x2＝2log2|x|，故(3)錯(cuò)誤.(4)當(dāng)M＜0，N＜0時(shí)，雖然MN＞0，但loga(MN)＝logaM＋logaN不成立，故(4)錯(cuò)誤.2.(必修一P127T5改編)設(shè)a＝lg2，b＝lg3，則log1210＝()A.eq\f(1,2a＋b) B.eq\f(1,2b＋a)C.2a＋b D.2b＋a答案A解析log1210＝eq\f(1,lg12)＝eq\f(1,lg3＋2lg2)＝eq\f(1,2a＋b).3.(必修一P110T8改編)已知aeq\s\up6(\f(1,2))＋a－eq\f(1,2)＝3，則a＋a－1＝________；a2＋a－2＝________.答案747解析由aeq\s\up6(\f(1,2))＋a－eq\f(1,2)＝3，得a＋a－1＋2＝9，即a＋a－1＝7，則a2＋a－2＋2＝49，即a2＋a－2＝47.4.計(jì)算：π0＋2－2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\f(1,4)))eq\s\up6(\f(1,2))＋log23－log26＝________.答案eq\f(3,8)解析原式＝1＋eq\f(1,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,4)))eq\s\up6(\f(1,2))＋log23－log22－log23＝1＋eq\f(1,4)×eq\f(3,2)－1＝eq\f(3,8).考點(diǎn)一指數(shù)冪的運(yùn)算例1(1)(多選)下列運(yùn)算(化簡(jiǎn))中正確的有()A.(aeq\f(1,6))－1·(a－2)－eq\f(1,3)＝aeq\f(1,2)B.(xa－1y)a·(4y－a)＝4xC.[(1－eq\r(2))2]eq\f(1,2)－(1＋eq\r(2))－1＋(1＋eq\r(2))0＝3－2eq\r(2)D.2a3beq\f(2,3)·(－5aeq\f(2,3)beq\f(1,3))÷(4eq\r(3,a4b5))＝－eq\f(5,2)aeq\f(7,3)b－eq\f(2,3)答案ABD解析對(duì)于A，(aeq\f(1,6))－1·(a－2)－eq\f(1,3)＝a－eq\f(1,6)＋eq\f(2,3)＝aeq\f(1,2)，故正確；對(duì)于B，(xa－1y)a·(4y－a)＝4xeq\f(1,a)×a·ya－a＝4xy0＝4x，故正確；對(duì)于C，[(1－eq\r(2))2]eq\f(1,2)－(1＋eq\r(2))－1＋(1＋eq\r(2))0＝(eq\r(2)－1)2×eq\f(1,2)－eq\f(1,1＋\r(2))＋1＝eq\r(2)－1－(eq\r(2)－1)＋1＝1，故錯(cuò)誤；對(duì)于D，2a3beq\f(2,3)·(－5aeq\f(2,3)beq\f(1,3))÷(4eq\r(3,a4b5))＝[2×(－5)÷4]a3＋eq\f(2,3)－eq\f(4,3)beq\f(2,3)＋eq\f(1,3)－eq\f(5,3)＝－eq\f(5,2)aeq\f(7,3)b－eq\f(2,3)，故正確.故選ABD.(2)化簡(jiǎn)：eq\r(3,a\f(7,2)·\r(a－3))÷eq\r(\r(3,a－8)·\r(3,a12))(a>0).解eq\r(3,a\s\up6(\f(7,2))·\r(a－3))÷eq\r(\r(3,a－8)·\r(3,a12))＝eq\r(3,a\f(7,2)·a－\f(3,2))÷eq\r(a－\f(8,3)·a4)＝aeq\f(2,3)÷aeq\f(2,3)＝1.感悟提升1.指數(shù)冪的運(yùn)算首先將根式、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪統(tǒng)一為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，以便利用法則計(jì)算，還應(yīng)注意：(1)必須同底數(shù)冪相乘，指數(shù)才能相加.(2)運(yùn)算的先后順序.2.當(dāng)?shù)讛?shù)是負(fù)數(shù)時(shí)，先確定符號(hào)，再把底數(shù)化為正數(shù).3.運(yùn)算結(jié)果不能同時(shí)含有根號(hào)和分?jǐn)?shù)指數(shù)，也不能既有分母又含有負(fù)指數(shù).