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文檔簡介
2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案(全國版)
第四章三角形及四邊形
4.3全等三角形
考點分布考查頻率命題趨勢
考點1全等三角形的判定與性質(zhì)☆☆☆數(shù)學(xué)中考中,有關(guān)全等三角形的部分,每年考
查1~2道題,分值為3~10分,通常以選擇題、
解答題的形式考查。特別是在考查綜合知識探
考點2全等三角形的實際應(yīng)用☆☆索類實踐類試題里滲透考查三角形全等。也有
的省市在解答題專門命制證明三角形全等和
求值的試題。
☆☆☆代表必考點,☆☆代表常考點,☆星表示選考點。
夯實基礎(chǔ)
考點1.全等三角形的判定與性質(zhì)
1.全等三角形的性質(zhì):全等三角形的對應(yīng)___、對應(yīng)_____相等.
結(jié)論:一個圖形經(jīng)過平移、翻折、旋轉(zhuǎn)后,位置變化了,但形狀、大小都沒有改變,即平移、翻折、
旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等。
【溫馨提醒】找兩個全等三角形的對應(yīng)元素常用方法有:
1.兩個全等的三角形經(jīng)過一定的轉(zhuǎn)換可以重合.一般是平移、翻轉(zhuǎn)、旋轉(zhuǎn)的方法。
2.根據(jù)位置元素來找:有相等元素,它們就是對應(yīng)元素,然后再依據(jù)已知的對應(yīng)元素找出其余的對
應(yīng)元素.
3.全等三角形對應(yīng)角所對的邊是對應(yīng)邊;兩個對應(yīng)角所夾的邊也是對應(yīng)邊.
4.全等三角形對應(yīng)邊所對的角是對應(yīng)角;兩條對應(yīng)邊所夾的角是對應(yīng)角.
2.理解并牢記三角形全等的五種判定方法
判定方法1:“邊邊邊”或“SSS”判定方法
___邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等。
幾何符號語言:
在△ABC和△A′B′C′中,
AB=A'B'
BC=B'C'
CA=C'A'
則△ABC≌△A′B′C′(SSS)
注意:作一個角等于已知角的方法
已知:∠AOB求作:∠A′0′B′,使∠A′0′B′=∠AOB.
作法:
1.以O(shè)為圓心,任意長為半徑畫弧,分別交OA,OB于點C,D;
2.畫一條射線O′A′,以O(shè)′為圓心,OC長為半徑畫弧,交O′A′于點C′;
3.以C′為圓心,CD長為半徑畫弧,與第2步中所畫的弧交于點D′;
4.過點D′畫射線O′B′,則∠A′0′B′=∠AOB.
思考:為什么這樣作出的∠A′O′B′和∠AOB是相等的?
在OCD和O′C′D′中,
O△CO'C△'
ODO'D'
CDC'D'
∴△OCD≌△O′C′D′(SSS),
∴∠AOB=∠A′O′B′.
判定方法2:“邊角邊”或“SAS”判定方法
___邊和它們的___分別相等的兩個三角形全等.
幾何符號語言:
在△ABC和△A′B′C′中,
ABA'B'
AA'
AC=A'C'
則△ABC≌△A′B′C′(SAS)
判定方法3:“角邊角”或“ASA”判定方法
有____角和它們_____對應(yīng)相等的兩個三角形全等.
幾何符號語言:
在△ABC和△A′B′C′中,
A=A'
ABA'B'
B=B'
則△ABC≌△A′B′C′(ASA)
判定方法4:“角角邊”或“AAS”判定方法
____角分別相等且其中一組等角的____相等的兩個三角形全等(可以簡寫成“角角邊”或“AAS”).
幾何符號語言:
在△ABC和△A′B′C′中,
A=A'
B=B'
BCB'C'
則△ABC≌△A′B′C′(AAS)
判定方法5:直角三角形“HL”判定方法
____邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等(可以簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”).
幾何符號語言:
在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中,
ABA'B'
BCB'C'
則Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(HL)
注意:證明兩個三角形全等的書寫步驟
1.準(zhǔn)備條件:證全等時要用的條件要先證好;
2.指明范圍:寫出在哪兩個三角形中;
3.擺齊根據(jù):擺出三個條件用大括號括起來;
4.寫出結(jié)論:寫出全等結(jié)論.
考點2.全等三角形的實際應(yīng)用
1.可以利用三角形全等知識求物體的長度、高度、距離、面積等。
2.利用全等三角形可以測量一些不易測量的距離和長度,還可對某些因素作出判斷,一般采用以下
步驟:
(1)先明確實際問題;
(2)根據(jù)實際抽象出幾何圖形;
(3)經(jīng)過分析,找出證明途徑;
(4)書寫證明過程.
