2025年中考數學二輪專題01區間最值問題二次函數與區間最值問題涉及確定函數在特定區間上的最大值和最小值．通過求頂點坐標、判斷函數開口方向及與區間的關系，利用單調性可求得最值．★二次函數最值求解方法★方法名稱描述適用范圍頂點法通過求二次函數的頂點得到最值所有二次函數公式法直接代入公式求解已知二次函數一般式配方法將二次函數化為頂點式求解可配方的二次函數對稱軸法根據對稱軸和定義域判斷最值定義域在對稱軸兩側或包含對稱軸★二次函數區間最值問題分析★區間位置對稱軸位置最值判斷求解方法區間內對稱軸在區間內頂點為最值點頂點法或公式法區間外對稱軸在區間外端點為最值點比較區間端點函數值包含對稱軸區間包含對稱軸頂點為最值點之一，另一端點可能也為最值點分別計算頂點和端點函數值跨對稱軸區間跨越對稱軸頂點為最值點之一，需比較另一側的函數值根據情況選擇方法★求解步驟★①確定頂點坐標：通過公式計算得到頂點坐標（h，k）．②判斷函數開口方向：根據a的正負確定．③分析區間與對稱軸的關系：1．定軸定區間：直接利用單調性或數形結合求最值．2．定軸動區間：分類討論區間與對稱軸的位置關系，考慮單調性求最值．3．動軸定區間：同樣需要分類討論，考慮軸是否穿過區間及單調性．④計算最值：結合上述分析，確定區間上的最大值和最小值．一、定軸定區間例1．（2024?溫州模擬）1．已知二次函數，當時，的最大值為9，則的值為．對應練習：（2024?東河區二模）2．二次函數中，當時，的最小值是．（2024?肥城市一模）3．已知二次函數，當時，函數的最大值為．（2024秋?武昌區期中）4．已知二次函數在時有最大值3，則的值為．（2024?鹿城區校級三模）5．已知二次函數，當時，的最小值為，則的值為（

）A．12或4 B．或 C．或4 D．或4（2024秋?姑蘇區校級月考）6．已知二次函數（為常數），(1)若二次函數的圖像經過點，則___________；(2)在（1）的條件下，當時，則的取值范圍是___________；(3)若二次函數在時有最大值，求的值．7．已知二次函數(1)若當時，y的最小值為y的最大值為4，求的值；(2)若該二次函數的圖象經過點和,當時，y的最大值與最小值的差8，求m的值．8．已知，二次函數．(1)若該圖象過點，求的值；(2)當時，的最大值是，求的值；(3)當時，若在函數圖象上，且，求的取值范圍．二、定軸動區間例2（2024?陽春市二模）9．已知二次函數在時，y取得的最大值為15，則a的值為．對應練習：（2024秋?濱海新區期中）10．二次函數，當且時，y的最小值為，最大值為，則的值為（

）A．0 B． C． D．（2024?廣東模擬）11．當時，函數的最小值為1，則的值為．12．在平面直角坐標系中，已知拋物線（1）當，二次函數的自變量x滿足時，函數y的最大值為，求m的值；（2）已知點，，若拋物線C與線段AB有兩個不同的交點，請直接寫出a的取值范圍．（2024?湖北）13．在平面直角坐標系中，已知拋物線和直線l:y=kx+b，點A(-3,-3)，B(1,-1)均在直線l上．（1）若拋物線C與直線l有交點，求a的取值范圍；（2）當a=-1，二次函數的自變量x滿足m≤x≤m+2時，函數y的最大值為-4，求m的值；（3）若拋物線C與線段AB有兩個不同的交點，請直接寫出a的取值范圍．（2023?蓮都區一模）14．已知二次函數（a，b是常數，），它的圖象過點．(1)用含a的代數式表示b；(2)若，此二次函數的自變量x滿足時，函數y的最大值為3，求m的值；(3)若該函數圖象的頂點在第二象限，當時，求的取值范圍．三．動軸定區間例3（2024?蔡甸區月考）15．已知關于x的二次函數y＝x2－2ax＋3，當1≤x≤3時，函數有最小值2a，則a的值為.對應練習：16．