第頁，共頁第15頁，共15頁江蘇省南京市南京師范大學(xué)附屬中學(xué)2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷一、單選題1.已知集合，則（）A B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先解一元二次不等式和對(duì)數(shù)不等式，再利用交集的定義計(jì)算即可.【詳解】由，解得，則，由，解得，則，所以.故選：C.2.命題“”的否定為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用存在量詞命題的否定是全稱量詞命題寫出結(jié)果即可.【詳解】命題“”為存在量詞命題，而存在量詞命題的否定為全稱量詞命題，所以命題“”的否定為：“”.故選：D.3.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式、充分和必要條件等知識(shí)來確定正確答案.【詳解】若，則，若，則可能等于，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A4.已知角的始邊與軸非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過點(diǎn)，且，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)任意角的三角函數(shù)的定義結(jié)合題意列方程求解即可.【詳解】因?yàn)榻堑氖歼吪c軸非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過點(diǎn)，且，所以，化簡(jiǎn)得，因?yàn)?，所?故選：B5.已知點(diǎn)在冪函數(shù)的圖象上，設(shè)，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性、冪函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等知識(shí)來確定正確答案.【詳解】由于點(diǎn)在冪函數(shù)的圖象上，所以，在上單調(diào)遞減，由于，所以，，所以，即.故選：D6.將函數(shù)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，再將得到的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象的解析式為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)圖象變換規(guī)律結(jié)合題意求解即可.【詳解】將函數(shù)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，得，再將得到的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得.故選：B7.設(shè)為實(shí)數(shù)，函數(shù)，若函數(shù)有四個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】將問題轉(zhuǎn)化為與有四個(gè)不同的交點(diǎn)；在同一坐標(biāo)系中畫出與的圖象，根據(jù)圖象有四個(gè)交點(diǎn)可確定的取值范圍.【詳解】若函數(shù)有四個(gè)零點(diǎn)，即函數(shù)和的圖象有四個(gè)不同的交點(diǎn)，作出函數(shù)圖象（如圖所示），與軸交點(diǎn)為，由圖象，得當(dāng)時(shí)，兩者有4個(gè)不同交點(diǎn).故選：D.8.設(shè)是定義在上的函數(shù)，若是偶函數(shù)，是奇函數(shù)，則的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由已知可得，，兩式相減得，即可求得.【詳解】因?yàn)槭桥己瘮?shù)，是奇函數(shù)，則，，兩式相減得，則，則.故選：A.二、多選題9.設(shè)a，b為實(shí)數(shù)，若，則（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】由已知可得，然后根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)逐個(gè)分析判斷即可.【詳解】因?yàn)?，所以，?duì)于A，，所以A正確；對(duì)于B，，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，所以C正確；對(duì)于D，，所以D正確.故選：ACD10.已知函數(shù)，則（）A.的定義域?yàn)?B.的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱C.的值域?yàn)?D.在區(qū)間上單調(diào)遞增【答案】AC【解析】【分析】對(duì)于A，利用，即可求解；對(duì)于B，通過計(jì)算的函數(shù)值，即可求解；對(duì)于C，利用復(fù)合函數(shù)值域的求法，即可求解；對(duì)于D，利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法，即可求解.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，易知，所以對(duì)，，即的定義域?yàn)?，故選項(xiàng)A正確，對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)?，，可知的圖象不關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤，對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)椋?，所以，則，得到，所以選項(xiàng)C正確，對(duì)于選項(xiàng)D，令，則，易知在區(qū)間上單調(diào)遞增，且，又在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤，故選：AC.11.已知定義在上的函數(shù)滿足：，則（）A. B.為偶函數(shù)C.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱 D.【答案】ABD【解析】分析】利用賦值法和換元思想逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】令，得A正確；令，得B正確令，得.再令得，所以C錯(cuò)誤；令得，即D正確.故選：ABD三、填空題12.如圖，弦將圓分割成兩個(gè)弓形區(qū)域．已知圓的半徑為，則圖中面積較小的弓形區(qū)域的面積為______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)條件，利用扇形和三角形的面積的公式，即可求解.【詳解】如圖，取中點(diǎn)，易知，因?yàn)?