專題37最值模型之瓜豆模型（原理）直線

動點軌跡問題是中考和各類模擬考試的重要題型，學生受解析幾何知識的局限和思維能力的束縛，該

壓軸點往往成為學生在中考中的一個坎，致使該壓軸點成為學生在中考中失分的集中點。掌握該壓軸題型

的基本圖形，構建問題解決的一般思路，是中考專題復習的一個重要途徑。本專題就最值模型中的瓜豆原

理（動點軌跡為直線型）進行梳理及對應試題分析，方便掌握。

目錄導航］

例題講模型］

11

模型1.瓜豆原理（模型）（直線軌跡）11

習題練模型］

................................................................................................................................................................21

例題講模型］

模型1.瓜豆原理（模型）（直線軌跡）

模型解讀

瓜豆原理：一個主動點，一個從動點（根據某種約束條件,跟著主動點動），當主動點運動時，從動點的軌

跡相同。

只要滿足:

則兩動點的運動軌跡是相似的，運動軌跡

1、兩“動”，一“定”

長度的比和它們到定點的距離比相同。

2、兩動點與定點的連線夾角是定角

3、兩動點到定點的距離比值是定值

動點軌跡基本類型為直線型和圓弧型，主動點叫瓜（豆），從動點叫瓜（豆），瓜在直線上運動，豆也在直

線一上運動；瓜在圓周上運動，豆的軌跡也是圓。

模型證明

模型1）如圖，P是直線BC上一動點，A是直線2C外一定點，連接AP,取AP中點。，當點尸在直線上

運動時，則。點軌跡也是一條直線。

證明：分別過A、。向BC作垂線，垂足分別為〃、N,在運動過程中，

因為AP=2AQ,所以QN始終為AM的一半，即。點到8C的距離是定值，故。點軌跡是一條直線.

模型2）如圖，在AAP。中AP=AQ,/B40=a為定值，當點P在直線BC上運動時，則。點軌跡也是一條

直線。

AP=AQ,AQi=APi，XP[AQi=XPAQ=a,,AAPq?AAQQ,^APPi=XAQQi，

*：ZAMP=ZNMQf：.ZMNQ=ZPAQ=a,即Q點所在直線與BC的夾角為定值，故Q點軌跡是一條直線.

模型運用

當動點軌跡為一條直線時，常用“垂線段最短”求最值。

1）當動點軌跡已知時可直接運用垂線段最短求最值；

2）當動點軌跡未知時，先確定動點軌跡，再垂線段最短求最值。

3）確定動點軌跡的方法（重點）

①當某動點到某條直線的距離不變時，該動點的軌跡為直線，即模型1）；

②當某動點與定直線的端點連接后的角度不變時，該動點的軌跡為直線，即模型2）；

③當一個點的坐標以某個字母的代數式表示時，若可化為一次函數，則點的軌跡為直線;

④觀察動點運動到特殊位置時，如中點，端點等特殊位置考慮；

注意：若動點軌跡用上述方法不好確定，則也可以將所求線段轉化（常用中位線、全等、相似、對角線）

為其他已知軌跡的線段求最值。

例1.（2024.山東泰安?校考一模）如圖，矩形ABCD的邊AB=U,BC=3,E為AB上一點，且AE=1,F

2

為邊上的一個動點，連接封，若以所為邊向右側作等腰直角三角形EFG,EF=EG,連接CG,則CG

C.3D.20

例2.（2024?河北邢臺?模擬預測）如圖，VABC是邊長為2的等邊三角形，點E為中線BD上的動點.連接CE,

將CE繞點C順時針旋轉60。得到CF.連接AF，則ZC4F=，連接DF，則VCDF周長的最小值是.

例3.（2023?四川成都?模擬預測）如圖，四邊形為矩形，對角線AC與比＞相交于點。，點E在邊。C

上，連接AE,過。做。尸，AE,垂足為八連接。/，若ZDAE=30°,DE=10,則OF的最小值為.

例4.（2023?安徽?合肥三模）如圖，在RdABC紙片中，ZACB=90°,AC=4,BC=3,點、D,E分別在2C,

AB邊上，連接。E,將ABOE沿。E翻折，使點B落在點尸的位置，連接AR若四邊形BEfD是菱形，則

A尸的長的最小值為（）

LL53

A.\/5B.y/3C.—D.一

22

例5.（2024?四川達州?一模）如圖，在矩形ABC。中，AB=4,8c=56，點尸在線段上運動（含8,

C兩點），連接AP,以點A為中心，將線段相逆時針旋轉60。到AQ,連接。Q,則線段OQ的最小值為.

