2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案（全國版）

第四章三角形及四邊形

4.3全等三角形

考點分布考查頻率命題趨勢

考點1全等三角形的判定與性質(zhì)☆☆☆數(shù)學(xué)中考中，有關(guān)全等三角形的部分，每年考

查1~2道題,分值為3~10分，通常以選擇題、

解答題的形式考查。特別是在考查綜合知識探

考點2全等三角形的實際應(yīng)用☆☆索類實踐類試題里滲透考查三角形全等。也有

的省市在解答題專門命制證明三角形全等和

求值的試題。

☆☆☆代表必考點，☆☆代表常考點，☆星表示選考點。

夯實基礎(chǔ)

考點1.全等三角形的判定與性質(zhì)

1．全等三角形的性質(zhì)：全等三角形的對應(yīng)___、對應(yīng)_____相等．

結(jié)論：一個圖形經(jīng)過平移、翻折、旋轉(zhuǎn)后，位置變化了，但形狀、大小都沒有改變，即平移、翻折、

旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等。

【溫馨提醒】找兩個全等三角形的對應(yīng)元素常用方法有：

1.兩個全等的三角形經(jīng)過一定的轉(zhuǎn)換可以重合．一般是平移、翻轉(zhuǎn)、旋轉(zhuǎn)的方法。

2.根據(jù)位置元素來找：有相等元素，它們就是對應(yīng)元素，然后再依據(jù)已知的對應(yīng)元素找出其余的對

應(yīng)元素．

3.全等三角形對應(yīng)角所對的邊是對應(yīng)邊；兩個對應(yīng)角所夾的邊也是對應(yīng)邊．

4.全等三角形對應(yīng)邊所對的角是對應(yīng)角；兩條對應(yīng)邊所夾的角是對應(yīng)角．

2.理解并牢記三角形全等的五種判定方法

判定方法1：“邊邊邊”或“SSS”判定方法

___邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等。

幾何符號語言：

在△ABC和△A′B′C′中，

AB=A'B'

BC=B'C'

CA=C'A'

則△ABC≌△A′B′C′(SSS)

注意：作一個角等于已知角的方法

已知：∠AOB求作：∠A′0′B′，使∠A′0′B′=∠AOB.

作法：

1.以O(shè)為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交OA，OB于點C，D；

2.畫一條射線O′A′，以O(shè)′為圓心，OC長為半徑畫弧，交O′A′于點C′；

3.以C′為圓心，CD長為半徑畫弧，與第2步中所畫的弧交于點D′；

4.過點D′畫射線O′B′，則∠A′0′B′=∠AOB.

思考：為什么這樣作出的∠A′O′B′和∠AOB是相等的？

在OCD和O′C′D′中，

O△CO'C△'

ODO'D'

CDC'D'

∴△OCD≌△O′C′D′(SSS)，

∴∠AOB=∠A′O′B′.

判定方法2：“邊角邊”或“SAS”判定方法

___邊和它們的___分別相等的兩個三角形全等.

幾何符號語言：

在△ABC和△A′B′C′中，

ABA'B'

AA'

AC=A'C'

則△ABC≌△A′B′C′(SAS)

判定方法3：“角邊角”或“ASA”判定方法

有____角和它們_____對應(yīng)相等的兩個三角形全等.

幾何符號語言：

在△ABC和△A′B′C′中，

A=A'

ABA'B'

B=B'

則△ABC≌△A′B′C′(ASA)

判定方法4：“角角邊”或“AAS”判定方法

____角分別相等且其中一組等角的____相等的兩個三角形全等(可以簡寫成“角角邊”或“AAS”).

幾何符號語言：

在△ABC和△A′B′C′中，

A=A'

B=B'

BCB'C'

則△ABC≌△A′B′C′(AAS)

判定方法5：直角三角形“HL”判定方法

____邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等(可以簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”).

幾何符號語言：

在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，

ABA'B'

BCB'C'

則Rt△ABC≌Rt△A′B′C′（HL）

注意：證明兩個三角形全等的書寫步驟

1.準(zhǔn)備條件：證全等時要用的條件要先證好；

2.指明范圍：寫出在哪兩個三角形中；

3.擺齊根據(jù)：擺出三個條件用大括號括起來；

4.寫出結(jié)論：寫出全等結(jié)論.

考點2.全等三角形的實際應(yīng)用

1.可以利用三角形全等知識求物體的長度、高度、距離、面積等。

2.利用全等三角形可以測量一些不易測量的距離和長度，還可對某些因素作出判斷，一般采用以下

步驟：

（1）先明確實際問題；

（2）根據(jù)實際抽象出幾何圖形；

（3）經(jīng)過分析，找出證明途徑；

（4）書寫證明過程.

