大二線代期末試題及答案姓名：____________________

一、選擇題（每題2分，共20分）

1.設矩陣A為：

\[A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\]

則矩陣A的行列式值為：

A.2B.5C.6D.8

2.若矩陣A可逆，則以下哪個結論一定成立？

A.A的行列式值為0

B.A的逆矩陣存在

C.A的秩為0

D.A的列向量線性無關

3.設向量組\(\{\vec{a}_1,\vec{a}_2,\vec{a}_3\}\)線性無關，則以下哪個向量組也線性無關？

A.\(\{\vec{a}_1,\vec{a}_2,\vec{a}_3,\vec{a}_4\}\)

B.\(\{\vec{a}_1,\vec{a}_2,\vec{a}_3+\vec{a}_4\}\)

C.\(\{\vec{a}_1+\vec{a}_2,\vec{a}_2,\vec{a}_3\}\)

D.\(\{\vec{a}_1,\vec{a}_2,\vec{a}_3-\vec{a}_4\}\)

4.設矩陣A為：

\[A=\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}\]

則矩陣A的秩為：

A.1B.2C.3D.4

5.設向量\(\vec{a}=(1,2,3)\)，向量\(\vec{b}=(4,5,6)\)，則向量\(\vec{a}\)和\(\vec{b}\)的點積為：

A.1B.2C.3D.6

6.設矩陣A為：

\[A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\]

則矩陣A的伴隨矩陣為：

A.\(\begin{bmatrix}2&-1\\-3&1\end{bmatrix}\)

B.\(\begin{bmatrix}1&-2\\-3&4\end{bmatrix}\)

C.\(\begin{bmatrix}2&-3\\-1&4\end{bmatrix}\)

D.\(\begin{bmatrix}1&3\\-2&4\end{bmatrix}\)

7.設向量組\(\{\vec{a}_1,\vec{a}_2,\vec{a}_3\}\)線性相關，則以下哪個結論一定成立？

A.\(\vec{a}_1+\vec{a}_2+\vec{a}_3=\vec{0}\)

B.\(\vec{a}_1,\vec{a}_2,\vec{a}_3\)中至少有一個零向量

C.\(\vec{a}_1,\vec{a}_2,\vec{a}_3\)中至少有一個向量可以表示為其他兩個向量的線性組合

D.\(\vec{a}_1,\vec{a}_2,\vec{a}_3\)的秩為0

8.設矩陣A為：

\[A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\]

則矩陣A的逆矩陣為：

A.\(\begin{bmatrix}2&-1\\-3&1\end{bmatrix}\)

B.\(\begin{bmatrix}1&-2\\-3&4\end{bmatrix}\)

C.\(\begin{bmatrix}2&-3\\-1&4\end{bmatrix}\)

D.\(\begin{bmatrix}1&3\\-2&4\end{bmatrix}\)

9.設向量\(\vec{a}=(1,2,3)\)，向量\(\vec{b}=(4,5,6)\)，則向量\(\vec{a}\)和\(\vec{b}\)的叉積為：

A.\((1,2,3)\)B.\((2,3,4)\)C.\((3,4,5)\)D.\((4,5,6)\)

10.設矩陣A為：

\[A=\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}\]

則矩陣A的轉置矩陣為：

A.\(\begin{bmatrix}1&4&7\\2&5&8\\3&6&9\end{bmatrix}\)

B.\(\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}\)

C.\(\begin{bmatrix}3&2&1\\6&5&4\\9&8&7\end{bmatrix}\)

D.\(\begin{bmatrix}1&4&7\\2&5&8\\3&6&9\end{bmatrix}\)

二、填空題（每題2分，共20分）

1.設矩陣A為：

\[A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\]

則矩陣A的行列式值為______。

2.設向量\(\vec{a}=(1,2,3)\)，向量\(\vec{b}=(4,5,6)\)，則向量\(\vec{a}\)和\(\vec{b}\)的點積為______。

3.設矩陣A為：

\[A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\]

則矩陣A的逆矩陣為______。

4.設向量組\(\{\vec{a}_1,\vec{a}_2,\vec{a}_3\}\)線性無關，則以下哪個向量組也線性無關？______。

5.設矩陣A為：

\[A=\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}\]

則矩陣A的秩為______。

6.設向量\(\vec{a}=(1,2,3)\)，向量\(\vec{b}=(4,5,6)\)，則向量\(\vec{a}\)和\(\vec{b}\)的叉積為______。

7.設矩陣A為：

\[A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\]

則矩陣A的伴隨矩陣為______。

8.設向量組\(\{\vec{a}_1,\vec{a}_2,\vec{a}_3\}\)線性相關，則以下哪個結論一定成立？______。

9.設矩陣A為：

\[A=\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}\]

則矩陣A的轉置矩陣為______。

10.設向量\(\vec{a}=(1,2,3)\)，向量\(\vec{b}=(4,5,6)\)，則向量\(\vec{a}\)和\(\vec{b}\)的點積為______。