AD

BPC

例6.（2024.重慶模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中，。是直線y=Jx+2上的一個動點，將。繞點P（-l,0）

逆時針旋轉90。，得到點Q',連接則OQ'最小值為.

例7.（2024?廣東?九年級校考期中）如圖，RSABC中，ZACB=90°,ZA=3O°,BC=5,點E是邊AC上

一點，將8E繞點B順時針旋轉60。到即，連接CP,則CP長的最小值是（）

A.2B.2.5C.75D.@

習題練模型

1.（2024?河南周口?一模）如圖，平行四邊形ABC。中，AB=\6,4）=12,ZA=60°,E是邊AD上一點，

且AE=8,尸是邊A5上的一個動點，將線段EF繞點E逆時針旋轉60°,得到EG,連接BG、CG,則BG+CG

的最小值是（）.

A.4B.4厲C.45D.歷

2.（2024?湖南長沙?一模）如圖，矩形A8CD中，AB=6,BC=8,尸是AB上一點，E為BC上一點，且BE=2,

連接EF,將EF繞著點￡順時針旋轉45°到EG的位置，則CG的最小值為.

3.（2023?江蘇宿遷?三模）如圖，在矩形ABCD中，AB=8,BC=8日點E為矩形對角線8。上一動點,

連接CE,以CE為邊向上作正方形CEFG,對角線CF、EG交于點、H,連接則線段的最小值為.

4.（2023上?湖北武漢?九年級校聯考期中）如圖，已知/MON=30。，B為OM上一點,BA_LQV于A,四

邊形ABCD為正方形，P為射線上一動點，連接CP,將C尸繞點C順時針方向旋轉90。得CE,連接BE,

若AB=2,則8E的最小值為.

5.（2023上?陜西渭南?九年級統考期中）如圖，在矩形ABCD中，AD=6,點E為邊AD的中點，連接CE.點

廠是邊CE上一動點，點G為邊BF的中點，連接。G.當45=4時，0G的最小值是.

6.（2023上?湖南長沙?九年級校聯考期中）如圖，在平面直角坐標系xQy中，已知點4（1,0）,點C是y軸上

一動點，設其坐標為（0,相），線段C4繞點C逆時針旋轉90。至線段CB,則點2的坐標為,連接8。,

則8。的最小值是.

7.（2024?山東校考一模）如圖，正方形中，AB=4,點E為邊上一動點，將點A繞點E順時針

旋轉90°得到點F,則DF的最小值為.

BEC

8.（2023?江蘇連云港?統考一模）如圖，在矩形ABC。中，AB=4,AD=6,點E為邊BC上的動點，連接

AE,過點E作跖，AE,且=連接CP,則線段CF長度的最小值為.

9.（23-24八年級下.遼寧丹東?期中）如圖，點B在直線/上，于點8,鉆=7,點C在直線/上運動,

以AC為邊作等邊AACD,連接BO,則8。的最小值為

10.（2024?四川達州?三模）如圖，在等腰Rt/VIBC中，ABAC=90°,AB=AC=3及,點”是BC邊上一

動點，將線段AM繞點A順時針旋轉60°,得到線段⑷V,連接MV,CN,則AN+CV的最小值是

A

11.（2024?四川成都?一模）如圖，在矩形ABCD中，BC=2AB,點、M,N為直線AO上的兩個動點，且

NMBN=30。,將線段關于翻折得線段mT,連接CM，.當線段CM，的長度最小時，4cHe的度

12.（23-24八年級下?遼寧沈陽?期中）如圖，RtZXABC中，ZACB=90°,ZABC=30°,AC=6,。是線

段AB上一個動點，以或＞為邊在"LBC外作等邊△3DE.若歹是DE的中點，連接CF,則CE的最小值

為.

13.（2024九年級下?江蘇.專題練習）等邊“1BC邊長為6,。是BC中點，E在AD上運動，連接8E,在BE

下方作等邊△3EF，則V班不周長的最小值為.

14.（23-24九年級下?湖北武漢.階段練習）在等腰AABC中，AC=AB,。是2C延長線上一點，E是線段A3

上一點，連接交AC于點凡

（3）如圖3,若Nl=60。，BC=2CD=6,E在直線AB上運動，以DE為斜邊向上構造直角且/E=

30°,請直接寫出CT的最小值是

15.（2023?山東臨沂?二模）如圖，矩形ABCD中，AB=2出,AD=2,點E在線段BC上運動，將AE繞點

A順時針旋轉得到反，旋轉角等于ZB4C,連接CF.