【易錯點提示】證明兩三角形全等或利用它證明線段或角的相等的基本方法步驟

（1）確定已知條件（包括隱含條件，如公共邊、公共角、對頂角、角平分線、中線、高、等腰三角

形、等所隱含的邊角關(guān)系），

（2）回顧三角形判定，搞清我們還需要什么，

（3）正確地書寫證明格式.

考點3.角的平分線（重要補充）

1.角平分線的概念

從一個角的頂點引出一條射線，把這個角分成兩個相等的角，這條射線叫做這個角的角平分線.

∵∠1=∠2

∴BD是∠ABC的平分線

2.用尺規(guī)作角的平分線方法.

已知：∠AOB.求作：∠AOB的平分線.

作法：

1.以O(shè)為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，交OA于點M，交OB于點N.

2.分別以M，N為圓心，大于1MN的長為半徑畫弧，兩弧在∠AOB內(nèi)部相交于點C.

2

3.畫射線OC.

則：射線OC即為所求.

請你說明OC為什么是∠AOB的平分線.

證明：在△OMC與△ONC中，

OMON

MCNC

OCOC

∴△OMC≌△ONC(SSS)

∴∠AOC=∠BOC

即OC是∠AOB的角平分線.

3.角平分線的性質(zhì)

角平分線上的點到角的兩邊的距離相等。

幾何語言：

∵點P在∠AOB的平分線上，且PD⊥OA，PE⊥OB.

∴PD=PE

4.角的平分線判定定理

角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上.

應(yīng)用所具備的條件：(1)點在角的內(nèi)部；(2)該點到角兩邊的距離相等.

定理的作用：判斷點是否在角平分線上.(證明兩角相等).

幾何符號語言：

∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE

∴點P在∠AOB的平分線上(或∠AOC=BOC)

【方法技巧指導(dǎo)】三角形中作輔助線的常用方法

（1）在利用三角形三邊關(guān)系證明線段不等關(guān)系時，若直接證不出來，可連接兩點或延長某邊構(gòu)成三

角形，使結(jié)論中出現(xiàn)的線段在一個或幾個三角形中，再運用三角形三邊的不等關(guān)系證明.

（2）在用三角形的外角大于任何和它不相鄰的內(nèi)角時如直接證不出來時，可連接兩點或延長某邊，

構(gòu)造三角形，使求證的大角在某個三角形的外角的位置上，小角處于這個三角形的內(nèi)角位置上，再用

外角定理.

（3）有角平分線時，通常在角的兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形.

（4）有以線段中點為端點的線段時，常延長加倍此線段，構(gòu)造全等三角形。

（5）有三角形中線時，常延長加倍中線，構(gòu)造全等三角形。

（6）截長補短法作輔助線。

（7）延長已知邊構(gòu)造三角形.

（8）連接四邊形的對角線，把四邊形的問題轉(zhuǎn)化成為三角形來解決。

（9）有和角平分線垂直的線段時，通常把這條線段延長。

（10）連接已知點，構(gòu)造全等三角形。

（11）取線段中點構(gòu)造全等三有形。

考點1.全等三角形的判定與性質(zhì)