【易錯點提示】證明兩三角形全等或利用它證明線段或角的相等的基本方法步驟
(1)確定已知條件(包括隱含條件,如公共邊、公共角、對頂角、角平分線、中線、高、等腰三角
形、等所隱含的邊角關(guān)系),
(2)回顧三角形判定,搞清我們還需要什么,
(3)正確地書寫證明格式.
考點3.角的平分線(重要補充)
1.角平分線的概念
從一個角的頂點引出一條射線,把這個角分成兩個相等的角,這條射線叫做這個角的角平分線.
∵∠1=∠2
∴BD是∠ABC的平分線
2.用尺規(guī)作角的平分線方法.
已知:∠AOB.求作:∠AOB的平分線.
作法:
1.以O(shè)為圓心,適當(dāng)長為半徑畫弧,交OA于點M,交OB于點N.
2.分別以M,N為圓心,大于1MN的長為半徑畫弧,兩弧在∠AOB內(nèi)部相交于點C.
2
3.畫射線OC.
則:射線OC即為所求.
請你說明OC為什么是∠AOB的平分線.
證明:在△OMC與△ONC中,
OMON
MCNC
OCOC
∴△OMC≌△ONC(SSS)
∴∠AOC=∠BOC
即OC是∠AOB的角平分線.
3.角平分線的性質(zhì)
角平分線上的點到角的兩邊的距離相等。
幾何語言:
∵點P在∠AOB的平分線上,且PD⊥OA,PE⊥OB.
∴PD=PE
4.角的平分線判定定理
角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上.
應(yīng)用所具備的條件:(1)點在角的內(nèi)部;(2)該點到角兩邊的距離相等.
定理的作用:判斷點是否在角平分線上.(證明兩角相等).
幾何符號語言:
∵PD⊥OA,PE⊥OB,PD=PE
∴點P在∠AOB的平分線上(或∠AOC=BOC)
【方法技巧指導(dǎo)】三角形中作輔助線的常用方法
(1)在利用三角形三邊關(guān)系證明線段不等關(guān)系時,若直接證不出來,可連接兩點或延長某邊構(gòu)成三
角形,使結(jié)論中出現(xiàn)的線段在一個或幾個三角形中,再運用三角形三邊的不等關(guān)系證明.
(2)在用三角形的外角大于任何和它不相鄰的內(nèi)角時如直接證不出來時,可連接兩點或延長某邊,
構(gòu)造三角形,使求證的大角在某個三角形的外角的位置上,小角處于這個三角形的內(nèi)角位置上,再用
外角定理.
(3)有角平分線時,通常在角的兩邊截取相等的線段,構(gòu)造全等三角形.
(4)有以線段中點為端點的線段時,常延長加倍此線段,構(gòu)造全等三角形。
(5)有三角形中線時,常延長加倍中線,構(gòu)造全等三角形。
(6)截長補短法作輔助線。
(7)延長已知邊構(gòu)造三角形.
(8)連接四邊形的對角線,把四邊形的問題轉(zhuǎn)化成為三角形來解決。
(9)有和角平分線垂直的線段時,通常把這條線段延長。
(10)連接已知點,構(gòu)造全等三角形。
(11)取線段中點構(gòu)造全等三有形。
考點1.全等三角形的判定與性質(zhì)
【例題1】(2024江蘇連云港)如圖,AB與CD相交于點E,ECED,AC∥BD.
(1)求證:△AEC≌△BED;
(2)用無刻度的直尺和圓規(guī)作圖:求作菱形DMCN,使得點M在AC上,點N在BD上.(不寫
作法,保留作圖痕跡,標(biāo)明字母)
【變式練1】(2024成都一模)如圖,四邊形ABCD是菱形,點E,F(xiàn)分別在BC,DC邊上,添加以
下條件不能判定△ABE≌△ADF的是()
A.BE=DFB.∠BAE=∠DAFC.AE=ADD.∠AEB=∠AFD
【變式練2】(2024哈爾濱一模)如圖,△ABC≌△DEC,點A和點D是對應(yīng)頂點,點B和點E是
對應(yīng)頂點,過點A作AF⊥CD,垂足為點F,若∠BCE=65°,則∠CAF的度數(shù)為()
A.30°B.25°C.35°D.65°
【變式練3】(2024山東濟寧一模)如圖,四邊形ABCD中,∠BAC=∠DAC,請補充一個條件,
使△ABC≌△ADC.
考點2.全等三角形的實際應(yīng)用
【例題2】(2024云南)如圖,兩根長均為12米的繩子一端系在旗桿上,旗桿與地面垂直,另一端
分別固定在地面上的木樁上,兩根木樁離旗桿底部的距離相等嗎?
【變式練1】(2024四川攀枝花一模)為測量一池塘兩端A,B之間的距離,兩位同學(xué)分別設(shè)計了以
下兩種不同的方案.