⑴當點E在8C上時，作句0，47,垂足為求證：AM=AB；（2）連接。尸，點E從點8運動到點C的

過程中，試探究DF是否存在最小值，若存在，求出最小值，若不存在，請說明理由.

ABAB

16.（2024?江蘇揚州?中考真題）如圖，點A、B、M、E、歹依次在直線/上，點43固定不動，且AB=2,

分別以AB、EF為邊在直線/同側作正方形ABCD、正方形EFGH,ZPMN=90P,直角邊MP恒過點C,直

角邊MN恒過點（1）如圖1,若BE=10,EF=U,求點M與點5之間的距離；（2）如圖1,若BE=10,

當點M在點8、E之間運動時，求HE的最大值；（3）如圖2,若BF=22,當點E在點3、歹之間運動時，

點〃隨之運動，連接“，點。是CH的中點，連接Tffi、MO,則2OM+HB的最小值為.

17.（23-24九年級上?遼寧沈陽?期末）【問題初探】數學課上張老師在講完正方形的性質之后提出了一個問

題：四邊形ABCD是邊長為3的正方形，點E是邊AD上的一動點，連接CE,以CE為一邊作正方形CEFG

（點C,E,F,G按順時針方向排列），連接DG.

（1）如圖1,求點G到C。的距離，請寫出解答過程；

【類比分析】愛動腦的數學興趣小組在研討的過程中，也提出了一個問題：

（2）如圖2,當正經過點。時，求。G的長，請寫出解答過程；

【學以致用】看到同學們興致勃勃的樣子，張老師說：“角相等可以是三角形全等的條件，也能推導出相似”，

于是給同學們留了一道思考題：

（3）求代數式同G+3b的最小值.經過小組研討，組長小明進行了整理，給出了部分解題思路;

解題思路：如圖3,作等腰直角△ACK，使NCA片=90。，連接AC,CF,AF,則點C,D,月三點共線,

AC

由NAC尸=NOCG,可得△ACPS\DCG,

DCCG2

由/F]CF=ZACE,工工0可得△(7耳尸s/^cAE1,請完成“”部分的解答過程.

ACCE

G

圖1圖2

18.（2024?山東濟南.一模）【問題情境】：（1）如圖1,四邊形ABCD是正方形，點E是AD邊上的一個動點，

以CE為邊在CE的右側作正方形CEFG,連接OG、BE,則。G與BE的數量關系是.

【類比探究工（2）如圖2,四邊形ABCD是矩形，A8=4,BC=6,點E是AD邊上的一個動點，以CE為

邊在CE的右側作矩形CEFG,且CG:CE=2:3,連接DG、BE.判斷線段DG與BE有怎樣的數量關系:

并說明理由：

【拓展提升】：（3）如圖3,在（2）的條件下，連接BG,求］2G+2E的最小值.

F

專題37最值模型之瓜豆模型（原理）直線

動點軌跡問題是中考和各類模擬考試的重要題型，學生受解析幾何知識的局限和思維能力的束縛，該

壓軸點往往成為學生在中考中的一個坎，致使該壓軸點成為學生在中考中失分的集中點。掌握該壓軸題型

的基本圖形，構建問題解決的一般思路，是中考專題復習的一個重要途徑。本專題就最值模型中的瓜豆原

理（動點軌跡為直線型）進行梳理及對應試題分析，方便掌握。

目錄導航］

例題講模型］

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模型1.瓜豆原理（模型）（直線軌跡）11

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例題講模型］

模型1.瓜豆原理（模型）（直線軌跡）

模型解讀

瓜豆原理：一個主動點，一個從動點（根據某種約束條件,跟著主動點動），當主動點運動時，從動點的軌

跡相同。

只要滿足:

則兩動點的運動軌跡是相似的，運動軌跡

1、兩“動”，一“定”

長度的比和它們到定點的距離比相同。

2、兩動點與定點的連線夾角是定角

3、兩動點到定點的距離比值是定值

動點軌跡基本類型為直線型和圓弧型，主動點叫瓜（豆），從動點叫瓜（豆），瓜在直線上運動，豆也在直

線一上運動；瓜在圓周上運動，豆的軌跡也是圓。

模型證明

模型1）如圖，P是直線BC上一動點，A是直線2C外一定點，連接AP,取AP中點。，當點尸在直線上

運動時，則。點軌跡也是一條直線。

證明：分別過A、。向BC作垂線，垂足分別為〃、N,在運動過程中，

因為AP=2AQ,所以QN始終為AM的一半，即。點到8C的距離是定值，故。點軌跡是一條直線.

