第3節空間點、直線、平面之間的位置關系考試要求1.借助長方體，在直觀認識空間點、直線、平面的位置關系的基礎上抽象出空間點、直線、平面的位置關系的定義.2.了解四個基本事實和一個定理，并能應用定理解決問題．【知識梳理】1．與平面有關的基本事實及推論(1)與平面有關的三個基本事實基本事實內容圖形符號基本事實1過__________________的三個點，有且只有一個平面A，B，C三點不共線?存在唯一的α使A，B，C∈α基本事實2如果一條直線上的____在一個平面內，那么這條直線在這個平面內A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α?l?α基本事實3如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條________________P∈α，且P∈β?α∩β＝l，且P∈l(2)基本事實1的三個推論推論內容圖形作用推論1經過________和這條直線外一點，有且只有一個平面確定平面的依據推論2經過________直線，有且只有一個平面推論3經過________直線，有且只有一個平面2.空間點、直線、平面之間的位置關系直線與直線直線與平面平面與平面平行關系圖形語言符號語言a∥ba∥αα∥β相交關系圖形語言符號語言a∩b＝Aa∩α＝Aα∩β＝l獨有關系圖形語言符號語言a，b是異面直線a?α3.基本事實4和等角定理(1)基本事實4：平行于同一條直線的兩條直線____________．(2)等角定理：如果空間中兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角________________．4．異面直線所成的角(1)定義：已知兩條異面直線a，b，經過空間任意一點O分別作直線a′∥a，b′∥b，把a′與b′所成的角叫做異面直線a與b所成的角(或夾角)．(2)范圍：________．[常用結論與微點提醒]1．過平面外一點和平面內一點的直線，與平面內不過該點的直線是異面直線．2．兩異面直線所成的角歸結到一個三角形的內角時，容易忽視這個三角形的內角可能等于兩異面直線所成的角，也可能等于其補角．【診斷自測】1．思考辨析(在括號內打“√”或“×”)(1)沒有公共點的兩條直線是異面直線．()(2)兩個平面α，β有一個公共點A，就說α，β相交于過A點的任意一條直線．()(3)如果兩個平面有三個公共點，則這兩個平面重合．()(4)若直線a不平行于平面α，且a?α，則α內的所有直線與a異面．()2．(必修二P128T2改編)下列命題正確的是()A．空間任意三個點確定一個平面B．一個點和一條直線確定一個平面C．空間兩兩相交的三條直線確定一個平面D．空間兩兩平行的三條直線確定一個或三個平面3．(必修二P147例1改編)在長方體ABCD－A′B′C′D′中，AB＝BC＝1，AA′＝2，則直線BA′與AC所成角的余弦值為________．4.如圖，在三棱錐A－BCD中，E，F，G，H分別是棱AB，BC，CD，DA的中點，則(1)當AC，BD滿足條件________時，四邊形EFGH為菱形；(2)當AC，BD滿足條件________時，四邊形EFGH為正方形.考點一基本事實的應用例1已知在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F分別為D1C1，C1B1的中點，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.求證：(1)D，B，E，F四點共面；(2)若A1C交平面DBFE于點R，則P，Q，R三點共線；(3)DE，BF，CC1三線交于一點．__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________感悟提升共面、共線、共點問題的證明方法(1)證明共面的方法：①先確定一個平面，然后再證其余的線(或點)在這個平面內；②證明兩平面重合．(2)證明共線的方法：①先由兩點確定一條直線，再證其他各點都在這條直線上；②直接證明這些點都在同一條特定直線上．(3)證明線共點的方法：先證其中兩條直線交于一點，再證其他直線經過該點．訓練1(1)在三棱錐A－BCD的邊AB，BC，CD，DA上分別取E，F，G，H四點，若EF∩HG＝P，則點P()A．一定在直線BD上 B．一定在直線AC上C．在直線AC或BD上 D．不在直線AC上，也不在直線BD上(2)如圖，P，Q，R，S分別是正方體或四面體所在棱的中點，則在下列圖形中，這四個點不共面的一個圖是()考點二空間兩直線位置關系的判斷例2(1)(2024·鶴壁模擬)已知a，b，c是三條不同的直線，有下列三個命題：①若a，b是異面直線，b，c是異面直線，則a，c也是異面直線；②若a和b相交，b和c相交，則a和c也相交；③若a和b共面，b和c共面，則a和c也共面．其中真命題的個數是()A．0 B．1C．2 D．3(2)(多選)(2024·重慶名校聯考)如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，O為正方形ABCD的中心，當點P在線段BC1上(不包含端點)運動時，下列直線中一定與直線OP異面的是()A．AB1 B．A1CC．A1A D．AD1________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________感悟提升1.要判斷空間中兩條直線的位置關系(平行、相交、異面)，可利用定義，借助空間想象并充分利用圖形進行思考．判斷空間直線的位置關系，一般有兩種方法：一是構造幾何體(如正方體、空間四邊形等)模型來判斷；二是利用排除法．2．異面直線的判定方法：(1)反證法；(2)直接法．訓練2(1)空間中有三條線段AB，BC，CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直線AB與CD的位置關系是()A．平行 B．異面C．相交或平行 D．平行或異面或相交均有可能(2)如圖，G，H，M，N分別是正三棱柱的頂點或所在棱的中點，則表示GH，MN是異面直線的圖形的序號為________．考點三求異面直線所成的角例3(1)(2021·全國乙卷)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，P為B1D1的中點，則直線PB與AD1所成的角為()A.eq\f(π,2) B．eq\f(π,3)C.eq\f(π,4) D．eq\f(π,6)(2)在空間四邊形ABCD中，AD＝2，BC＝2eq\r(3)，E，F分別是AB，CD的中點，EF＝eq\r(7)，則異面直線AD與BC所成角的大小為________．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________感悟提升綜合法求異面直線所成角的步驟：(1)作：通過作平行線得到相交直線；(2)證：證明所作角為異面直線所成的角(或其補角)；(3)求：解三角形，求出所作的角，如果求出的角是銳角或直角，則它就是要求的角；如果求出的角是鈍角，則它的補角才是要求的角．訓練3(2024·廣西聯考)如圖，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，若AA1＝AC＝BC＝1，則異面直線A1C，AB所成角的大小是()A.eq\f(π,6) B．eq\f(π,4)C.eq\f(π,3) D．eq\f(π,2)_____________________________________________________________