訓(xùn)練1(1)(多選)已知a＋a－1＝3，則下列選項(xiàng)正確的是()A.a2＋a－2＝7 B.aeq\f(1,2)－a－eq\f(1,2)＝±1C.aeq\f(1,2)＋a－eq\f(1,2)＝±eq\r(5) D.aeq\f(3,2)＋a－eq\f(3,2)＝2eq\r(5)答案ABD解析將a＋a－1＝3兩邊平方，得(a＋a－1)2＝a2＋2＋a－2＝9，所以a2＋a－2＝7，故A正確；因?yàn)?aeq\f(1,2)－a－eq\f(1,2))2＝a－2＋a－1＝3－2＝1，aeq\f(1,2)，a－eq\f(1,2)的大小不確定，所以aeq\f(1,2)－a－eq\f(1,2)＝±1，故B正確；因?yàn)?aeq\f(1,2)＋a－eq\f(1,2))2＝a＋2＋a－1＝3＋2＝5，又因?yàn)閍eq\f(1,2)>0，a－eq\f(1,2)>0，所以aeq\f(1,2)＋a－eq\f(1,2)＝eq\r(5)，故C錯(cuò)誤；由立方和公式，可得aeq\f(3,2)＋a－eq\f(3,2)＝(aeq\f(1,2))3＋(a－eq\f(1,2))3＝(aeq\f(1,2)＋a－eq\f(1,2))(a－1＋a－1)＝eq\r(5)×(3－1)＝2eq\r(5)，故D正確.故選ABD.(2)計(jì)算：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\f(3,5)))eq\s\up12(0)＋2－2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\f(1,4)))eq\s\up12(－\f(1,2))－(0.01)0.5.解eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\f(3,5)))eq\s\up12(0)＋2－2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\f(1,4)))eq\s\up12(－\f(1,2))－(0.01)0.5＝1＋eq\f(1,4)×eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))\s\up12(2)))eq\s\up12(－\f(1,2))－eq\f(1,10)＝1＋eq\f(1,4)×eq\f(2,3)－eq\f(1,10)＝eq\f(16,15).考點(diǎn)二對(duì)數(shù)的運(yùn)算例2(1)log381－log98·log23－2log23＋lgeq\r(2)＋lgeq\r(5)＝________.答案0解析原式＝log334－eq\f(3,2)·log32·log23－3＋lgeq\r(10)＝4－eq\f(3,2)－3＋eq\f(1,2)＝0.(2)計(jì)算：eq\f(（1－log63）2＋log62·log618,log64)＝________.答案1解析原式＝eq\f(1－2log63＋（log63）2＋（1－log63）（1＋log63）,log64)＝eq\f(1－2log63＋（log63）2＋1－（log63）2,log64)＝eq\f(2（1－log63）,2log62)＝eq\f(log66－log63,log62)＝eq\f(log62,log62)＝1.(3)已知lg2＝a，lg3＝b，用a，b表示log1815＝________.答案eq\f(b－a＋1,2b＋a)解析log1815＝eq\f(lg15,lg18)＝eq\f(lg3＋lg5,lg2＋2lg3)＝eq\f(lg3＋1－lg2,lg2＋2lg3)＝eq\f(b－a＋1,2b＋a).感悟提升1.在對(duì)數(shù)運(yùn)算中，先利用冪的運(yùn)算把底數(shù)或真數(shù)進(jìn)行變形，化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，使冪的底數(shù)最簡(jiǎn)，然后用對(duì)數(shù)運(yùn)算法則化簡(jiǎn)合并.2.先將對(duì)數(shù)式化為同底數(shù)對(duì)數(shù)的和、差、倍數(shù)運(yùn)算，然后逆用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，轉(zhuǎn)化為同底對(duì)數(shù)真數(shù)的積、商、冪再運(yùn)算.3.ab＝N?b＝logaN(a>0，且a≠1)是解決有關(guān)指數(shù)、對(duì)數(shù)問(wèn)題的有效方法，在運(yùn)算中應(yīng)注意互化.