模型2）如圖，在AAP。中AP=AQ,/B40=a為定值，當點P在直線BC上運動時，則。點軌跡也是一條

直線。

AP=AQ,AQi=APi，XP[AQi=XPAQ=a,,AAPq?AAQQ,^APPi=XAQQi，

*：ZAMP=ZNMQf：.ZMNQ=ZPAQ=a,即Q點所在直線與BC的夾角為定值，故Q點軌跡是一條直線.

模型運用

當動點軌跡為一條直線時，常用“垂線段最短”求最值。

1）當動點軌跡已知時可直接運用垂線段最短求最值；

2）當動點軌跡未知時，先確定動點軌跡，再垂線段最短求最值。

3）確定動點軌跡的方法（重點）

①當某動點到某條直線的距離不變時，該動點的軌跡為直線，即模型1）；

②當某動點與定直線的端點連接后的角度不變時，該動點的軌跡為直線，即模型2）；

③當一個點的坐標以某個字母的代數式表示時，若可化為一次函數，則點的軌跡為直線;

④觀察動點運動到特殊位置時，如中點，端點等特殊位置考慮；

注意：若動點軌跡用上述方法不好確定，則也可以將所求線段轉化（常用中位線、全等、相似、對角線）

為其他已知軌跡的線段求最值。

例1.（2024.山東泰安?校考一模）如圖，矩形ABCD的邊AB=U,BC=3,E為AB上一點，且AE=1,F

2

為邊上的一個動點，連接封，若以所為邊向右側作等腰直角三角形EFG,EF=EG,連接CG,則CG

C.3D.20

【分析】過點G作G7/L4B于氏過點G作由“AAS”可證AGEH咨△EE1,可得GH=AE=1,可

得點G在平行AB且到AB距離為1的直線MN上運動，則當產與方重合時，CG有最小值，即可求解.

【詳解】解：如圖，過點G作G//LA3于X,過點G作MN〃48,

：.ZB=9Q°,CD=—,AD=3,

2

9

VAE=1,:.BE=—,VZGHE=ZA=ZGEF=90°,

2

ZGEH+NEGH=90°,ZGEH+/尸EA=90°,二NEGH=ZFEA,

又,：GE=EF,絲△EE4（AAS）,：.GH=AE=1,

...點G在平行AB且到AB距離為1的直線MN上運動，

當廠與。重合時，CG有最小值，此時A/=E//=3,

月-T+2=(

；.CG的最小值=故選B.

【點睛】本題考查矩形的性質，全等三角形的判定和性質，勾股定理，確定點G的運動軌跡是本題的關鍵.

例2.(2024?河北邢臺?模擬預測)如圖，VABC是邊長為2的等邊三角形，點E為中線BD上的動點.連接CE,

將CE繞點C順時針旋轉60。得到CF.連接A/，則ZCAF=,連接OF,則VC￡>/調長的最小值是.

A

【答案】30°1+6

【分析】證明△C3E會△C4尸(SAS)可得NC4/=NCBE=30。，得到點尸在射線AF上運動，如圖所示，作

點C關于AF的對稱點C',連接。C',可得當D,F,C'三點共線時，FC+FD取最小值，即

FC+FD=F'C+F'D=CD,由/4。0=90。-/。10=60。得到/(7=30。，即得CO=LcC'=l,進而由勾

2

股定理得CD=JCC'2-CD?=百，據此即可求解.

【詳解】解：為等邊三角形，E為高3。上的動點，.?.NC2E=：/ABC=30。，BC=AC,

?.,將CE繞點C順時針旋轉60。得到CE,:.CE=CF,NECF=/BC4=60。，

:.ZBCE=ZACF,.-.VCBE^VC4F(SAS),ZCAF=ZCBE=30°,點尸在射線AF上運動，

如圖所示，作點C關于"的對稱點C',連接DC',

設CC'交AF于點0,則/AOC=90°,在R/AAOC中，ZCAO=30°,則CO=；AC=1,

當D,F,C'三點共線時，FC+FD取最小值，即/C+ED=AC'+ED=C'O,

ZACO=90°-ZCAO=60°,/./C'=90°-ZDCO=90°-60°=30°,

-：CC'=AC=2,：.CD=^CC'=1,：.CD=^CC'2-CD1

.??V8F周長的最小值為1+百，故答案為：30°；1+73.