方案Ⅰ:如圖,先在平地
上取一個可以直接到達(dá)點A,B的點O,連接AO并延長到點C,連接BO并延長到點D,并使CO=AO,
DO=BO,連接DC,最后測出DC的長即可;
方案Ⅱ:如圖,先確定直線AB,過點B作直線BE⊥AB,在直線BE上找可以直接到達(dá)點A的一點D,
連接DA,作DC=DA,交直線AB于點C,最后測量BC的長即可.
下列說法正確的是()
A.Ⅰ,Ⅱ都不可行B.Ⅰ,Ⅱ都可行
C.Ⅰ可行,Ⅱ不可行D.Ⅰ不可行,Ⅱ可行
考點1全等三角形的判定與性質(zhì)
1.(2024安徽省)在凸五邊形ABCDE中,ABAE,BCDE,F(xiàn)是CD的中點.下列條件中,
不能推出AF與CD一定垂直的是()
A.ABCAEDB.BAFEAF
C.BCFEDFD.ABDAEC
2.(2024四川成都市)如圖,△ABC≌△CDE,若D35,ACB45,則DCE的度
數(shù)為______.
3.(2024江蘇鹽城)已知:如圖,點A、B、C、D在同一條直線上,AE∥BF,AEBF.
若________,則ABCD.
請從①CE∥DF;②CEDF;③EF這3個選項中選擇一個作為條件(寫序號),使結(jié)
論成立,并說明理由.
4.(2024云南省)如圖,在ABC和△AED中,ABAE,BAECAD,ACAD.
求證:△ABC≌△AED.
5.(2024四川樂山)知:如圖,AB平分CAD,ACAD.求證:CD.
6.(2024四川南充)如圖,在ABC中,點D為BC邊的中點,過點B作BE∥AC交AD的延長
線于點E.
(1)求證:BDE≌CDA.
(2)若ADBC,求證:BABE
7.(2024四川內(nèi)江)如圖,點A、D、B、E在同一條直線上,ADBE,ACDF,BCEF
(1)求證:△ABC≌△DEF;
(2)若A55,E45,求F的度數(shù).
8.(2024湖南長沙)如圖,點C在線段AD上,ABAD,BD,BCDE.
(1)求證:△ABC≌△ADE;
(2)若BAC60,求ACE的度數(shù).
1
9.(2024江蘇蘇州)如圖,ABC中,ABAC,分別以B,C為圓心,大于BC長為半徑畫
2
弧,兩弧交于點D,連接BD,CD,AD,AD與BC交于點E.
(1)求證:△ABD≌△ACD;
(2)若BD2,BDC120,求BC的長.
考點2全等三角形的實際應(yīng)用
1.(2024?寧夏)校園內(nèi)有一塊四邊形的草坪造型,課外活動小組實地測量,并記錄數(shù)據(jù),根據(jù)造型
畫如圖的四邊形ABCD,其中AB=CD=2米,AD=BC=3米,∠B=30°.
(1)求證:△ABC≌△CDA;
(2)求草坪造型的面積.
考點1全等三角形的判定與性質(zhì)
1.(2023?涼山州)如圖,點E、點F在BC上,BE=CF,∠B=∠C,添加一個條件,不能證明△ABF
≌△DCE的是()
A.∠A=∠DB.∠AFB=∠DECC.AB=DCD.AF=DE
2.(2023?重慶)如圖,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,點D為BC上一點,連接AD.過點B
作BE⊥AD于點E,過點C作CF⊥AD交AD的延長線于點F.若BE=4,CF=1,則EF的長度為.
3.(2020?齊齊哈爾)如圖,已知在△ABD和△ABC中,∠DAB=∠CAB,點A、B、E在同一條直
線上,若使△ABD≌△ABC,則還需添加的一個條件是.(只填一個即可)
4.(2022?鄂爾多斯)如圖,∠AOE=15°,OE平分∠AOB,DE∥OB交OA于點D,EC⊥OB,垂足為C.若
EC=2,則OD的長為()
A.2B.2C.4D.4+2
5.(2023?衢州)已知:如圖,在△ABC和△DEF中,B,E,C,F(xiàn)在同一條直線上.下面四個條件:
①AB=DE;②AC=DF;③BE=CF;④∠ABC=∠DEF.
(1)請選擇其中的三個條件,使得△ABC≌△DEF(寫出一種情況即可).
(2)在(1)的條件下,求證:△ABC≌△DEF.
6.(2022?長沙)如圖,AC平分∠BAD,CB⊥AB,CD⊥AD,垂足分別為B,D.
(1)求證:△ABC≌△ADC;
(2)若AB=4,CD=3,求四邊形ABCD的面積.
7.(
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