1矩陣的相等2第二節矩陣的運算矩陣的線性運算3矩陣的乘法4方陣的多項式5矩陣的轉置6方陣的行列式7共軛矩陣同型矩陣：兩個矩陣行數和列數都相等

矩陣相等：設兩個矩陣和是同型矩陣，且對應元素相等，即則稱矩陣A和B相等，記做。例如：可得一、矩陣的相等引例產品發到各商場的數量ABC甲200180190乙100120100第一次產品發到各商場的數量ABC甲220185200乙105120110第二次產品發到各商場的數量ABC甲乙兩次累計:420365⒈矩陣的加法二、矩陣的線性運算產品發到各商場的數量ABC甲200180190乙100120100第一次產品發到各商場的數量ABC甲220185200乙105120110第二次產品發到各商場的數量ABC甲乙兩次累計:420365390引例⒈矩陣的加法二、矩陣的線性運算產品發到各商場的數量ABC甲200180190乙100120100第一次產品發到各商場的數量ABC甲220185200乙105120110第二次產品發到各商場的數量ABC甲乙兩次累計:420365390205引例⒈矩陣的加法二、矩陣的線性運算產品發到各商場的數量ABC甲200180190乙100120100第一次產品發到各商場的數量ABC甲220185200乙105120110第二次產品發到各商場的數量ABC甲乙兩次累計:420365390205240引例⒈矩陣的加法二、矩陣的線性運算產品發到各商場的數量ABC甲200180190乙100120100第一次產品發到各商場的數量ABC甲220185200乙105120110第二次產品發到各商場的數量ABC甲乙兩次累計:420365390205240210引例⒈矩陣的加法二、矩陣的線性運算⒈矩陣的加法

設有兩個同型矩陣那么矩陣與的和記作，規定為二、矩陣的線性運算前提：

同型矩陣例如規則：

對應元素分別相加二、矩陣的線性運算⒈矩陣的加法⒉數乘

用數字k乘以矩陣等于用k乘以矩陣A的每一個元素，即注意：要與行列式的乘法區分。二、矩陣的線性運算4.減法⒌運算規律設A,B,C都是m×n階矩陣，k,l為常數,則有加法交換律加法結合律關于加法二、矩陣的線性運算3.負矩陣A的負矩陣記做-A⒌運算規律關于數乘關于數乘的結合律關于數乘的分配律二、矩陣的線性運算例1

設，，且

，求解移項得所以二、矩陣的線性運算3.矩陣空間二、矩陣的線性運算定理：

二、矩陣的線性運算例1求中的元素，在基下的坐標。3.矩陣空間二、矩陣的線性運算3.矩陣空間解：設二、矩陣的線性運算3.矩陣空間二、矩陣的線性運算3.矩陣空間例2設是R2×2中的兩組基，求到基的過渡矩陣P

由基二、矩陣的線性運算3.矩陣空間引例1.某廠家向三個代理商發送四種產品.A=2050302516201616

B=20018019010012010015016014018015015020

200+50

100+30

150+25

1801800018150167501048010240968018000三、矩陣的乘法引例2.四個城市間的單向航線如圖所示.

若aij表示從i市直達j市航線的條數,

則右圖可用矩陣表示為1423A=(aij)=0111100001001010從i市經一次中轉到達j市航線的條數=?三、矩陣的乘法乘法原理加法原理④①②③①①a11

a11

a12

a21

a13

a31

a41

a14

a11a11

a12a21

a13a31

a14a41

b11=.+++1423三、矩陣的乘法乘法原理加法原理④①②③②③a21

a13

a22

a23

a33

a23

a24

a43

a21a13

a22a23

a23a33

a24a43

b23=.+++1423三、矩陣的乘法引例2.四個城市間的單向航線如圖所示.