【點睛】本題考查了旋轉的性質，等邊三角形的性質，全等三角形的判定和性質，軸對稱的性質，兩點之

間線段最短，直角三角形的性質，勾股定理，正確作出輔助線是解題的關鍵.

例3.（2023?四川成都?模擬預測）如圖，四邊形ABCD為矩形，對角線AC與比>相交于點。，點E在邊。C

上，連接AE,過。做垂足為尸，連接。尸，若/D4E=30。，DE=10,則。尸的最小值為.

【答案】土立

2

【分析】本題考查了矩形的判定和性質，含30。直角三角形的性質，勾股定理，三角形的三邊關系，先根據

面積法可計算DF的長為56,根據三角形的三邊關系可得：尸是一個定點，。的軌跡為4）中垂線上的一

部分，所以垂線段最短，可知FN的長是O歹的最小值，最后由等邊三角形三線合一的性質可得結論.

【詳解】解：???四邊形ABCD是矩形，

:.ZADE^90°,AC=BD,OA=-AC,OD=^BD,:.OA=OD,

22

■：ZDAE^30°,DE=10,：.AE=2DE=20,AD=^AE2-DE2=7202-102=10>/3.

■.■DFYAE,SiAD￡=|xl0xl0^=1x20xDF,=

?.?■F是一個定點，。的軌跡為AO中垂線上的一部分，如下圖所示，過點尸作EPLAD于P,過點。作

OMLAD于過點尸作于N,所以垂線段最短，則。產的最小值為FN的值，

A

BC

■,■FP//DE,:.ZDFP=NEDF=30°,:.PD=-DF=—,RtAADE中，AD=10A/3,

22

-.?OMLAD,OA=OD,■-AM=DM=5-^3,■-FN=PM=5-s/3--=—,

22

即。產的最小值為攣.故答案為：攣.

22

例4.（2023?安徽?合肥三模）如圖，在MA4BC紙片中，ZACB=90°,AC=4,BC=3,點D,E分別在5C,

A8邊上，連接。E,將△BCE沿。E翻折，使點B落在點E的位置，連接AF,若四邊形是菱形，則

AF的長的最小值為（）

l廠53

A.^/5B.6C.-D.一

22

【答案】A

【分析】連接BF交ED于點0,設石廠與AC交于點G.根據菱形的性質可得點方在NABC的平分線上運動,

從而得到當AFLBF時,AF的長最小.再證明ABEOsABAF,可得BE=^AB=AE,再證明xAGEsAACB,

EG=-BC=1.5,AG=^-AC=2,從而得到GF=1,再由勾股定理，即可求解.

22

【詳解】解：如圖，連接2尸交由于點。，設與AC交于點G.

四邊形BEFD是菱形，...B尸平分N42C,點F^.ZABC的平分線上運動，

...當尸時，AF的長最小.在菱形8￡7切中，BFLED,OB=OF,EF//BC,

-B--E---O---E----B--O--——1Rk——1……

:.EO〃AF,：.ABEOs叢BAF,：.ABAFBF2,2,

在RGABC中，AC=4,BC=3,：.AB=5,：.BE=AE=2.5,

\'AF±BF,：.EF=2.5,,:EF//BC,：./\AGE^/\ACB,

=—=—=ZAGE=ZACB=9Q°,：.EG=-BC=1.5,AG=-AC=2,：.GF=EF-EG=1,

BCACAB222

2222

VZAGF^ZAGE=90°,：.AF=A/AG+GF=72+l=A/5,故選：A

【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質，直角三角形的性質，菱形的性質，熟練掌握相似三角

形的判定和性質，直角三角形的性質，菱形的性質，準確得到點尸在NABC的平分線上運動是解題的關鍵.

例5.（2024?四川達州?一模）如圖，在矩形ABC。中，AB=4,8c=5百，點尸在線段8c上運動（含8,

C兩點），連接AP,以點A為中心，將線段AP逆時針旋轉60。到AQ,連接。Q,則線段OQ的最小值為.

71

【答案】-Z3-/3.5

22

【分析】如圖，以AB為邊向右作等邊△■,作射線尸。交AD于點E,過點。作。于X.利用全

等三角形的性質證明ZAFQ=90。，推出“獷=60。，推出點。在射線FE上運動，求出可得結論.

