2025年中考數學一輪復習學案（全國版）

第六章圖形的變化

6.1尺規作圖

考點分布考查頻率命題趨勢

考點1基本尺規作圖及相幾何作圖題分尺規作圖和無刻度作圖，是全國中考的

☆☆

應判斷熱點內容，更是全國中考的必考內容。每年都有一些

考生因為知識殘缺、基礎不牢、技能不熟、答欠規范

等原因導致失分。

從考點頻率看，尺規作圖是幾何作圖的基礎，也是高

考點2無刻度直尺作圖☆頻考點、必考點，所以必須熟練尺規作圖，而無刻度

作圖是近幾年的新考法，有幾個省市著重考查此類題

型。從題型角度看，以解答題為主，分值8分左右，

著實不少！但選擇題、填空題考查幾何作圖題也不少。

☆☆☆代表必考點，☆☆代表常考點，☆星表示中頻考點。

夯實基礎

考點1.基本尺規作圖及相應判斷

1.由作角平分線過程求解。這類作圖主要考查了角平分線的性質定理和尺規作圖，勾股定理、菱形

判定等知識。

2.由作垂直平分線過程求解。這類作圖主要考查了垂直平分線的作法和性質，等腰三角形的性質和

三角形內角和定理，掌根據垂直平分線的性質等。

考點2.無刻度直尺作圖

1.網格中有一線的無刻度作圖。這類作圖主要考查作圖-對稱變換，等腰三角形的性質，勾股定理等

知識，解題的關鍵是理解題意，學會利用數形結合的思想解決問題。

2.網格中有一三角形的無刻度作圖。這類作圖主要考查格點作圖，平行四邊形的判定及性質，勾

股定理，全等三角形、相似三角形的判定及性質，熟練掌握相關圖形的性質是解決問題的關鍵。

3.網格中有四邊形的無刻度作圖。這類作圖主要考查了復雜作圖、位似圖形、勾股定理、平行四邊

形的性質等知識，熟練掌握尺規作圖的常見作法是解題關鍵。

4.特殊圖形中的無刻度作圖。這類作圖主要考查了作圖—復雜作圖，解決此類題目的關鍵是熟悉基

本幾何圖形的性質，結合幾何圖形的基本性質把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作，也考查了全等