若aij表示從i市直達j市航線的條數,

則右圖可用矩陣表示為1423A=(aij)=0111100001001010B=(bij)=21100111100002111234ijbij=ai1a1j+ai2a2j+ai3a3j+ai4a4j.從i市經一次中轉到達j市航線的條數=?三、矩陣的乘法特殊情況：設行矩陣及列矩陣規定

一般情況：設矩陣及矩陣,規定矩陣A與B的乘積為,其中記做三、矩陣的乘法1.定義即注意：1.A的列數＝B的行數；（前提）

2.AB的行數＝A的行數，AB的列數＝B的列數；

3.AB中A、B的順序不能變。三、矩陣的乘法1.定義例１設例2三、矩陣的乘法1.定義故解注意：沒意義三、矩陣的乘法1.定義例2例3已知，求AB和BA。注意：AB是一階方陣，BA是三階方陣，乘積都有意義，但階數不同。三、矩陣的乘法1.定義解注意：AB與BA都有意義，但。總結：矩陣乘法不滿足交換律，有三層意義：⑴AB可以有意義，但BA無意義；⑵AB,BA都有意義，但其乘積不同階；⑶AB,BA都有意義且其乘積為同階方陣，但仍

有；三、矩陣的乘法1.定義但是也不是所有情況都這樣，例如則有三、矩陣的乘法1.定義⑶且，也不能得出；⑷，且，也不能得出；三、矩陣的乘法

在矩陣乘法中,實數或復數的乘法運算的某些性質,可能不再成立。⑴，但有可能有；⑵，不能得出；1.定義三、矩陣的乘法2.運算律乘法結合律乘法分配律類似于數字乘法中的1

對于(1)的證明,我們先來看一個具體的例子:a11

a12

a13a21

a22

a23如A=,b11

b12

b21

b22b31

b32B

=,c11

c12

c21

c22C=.三、矩陣的乘法2.運算律

a11b11+a12b21+a13b31

a11b12+a12b22+a13b32a21b11+a22b21+a23b31

a21b12+a22b22+a23b32AB=BC=b11c11+b12c21

b11c12+b12c22

b21c11+b22c21

b21c12+b22c22

b31c11+b32c21

b31c12+b32c22a11

a12

a13a21

a22

a23A=,b11

b12

b21

b22b31

b32B

=,c11

c12

c21

c22C=.我們比較(AB)C和A(BC)的“規格”以及它們的第一行第一列處的元素.三、矩陣的乘法2.運算律a11b11+a12b21+a13b31

a11b12+a12b22+a13b32a21b11+a22b21+a23b31

a21b12+a22b22+a23b32AB=BC=b11c11+b12c21

b11c12+b12c22

b21c11+b22c21

b21c12+b22c22

b31c11+b32c21

b31c12+b32c22a11

a12

a13a21

a22

a23A=c11

c12

c21

c22C=.b11

b12

b21

b22b31

b32B

=三、矩陣的乘法2.運算律a11b11+a12b21+a13b31

a11b12+a12b22+a13b32a21b11+a22b21+a23b31

a21b12+a22b22+a23b32AB=BC=b11c11+b12c21

b11c12+b12c22

b21c11+b22c21

b21c12+b22c22

b31c11+b32c21

b31c12+b32c22a11

a12

a13a21

a22

a23A=(a11b11+a12b21+a13b31)c11

+

(a11b12+a12b22+a13b32)c21

c11

c12

c21

c22C=a11(b11c11+b12c21)+a12(b21c11+b22c21)+a13(b31c11+b32c21)

a11b11c11

+a12b21c11

+a13b31c11

+a11b12c21

+a12b22c21

+a13b32c21

==三、矩陣的乘法

a1pbp1

p=13

a1pbp2

p=13()c11

()c21

(a11b11+a12b21+a13b31)c11+

(a11b12+a12b22+a13b32)c21

a11(b11c11+b12c21)+a12(b21c11+b22c21)+a13(b31c11+b32c21)

a11b11c11

+a12b21c11

+a13b31c11

+a11b12c21

+a12b22c21

+a13b32c21

===

[(

a1pbpq

)cq1]