已知關于x的二次函數．(1)若，兩點在該二次函數的圖象上，直接寫出與的大小關系；(2)若將拋物線沿y軸翻折得到新拋物線，當時，新拋物線對應的函數有最小值3，求m的值．17．函數在有最小值，則實數的值是．（2024?拱墅區校級開學）18．時，函數的最小值為，則實數的值為．（2021?江夏區校級自主招生）19．是關于的二次函數，當的取值范圍是時，只在時取得最大值，則實數的取值范圍是．參考答案與解析參考答案：1．【分析】本題考查了二次函數圖象的性質，最大值的計算方法，根據二次函數圖象的性質，先計算出二次函數的對稱軸，根據自變量的取值范圍找出最大值，由此即可求解，掌握二次函數圖象的性質是解題的關鍵．【詳解】解：已知二次函數，∴對稱軸為：，∴x=2時與x=0時的函數值相等，時與時的函數值相等，∴當時的函數值大于x=2時的函數值，∴當時，，∴，解得，，故答案為：．2．1【分析】此題考查了二次函數的圖象和性質，根據二次函數的頂點式得到當時，y隨著x的增大而增大，即可得到當時，當時取最小值，代入求解即可．【詳解】解：∵∴拋物線的對稱軸為直線，開口向上，∴當時，y隨著x的增大而增大，∴當時，當時取最小值，最小值為，故答案為：13．5【分析】本題考查二次函數的最值，能由二次函數的表達式得出拋物線的對稱軸及開口方向是解題的關鍵．根據二次函數的圖象，結合當時函數圖象的增減情況，即可解決問題．【詳解】解：由二次函數的表達式為可知，拋物線開口向上，對稱軸為直線，所以當時，函數取得最小值，且，則當時，，當時，，∴在中，函數的最大值為，故答案為：．4．或【分析】本題考查了拋物線的對稱性，增減性，局部最值，利用分類思想，結合增減性計算即可．【詳解】∵二次函數，∴拋物線的對稱軸為，頂點坐標為，當時，拋物線開口向上，函數有最小值，且與對稱軸距離越大，函數值越大，∵，∴時，函數局部有最大值，此時函數值為，∵二次函數在時有最大值3，∴，解得；符合題意；當時，拋物線開口向下，函數有最大值，且與對稱軸距離越大，函數值越小，∵，拋物線的對稱軸為，在局部范圍內，∴時，函數局部有最大值，此時函數值為，∵二次函數在時有最大值3，∴，解得；符合題意；故答案為：或．5．D【分析】分兩種情況討論，并且利用二次函數的性質即可解答．【詳解】解：二次函數的對稱軸為：直線，（1）當時，當時，隨的增大而減小，當，隨的增大而增大，當時，取得最小值，，；（2）當時，當時，隨的增大而增大，當，隨的增大而減小，當時，取得最小值，，．故選：D．【點睛】本題主要考查二次函數的性質，掌握二次函數的性質以及分類討論思想是解題的關鍵．6．(1)(2)(3)或【分析】本題考查了待定系數法求二次函數的解析式，二次函數圖象上點的坐標特征，二次函數的性質，二次函數的最值，解題關鍵是熟練掌握二次函數的性質．（1）利用待定系數法即可求得；（2）拋物線開口向上，頂點為最低點，時取最小值，時取最大值；（3）根據開口方向分類討論，利用最大值列方程求解即可．【詳解】（1）解：二次函數的圖象經過點2,3，，，故答案為：；（2）解：由（1）知：該二次函數y的表達式為，，拋物線開口向上，頂點為，時，，當，，當時，的取值范圍是：，故答案為：；（3）解：將二次函數化為頂點式得：，二次函數在時有最大值，當時，開口向上，當時，有最大值，最大值為，，；當時，開口向下，當時，有最大值，最大值為，，；綜上，的值是或．7．(1)2(2)或．【分析】本題主要考查了二次函數的綜合應用，求二次函數解析式，解題的關鍵是理解二次函數的增減性，準確計算．（1）根據拋物線的對稱軸和開口方向得出當時，y有最小值，當時，y有最大值，得出即，求出即可得出答案；（2）用待定系數法求出拋物線的解析式即可；，開口向上，對稱軸為直線，頂點坐標為，分兩種情況討論：當在對稱軸的同側時，當在對稱軸的異側時，分別求出m的值即可．