【詳解】解：如圖，以A8為邊向右作等邊AAB/，作射線歹。交AD于點E,過點。作于5.

??,四邊形ABC。是矩形，，=284。=90。，：△ABFAAPQ都是等邊三角形，

/.ABAF=APAQ^6Q°,BA=FA,PA=QA,；.ZBAP^ZFAQ,

'BA=FA

在ABAP和△E4Q中,</BAP=ZFAQ,：./△E4Q(SAS),；.ZABP=ZAFQ=90。，

PA=QA

?：ZFAE=90°-60°=30°,ZAEF=90°-30°=60°,

VAB=AF^4,.-.AE=^—=—,.?.點。在射線FE上運動，

cos3003

,:AD=BC=56，**.DE=AD-AE=^-,VDHrEF,ZDEH=ZAEF=60°,：.

3

DH=DEsin60。=述x@=L據垂線段最短可知，當點。與〃重合時，的值最小，最小值為1.

3222

7

故答案為：—.

2

【點睛】本題考查矩形的性質，旋轉變換，等邊三角形的性質，全等三角形的判定和性質，解直角三角形

等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，本題的突破點是證明點。的在射

線FE上運動.

例6.（2024重慶模擬預測）如圖,在平面直角坐標系中，Q是直線y=1x+2上的一個動點，將Q繞點尸（-L。）

逆時針旋轉90。，得到點Q',連接OQ',則OQ'最小值為.

【答案】a

【分析】設磯2,；大+2）,作ABIx軸，作AQLAB,作Q3LA8,根據A4s可證明V/園由此

可求。'（一；力-3"+1）,令矛=一；力-3,y=t+l,可得Q'在直線y=一2矛-5上運動，當。0'±廊時，

02'的值最小，再由tan/C￡>0=：得tan/龐？=!，進而得出OE=5,即可得出答案.

【詳解】設。（力,；力+2）,過點尸作人x軸，過點。作AQLAB交于A點，過點。作。'8,A8交于8點,

,/AQPQ'=90°,40PA+AQ'PB=90°.

,/AQPA+AAQP=90°,/.AQ'PB=/AQP.

QP=Q'P,：.^APQ^BQ'P(AAS),：.QA=PB,AP=Q'B.

,：P(-l,0),；.3=-t—1,AP=-t+2,；.Q'{--t-3,t+1),

22

令x-f-3?y—t+\,y=-2x—5,

2

.?.點Q'在直線y=-2x—5上運動，當。0'，版時，OQ'的值最小.

在y=Jx+2中，令x=0,貝ljy=2,令y=0,貝lJx=T,C(0,2),D(-4,0),AtanZCDO=1.

ACDO=AOEQ',：.tan/OE。'=；,Q'E=200',

在y=—2x—5中，令x=0,則y=-5,.*.^(0,-5),：.OE=5.

,/WY+(￡「y=OE2,即5(07)2=25,解得W=75，所以。Q'的最小值為君.故答案為：下.

【點睛】本題主要考查了一次函數的圖象及性質，旋轉的性質，三角形全等的判定及性質，確定點Q'的運

動軌跡是解題的關鍵.

例7.(2024?廣東?九年級校考期中)如圖，RtAABC中，/ACB=90。，ZA=30°,BC=5,點E是邊AC上

一點，將防繞點B順時針旋轉60。到即，連接CP,則CF長的最小值是()

A.2B.2.5C.45D.好

2

【答案】B

【分析】取的中點為點。，連接DE,過點。作。HLAC,垂足為H,在Rt^ABC中，利用含30度角

的直角三角形的性質可求出的長，NABC的度數，再根據線段的中點定義可得4。=即=3"=5,從

而可得￡>〃=[AD=2.5,然后利用旋轉的性質可得：BE=BF,ZEBF=60%從而利用等式的性質可得

ZABE=/CBF,進而利用SAS證明最后利用全等三角形的性質可得OE=CF,再根據

垂線段最短，即可解答.

【詳解】解：取的中點為點。，連接OE,過點。作AC,垂足為H,ZA/7D=90。，

A

VZACB^90°,ZA=30°,BC=5,：.AB=2BC=10,ZABC=90°-ZA=60°,

丁點。是AB的中點，，^0=2。=工42=5,OH=^AD=2.5,

22

由旋轉得：BE=BF,ZEB尸=60。，/.ZEBF=ZABC=60°,

Z.EBF-NEBC=ZABC-NEBC,/.ZABE=ZCBF,

?；BD=BC=5,：.△B￡>￡,^ABCF(SAS),:.DE=CF,

當DEIAC時，即當點E和點H重合時，DE有最小值，且最小值為2.5,

.??CP長的最小值是2.5,故選：B.