三角形的判定與性質和線段垂直平分線的性質等。

5.平行四邊形中的無刻度作圖。這類作圖主要考查作圖-復雜作圖、平行四邊形的判定與性質，熟

練掌握平行四邊形的判定與性質是解答本題的關。

6.矩形、菱形、正方形中的無刻度作圖。這類作圖主要考查了復雜作圖，掌握特殊平行四邊形的性

質是解題的關鍵。

【提示】幾何作圖題分尺規作圖和無刻度作圖，是全國中考的熱點內容，更是全國中考的必考內容。

每年都有一些考生因為知識殘缺、基礎不牢、技能不熟、答欠規范等原因導致失分。

1．從考點頻率看，尺規作圖是幾何作圖的基礎，也是高頻考點、必考點，所以必須熟練尺規作圖，

而無刻度作圖是近幾年的新考法，有幾個省市著重考查此類題型。

2．從題型角度看，以解答題形式出現的情況成為常態，分值8分左右。

考點1.基本尺規作圖及相應判斷

【例題1】（2024深圳）在如圖的三個圖形中，根據尺規作圖的痕跡，能判斷射線AD平分BAC

的是（）

A.B.C.D.只有

【答①案②】B①③②③①

【解析】本題考查了尺規作圖，全等三角形的判定與性質，解決問題的關鍵是理解作法、掌握角平分

線的定義．利用基本作圖對三個圖形的作法進行判斷即可．在圖①中，利用基本作圖可判斷AD平分

BAC；在圖③中，利用作法得AEAF，AMAN，可證明AFM≌AEN，有

AMDAND，可得MENF，進一步證明△MDE≌△NDF，得DMDN，繼而可證明

△ADM≌△ADN，得MADNAD，得到AD是BAC的平分線；在圖②中，利用基本作

圖得到D點為BC的中點，則AD為BC邊上的中線．

【詳解】在圖①中，利用基本作圖可判斷AD平分BAC；

在圖③中，利用作法得AEAF，AMAN，

在△AFM和△AEN中，

AEAF

BACBAC，

AMAN

∴AFM≌AENSAS，

∴AMDAND，

AMAEANAF

MENF

在MDE和NDF中

AMDAND

MDENDF，

MENF

∴MDE≌NDFAAS，

∴DMDN，

∵ADAD,AMAN，

∴ADM≌ADNSSS，

∴MADNAD，

∴AD是BAC的平分線；

在圖②中，利用基本作圖得到D點為BC的中點，則AD為BC邊上的中線．

則①③可得出射線AD平分BAC．故選：B．

【變式練1】（2024長春一模）如圖，在ABC中，根據尺規作圖痕跡，下列說法不一定正確的

是（）

1

A.AFBFB.AEAC

2

C.DBFDFB90D.BAFEBC

【答案】B

【解析】根據尺規作圖痕跡，可得DF垂直平分AB，BE是ABC的角平分線，根據垂直平分線的

性質和角平分線的定義，直角三角形兩銳角互余，等邊對等角的性質進行判斷即可．

【詳解】根據尺規作圖痕跡，可得DF垂直平分AB，BE是ABC的角平分線，

AFBF,BDF90,ABFCBE，

ABFBAF,DBFDFB90，

BAFEBC，

綜上，正確的是A、C、D選項，故選：B．

【點睛】本題考查了垂直平分線和角平分線的作圖，垂直平分線的性質，角平分線的定義，直角三角

形兩銳角互余，等邊對等角的性質，熟練掌握知識點是解題的關鍵．

【變式練2】（2024江蘇連云港一模）如圖，在ABCD中，ABC150．利用尺規在BC、BA

1

上分別截取BE、BF，使BEBF；分別以E、F為圓心，大于EF的長為半徑作弧，兩弧在

2

CBA內交于點G；作射線BG交DC于點H．若AD31，則BH的長為_________．

【答案】2

【解析】如圖所示，過點H作HM⊥BC于M，由作圖方法可知，BH平分∠ABC，即可證明∠CBH=∠CHB，

得到CHBC31，從而求出HM，CM的長，進而求出BM的長，即可利用勾股定理求出BH

的長．

【詳解】如圖所示，過點H作HM⊥BC于M，

由作圖方法可知，BH平分∠ABC，

∴∠ABH=∠CBH，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴BCAD31，AB∥CD，

∴∠CHB=∠ABH，∠C=180°-∠ABC=30°，

∴∠CBH=∠CHB，

∴CHBC31，

131

∴HMCH，

22

33

∴CMCH2CM2，

2

31

∴BMBCCM，

2

∴BHHM2BM22，

故答案為：2．

【點睛】本題主要考查了角平分線的尺規作圖，平行四邊形的性質，含30度角的直角三角形的性質，

勾股定理，等腰三角形的性質與判定等等，正確求出CH的長是解題的關鍵．

【變式練3】（2024山東煙臺一模）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，∠ABC＝45°．

