專題37最值模型之瓜豆模型（原理）直線

動點軌跡問題是中考和各類模擬考試的重要題型，學生受解析幾何知識的局限和思維能力的束縛，該

壓軸點往往成為學生在中考中的一個坎，致使該壓軸點成為學生在中考中失分的集中點。掌握該壓軸題型

的基本圖形，構建問題解決的一般思路，是中考專題復習的一個重要途徑。本專題就最值模型中的瓜豆原

理（動點軌跡為直線型）進行梳理及對應試題分析，方便掌握。

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例題講模型］

模型1.瓜豆原理（模型）（直線軌跡）

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例題講模型］

模型1.瓜豆原理（模型）（直線軌跡）

模型解讀

瓜豆原理：一個主動點，一個從動點（根據某種約束條件,跟著主動點動），當主動點運動時，從動點的軌

跡相同。

只要滿足:

則兩動點的運動軌跡是相似的，運動軌跡

1、兩“動”，一“定”

長度的比和它們到定點的距離比相同。

2、兩動點與定點的連線夾角是定角

3、兩動點到定點的距離比值是定值

動點軌跡基本類型為直線型和圓弧型，主動點叫瓜（豆），從動點叫瓜（豆），瓜在直線上運動，豆也在直

線一上運動；瓜在圓周上運動，豆的軌跡也是圓。

模型證明

模型1）如圖，P是直線BC上一動點，A是直線2C外一定點，連接AP,取AP中點。，當點尸在直線上

運動時，則。點軌跡也是一條直線。

證明：分別過A、。向BC作垂線，垂足分別為〃、N,在運動過程中，

因為AP=2AQ,所以QN始終為AM的一半，即。點到8C的距離是定值，故。點軌跡是一條直線.

模型2）如圖，在AAP。中AP=A。，4R4Q=a為定值，當點尸在直線上運動時，則。點軌跡也是一條

直線。

AP=AQ,AQi=APi，XP[AQi=XPAQ=a,:.AAPP}AAQQ,AAPP\=XAQQ\,

?：ZAMP=ZNMQf：.ZMNQ=ZPAQ=a,即Q點所在直線與BC的夾角為定值，故Q點軌跡是一條直線.

模型運用

當動點軌跡為一條直線時，常用“垂線段最短”求最值。

1）當動點軌跡已知時可直接運用垂線段最短求最值；

2）當動點軌跡未知時，先確定動點軌跡，再垂線段最短求最值。

3）確定動點軌跡的方法（重點）

①當某動點到某條直線的距離不變時，該動點的軌跡為直線，即模型1）；

②當某動點與定直線的端點連接后的角度不變時，該動點的軌跡為直線，即模型2）；

③當一個點的坐標以某個字母的代數式表示時，若可化為一次函數，則點的軌跡為直線;

④觀察動點運動到特殊位置時，如中點，端點等特殊位置考慮；

注意：若動點軌跡用上述方法不好確定，則也可以將所求線段轉化（常用中位線、全等、相似、對角線）

為其他已知軌跡的線段求最值。

例1.（2024.山東泰安?校考一模）如圖，矩形A5CD的邊A8=￡,BC=3,E為AB上一點,且AE=1,F

為邊上的一個動點，連接E尸，若以所為邊向右側作等腰直角三角形跳G,E〃=EG,連接CG,則CG

C.3D.20

例2.（2024?河北邢臺?模擬預測）如圖，VABC是邊長為2的等邊三角形，點E為中線BD上的動點.連接CE,

將CE繞點C順時針旋轉60。得到CF.連接，則NC4F=，連接DF,則VCDF周長的最小值是

例3.（2023?四川成都?模擬預測）如圖，四邊形ABQ）為矩形，對角線AC與8。相交于點。，點E在邊DC

上，連接AE,過。做。尸JLAE,垂足為尸，連接。尸，若ZDAE=30。，OE=10,則OF的最小值為.

例4.（2023?安徽?合肥三模）如圖，在RdABC紙片中，ZACB=90°,AC=4,BC=3,點、D,E分別在2C,

AB邊上，連接。E,將ABOE沿。E翻折，使點B落在點尸的位置，連接AR若四邊形BEfD是菱形，則

AP的長的最小值為（）

53

A.B.y/3C.—D.—

例5.（2024?四川達州?一模）如圖，在矩形A3CD中，AB=4,8c=54，點尸在線段BC上運動（含8,

C兩點），連接AP,以點A為中心，將線段AP逆時針旋轉60°到AQ,連接DQ，則線段DQ的最小值為.

D

例6.（2024?重慶模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中，。是直線y=gx+2上的一個動點，將。繞點尸（-1,0）

逆時針旋轉90。，得到點Q',連接OQ',則。。最小值為.

|x+2

例7.（2024?廣東?九年級?？计谥校┤鐖D，RtABC中，ZACB=90°,ZA=30°,BC=5,點E是邊AC上

一點，將BE繞點8順時針旋轉60。到即，連接CF,則CP長的最小值是（）

A.2B.2.5C.75D.@

.題練模型I

1.（2024?河南周口?一模）如圖，平行四邊形ABCD中，AB=16,4）=12,ZA=6O°,E是邊上一點，

且AE=8,尸是邊AB上的一個動點，將線段EF繞點、E逆時針旋轉60°,得到EG,連接BG、CG,則BG+CG

的最小值是（）.

