2025年中考數學總復習《二次函數壓軸題（面積問題）》專項測試卷（附參考答案）

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一、解答題

1.如圖，拋物線y=a（x+4）（x—2乂awO）與x軸交于A,8兩點（點A在點8的左邊），與

y軸交于點C（0,4）.

⑴直接寫出A,B兩點的坐標，并求出拋物線的表達式；

⑵如圖，點E是線段AB之間的一個動點，過點E作x軸的垂線分別交拋物線于點直線

AC于點?當。，E,尸三個點中的一個點平分另外兩個點構成的線段時，求△ZMC的面

積；

（3）若點尸是拋物線上不與頂點重合的一個動點，點M是拋物線對稱軸上的一個點，點N在

坐標平面內，當四邊形CWPN是矩形且tan/PCM=；時，求點尸的橫坐標.

2.如圖，平面直角坐標系中，己知拋物線丁=62+法+。（。30）與》軸交于4（-1,0）,5（3,0）

兩點，與>軸交于點。（。,2）.

⑴求該拋物線的解析式；

（2）如圖1,點。是第一象限內拋物線上一動點，設點。的橫坐標為“3連接CO,BD,BC,

AC.當機何值時，△BCD的面積最大？最大面積是多少？

(3)如圖2,若點N為拋物線對稱軸上一點，探究拋物線上是否存在點使得以8,C,

N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出所有滿足條件的點M的坐標；若不

存在，請說明理由.

3.已知拋物線>=依2+法+。的對稱軸為直線尤=2,且與x軸交于A、8兩點.與>軸交于

點C.其中A(1,0),C(0,-3).

圖1圖2

(1)求拋物線的解析式；

(2)若點尸在拋物線上運動(點p異于點A).

①如圖1.當AP3C面積與AASC面積相等時.求點P的坐標；

②如圖2.當ZPCB=ZBC4時，求直線CP的解析式.

4.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線>=依2+彳+加(。#))的圖象與x軸交于A、C兩

點，與y軸交于點S其中點8坐標為(0,—4),點C坐標為(2,0).

(1)求此拋物線的函數解析式.

(2)點。是直線A8下方拋物線上一個動點，連接A。、BD,探究是否存在點D,使得AA8D

的面積最大？若存在，請求出點。的坐標；若不存在，請說明理由.

⑶點尸為該拋物線對稱軸上的動點，使得△出8為直角三角形，請求出點尸的坐標.

5.如圖1,拋物線廣加+法-3(awO)與x軸分別交于點A(-1,O)和點3(3,0),與y軸交

于點C,連接AC,8C.

(1)求拋物線的解析式.

⑵如圖2,M為線段下方拋物線上一動點，連接和Q0,線段AM和BC交于

點。.設的面積為5，△ACM的面積為S?,且S=S「S?.當S最大時，求點M的

坐標.

⑶在(2)的條件下，過點M作y軸的平行線交x軸于點N,尸是直線MN上的一點，。是

直線"N右側拋物線上的一點，當VBPQ為等邊三角形時，請直接寫出點。的坐標.

6.如圖1,拋物線丁=必+陵+。與x軸交于A8兩點，且點8的坐標為(5,0),與y軸交

(1)求拋物線和直線BC的解析式.

(2)在拋物線上是否存在點使得是以BC為底邊的等腰三角形？若存在，求出所

有點M的坐標；若不存在，請說明理由.

(3)如圖2,以點B為圓心，畫半徑為2的圓，點尸為《8上的一個動點，連接AC,求△ACP

面積的最大值.

7.在平面直角坐標系中，二次函數>=依2+法+《。彳0)的圖像與無軸的交點為人(-3,0),

8(1,0)兩點，與丁軸交于點C(0,-3),頂點為。，其對稱軸與x軸交于點E.

(1)求二次函數解析式；

(2)連接AC,AD,CD,試判斷ADC的形狀，并說明理由；

⑶點P為第三象限內拋物線上一點，."C的面積記為S,求S的最大值及此時點P的坐標；

(4)在線段AC上，是否存在點尸，使AEF為等腰三角形？若存在，直接寫出點尸的坐標;

若不存在，請說明理由.

8.如圖1,在平面直角坐標系中，矩形(MBC的邊。4在x軸的正半軸上，OC在y軸的正

半軸上，OA.OC的長分別是方程X2-12X+32=0的兩根(Q4>OC),拋物線

圖I圖2圖3

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖2,將△Q4B沿02折疊，使點A落在拋物線上的點。處，求VfiDE的面積；

(3)有一平行于y軸的動直線I,從y軸開始以一個單位長度每秒的速度向右平移，平移到與AB

重合為止.直線/掃過.08D的面積為S(如圖3的陰影部分)，運動時間為t秒，試求S與

r的函數關系式，并寫出相應r的取值范圍.

9.如圖，拋物線y=-x2+bx+c與x軸相交于A,B兩點(點A在點B的左側)，頂點。(1,

4

4)在直線/：y=~x+tl.,動點尸(m,n)在x軸上方的拋物線上.