（1）請用尺規作出⊙O的切線AD（保留作圖痕跡，不寫作法）；

（2）在（1）的條件下，若AB與切線AD所夾的銳角為75°，⊙O的半徑為2，求BC的長．

【答案】（1）見解析（2）23

【解析】【分析】（1）連接OA,過點A作AD⊥AO即可；

（2）連接OB，OC．先證明∠ACB＝75°，再利用三角形內角和定理求出∠CAB，推出∠BOC＝120°，

求出CH可得結論．

【詳解】(1)解：如圖，切線AD即為所求；

(2)如圖：連接OB，OC．

∵AD是切線，

∴OA⊥AD，

∴∠OAD＝90°，

∵∠DAB＝75°，

∴∠OAB＝15°，

∵OA＝OB，

∴∠OAB＝∠OBA＝15°，

∴∠BOA＝150°，

1

∴∠BCA＝∠AOB＝75°，

2

∵∠ABC＝45°，

∴∠BAC＝180°﹣45°﹣75°＝60°，

∴∠BOC＝2∠BAC＝120°，

∵OB＝OC＝2，

∴∠BCO＝∠CBO＝30°，

∵OH⊥BC，

∴CH＝BH＝OC?cos30°＝3，

∴BC＝23．

【點睛】本題主要考查了作圓的、三角形的外接圓、切線的判定和性質、解直角三角形等知識點，

解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題．

考點2.無刻度直尺作圖

【例題2】（2024武漢市）如圖是由小正方形組成的34網格，每個小正方形的頂點叫做格點．ABC

三個頂點都是格點．僅用無刻度的直尺在給定網格中完成四個畫圖任務，每個任務的畫線不得超過三

條．

（1）在圖（1）中，畫射線AD交BC于點D，使AD平分ABC的面積；

（2）在（1）的基礎上，在射線AD上畫點E，使ECBACB；

（3）在圖（2）中，先畫點F，使點A繞點F順時針旋轉90到點C，再畫射線AF交BC于點G；

（4）在（3）的基礎上，將線段AB繞點G旋轉180，畫對應線段MN（點A與點M對應，點B

與點N對應）．

【答案】（1）作圖見解析

（2）作圖見解析（3）作圖見解析

（4）作圖見解析

【解析】【分析】本題考查了網格作圖．熟練掌握全等三角形性質，平行四邊形性質，等腰三角形性

質，等腰直角三角形性質，是解題的關鍵．

（1）作矩形HBIC，對角線HI交BC于點D，做射線AD，即可；

（2）作OP∥BC,射線AROP于點Q，連接CQ交AD于點E，即可；

（3）在AC下方取點F，使AFCF5，△ACF是等腰直角三角形，連接CF，AF，AF

交BC于點G，即可；

（4）作OP∥BC，交AG于點M，作ST∥AG，交BC于點N，連接MN，即可．

【小問1詳解】

如圖，作線段HI，使四邊形HBIC是矩形，HI交BC于點D，做射線AD，點D即為所求作；

【小問2詳解】

如圖，作OP∥BC,作AROP于點Q，連接CQ交AD于點E，點E即為作求作；

【小問3詳解】

如圖，在AC下方取點F，使AFCF5，連接CF，連接并延長AF，AF交BC于點G，

點F，G即為所求作；

【小問4詳解】

如圖，作OP∥BC，交射線AG于點M，作ST∥AG，交BC于點N，連接MN，線段MN即為

所求作．

【變式練1】（2024湖南長沙一模）如圖是76的正方形網格，已知格點△ABC（頂點在小正方形頂

點處的三角形稱為格點三角形），請僅用無刻度直尺完成下列作圖（要求保留作圖痕跡，不要求寫作

法）．

1

(1)圖1中，在AB邊上找一點D，作線段CD，使得SS；

ACD2ABC

3

(2)圖2中，在AB邊上找一點E，作線段CE，使得SS．

ACE5ABC

【答案】(1)見解析(2)見解析

【分析】本題考查作圖—應用與設計作圖、三角形的面積、相似三角形的判定與性質，解題的關鍵是

理解題意，靈活運用所學知識解決問題．

（1）取線段AB的中點D，連接CD，則點D即為所求．

（2）取格點M，N，使AM:BN3:2，且AM∥BN，連接MN，交AB于點E，連接CE，則點E即

為所求．

【詳解】（1）

解：如圖1，取線段AB的中點D，連接CD，

1

SACDSABC

則得2，

則點D即為所求；

（2）

解：如圖2，取格點M，N，使AM:BN3:2，且AM∥BN，

連接MN，交AB于點E，連接CE，

則△AME∽△BNE，

AEAM3

則BEBN2，

SACE:SBCE3:2，

3

SS

ACE5ABC，

則點E即為所求．

【變式練2】（2024廣州一模）如圖是由小正方形組成的網格，四邊形ABCD的頂點都在格點上，僅

用無刻度的直尺在所給定的網格中按要求完成下列畫圖，畫圖過程用虛線表示，畫圖結果用實線表示．

1

(1)在圖1中，先以點A為位似中心，將四邊形ABCD縮小為原來的2，畫出縮小后的四邊形AB1C1D1，

再在AB上畫點E，使得DE平分四邊形ABCD的周長；

(2)在圖2中，先在AB上畫點F，使得CFBC，再分別在AD，AB上畫點M，N，使得四邊形BCMN

是平行四邊形．

【答案】(1)見詳解(2)見詳解

、、

【分析】（1）取AB、AC、AD的中點B1C1D1，然后順次連接即可；根據勾股定理可得AB5，

ADCD22，結合圖形可知BC3，故ABBC8，取格點P，使得PBAB5，則有

BAPBPA，連接AP，再取點Q，連接CQ，此時可有ACPB4，AC∥PB，即四邊形APQC

為平行四邊形，則有CQ∥AP，易得BQEBPA，BEQBAP，所以BEQBQE，易得

BEBQ1，連接DE，則DE平分四邊形ABCD的周長；

（2）取格點G，H，J，使得CG3，GH4，HJ3，連接GJ交AB于F，易證明ABC≌GJH，

所以HGJCAB，結合BCAB90，可得GB90，即BGF為直角三角形，因為

CGBC3，根據“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”，可得CFBC；在網格中取點K，

連接CK交AD于點M，則CK∥AB，過點M作MN∥BC，交AB為點N，即可獲得答案．

【詳解】（1）解：如下圖，四邊形AB1C1D1，線段DE即為所求；

（2）如下圖，CF，四邊形BCMN即為所求．

【變式練3】（2024深圳一模）如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，E為AD的中點，僅用無刻度的直

尺作圖：

(1)在BC上取點M，使四邊形ABME為平行四邊形；

(2)在CD的延長線上取一點F，使四邊形BDFA為平行四邊形．

【答案】(1)見詳解(2)見詳解

【分析】（1）連接AC，交BD于點O，連接EO并延長交BC于點M，則點M即為所求，因為四邊形

ABCD為平行四邊形，則AE∥BM，又因為E為AD的中點，O為BD的中點，所以OEBA，即

EM∥AB，所以四邊形ABME為平行四邊形；

（2）連接BE并延長交CD的延長線于點F，連接AF，則點F即為所求，因為四邊形ABCD為平行四

邊形，則FC∥AB，所以ABEDFE，又因為E為AD的中點，所以AEDE，且AEBDEF，

△≌△

所以ABEDFEAAS，即ABDF，所以四邊形BDFA為平行四邊形．

【詳解】（1）解：點M即為所求：

（2）解：如圖，點F即為所求：

考點1.基本尺規作圖及相應判斷

1.（2024河北省）觀察圖中尺規作圖的痕跡，可得線段BD一定是ABC的（）

A.角平分線B.高線C.中位線D.中線

【答案】B

【解析】本題考查的是三角形的高的定義，作線段的垂線，根據作圖痕跡可得BDAC，從而可得

答案．

由作圖可得：BDAC，

∴線段BD一定是ABC的高線；故選B

2.（2024四川成都市）如圖，在YABCD中，按以下步驟作圖：①以點B為圓心，以適當長為半徑

1

作弧，分別交BA，BC于點M，N；②分別以M，N為圓心，以大于MN的長為半徑作弧，

2

兩弧在ABC內交于點O；③作射線BO，交AD于點E，交CD延長線于點F．若CD3，

DE2，下列結論錯誤的是（）

A.ABECBEB.BC5

BE5

C.DEDFD.