【點睛】本題考查了旋轉的性質，垂線段最短，全等三角形的判定與性質，根據題目的已知條件并結合圖

形添加適當的輔助線是解題的關鍵.

習題練模型

1.（2024?河南周口?一模）如圖，平行四邊形ABC。中，AB=\6,4）=12,ZA=60°,E是邊AD上一點，

且AE=8,尸是邊A5上的一個動點，將線段EF繞點E逆時針旋轉60°,得到EG,連接BG、CG,則BG+CG

的最小值是（）.

A.4B.4厲C.45D.歷

【答案】C

【分析】本題考查旋轉變換，軌跡，菱形的性質，勾股定理解直角三角形，全等三角形的判定和性質等知

識.取AB的中點N.連接EN,EC,GN,作瓦/LCD交。的延長線于//.利用全等三角形的性質證明

ZGNB=6OP,點G的運動軌跡是射線NG,由“SAS”可證名△及?/,可得GB=GE,推出

GB+GC=GE+GC>EC,求出EC即可解決問題.

【詳解】解：如圖，取A3的中點N.連接EN,EC,GN,作交。的延長線于

■.■AE=8,AD=12,:.DE=4,,點N是A8的中點，:.AN=NB=8,:.AE^AN,

-.-ZA=60°,.?△AEN是等邊三角形，:.ZAEN=ZFEG=6Oa,.-.ZAEF=ZNEG,

■.■EA=EN,EF=EG,:.AAEF沿ANEG（SAS）,:.ZENG=ZA=Gd°,

■.■ZANE=60°,ZGNB=180°-60°-60°=60°,.,.點G的運動軌跡是射線NG,

■：BN=EN,ZBNG=ZENG=60°,NG=NG,：.AEGN^BGN（SAS）,:.GB^GE,:.GB+GC=GE+GC>EC,

在RtAD￡W中，ZH=90°,DE=4,NEDH=60°,:.DH=；DE=2,EH=2日

在RtZXECH中，EC=JEH。+CH2=《12+=4庖，，G3+GCN2,.iGB+GC的最小值為4萬，故選：C.

2.（2024?湖南長沙.一模）如圖，矩形ABCD中，AB=6,3C=8,尸是上一點，E為BC上一點,且比=2,

連接斯，將防繞著點E順時針旋轉45。到EG的位置，則CG的最小值為.

【答案】3夜+2/2+3夜

【分析】將線段迎繞點E順時針旋轉45。得到線段ET,連接GT,ED,設匹交CG于J.證明

廠咨AETG（SAS）,根據垂線段最短計算即可.

【詳解】解：如圖，將線段班繞點E順時針旋轉45。得到線段ET,連接GT,ED,設ED交CG于J.

?..四邊形ABC。是矩形，AB=6,BC=8,BE=2,

：.AB=CD=6,BC=8,EC=CD=6,ZB=ZBCD=90°,：.ZCED=ZCDE=45°,

'：ZBET=ZFEG=45°,?.ZBEF=Z.TEG,

EB=ET

在AEBF和AETG中，:<NBEF=NTEG,/.AEBF均ETG（SAS）：.ZB=ZETG=90°,

EF=EG

.?.點G的在射線7U上運動，，當CGLTG時，CG的值最小，

,/ZCED=ZCDE=45°,ZBET=ZFEG=45°ZTEJ=90°=ZETG=ZJGT=90°,

.,?四邊形E7G7是矩形，ADE//GT,GJ=TE=BE=2：.CJ工DE,

NEC!=ZDC7=45°,：.CJ=ECsin45°=30，ACG=GJ+CJ=3y/2+2,

CG的最小值為3立+2,故答案為：372+2.

【點睛】本題考查了旋轉的性質，矩形的性質，解直角三角形，三角形全等的判定和性質，垂線段最短，

熟練掌握相應的知識是解題的關鍵.