【詳解】（1）解：∵，對稱軸為，∴x的值離對稱軸越遠，y的值越小，∵∴當時，y有最小值，當時，y有最大值．即，解得，∴；（2）解：由題意，得，解得∴二次函數的解析式為，開口向上，對稱軸為直線，頂點坐標為，∵∴①當在對稱軸的左側時即時：∵y的最大值與最小值的差8，∴，整理的解得（不在m的范圍內，舍去）．②當在對稱軸的右側時即時：∵y的最大值與最小值的差8，∴，整理得：（不在m的范圍內，舍去）．③當在對稱軸的兩側時即時，∵y的最大值與最小值的差8，最小值為0．∴，解得：，（不在范圍舍去），解得：（舍去）．綜上所述，m的值為或．8．(1)(2)或(3)【分析】本題考查待定系數法求二次函數解析式，二次函數圖象性質，二次函數的最值．（1）把點代入中，求解即可；（2）分兩種情況：當時，當時，根據最大值是，求解即可；（3）根據當時，，得出，，求解即可．【詳解】（1）解：把點代入中，得，∴；（2）解：拋物線的對稱軸為，當時，∵當時，y的最大值是，∴當時，，

∴把代入中，得；當時，∵當時，y的最大值是，∴當時，，

∴把代入中，得；∴綜上所述，a的值為或；（3）解：拋物線的對稱軸為，當時，∵，

∴，∴．9．4【分析】先找到二次函數的對稱軸和頂點坐標，求出時，的值，再根據二次函數的性質得出答案．【詳解】解：∵二次函數，∴拋物線的對稱軸為，頂點，當時，，∵，開口向上，∴在對稱軸的右側，y隨x的增大而增大，∵當時，即在對稱軸右側，y取得最大值為15，∴當時，，∴，解得：或（舍去），故a的值為4．故答案為：4．【點睛】本題考查二次函數的性質、二次函數的最值，解答本題的關鍵是二次函數的增減性，利用二次函數的性質解答．10．B【分析】本題考查二次函數的最值，二次函數的圖象與性質，利用數形結合思想是解題的關鍵．根據二次函數解析式得到頂點坐標，開口向下，對稱軸，再結合“當且時，y的最小值為，最大值為，”進行討論（一定要考慮二次函數的頂點坐標是否在自變量的取值范圍內）求解，即可解題．【詳解】解：，頂點坐標，開口向下，對稱軸，①當，時，時，y取最大值，即，解得或（不合題意，舍去），時，y取最小值，即，解得（不合題意，舍去）或，，②當，時，，（舍去），綜上所述，，故選：B．11．2或【分析】本題考查了二次函數圖象上點的坐標特征以及二次函數的最值，利用二次函數圖象上點的坐標特征找出當時，求的值，結合當時函數有最小值1，即可得出關于的一元一次方程，解之即可得出結論．利用二次函數圖象上點的坐標特征找出當時的值是解題的關鍵．【詳解】解：當時，有，解得：，．∵當時，函數有最小值1，∴或，∴或，故答案為：2或．12．（1）m=-3或m=3；（2）≤a＜或a≤-2【分析】（1）在x=1左側，y隨x的增大而增大，x=m+2=-1時，y有最大值-4；在對稱軸x=1右側，y隨x最大而減小，x=m=3時，y有最大值-4，即可求解；（2）分a＜0時和a＞0時兩種情況，結合函數圖像，分別求解即可．【詳解】解：（1）根據題意可得，y=-x2+2x-1，∵a＜0，∴拋物線開口向下，對稱軸x=1，∵m≤x≤m+2時，y有最大值-4，∴當y=-4時，有-x2+2x-1=-4，∴x=-1或x=3，①在對稱軸x=1左側，y隨x的增大而增大，∴x=m+2=-1時，y有最大值-4，∴m=-3；②在對稱軸x=1右側，y隨x最大而減小，∴x=m=3時，y有最大值-4；綜上所述：m=-3或m=3；（2）∵A（-3，-3），B（1，-1），設直線AB的表達式為：y=kx+b，則，解得：，∴直線AB的解析式為y=x-，由拋物線表達式可得：拋物線必經過點（0，-1），∴若拋物線C與線段AB有兩個不同的交點，當a＜0，x=-3時，y=9a-6-1=9a-7＜-3，x=1時，y=a+2-1≤-1，解得：a≤-2；當a＞0，x=1時，y=a+2-1=a+1＞-1，x=-3時，y=9a-6-1≥-3，解得：a≥，拋物線與直線聯立：ax2+2x-1=x-，∴ax2+x+=0，△=-2a＞0，∴a＜，綜上：若拋物線C與線段AB有兩個不同的交點，則a的取值范圍是：≤a＜或a≤-2．