EF3

【答案】D

【解析】本題考查角平分線的尺規作圖、平行四邊形的性質、等腰三角形的判定以及相似性質與判定

的綜合．先由作圖得到BF為ABC的角平分，利用平行線證明AEBABE，從而得到

AEABCD3，再利用平行四邊形的性質得到BCADAEED325，再證明

BE3

△AEB∽△DEF，分別求出，DF2，則各選項可以判定．

EF2

【詳解】由作圖可知，BF為ABC的角平分，

∴ABECBE，故A正確；

∵四邊形ABCD為平行四邊形，

∴ADBC,ABCD,ADBC，

∵AD∥BC

∴AEBCBE，

∴AEBABE，

∴AEABCD3，

∴BCADAEED325，故B正確；

∵ABCD，

∴ABEF，

∵AEBDEF，

∴△AEB∽△DEF，

BEABAE

∴，

EFDFED

BE33

∴，

EFDF2

BE3

∴，DF2，故D錯誤；

EF2

∵DE2，

∴DEDF，故C正確，故選：D．

3.（2024武漢市）小美同學按如下步驟作四邊形ABCD：①畫MAN；②以點A為圓心，1個單

位長為半徑畫弧，分別交AM，AN于點B，D；③分別以點B，D為圓心，1個單位長為半徑畫弧，

兩弧交于點C；④連接BC，CD，BD．若A44，則CBD的大小是（）

A.64B.66C.68D.70

【答案】C

【解析】本題考查了基本作圖，菱形的判定和性質，根據作圖可得四邊形ABCD是菱形，進而根據

菱形的性質，即可求解．

【詳解】解：作圖可得ABADBCDC

∴四邊形ABCD是菱形，

∴ADBC,ABDCBD

∵A44，

∴MBCA44，

11

∴CBD180MBC1804468，故選：C．

22

4.（2024湖南省）如圖，在銳角三角形ABC中，AD是邊BC上的高，在BA，BC上分別截取線

1

段BE，BF，使BEBF；分別以點E，F為圓心，大于EF的長為半徑畫弧，在ABC內，

2

兩弧交于點P，作射線BP，交AD于點M，過點M作MNAB于點N．若MN2，AD4MD，

則AM________．

【答案】6

【解析】本題考查了尺規作圖，角平分線的性質等知識，根據作圖可知BP平分ABC，根據角平

分線的性質可知DMMN2，結合AD4MD求出AD，AM．

【詳解】作圖可知BP平分ABC，

∵AD是邊BC上的高，MNAB，MN2，

∴MDMN2，

∵AD4MD，

∴AD8，

∴AMADMD6，故答案為：6．

5.（2024黑龍江齊齊哈爾）如圖，在平面直角坐標系中，以點O為圓心，適當長為半徑畫弧，交x

1

軸正半軸于點M，交y軸正半軸于點N，再分別以點M，N為圓心，大于MN的長為半徑畫弧，兩

2

弧在第一象限交于點H，畫射線OH，若H2a1,a1，則a______．

【答案】2

【解析】此題主要考查了角平分線的尺規作圖和性質，坐標與圖形的性質，根據作圖方法可得點H

在第一象限的角平分線上，根據角平分線的性質和第一象限內點的坐標符號可得答案．

【詳解】根據作圖方法可得點H在第一象限角平分線上；點H橫縱坐標相等且為正數；

2a1a1，

解得：a2．

6.（2024貴州省）如圖，在ABC中，以點A為圓心，線段AB的長為半徑畫弧，交BC于點D，

連接AD．若AB5，則AD的長為______．

【答案】5

【解析】本題考查了尺規作圖，根據作一條線段等于已知線段的作法可得出ADAB，即可求解．

由作圖可知∶ADAB，

∵AB5，

∴AD5．

7.（2024河南省）如圖，在Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的中線，BE∥DC交AC的延長線