三、解答題（每題10分，共30分）

1.設矩陣A為：

\[A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\]

求矩陣A的逆矩陣。

2.設向量\(\vec{a}=(1,2,3)\)，向量\(\vec{b}=(4,5,6)\)，求向量\(\vec{a}\)和\(\vec{b}\)的點積。

3.設矩陣A為：

\[A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\]

求矩陣A的行列式值。

4.設向量組\(\{\vec{a}_1,\vec{a}_2,\vec{a}_3\}\)線性無關，求向量組\(\{\vec{a}_1,\vec{a}_2,\vec{a}_3,\vec{a}_4\}\)是否線性無關。

5.設矩陣A為：

\[A=\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}\]

求矩陣A的秩。

四、證明題（每題10分，共20分）

1.證明：若矩陣A可逆，則其行列式不為0。

2.證明：若向量組\(\{\vec{a}_1,\vec{a}_2,\vec{a}_3\}\)線性無關，則向量組\(\{\vec{a}_1+\vec{a}_2,\vec{a}_2,\vec{a}_3\}\)也線性無關。

五、計算題（每題10分，共20分）

1.設矩陣A為：

\[A=\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}\]

求矩陣A的特征值和特征向量。

2.設向量\(\vec{a}=(1,2,3)\)，向量\(\vec{b}=(4,5,6)\)，向量\(\vec{c}=(7,8,9)\)，求向量\(\vec{a}\)，\(\vec{b}\)，\(\vec{c}\)的線性組合，使得該組合等于向量\((1,1,1)\)。

六、綜合題（每題10分，共20分）

1.設矩陣A為：

\[A=\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}\]

求矩陣A的行列式值，并判斷矩陣A是否可逆。

2.設向量組\(\{\vec{a}_1,\vec{a}_2,\vec{a}_3,\vec{a}_4\}\)如下：

\[\vec{a}_1=(1,2,3,4),\vec{a}_2=(2,3,4,5),\vec{a}_3=(3,4,5,6),\vec{a}_4=(4,5,6,7)\]

求向量組\(\{\vec{a}_1,\vec{a}_2,\vec{a}_3,\vec{a}_4\}\)的秩，并判斷該向量組是否線性相關。

試卷答案如下：

一、選擇題（每題2分，共20分）

1.答案：B

解析思路：計算行列式\(\begin{vmatrix}1&2\\3&4\end{vmatrix}=1\cdot4-2\cdot3=2\)。

2.答案：B

解析思路：可逆矩陣的定義是其逆矩陣存在，因此B選項正確。

3.答案：C

解析思路：檢查向量組\(\{\vec{a}_1+\vec{a}_2,\vec{a}_2,\vec{a}_3\}\)的線性相關性，發現無法通過線性組合得到零向量，故線性無關。

4.答案：C

解析思路：計算矩陣A的秩，通過初等行變換或觀察發現矩陣的秩為3。

5.答案：C

解析思路：計算點積\(1\cdot4+2\cdot5+3\cdot6=3\)。

6.答案：A

解析思路：計算伴隨矩陣，根據伴隨矩陣的定義，A選項正確。

7.答案：C

解析思路：線性相關的定義是至少有一個向量可以表示為其他向量的線性組合，故C選項正確。

8.答案：A

解析思路：計算逆矩陣，根據逆矩陣的定義，A選項正確。

9.答案：C

解析思路：計算叉積，根據叉積的定義，C選項正確。

10.答案：A

解析思路：計算轉置矩陣，根據轉置矩陣的定義，A選項正確。

二、填空題（每題2分，共20分）

1.填空：2

解析思路：計算行列式\(\begin{vmatrix}1&2\\3&4\end{vmatrix}=2\)。

2.填空：3

解析思路：計算點積\(1\cdot4+2\cdot5+3\cdot6=3\)。

3.填空：\(\begin{bmatrix}2&-1\\-3&1\end{bmatrix}\)

解析思路：計算逆矩陣，根據逆矩陣的定義，A選項正確。

4.填空：\(\{\vec{a}_1,\vec{a}_2,\vec{a}_3+\vec{a}_4\}\)

解析思路：檢查向量組的線性相關性，發現無法通過線性組合得到零向量，故線性無關。

5.填空：3

解析思路：計算矩陣A的秩，通過初等行變換或觀察發現矩陣的秩為3。

6.填空：\((3,4,5)\)

解析思路：計算叉積，根據叉積的定義，C選項正確。

7.填空：\(\begin{bmatrix}2&-3\\-1&4\end{bmatrix}\)

解析思路：計算伴隨矩陣，根據伴隨矩陣的定義，C選項正確。

8.填空：\(\{\vec{a}_1,\vec{a}_2,\vec{a}_3-\vec{a}_4\}\)

解析思路：檢查向量組的線性相關性，發現無法通過線性組合得到零向量，故線性無關。

9.填空：\(\begin{bmatrix}1&3\\-2&4\end{bmatrix}\)

解析思路：計算逆