，，所以，，故，又劣弧所在扇形的面積為，所以圖中面積較小的弓形區(qū)域的面積為，故答案為：.13.設(shè)為實(shí)數(shù)，若函數(shù)在區(qū)間上既有最大值，又有最小值，則的最小值為______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)的取值范圍，求出的取值范圍，依題意可得，解得即可.【詳解】由，所以，依題意可得，解得，所以的最小值為.故答案為：14.設(shè)為實(shí)數(shù)，已知函數(shù)，若存在實(shí)數(shù)a，b同時(shí)滿足和，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】由題意得，，令，則，利用單調(diào)性求出最值即可求解.【詳解】，所以，所以，所以為奇函數(shù)，所以.，即，令，，在上為減函數(shù)，所以.故答案為：.四、解答題15.已知.（1）若，求的值；（2）若，且，求值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，然后結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系式即可得到結(jié)果.（2）由，且，得出，代入即可得到結(jié)果.【小問1詳解】，，，.【小問2詳解】，

，，，，.16.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示.（1）求的解析式；（2）求在上的單調(diào)增區(qū)間；（3）若，求的值.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)的圖象，依次求得的值.（2）利用整體代入法和賦值法來求得正確答案.（3）利用誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式等知識(shí)來求得正確答案.【小問1詳解】由圖可知，，則，由，得，則，由于，所以，所以.【小問2詳解】由于，要使，則令得，所以在上的單調(diào)增區(qū)間是.【小問3詳解】，.17.設(shè)定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，滿足.（1）的值；（2）用函數(shù)單調(diào)性的定義證明：在上單調(diào)遞減；（3）解關(guān)于的不等式.【答案】（1）（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的奇偶性求得，從而求得的值.（2）利用函數(shù)單調(diào)性的定義，由來證得結(jié)論成立.（3）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性來求得不等式的解集.【小問1詳解】依題意，定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，有，解得，所以.【小問2詳解】由（1）得，任取，所以，由于在上單調(diào)遞增，所以，所以，所以在上單調(diào)遞減.【小問3詳解】由，得，由（2）得在上單調(diào)遞減，所以，解得，所以不等式的解集為.18.設(shè)為實(shí)數(shù)，已知函數(shù).（1）若是上的單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍；（2）已知.①求的最小值；②設(shè)函數(shù).若區(qū)間，且對(duì)任意，都存在，使得成立，求的最小值.【答案】（1）；（2）①；②14【解析】【分析】（1）由題意結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得在上只能單調(diào)遞減，從而可求出的取值范圍；（2）①先分別求出函數(shù)在每一段上的最小值，從而可求出函數(shù)的最小值；②先由題意可得，從而由與的范圍結(jié)合題意得，進(jìn)而得，再結(jié)合基本不等式可求解.【小問1詳解】因?yàn)槭巧系膯握{(diào)函數(shù)，所以在上是單調(diào)函數(shù)，所以在上是單調(diào)遞減函數(shù)，所以在上單調(diào)遞減，所以，解得.所以滿足題意的的取值范圍為.【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，，①時(shí)，；時(shí)，，因?yàn)?，所以的最小值為；②由題，且，所以，又時(shí)，，，所以對(duì)任意，不存在，使得，不符合題意，所以，所以，因?yàn)閷?duì)任意，都存在，使得成立，所以，故，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為14.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第（2）問解題的關(guān)鍵是將問題轉(zhuǎn)化為兩集合的包含關(guān)系，從而得.19.若函數(shù)和的零點(diǎn)相同，則稱和是“函數(shù)對(duì)”.（1）已知，判斷與是否為“函數(shù)對(duì)”，并說明理由；（2）設(shè)，若與為“函數(shù)對(duì)”，求的取值范圍；（3）已知m，n是實(shí)數(shù)，若函數(shù)與為“函數(shù)對(duì)”，函數(shù)與為“函數(shù)對(duì)”，求mn的值.【答案】（1）不是，理由見解析（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)指數(shù)函數(shù)和余弦函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)存在原理、函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)、題中定義進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)題中定義，結(jié)合正弦型函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可；（3）根據(jù)題中定義，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，通過構(gòu)造新函數(shù)，利用新函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)性的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【小問1詳解】由函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)可知函數(shù)是實(shí)數(shù)集上的增函數(shù)，因?yàn)?，所以函?shù)在上有唯一零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)是單調(diào)遞減函數(shù)，，即，所以函數(shù)在上沒有零點(diǎn)，不符合題中定義，和不是“函數(shù)對(duì)