于點E．

（1）請用無刻度的直尺和圓規作ECM，使ECMA，且射線CM交BE于點F（保留作圖

痕跡，不寫作法）．

（2）證明（1）中得到的四邊形CDBF是菱形

【答案】（1）見解析（2）見解析

【解析】【分析】本題考查了尺規作圖，菱形的判定，直角三角形斜邊中線的性質等知識，解題的關

鍵是：

（1）根據作一個角等于已知角的方法作圖即可；

（2）先證明四邊形CDBF是平行四邊形，然后利用直角三角形斜邊中線的性質得出

1

CDBDAB，最后根據菱形的判定即可得證．

2

【小問1詳解】

解：如圖，

；

【小問2詳解】

證明：∵ECMA，

∴CM∥AB，

∵BE∥DC，

∴四邊形CDBF是平行四邊形，

∵在Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的中線，

1

∴CDBDAB，

2

∴平行四邊形CDBF是菱形．

8.（2024四川達州）如圖，線段AC、BD相交于點O．且AB∥CD，AEBD于點E．

（1）尺規作圖：過點C作BD的垂線，垂足為點F、連接AF、CE；（不寫作法，保留作圖痕跡，

并標明相應的字母）

（2）若ABCD，請判斷四邊形AECF的形狀，并說明理由．（若前問未完成，可畫草圖完成此

問）

【答案】（1）見解析（2）四邊形AECF是平行四邊形，理由見解析

【解析】【分析】本題主要考查了平行四邊形的判定，垂線的尺規作圖，全等三角形的性質與判定：

（1）先根據垂線的尺規作圖方法作出點F，再連接AF、CE即可；

（2）先證明ABO≌CDOASA，得到OAOC，再證明AE∥CF，∠AEO∠CFO90，

進而證明AOE≌COFAAS，得到AECF，即可證明四邊形AECF是平行四邊形．

【小問1詳解】

解：如圖所示，即為所求；

【小問2詳解】

解：四邊形AECF是平行四邊形，理由如下：

∵AB∥CD，

∴∠B∠D，∠OAB∠OCD，

又∵ABCD，

∴ABO≌CDOASA，

∴OAOC，

∵AEBD，CFBD，

∴AE∥CF，∠AEO∠CFO90，

又∵AOECOF，

∴AOE≌COFAAS，

∴AECF，

∴四邊形AECF是平行四邊形．

9.（2024廣西）如圖，在ABC中，A45，ACBC．

（1）尺規作圖：作線段AB的垂直平分線l，分別交AB，AC于點D，E：（要求：保留作圖痕跡，

不寫作法，標明字母）

（2）在（1）所作的圖中，連接BE，若AB8，求BE的長．

【答案】（1）見詳解（2）42

1

【解析】（1）分別以A、B為圓心，大于AB為半徑畫弧，分別交AB，AC于點D，E，作直線DE，

2

則直線l即為所求．

（2）連接BE，由線段垂直平分線的性質可得出BEAE，由等邊對等角可得出EBAA45，

由三角形內角和得出BEA90，則得出ABE為等腰直角三角形，再根據正弦的定義即可求出

BE的長．

【小問1詳解】

解：如下直線l即為所求．

【小問2詳解】

連接BE如下圖：

∵DE為線段AB的垂直平分線，

∴BEAE，

∴EBAA45，

∴BEA90，

∴ABE為等腰直角三角形，

BE2

∴sinA，

AB2

22

∴BEAB842

22

【點睛】本題主要考查了作線段的垂線平分線，線段的垂線平分線的性質，等腰三角形的性質，三角

形內角和定理以及正弦的定義．掌握線段的垂直平分線的性質是解題的關鍵．

10.（2024廣州）如圖，Rt△ABC中，ABC90．

（1）尺規作圖：作AC邊上的中線BO（保留作圖痕跡，不寫作法）；

（2）在（1）所作的圖中，將中線BO繞點O逆時針旋轉180得到DO，連接AD，CD．求證：

四邊形ABCD是矩形．

【答案】（1）作圖見解析（2）證明見解析

【解析】（1）解：如圖，線段BO即為所求；

（2）證明：如圖，

∵由作圖可得：AOCO，由旋轉可得：BODO，

∴四邊形ABCD為平行四邊形，

∵ABC90，

∴四邊形ABCD為矩形．

11.（2024福建省）如圖，已知直線l1l2．

（1）在l1,l2所在的平面內求作直線l，使得ll1l2，且l與l1間的距離恰好等于l與l2間的距離；

（要求：尺規作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）

（2）在（1）的條件下，若l1與l2間的距離為2，點A,B,C分別在l,l1,l2上，且ABC為等腰直角三

角形，求ABC的面積．

5

【答案】（1）見解析；（2）ABC的面積為1或．

2

【解析】本題主要考查基本作圖，平行線的性質，全等三角形的判定，勾股定理以及分類討論思想：

（1）先作出與l2的垂線，再作出夾在l1,l2間垂線段的垂直平分線即可；

（2）分BAC90,ABAC；ABC90,BABC；ACB90,CACB三種情況，結

合三角形面積公式求解即可

【小問1詳解】如圖，

直線l就是所求作的直線．

【小問2詳解】

①當BAC90,ABAC時，

ll1l2，直線l1與l2間的距離為2，且l與l1間的距離等于l與l2間的距離，根據圖形的對稱性可