訓(xùn)練2(1)(2024·麗水質(zhì)檢)設(shè)log83＝p，log35＝q，則lg5等于()A.p2＋q2 B.eq\f(1,5)(3p＋2q)C.eq\f(3pq,1＋3pq) D.pq答案C解析∵log83＝eq\f(lg3,lg8)＝eq\f(lg3,3lg2)＝p，∴l(xiāng)g3＝3plg2.∵log35＝eq\f(lg5,lg3)＝q，∴l(xiāng)g5＝qlg3＝3pqlg2＝3pq(1－lg5)，∴l(xiāng)g5＝eq\f(3pq,1＋3pq).(2)計(jì)算：log535＋2logeq\s\do9(\f(1,2))eq\r(2)－log5eq\f(1,50)－log514＝________.答案2解析原式＝log535－log5eq\f(1,50)－log514＋logeq\s\do9(\f(1,2))(eq\r(2))2＝log5eq\f(35,\f(1,50)×14)＋logeq\s\do9(\f(1,2))2＝log5125－1＝log553－1＝3－1＝2.(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(log25)＋lneq\f(1,e)＋log35×log259＋lg4＋2lg5＝________.答案eq\f(11,5)解析eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(log25)＋lneq\f(1,e)＋log35×log259＋lg4＋2lg5＝2－log25＋lne－1＋log35×log5232＋lg22＋2lg5＝2log2eq\f(1,5)－1＋log35×log53＋2lg2＋2lg5＝eq\f(1,5)－1＋eq\f(lg5,lg3)×eq\f(lg3,lg5)＋2(lg2＋lg5)＝eq\f(1,5)－1＋1＋2＝eq\f(11,5).考點(diǎn)三指數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用例3(1)(2020·新高考Ⅰ卷改編)基本再生數(shù)R0與世代間隔T是新冠感染的流行病學(xué)基本參數(shù).基本再生數(shù)指一個(gè)感染者傳染的平均人數(shù)，世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時(shí)間.在新冠感染疫情初始階段，可以用指數(shù)模型：I(t)＝ert描述累計(jì)感染病例數(shù)I(t)隨時(shí)間t(單位：天)的變化規(guī)律，指數(shù)增長(zhǎng)率r與R0，T近似滿足R0＝1＋rT.有學(xué)者基于已有數(shù)據(jù)估計(jì)出R0＝3.28，T＝6.據(jù)此，在新冠感染疫情初始階段，累計(jì)感染病例數(shù)增加1倍需要的時(shí)間約為(ln2≈0.69)()A.1.2天 B.1.8天C.2.5天 D.3.5天答案B解析由R0＝1＋rT，R0＝3.28，T＝6，得r＝eq\f(R0－1,T)＝eq\f(3.28－1,6)＝0.38.由題意，累計(jì)感染病例數(shù)增加1倍，則I(t2)＝2I(t1)，即e0.38t2＝2e0.38t1，所以e0.38(t2－t1)＝2，即0.38(t2－t1)＝ln2，∴t2－t1＝eq\f(ln2,0.38)≈eq\f(0.69,0.38)≈1.8(天).(2)(多選)(2023·新高考Ⅰ卷)噪聲污染問(wèn)題越來(lái)越受到重視.用聲壓級(jí)來(lái)度量聲音的強(qiáng)弱，定義聲壓級(jí)Lp＝20×lgeq\f(p,p0)，其中常數(shù)p0(p0>0)是聽(tīng)覺(jué)下限閾值，p是實(shí)際聲壓.下表為不同聲源的聲壓級(jí)：聲源與聲源的距離/m聲壓級(jí)/dB燃油汽車1060～90混合動(dòng)力汽車1050～60電動(dòng)汽車1040已知在距離燃油汽車、混合動(dòng)力汽車、電動(dòng)汽車10m處測(cè)得實(shí)際聲壓分別為p1，p2，p3，則()A.p1≥p2 B.p2>10p3C.p3＝100p0 D.p1≤100p2答案ACD解析法一因?yàn)長(zhǎng)p＝20×lgeq\f(p,p0)隨著p的增大而增大，且Lp1∈[60，90]，Lp2∈[50，60]，所以Lp1≥Lp2，所以p1≥p2，故A正確；假設(shè)p2>10p3，則p010eq\s\up6(\f(Lp2,20))>10p010eq\s\up6(\f(Lp3,20))，所以10eq\f(Lp2,20)－eq\f(Lp3,20)>10，所以Lp2－Lp3>20，不可能成立，故B不正確；由Lp＝20×lgeq\f(p,p0)，得p＝p010eq\s\up6(\f(Lp,20)).