q=1

2

p=1

3

=

[(

a1pbpq

)cq1]q=12p=1

3

三、矩陣的乘法2.運算律

(a11b11+a12b21+a13b31)c11+

(a11b12+a12b22+a13b32)c21

a11(b11c11+b12c21)+a12(b21c11+b22c21)+a13(b31c11+b32c21)

a11b11c11

+a12b21c11

+a13b31c11

+a11b12c21

+a12b22c21

+a13b32c21

==

u1qcq1

q=12=[(

a1pbpq

)cq1]q=12p=13=(

a1pbpq

cq1)q=12p=13=

(

a1pbpqcq1)q=12p=13=

[a1p(

bpq

cq1)]q=12p=13=

a1pvp1

p=13

u1qcq1

q=12=[(

a1pbpq

)cq1]q=12p=13

=(

a1pbpq

cq1)q=12p=13=

(

a1pbpqcq1)q=12p=13=

[a1p(

bpq

cq1)]q=12p=13=

a1pvp1

p=13三、矩陣的乘法2.運算律

一般地,設A=[aij]m

k,B=[bij]k

s,C=[cij]s

n,AB=U=[uij]m

s,BC=V=[vij]k

n,則(AB)C=UC與A(BC)=AV

都是m

n矩陣,且(AB)C=UC的(i,j)元素是它恰好是A(BC)=AV的(i,j)元素.可見(AB)C=A(BC).

uiqcqj

q=1s=[(

aipbpq

)cqj]q=1sp=1k=(

aipbpq

cqj)q=1sp=1k=

(

aipbpqcqj)q=1sp=1k=

[aip(

bpq

cqj)]q=1sp=1k=

aipvpj

p=1k三、矩陣的乘法例4.設A=BC,其中B=,C=[123],123A100=?123246369則A=,CB=[1

2

3]1

2

3

=1

1+2

2+3

3

=14.A100=(BC)(BC)(BC)…(BC)(BC)(BC)=B(CB)(BC)C…B(CB)(CB)C2.運算律三、矩陣的乘法例如線性方程組若記則方程組可以簡記為三、矩陣的乘法2.矩陣乘法的應用再例如若已知線性變換求到的線性變換。分析：如果直接代入很麻煩，若記三、矩陣的乘法3.矩陣乘法的應用則這兩個線性變換可以簡記為則到變換為求出AB即可。三、矩陣的乘法3.矩陣乘法的應用

設A為n階方陣，則規定A的k次方為可以看出：只有方陣才有冪運算。規定：運算規律：k，l為任意正整數注意：當時，某些關于數字冪運算的規律不再成立，例如四、方陣的多項式⒈方陣的冪所以另外不成立的規則還有：四、方陣的多項式⒈方陣的冪解例1法一歸納法四、方陣的多項式⒈方陣的冪由此猜測四、方陣的多項式⒈方陣的冪用數學歸納法證明當時，顯然成立.假設時成立，則時，四、方陣的多項式⒈方陣的冪所以對于任意的都有四、方陣的多項式⒈方陣的冪法二拆項法令又因為所以四、方陣的多項式⒈方陣的冪因為且四、方陣的多項式⒈方陣的冪所以因此所以附對角陣的乘積與冪四、方陣的多項式⒈方陣的冪四、方陣的多項式2、

方陣的多項式是關于的次多項式，為階方陣，稱為A的m次多項式。設A的行與列互換得到的矩陣稱作A的轉置矩陣，記做。如則五、矩陣的轉置1、

定義

思考：若。則A=?五、矩陣的轉置2.運算律證明只證第(4)式設則五、矩陣的轉置即2.運算律已知，，求解法一例1五、矩陣的轉置2.運算律則法二例2已知矩陣，又矩陣A=BTC，求An。五、矩陣的轉置2.運算律分析解利用矩陣乘法滿足結合律五、矩陣的轉置2.運算律又五、矩陣的轉置2.運算律對稱矩陣：n階方陣，滿足