知：BC2，

ABAC2，

1

S△ABAC1．

ABC2

②當ABC90,BABC時，

分別過點A,C作直線l1的垂線，垂足為M,N，

AMBBNC90．

ll1l2，直線l1與l2間的距離為2，且l與l1間的距離等于l與l2間的距離，

CN2,AM1．

MABABM90，NBCABM90，

MABNBC，△AMB≌△BNC，

BMCN2．

在RtABM中，由勾股定理得AB2AM2BM2，

AB5．

15

S△ABBC．

ABC22

5

③當ACB90,CACB時，同理可得，S．

ABC2

5

綜上所述，ABC的面積為1或．

2

12.（2024甘肅臨夏）根據背景素材，探索解決問題．

平面直角坐標系中畫一個邊長為2的正六邊形ABCDEF

背

六等分圓原理，也稱為圓周六等分問題，是一個古老而經典的幾何問題，

景

旨在解決如何使用直尺和圓規將一個圓分成六等份的問題．這個問題由

素

歐幾里得在其名著《幾何原本》中詳細闡述．

材

已

知

點C與坐標原點O重合，點D在x軸的正半軸上且坐標為2,0

條

件

操①分別以點C，D為圓心，CD長為半徑作弧，兩弧交于點P；

作②以點P為圓心，PC長為半徑作圓；

步③以CD的長為半徑，在P上順次截取DEEFFAAB；

驟

④順次連接DE，EF，FA，AB，BC，得到正六邊形ABCDEF．

問題解決

任根據以上信息，請你用不帶刻度的直尺和圓規，在圖中完成這道作圖題（保留作圖痕跡，不寫

務作法）

一

任

務將正六邊形ABCDEF繞點D順時針旋轉60，直接寫出此時點E所在位置的坐標：______．

二

【答案】任務一：見解析；任務二：4,0

【解析】本題考查尺規作圖，弧、弦、圓心角的關系，旋轉的性質．利用數形結合的思想是解題關鍵．

任務一：根據操作步驟作出P，再根據弧、弦、圓心角的關系，分別作出DEEFAFABCD，

即得出DEEFFAAB，最后順次連接即可；

任務二：由旋轉的性質可知DEOD2，即得出OEDEOD4，即此時點E所在位置的

坐標為4,0．

【詳解】解：任務一：如圖，正六邊形ABCDEF即為所作；

任務二：如圖，

由旋轉可知DEOD2，

∴OEDEOD4，

∴E4,0．

13.（2024甘肅威武）馬家窯文化以發達的彩陶著稱于世，其陶質堅固，器表細膩，紅、黑、白彩共

用，彩繪線條流暢細致，圖案繁縟多變，形成了絢麗典雅的藝術風格，創造了一大批令人驚嘆的彩陶

藝術精品，體現了古代勞動人民的智慧．如圖1的彩陶紋樣呈現的是三等分圓周，古人用等邊三角形

三點定位的方法確定圓周的三等分點，這種方法和下面三等分圓周的方法相通．如圖2，已知O和

圓上一點M．作法如下：

①以點M為圓心，OM長為半徑，作弧交O于A，B兩點；

②延長MO交O于點C；

即點A，B，C將O的圓周三等分．

（1）請你依據以上步驟，用不帶刻度的直尺和圓規在圖2中將O的圓周三等分（保留作圖痕跡，

不寫作法）；

（2）根據（1）畫出的圖形，連接AB，AC，BC，若O的半徑為2cm，則ABC的周長為______cm．

【答案】（1）見解析（2）63

【解析】【分析】（1）根據尺規作圖的基本步驟解答即可；

（2）連接AM，設AB,OM的交點為D，得到ADOM，根據O的半徑為2cm，MC是直徑，

ABC是等邊三角形，計算即可．

本題考查了尺規作圖，圓的性質，等邊三角形的性質，熟練掌握尺規作圖的方法和圓的性質是解題的

關鍵．

【小問1詳解】

根據基本作圖的步驟，作圖如下：

則點A，B，C是求作的O的圓周三等分點．

【小問2詳解】

連接AM，設AB,OM的交點為D，

根據垂徑定理得到ADOM，

∵O的半徑為2cm，MC是直徑，ABC是等邊三角形，

∴CAM90，CMAB60,MC4cm，

∴ACMCsinCMAsin60423cm，

∴ABC的周長為ABBCAC63cm，

故答案為：63．

考點2.無刻度直尺作圖

1.（2024天津市）如圖，在每個小正方形的邊長為1的網格中，點A,F,G均在格點上．

（1）線段AG的長為______；

（2）點E在水平網格線上，過點A,E,F作圓，經過圓與水平網格線的交點作切線，分別與AE,AF

的延長線相交于點B,C,△ABC中，點M在邊BC上，點N在邊AB上，點P在邊AC上．請用無．

刻．度．的直尺，在如圖所示的網格中，畫出點M,N,P，使△MNP的周長最短，并簡要說明點M,N,P

的位置是如何找到的（不要求證明）______．

【答案】①.2②.圖見解析，說明見解析

【解析】【分析】此題考查了勾股定理、切線的性質等知識，根據題意正確作圖是解題的關鍵．

（1）利用勾股定理即可求解；

（2）根據圓的相關性質和網格特點進行作圖即可．

【詳解】（1）由勾股定理可知，AG12122，

故答案為：2

（2）如圖，根據題意，切點為M；連接ME并延長，與網格線相交于點M1；取圓與網格線的交點

D和格點H，連接DH并延長，與網格線相交于點M2；連接M1M2，分別與AB,AC相交于點N,P，