因?yàn)長(zhǎng)p3＝40，所以p3＝p010eq\s\up6(\f(40,20))＝100p0，故C正確；因?yàn)閑q\f(100p2,p1)＝eq\f(100p010\s\up6(\f(Lp2,20)),p010\s\up6(\f(Lp1,20)))＝10eq\f(Lp2,20)－eq\f(Lp1,20)＋2≥1，所以p1≤100p2，故D正確.綜上，選ACD.法二由題意可知：Lp1∈[60，90]，Lp2∈[50，60]，Lp3＝40，lgp＝eq\f(Lp,20)＋lgp0，p＝10eq\f(Lp,20)p0，對(duì)于A，eq\f(p1,p2)＝10eq\f(Lp1－Lp2,20)≥1，故A正確；對(duì)于B，eq\f(p2,p3)＝10eq\f(Lp2－Lp3,20)≤10，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，eq\f(p3,p0)＝10eq\f(Lp3,20)＝100，故C正確；對(duì)于D，eq\f(p1,p2)＝10eq\f(Lp1－Lp2,20)≤10eq\f(90－50,20)＝100，故D正確.感悟提升解決指數(shù)、對(duì)數(shù)運(yùn)算實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的步驟(1)理解題意、弄清楚題目條件與所求之間的關(guān)系；(2)運(yùn)用指數(shù)或?qū)?shù)的運(yùn)算公式、性質(zhì)等進(jìn)行運(yùn)算，把題目條件轉(zhuǎn)化為所求.訓(xùn)練3(1)根據(jù)有關(guān)資料，圍棋狀態(tài)空間復(fù)雜度的上限M約為3361，而可觀測(cè)宇宙中普通物質(zhì)的原子總數(shù)N約為1080，則下列各數(shù)中與eq\f(M,N)最接近的是(參考數(shù)據(jù)：lg3≈0.48)()A.1033 B.1053C.1073 D.1093答案D解析法一設(shè)eq\f(M,N)＝x＝eq\f(3361,1080)，兩邊取對(duì)數(shù)得lgx＝lgeq\f(3361,1080)＝lg3361－lg1080＝361×lg3－80≈93.28，所以x≈1092.38，即eq\f(M,N)最接近1093.法二因?yàn)閘g3＝eq\f(1,2)lg9≈eq\f(1,2)lg10＝eq\f(1,2)，361×lg3－80≈100，故與eq\f(M,N)最接近的是1093.(2)果農(nóng)采摘水果，采摘下來(lái)的水果會(huì)慢慢失去新鮮度.已知某種水果失去新鮮度h與其采摘后時(shí)間t(天)滿足的函數(shù)關(guān)系式為h＝m·at.若采摘后10天，這種水果失去的新鮮度為10%，采摘后20天，這種水果失去的新鮮度為20%.那么采摘下來(lái)的這種水果多長(zhǎng)時(shí)間后失去40%新鮮度()A.25天 B.30天C.35天 D.40天答案B解析依題意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(10%＝m·a10，,20%＝m·a20，))解得m＝eq\f(1,20)，a10＝2，當(dāng)h＝40%時(shí)，40%＝eq\f(1,20)·at，即40%＝eq\f(1,20)·a10·at－10，解得at－10＝4＝(a10)2＝a20，于是得t－10＝20，解得t＝30(天)，所以采摘下來(lái)的這種水果30天后失去40%新鮮度.【A級(jí)基礎(chǔ)鞏固】1.若代數(shù)式eq\r(2x－1)＋eq\r(2－x)有意義，則eq\r(4x2－4x＋1)＋2eq\r(4,（x－2）4)＝()A.2 B.3C.2x－1 D.x－2答案B解析由eq\r(2x－1)＋eq\r(2－x)有意義，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－1≥0，,2－x≥0，))解得eq\f(1,2)≤x≤2.所以x－2≤0，2x－1≥0，所以eq\r(4x2－4x＋1)＋2eq\r(4,（x－2）4)＝eq\r(（2x－1）2)＋2|x－2|＝|2x－1|＋2|x－2|＝2x－1＋2(2－x)＝3.2.