【例題1】（2024江蘇連云港）如圖，AB與CD相交于點E，ECED，AC∥BD．

（1）求證：△AEC≌△BED；

（2）用無刻度的直尺和圓規(guī)作圖：求作菱形DMCN，使得點M在AC上，點N在BD上．（不寫

作法，保留作圖痕跡，標(biāo)明字母）

【變式練1】（2024成都一模）如圖，四邊形ABCD是菱形，點E，F(xiàn)分別在BC，DC邊上，添加以

下條件不能判定△ABE≌△ADF的是（）

A．BE＝DFB．∠BAE＝∠DAFC．AE＝ADD．∠AEB＝∠AFD

【變式練2】（2024哈爾濱一模）如圖，△ABC≌△DEC，點A和點D是對應(yīng)頂點，點B和點E是

對應(yīng)頂點，過點A作AF⊥CD，垂足為點F，若∠BCE＝65°，則∠CAF的度數(shù)為（）

A．30°B．25°C．35°D．65°

【變式練3】（2024山東濟寧一模）如圖，四邊形ABCD中，∠BAC＝∠DAC，請補充一個條件，

使△ABC≌△ADC．

考點2.全等三角形的實際應(yīng)用

【例題2】（2024云南）如圖，兩根長均為12米的繩子一端系在旗桿上，旗桿與地面垂直，另一端

分別固定在地面上的木樁上，兩根木樁離旗桿底部的距離相等嗎？

【變式練1】（2024四川攀枝花一模）為測量一池塘兩端A，B之間的距離，兩位同學(xué)分別設(shè)計了以

下兩種不同的方案．

方案Ⅰ：如圖，先在平地

上取一個可以直接到達(dá)點A，B的點O，連接AO并延長到點C，連接BO并延長到點D，并使CO＝AO，

DO＝BO，連接DC，最后測出DC的長即可；

方案Ⅱ：如圖，先確定直線AB，過點B作直線BE⊥AB，在直線BE上找可以直接到達(dá)點A的一點D，

連接DA，作DC＝DA，交直線AB于點C，最后測量BC的長即可．

下列說法正確的是（）

A．Ⅰ，Ⅱ都不可行B．Ⅰ，Ⅱ都可行

C．Ⅰ可行，Ⅱ不可行D．Ⅰ不可行，Ⅱ可行

考點1全等三角形的判定與性質(zhì)

1.（2024安徽省）在凸五邊形ABCDE中，ABAE，BCDE，F(xiàn)是CD的中點．下列條件中，

不能推出AF與CD一定垂直的是（）

A.ABCAEDB.BAFEAF

C.BCFEDFD.ABDAEC

2.（2024四川成都市）如圖，△ABC≌△CDE，若D35，ACB45，則DCE的度

數(shù)為______．

3.（2024江蘇鹽城）已知：如圖，點A、B、C、D在同一條直線上，AE∥BF，AEBF．

若________，則ABCD．

請從①CE∥DF；②CEDF；③EF這3個選項中選擇一個作為條件（寫序號），使結(jié)

論成立，并說明理由．

4.（2024云南省）如圖，在ABC和△AED中，ABAE，BAECAD，ACAD．

求證：△ABC≌△AED．

5.（2024四川樂山）知：如圖，AB平分CAD，ACAD．求證：CD．

6.（2024四川南充）如圖，在ABC中，點D為BC邊的中點，過點B作BE∥AC交AD的延長

線于點E．

（1）求證：BDE≌CDA．

（2）若ADBC，求證：BABE

7.（2024四川內(nèi)江）如圖，點A、D、B、E在同一條直線上，ADBE，ACDF，BCEF

（1）求證：△ABC≌△DEF；

（2）若A55，E45，求F的度數(shù)．

8.（2024湖南長沙）如圖，點C在線段AD上，ABAD，BD，BCDE．

（1）求證：△ABC≌△ADE；

（2）若BAC60，求ACE的度數(shù)．

1

9.（2024江蘇蘇州）如圖，ABC中，ABAC，分別以B，C為圓心，大于BC長為半徑畫

2

弧，兩弧交于點D，連接BD，CD，AD，AD與BC交于點E．

（1）求證：△ABD≌△ACD；

（2）若BD2，BDC120，求BC的長．

考點2全等三角形的實際應(yīng)用

1．（2024?寧夏）校園內(nèi)有一塊四邊形的草坪造型，課外活動小組實地測量，并記錄數(shù)據(jù)，根據(jù)造型

畫如圖的四邊形ABCD，其中AB＝CD＝2米，AD＝BC＝3米，∠B＝30°．

（1）求證：△ABC≌△CDA；

（2）求草坪造型的面積．

考點1全等三角形的判定與性質(zhì)

1．（2023?涼山州）如圖，點E、點F在BC上，BE＝CF，∠B＝∠C，添加一個條件，不能證明△ABF

≌△DCE的是（）

A．∠A＝∠DB．∠AFB＝∠DECC．AB＝DCD．AF＝DE

2．（2023?重慶）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點D為BC上一點，連接AD．過點B

作BE⊥AD于點E，過點C作CF⊥AD交AD的延長線于點F．若BE＝4，CF＝1，則EF的長度為．

3．（2020?齊齊哈爾）如圖，已知在△ABD和△ABC中，∠DAB＝∠CAB，點A、B、E在同一條直

線上，若使△ABD≌△ABC，則還需添加的一個條件是．（只填一個即可）

4．（2022?鄂爾多斯）如圖，∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，DE∥OB交OA于點D，EC⊥OB，垂足為C．若

EC＝2，則OD的長為（）

A．2B．2C．4D．4+2

5．（2023?衢州）已知：如圖，在△ABC和△DEF中，B，E，C，F(xiàn)在同一條直線上．下面四個條件：

①AB＝DE；②AC＝DF；③BE＝CF；④∠ABC＝∠DEF．

（1）請選擇其中的三個條件，使得△ABC≌△DEF（寫出一種情況即可）．

（2）在（1）的條件下，求證：△ABC≌△DEF．

6．（2022?長沙）如圖，AC平分∠BAD，CB⊥AB，CD⊥AD，垂足分別為B，D．

（1）求證：△ABC≌△ADC；

（2）若AB＝4，CD＝3，求四邊形ABCD的面積．

7．（