則點M,N,P即為所求．

2.（2024吉林省）圖①、圖②均是44的正方形網格，每個小正方形的頂點稱為格點．點A，B，C，

D，E，O均在格點上．圖①中已畫出四邊形ABCD，圖②中已畫出以OE為半徑的O，只用無刻

度的直尺，在給定的網格中按要求畫圖．

（1）在圖①中，面出四邊形ABCD的一條對稱軸．

（2）在圖②中，畫出經過點E的O的切線．

【答案】（1）見解析（2）見解析

【解析】【分析】本題主要考查了正方形的性質與判定，矩形的性質與判定，切線的判定，畫對稱軸

等等：

（1）如圖所示，取格點E、F，作直線EF，則直線EF即為所求；

（2）如圖所示，取格點G、H，作直線GH，則直線GH即為所求．

【小問1詳解】

解：如圖所示，取格點E、F，作直線EF，則直線EF即為所求；

易證明四邊形ABCD是矩形，且E、F分別為AB，CD的中點；

【小問2詳解】

解：如圖所示，取格點G、H，作直線GH，則直線GH即為所求；

易證明四邊形OGTH是正方形，點E為正方形OGTH的中心，則OEGH．

3.（2024江西省）如圖，AC為菱形ABCD的對角線，請僅用無．刻．度．的．直．尺．按要求完成以下作圖（保

留作圖痕跡）

（1）如圖1，過點B作AC的垂線；

（2）如圖2，點E為線段AB的中點，過點B作AC的平行線．

【答案】（1）作圖見解析；（2）作圖見解析．

【解析】【分析】（1）作直線BD，由菱形的性質可得BDAC，即BD為AC的垂線；

（2）連接CE并延長，與DA的延長線相交于點M，作直線BM，因為點E為線段AB的中點，

所以AEBE，因為AM∥BC，所以EAMEBC，EMAECB，故可得

△AEM≌△BEC，得到MECE，所以四邊形ACBM為平行四邊形，即BM∥AC；

本題考查了菱形的性質，平行四邊形的判定，掌握菱形的性質及平行四邊形的判定方法是解題的關鍵．

【小問1詳解】

解：如圖，BD即為AC所求；

【小問2詳解】

解：如圖，BM即為所求．

考點1.基本尺規作圖及相應判斷

1.如圖，在ABC中，AB=AC，∠A=36°，由圖中的尺規作圖得到的射線與AC交于點D，則以下推斷

錯誤的是（△）

1

A.BDBCB.ADBDC.ADB108D.CDAD

2

【答案】D

【解析】根據作圖過程可得BD平分∠ABC，然后根據等腰三角形的性質即可解決問題．

∵AB=AC，∠A=36°，

1

∴∠ABC=∠ACB=（180°-36°）=72°，

2

根據作圖過程可知：BD平分∠ABC，

1

∴∠ABD=∠DBC=∠ABC=36°，

2

∴∠BDC=180°-36°-72°=72°，∠ADB=∠DBC+∠ACB=36°+72°=108°，故選項C成立；

∵∠BDC=∠ACB=72°，

∴BD=BC，故選項A成立；

∵∠ABD=∠A=36°，

∴AD=BD，故選項B成立；

1

沒有條件能證明CD=AD，故選項D不成立；故選：D．

2

【點睛】考查了作圖-基本作圖，等腰三角形的判定和性質，解決本題的關鍵是掌握基本作圖方法．

2．（2021湖北黃石）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，按以下步驟作圖：①以B為圓心，任

意長為半徑作弧，分別交BA、BC于M、N兩點；②分別以M、N為圓心，以大于MN的長為半徑

作弧，兩弧相交于點P；③作射線BP，交邊AC于D點．若AB＝10，BC＝6，則線段CD的長為（）

A．3B．C．D．

【答案】A

【解析】利用基本作圖得BD平分∠ABC，過D點作DE⊥AB于E，如圖，根據角平分線的性質得到

則DE＝DC，再利用勾股定理計算出AC＝8，然后利用面積法得到?DE×10+?CD×6＝×6×8，

最后解方程即可．

解：由作法得BD平分∠ABC，

過D點作DE⊥AB于E，如圖，則DE＝DC，

在Rt△ABC中，AC＝＝＝8，

∵S△ABD+S△BCD＝S△ABC，

∴?DE×10+?CD×6＝×6×8，

即5CD+3CD＝24，

∴CD＝3．

故選：A．

3.如圖，已知直線AB和AB上的一點C，過點C作直線AB的垂線，步驟如下：

第一步：以點C為圓心，以任意長為半徑作弧，交直線AB于點D和點E；

第二步：分別以點D和點E為圓心，以a為半徑作弧，兩弧交于點F；

第三步：作直線CF，直線CF即為所求．

下列關于a的說法正確的是（）

1111

A.a≥DEB.a≤DEC.aDED.aDE

2222

【答案】C

【解析】根據過直線外一點作已知直線的垂線的步驟，結合三角形三邊關系判斷即可．

1

由作圖可知，分別以點D和點E為圓心，以a為半徑作弧，兩弧交于點F，此時aDE．

2

【點睛】本題考查作圖基本作圖，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．

4．如圖，在△ABC中，以A為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交AB、AC于點M、N；再分別以M、