(備用圖)

(1)求這條拋物線對應的函數表達式；

(2)過點尸作PMLx軸于點M,PNLI于點、N,當1〈根＜3時，求PM+PN的最大值；

⑶設直線AP,8P與拋物線的對稱軸分別相交于點E,F,請探索以A,F,B,G(G是點E

關于無軸的對稱點)為頂點的四邊形面積是否隨著尸點的運動而發生變化，若不變，求出這

個四邊形的面積；若變化，說明理由.

10.二次函數y=依2+%x+4的圖象與x軸交于兩點A、13,與y軸交于點C,且

4(-1,0)、5(4,0).

巾n

圖1圖2圖3

(1)求此二次函數的表達式;

⑵如圖1,點E是第一象限內的拋物線上的動點，過點E作跖〃y軸交直線BC于點尸，

①連接EC、EB,當點E運動到什么位置時，V3EC的面積最大？求V3EC面積的最大值；

②當△CEF是等腰三角形時，求點E坐標；

⑶如圖2,點M在拋物線上，且點M的橫坐標是1,將射線繞點M理町笆旋轉45。交拋

物線于點。，求點。的坐標；

(4)如圖3,點P是拋物線的頂點，拋物線的對稱軸與x軸交于點Q,過點P作PN〃BC交尤

軸于點N,在拋物線的對稱軸上是否存在一點使得NRVP+/ACO=45。，若存在，直

接寫出點”的坐標.

13

11.拋物線y=-萬f+bx+c交無軸于兩點，交y軸正半軸于點C,對稱軸為直線x=--.

⑵若點尸為第二象限拋物線上一動點，在(1)的條件下，求四邊形ABCP面積最大時，點

P坐標和四邊形A5C尸的最大面積；

(3)如圖2,點D為拋物線的頂點，過點。作CD別交拋物線于點M,N,當MN=3CD

時，求c的值.

12.如圖，拋物線y=ar2+Zzx-4交x軸于點A(-1,O),2(4,0),交y軸于點C,點M在拋物

線上，橫坐標為山，將拋物線C兩點間(含M,C兩點)的部分記為圖象W.

(1)求拋物線的解析式;

（2）若圖象W的最大值與最小值的差為4,求相的值；

⑶若點M位于BC下方，過點A作交拋物線于點E,。為直線AE上一動點，連接

CM,CD,BM,BD,求四邊形CD9W面積的最大值.

13.已知二次函數>=以2+廄+<:的圖像經過（0,-3）,兩點，其中a,b,c為常數,

S.ab>0.

⑵若該二次函數的最小值是T,且它的圖像與無軸交于點A,B（點A在點2的左側），與

y軸交于點C.

①求該二次函數的解析式，并直接寫出點42的坐標；

②如圖，在y軸左側該二次函數的圖像上有一動點P,過點P作無軸的垂線，垂足為。，與

直線AC交于點E,連接PC,CB,BE.是否存在點「，使》但=.?若存在，求此時點

尸的橫坐標；若不存在，請說明理由.

14.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線經過A（0,4）,3（1,0）,C（5,0）.

（1）求拋物線的解析式和對稱軸；

(2)該拋物線上有一點￡>(x,y)(不與點A、B、C重合)，使得SABC=SDBC，求點。的坐標.

15.已知二次函數y=。(尤-m)(x-機-4)(°,加為常數，awO).

⑴求證：不論a,機為何值，該二次函數的圖像與無軸總有兩個公共點；

(2)該二次函數的圖像與x軸交于A,B兩點，若不論相為何值，該二次函數的圖像上都只有

兩個點C,D,使VA2C和的面積均為4,求。的取值范圍.

參考答案

1.⑴A(<0),3(2,0),y=~x2-x+4

(2)4ZMC的面積為4或5

⑶1土通或-5

24

2.(1)y=—%2H—x+2

33

39

(2)當m=耳時，△》(%)的面積最大為—

(3)存在，[-2,-]],[4,-5)或(2,2)

3.(l)y=-x2+4x-3；

⑵①滿足條件的點尸的坐標為Pi(2,1)/2(亙姮，-7+后)，尸式?一后,土姮);

2222

②y=g%-3

1

4.(1)y=—x9+x-4

(2)(-2,-4)

(3)尸點坐標為：(-1,3),(-1,-5),卜1,-2+4)，卜L—2-?)

5.(1)y=x2-2x-3

⑵(IT)

’9+退473+r

⑶

6.(1)拋物線的解析式為丁=〃-6x+5；直線5C的解析式為y=-x+5

⑵存在點M,坐標為(7+回,7+母,7-技7-技

222'2

(3)10+726

7.(l)y=x2+2x—3

(2)ADC為直角三角形，

(3)S最大值為2一7，點P(一3:，-195)

824

(4)存在，(-1,-2)或(-3+拒,-&)或(-2,-1)

8.⑴片-康x?+；x+4；