3.（2023?江蘇宿遷?三模）如圖，在矩形ABCD中，4B=8,BC=8有，點E為矩形對角線8。上一動點,

連接CE,以CE為邊向上作正方形CEFG,對角線b、EG交于點、H,連接則線段。，的最小值為

G

BC

【答案】20

【分析】作CTLBD于點/，則NE7C=90。,由正方形的性質得/EHC=9（T,CH=EH,所以

NHCE=ZHEC=45。,取CE的中點0,連接OH、。/,以點。為圓心0E為半徑作QO,則點H、點/都在O。

上，所以/"=/HCE=45。,可知點H在過點/且與直線BD所交成的銳角為45。的直線上運動，則當

時，線段￡）〃的值最小，此時走由矩形的性質得N3CD=90。，CD=AB=8,則

2

BD=yJCD2+BC2=16,由==三=cosZBDC得〃）=?=4,所以=衛x4=2后，于是得到問題的

CDDDBD2

答案.

【詳解】如圖1,作C/_LBD于點/,則NE/C=90。,?.?四邊形CEFG是正方形，

圖2

CF±EG,CH=FH=-CF,EH=GH=-EG,S.CF=EG,

22

NEHC=90°,CH=EH,ZHCE=NHEC=45°,

取CE的中點O,連接OH、O/,以點。為圓心OE為半徑作。。，

?：OH=01=0E=LcE,：.點、H、點/都在上，.〔NHffi=N"CE=45。，

2

點H在過點/且與直線8。所交成的銳角為45°的直線上運動，

.?.當田時，線段的值最小，如圖2,。“，出,則/。/〃=90。，

點H、點/都在以CE為直徑的圓上，；.ZHID=180°-ZHIE=NHCE=45°,DH=ID-sin45=—ID,

2

:四邊形ABCD是矩形，AB=8,BC=8/,.1N3CD=90。,CD=A3=8,

:.BD=^CD-+BC-=加+L扃=16，-：^CID=90。,%=工=cos/BDC,

V\/CDBD

:.ID^—=—=4,;.DH=—X4=242,：.DH的最小值為2虛,故答案為：2后.

BD162

【點睛】此題重點考查矩形的性質、正方形的性質、圓周角定理、勾股定理、銳角三角函數與解直角三角

形、垂線段最短等知識，正確地作出所需要的輔助線是解題的關鍵.

4.（2023上?湖北武漢?九年級校聯考期中）如圖，已知/MON=30。，B為OM上一點、,B4LON于A,四

邊形ABC。為正方形，P為射線上一動點，連接CP,將CP繞點C順時針方向旋轉90。得CE,連接BE,

【答案】1+V3/V3+1

【分析】本題考查了旋轉的性質，正方形的性質，全等三角形的判定與性質以及垂線段最短的性質的綜合

應用，解決問題的關鍵是作輔助線構造全等三角形，根據全等三角形的對應邊相等以及垂線段最短進行解

答.連接尸￡?,依據SAS構造全等三角形，即ABCE慫ADCP,將8E的長轉化為尸O的長，再依據垂線段最

短得到當尸。最短時，BE亦最短，根據/MON=30。，00=2+26，即可求得尸。的長的最小值.

【詳解】解：如圖，連接尸￡>,

M

由題意可得，PC=EC,NPCE=90°=NDCB,BC=DC,：.ZDCP=ZBCE,

DC=BC

在ADCP和ABCE中，，ZDCP=ZBCE,；.ADCP^ABCE(SAS)，,PD=BE,

CP=CE

當DPLON時，尸。最短，此時BE也最短,

VZAOB=30°,AB=2=AD,03=2x2=4,OA=dU―爰=2石OD=OA+AD=2^+2,

...當OP，。加時，DP=-6>D=2+2^=l+V3,，8E的最小值為l+石.故答案為：1+6

22

5.（2023上?陜西渭南?九年級統考期中）如圖，在矩形ABCD中，&。=6,點E為邊4）的中點，連接CE.點

廠是邊CE上一動點，點G為邊B尸的中點，連接。G.當AB=4時，0G的最小值是.

AED

【答案】y

【分析】取2c的中點連接加/,作DGUAH于點G',根據四邊形ABCD為矩形，AD=6得">=3。=6,

根據點E為邊AD的中點，點H為BC的中點，得AE=DE=3,=8=3,可得AE=CH,根據AE〃CE

得四邊形AHCE為平行四邊形，則A??〃CE,根據=得與郎的交點為防的中點，根據G為防

的中點，得AH過點G,即點G在線段AH上隨點/運動而運動，當DGLAH時有最小值，則DG'即為所

求，根據勾股定理得=5,根據AD〃3C得=根據NABH=NOG'A=90。得

ARAH

AABHSADGA,則f=k，進行計算即可得.

DGDA

【詳解】解：如圖所示，取2c的中點H,連接作DG'LAH于點G',

AED

BHC

?.?四邊形A