N為圓心，大于MN的長為半徑畫弧，兩弧交于點P；連結AP并延長交BC于點D．則下列說法正

確的是（）

A．AD+BD＜ABB．AD一定經過△ABC的重心

C．∠BAD＝∠CADD．AD一定經過△ABC的外心

【答案】C

【解析】根據題意判斷AD是∠BAC的角平分線，可知C正確，根據重心和外心定義可知B、D選項

錯誤，根據三角形任意兩邊之和大于第三邊可知A錯誤．

由題可知AD是∠BAC的角平分線，

A、在△ABD中，AD+BD＞AB，故選項A錯誤，不符合題意；

B、△ABC的重心是三條中線的交點，故選項B錯誤，不符合題意；

C、∵AD是∠BAC的角平分線，∴∠BAD＝∠CAD，故選項C正確，符合題意；

D、△ABC的外心是三邊中垂線的交點，故選項D錯誤，不符合題意．

5．如圖，等腰△AOB中，頂角∠AOB＝40°，用尺規按①到④的步驟操作：

①以O為圓心，OA為半徑畫圓；

②在O上任取一點P（不與點A，B重合），連接AP；

③作⊙AB的垂直平分線與O交于M，N；

④作AP的垂直平分線與⊙O交于E，F．

結論Ⅰ：順次連接M，E，⊙N，F四點必能得到矩形；

結論Ⅱ：O上只有唯一的點P，使得S扇形FOM＝S扇形AOB．

對于結論⊙Ⅰ和Ⅱ，下列判斷正確的是（）

A．Ⅰ和Ⅱ都對B．Ⅰ和Ⅱ都不對C．Ⅰ不對Ⅱ對D．Ⅰ對Ⅱ不對

【答案】D

【解析】如圖，連接EM，EN，MF．NF．根據矩形的判定證明四邊形MENF是矩形，再說明∠MOF

≠∠AOB，可知（Ⅱ）錯誤．

解：如圖，連接EM，EN，MF．NF．

∵OM＝ON，OE＝OF，

∴四邊形MENF是平行四邊形，

∵EF＝MN，

∴四邊形MENF是矩形，故（Ⅰ）正確，

觀察圖象可知∠MOF≠∠AOB，

∴S扇形FOM≠S扇形AOB，故（Ⅱ）錯誤，故選：D．

1

6.如圖，線段AB是半圓O的直徑。分別以點A和點O為圓心，大于AO的長為半徑作弧，兩弧交

2

于M，N兩點，作直線MN，交半圓O于點C，交AB于點E，連接AC，BC，若AE1，則BC

的長是（）

AB.C.D.

.234632

【答案】A

【解析】【分析】根據作圖知CE垂直平分AC，即可得ACOC，AEOE1，根據圓的半徑

得AC2，AB4，根據圓周角的推論得ACB90，根據勾股定理即可得

BCAB2AC223．

【詳解】根據作圖知CE垂直平分AC，

∴ACOC，AEOE1，

∴OCOBAOAEEO2，

∴ACOCAOAEEO2，

即ABAOBO4，

∵線段AB是半圓O的直徑，∴ACB90，

在RtACB中，根據勾股定理得，

BCAB2AC2422223，故選A．

【點睛】本題考查了圓，勾股定理，圓周角推論，解題的關鍵是掌握這些知識點．

7．已知線段AB，按如下步驟作圖：①作射線AC，使AC⊥AB；③以點A為圓心，AB長為半徑作

弧；④過點E作EP⊥AB于點P，則AP：AB＝（）

A．1：B．1：2C．1：D．1：

【答案】D

【解析】直接利用基本作圖方法得出AP＝PE,再結合等腰直角三角形的性質表示出AE,AP的長，即

可得出答案．

∵AC⊥AB，∴∠CAB＝90°,

∵AD平分∠BAC,∴∠EAB＝×90°＝45°,

∵EP⊥AB,∴∠APE＝90°,

∴∠EAP＝∠AEP＝45°,∴AP＝PE,∴設AP＝PE＝x,

故AE＝AB＝x,

∴AP：AB＝x:x＝1:．

8．已知：?AOCD的頂點O（0，0），點C在x軸的正半軸上，按以下步驟作圖：

①以點O為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交OA于點M，交OC于點N．

②分別以點M，N為圓心，大于MN的長為半徑畫弧，兩弧在∠AOC內相交于點E．

③畫射線OE，交AD于點F（2，3），則點A的坐標為（）

A．（，3）B．（3﹣，3）C．（﹣，3）D．（2﹣，3）

【答案】A

【解析】利用基本作圖得到∠AOF＝∠COF，再根據平行四邊形的性質得到AD∥OC，接著證明∠AOF

＝∠AFO得到