A.4B.4>/15C.4>/21D.歷

2.（2024?湖南長沙?一模）如圖，矩形ABC。中，48=6,30=8,尸是48上一點，E為BC上一點,且BE=2,

連接EF,將EF繞著點E順時針旋轉45°到EG的位置，則CG的最小值為.

3.（2023?江蘇宿遷三模）如圖，在矩形ABCD中，AB=8,BC=8>/L點E為矩形對角線上一動點,

連接CE,以CE為邊向上作正方形CEFG,對角線CF、EG交于點連接D”，則線段的最小值為一

4.（2023上?湖北武漢?九年級校聯考期中）如圖，已知/MQV=30。，B為OM上一點,84LON于A,四

邊形ABCD為正方形，尸為射線8M上一動點，連接CP,將CP繞點C順時針方向旋轉90。得CE,連接BE,

若AB=2,則BE的最小值為.

M

5.（2023上?陜西渭南?九年級統(tǒng)考期中）如圖，在矩形ABCD中，AD=6,點E為邊AD的中點，連接CE.點

廠是邊CE上一動點，點G為邊3尸的中點，連接。G.當45=4時，0G的最小值是.

6.（2023上?湖南長沙?九年級校聯考期中）如圖，在平面直角坐標系xQy中，已知點4（1,0）,點C是y軸上

一動點，設其坐標為（0,優(yōu)），線段C4繞點C逆時針旋轉90。至線段CB,則點8的坐標為,連接20,

則3。的最小值是

7.（2024?山東?？家荒＃┤鐖D，正方形ABCD中，AB=4,點E為邊3c上一動點，將點A繞點E順時針

旋轉90°得到點F,則DF的最小值為.

BE

8.（2023?江蘇連云港?統(tǒng)考一模）如圖，在矩形A3CD中，AB=4,AD=6,點E為邊BC上的動點，連接

AE,過點E作￡F_LM,且EF=AE,連接則線段C/長度的最小值為.

9.（23-24八年級下?遼寧丹東?期中）如圖，點B在直線/上，于點8,回=7,點C在直線/上運動,

以AC為邊作等邊ACD,連接8。，則8。的最小值為.

10.（2024?四川達州?三模）如圖，在等腰中，ZBAC=90°,A3=AC=3&，點M是3C邊上一

動點，將線段AM繞點A順時針旋轉60°,得到線段AN,連接MN,CN,^\AN+CN的最小值是

A

11.（2024?四川成者B?一模）如圖，在矩形ABCD中，BC=2AB,點、M,N為直線AD上的兩個動點，且

NMBN=30。,將線段關于8N翻折得線段創(chuàng)/，，連接CAT.當線段CM，的長度最小時，NWC的度

12.（23-24八年級下.遼寧沈陽?期中）如圖，Rt^ABC中，/ACB=90。，ZABC=30°,AC=6,。是線段

AB上一個動點，以BD為邊在.ABC外作等邊LBDE.若尸是。E的中點，連接C幾則CF的最小值為

13.(2024九年級下.江蘇.專題練習)等邊ABC邊長為6,。是2c中點，E在AO上運動，連接BE,在BE

下方作等邊ABE尸，則V3Db周長的最小值為

14.(23-24九年級下.湖北武漢?階段練習)在等腰AABC中，AC=AB,。是BC延長線上一點，E是線段A3

上一點，連接QE交AC于點F.

求C。的長;

(3)如圖3,若Nl=60。，BC=2CD=6,E在直線AB上運動，以。E為斜邊向上構造直角△OZE,且/￡=

30°,請直接寫出CT的最小值是

15.(2023?山東臨沂?二模)如圖，矩形ABC。中，AB=2?,4￡>=2,點E在線段8C上運動，將AE繞點

A順時針旋轉得到"，旋轉角等于NB4C,連接CP.

(1)當點E在2c上時，作HW_LAC,垂足為求證：4"=AB；(2)連接點E從點B運動到點C的

過程中，試探究O尸是否存在最小值，若存在，求出最小值，若不存在，請說明理由.

ABAB

16.（2024?江蘇揚州?中考真題）如圖，點AB、M、E、廠依次在直線/上，點AB固定不動，且AB=2,

分別以AB、所為邊在直線/同側作正方形ABC。、正方形ER汨，ZPMN=90P,直角邊MP恒過點C,直

角邊恒過點H.⑴如圖1,若班=10,EF=U,求點”與點B之間的距離；（2）如圖1,若跖=10,

當點M在點3、E之間運動時，求HE的最大值；（3）如圖2,若BF=22,當點E在點8、歹之間運動時,

點又隨之運動，連接CH,點。是S的中點，連接“8、MO,貝IJ2Q0+HB的最小值為.

17.（23-24九年級上?遼寧沈陽?期末）【問題初探】數學課上張老師在講完正方形的性質之后提出了一個問

題：四邊形A3CD是邊長為3的正方形，點E是邊AO上的一動點，連接CE,以CE為一邊作正方形CEFG

（點C,E,F,G按順時針方向排列），連接即，DG.

（1）如圖1,求點G到8的距離，請寫出解答過程；

【類比分析】愛動腦的數學興趣小組在研討的過程中，也提出了一個問題：

（2）如圖2,當經過點。時，求。G的長，請寫出解答過程；

【學以致用】看到同學們興致勃勃的樣子，張老師說：“角相等可以是三角形全等的條件，也能推導出相似”，

于是給同學們留了一道思考題：

（3）求