(2022·浙江卷)已知2a＝5，log83＝b，則4a－3b＝()A.25 B.5C.eq\f(25,9) D.eq\f(5,3)答案C解析因?yàn)?a＝5，b＝log83，即23b＝3，所以4a－3b＝eq\f(4a,43b)＝eq\f(（2a）2,（23b）2)＝eq\f(52,32)＝eq\f(25,9).3.某品牌計(jì)算器在計(jì)算對(duì)數(shù)logab時(shí)需按“l(fā)og(a，b).”某學(xué)生在計(jì)算logab時(shí)(其中a>1且b>1)順序弄錯(cuò)，誤按“l(fā)og(b，a)”，所得結(jié)果為正確值的4倍，則下列結(jié)論正確的是()A.a＝2b B.b＝2aC.a＝b2 D.b＝a2答案C解析由題意，得logba＝4·logab，所以eq\f(lna,lnb)＝eq\f(4lnb,lna)，即(lna)2＝(2lnb)2.因?yàn)閍>1且b>1，所以lna＝2lnb，即a＝b2，故選C.4.(2024·天津質(zhì)檢)計(jì)算2log32－log3eq\f(32,9)＋(eq\r(2)－1)0＋log38－25log53的結(jié)果為()A.－7 B.－3C.0 D.－6答案D解析2log32－log3eq\f(32,9)＋(eq\r(2)－1)0＋log38－25log53＝log34－log3eq\f(32,9)＋log38＋1－52log53＝log3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4×\f(9,32)×8))＋1－5log59＝log39＋1－9＝－6.故選D.5.(2024·鄭州調(diào)研)點(diǎn)聲源亦稱為“球面聲源”或“簡(jiǎn)單聲源”，為機(jī)械聲源中最基本的輻射體，點(diǎn)聲源在空間中傳播時(shí)，衰減量ΔL與傳播距離r(單位：米)的關(guān)系視為ΔL＝10lgeq\f(πr2,4)(單位：dB)，取lg5≈0.7，則r從5米變化到80米時(shí)，衰減量的增加值約為()A.18dB B.20dBC.24dB D.27dB答案C解析當(dāng)r＝5時(shí)，ΔL1＝10lgeq\f(25π,4)，當(dāng)r＝80時(shí)，ΔL2＝10lg1600π，則衰減量的增加值約為ΔL2－ΔL1＝10lg1600π－10lgeq\f(25π,4)＝80lg2＝80(lg10－lg5)≈80×(1－0.7)＝24.故選C.6.(多選)已知a，b∈R，4a＝b2＝9，則2a＋b的值可能為()A.eq\f(1,24) B.eq\f(3,8)C.eq\f(8,3) D.24答案BD解析由4a＝9，解得a＝log49＝log2232＝log23，當(dāng)b2＝9時(shí)，解得b＝3＝log28或b＝－3＝log2eq\f(1,8)，當(dāng)b＝log28時(shí)，a＋b＝log23＋log28＝log2(3×8)＝log224，所以2a＋b＝24，當(dāng)b＝log2eq\f(1,8)時(shí)，a＋b＝log23＋log2eq\f(1,8)＝log2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3×\f(1,8)))＝log2eq\f(3,8)，所以2a＋b＝eq\f(3,8).故選BD.7.(多選)下列運(yùn)算中，正確的是()A.2log2eq\f(1,4)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(27,8)))eq\s\up12(\f(2,3))＝－2B.若a＋eq\f(1,a)＝14，則eq\r(a)＋eq\f(1,\r(a))＝4C.若log73＝a，log74＝b，則log742＝1＋eq\f(1,a)＋eq\f(b,2)D.若4a＝6b＝9c，則eq\f(1,a)＋eq\f(1,c)＝eq\f(2,b)答案AB解析對(duì)于A，2log2eq\f(1,4)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(27,8)))eq\s\up12(\f(2,3))＝eq\f(1,4)－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))\s\up12(3)))eq\s\up12(\f(2,3))＝eq\f(1,4)－eq\f(9,4)＝－2，正確；對(duì)于B，因?yàn)閍＋eq\f(1,a)＝14，所以eq\r(a)＋eq\f(1,\r(a))＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(a)＋\f(1,\r(a))))\s\up12(2))＝eq\r(a＋\f(1,a)＋2)＝4，正確；對(duì)于C，因?yàn)閘og73＝a，log74＝b，所以log742＝log77＋log73＋log72＝1＋log73＋eq\f(1,2)log74＝1＋a＋eq\f(b,2)，不正確；對(duì)于D，當(dāng)a＝b＝c＝0時(shí)，4a＝6b＝9c成立，但eq\f(1,a)＋eq\f(1,c)＝eq\f(2,b)無(wú)意義，不正確.