【點睛】本題考查二次函數的圖象及性質，一次函數的圖象及性質；熟練掌握待定系數法求解析式，數形結合，分類討論函數在給定范圍內的最大值是解題的關鍵．13．（1）a≤且a≠0；（2）m=-3或m=3；（3）或a≤-2；【分析】（1）點，代入，求出；聯立與，則有，即可求解；（2）根據題意可得，，當時，有，x=?1或；①在x=1左側，隨的增大而增大，時，有最大值，；②在對稱軸x=1右側，隨最大而減小，時，有最大值；（3）①時，x=1時，，即；②a>0時，時，，即，直線AB的解析式為，拋物線與直線聯立：，，則，即可求的范圍.【詳解】解：（1）點，代入，，，；聯立與，則有，拋物線與直線有交點，，a≤且a≠0；（2）根據題意可得，，，拋物線開口向下，對稱軸x=1，時，有最大值，∴當時，有，或，①在x=1左側，隨的增大而增大，時，有最大值，；②在對稱軸x=1右側，隨最大而減小，時，有最大值；綜上所述：m=-3或m=3；（3）①時，x=1時，，即；②a>0時，時，，即，直線AB的解析式為，拋物線與直線聯立：，，，，的取值范圍為或a≤-2.【點睛】本題考查二次函數的圖象及性質，一次函數的圖象及性質；熟練掌握待定系數法求解析式，數形結合，分類討論函數在給定范圍內的最大值是解題的關鍵．14．(1)(2)或(3)【分析】（1）將點代入函數解析式即可得；（2）先求出二次函數的解析式，求出當時，的值，然后利用二次函數的性質分①在的左側和②在的右側兩種情況，由此即可得；（3）先根據求出，再利用根的判別式判斷出拋物線與軸有兩個不同的交點，從而可得拋物線的開口向下，且頂點的橫坐標小于0，由此可得，然后根據即可得．【詳解】（1）解：將點代入得：，則．（2）解：，，，拋物線的開口向下，對稱軸為直線，當時，，解得或，①在的左側，隨的增大而增大，∴當時，有最大值為3，∴；②在的右側，隨的增大而減小，∴當時，有最大值為3，∴．綜上，或．（3）解：∵，，∴，解得，關于的方程的根的判別式，∴函數圖象與軸有2個不同的交點，函數圖象的頂點在第二象限，拋物線的開口向下，且頂點的橫坐標小于0，，解得，∴，∴．【點睛】本題主要考查了二次函數的圖象與性質、二次函數與一元二次方程的聯系，熟練掌握二次函數的圖象與性質是解題關鍵．15．1【詳解】y=x2－2ax＋3=(x?a)2+3?a2，當a?1時，函數最小，則x=1，1?2a+3=4?2a=2a，解得：a=1，∵當1<a<3時，∴x=a時，函數有最小值為：2a，即3?a2=2a，解得：a1=?3(不合題意舍去)，a2=1，∴a=1；當a?3時，x=3時，9?6a+3=2a，解得：a=(不合題意舍去).故答案為1.點睛：本題考查了求二次函數的最大（小）值的方法.注意：只有當自變量x在整個取值范圍內，函數值y才在頂點處取最值.而當自變量取值范圍只有一部分時，必須結合二次函數的增減性及對稱軸判斷何處取最大值，何處取最小值.16．(1)(2)m的值是和【分析】（1）抓住二次函數圖象的特征：開口向上，因此離對稱軸越近的點的縱坐標越小，據此求解即可；（2）先利用對稱的規律求出新函數的解析式，分析新函數的圖象及性質，再分三種情況求解即可．【詳解】（1）解：∵二次函數的開口向上，對稱軸是直線，∴距離對稱軸越近的點的縱坐標越小，∵，，，∴；（2）解：將拋物線沿y軸翻折得到新拋物線的解析式為：，∴新拋物線的開口