故選AB.8.化簡(jiǎn)eq\f(\r(a3b2\r(3,ab2)),（a\s\up6(\f(1,4))b\s\up6(\f(1,2))）4·\r(3,\f(b,a)))(a＞0，b＞0)的結(jié)果是________.答案eq\f(a,b)解析eq\f(\r(a3b2\r(3,ab2)),（a\s\up6(\f(1,4))b\s\up6(\f(1,2))）4·\r(3,\f(b,a)))＝eq\f(a\s\up6(\f(3,2))b·a\s\up6(\f(1,6))b\s\up6(\f(1,3)),（a\s\up6(\f(1,4))b\s\up6(\f(1,2))）4·a－\f(1,3)·b\s\up6(\f(1,3)))＝aeq\f(3,2)＋eq\f(1,6)－1＋eq\f(1,3)b1＋eq\f(1,3)－2－eq\f(1,3)＝ab－1＝eq\f(a,b).9.若ex＝2024，e－y＝1012，則x＋y＝________.答案ln2解析ex＝2024，e－y＝1012，則eq\f(ex,e－y)＝eq\f(2024,1012)＝2，即ex＋y＝2，則x＋y＝ln2.10.計(jì)算：log3eq\r(27)＋lg25＋lg4＋7log72＋8eq\s\up6(\f(1,3))＝________.答案eq\f(15,2)解析原式＝log33eq\s\up6(\f(3,2))＋lg52＋lg22＋2＋23×eq\f(1,3)＝eq\f(3,2)＋2lg5＋2lg2＋2＋2＝eq\f(3,2)＋2(lg5＋lg2)＋2＋2＝eq\f(3,2)＋2＋2＋2＝eq\f(15,2).11.計(jì)算下列各式：(1)(lg2)2＋lg5·lg20；(2)logeq\r(2)4－log23·logeq\f(1,3)8；(3)8eq\f(1,3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(8,9)))eq\s\up12(0)＋(1.5)－4·eq\r(3,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3\f(3,8)))\s\up12(2))－[(－2)4]eq\f(1,2).解(1)原式＝(lg2)2＋lg5·lg(4×5)＝(lg2)2＋2lg5·lg2＋(lg5)2＝(lg2＋lg5)2＝1.(2)原式＝4log22＋3log23·log32＝4＋3＝7.(3)原式＝2＋1＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq\s\up12(－4)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(27,8)))eq\s\up12(\f(2,3))－4＝3＋eq\f(4,9)－4＝－eq\f(5,9).12.某工廠產(chǎn)生的廢氣，過(guò)濾后排放，過(guò)濾過(guò)程中廢氣的污染物含量P(單位：mg/L)與時(shí)間t(單位：h)之間的關(guān)系為P＝P0e－kt，其中P0，k是正的常數(shù).如果在前5h消除了10%的污染物，請(qǐng)解決下列問(wèn)題：(1)10h后還剩百分之幾的污染物？(2)污染物減少50%需要花多少時(shí)間(精確到1h)？(參考數(shù)據(jù)：lg2≈0.301，lg3≈0.477)解(1)由P＝P0e－kt可知，當(dāng)t＝0時(shí)，P＝P0；當(dāng)t＝5時(shí)，P＝(1－10%)P0，于是有(1－10%)P0＝P0e－5k，解得k＝－eq\f(1,5)ln0.9，那么P＝P0·0.9eq\f(t,5)，所以當(dāng)t＝10時(shí)，P＝0.81P0，即10h后還剩下81%的污染物.(2)當(dāng)P＝50%P0時(shí)，0.5P0＝P00.9eq\f(t,5)，解得t＝5log0.90.5＝－5log0.92＝－