一、單選題

1.（2024?四川巴中?中考真題）如圖，在中，。是/。的中點，CE1AB,BD與CE交于點O,且

BE=CD.下列說法錯誤的是（）

A

A

BC

A.5。的垂直平分線一定與相交于點E

B.ZBDC=3ZABD

C.當E為中點時，是等邊三角形

va

D.當￡為48中點時，=Z

【答案】D

【分析】連接。E,根據CE1/8,點。是NC的中點得。E=NO=CD=g/C,則進而得點。

在線段8。的垂直平分線上，由此可對選項A進行判斷；設乙4助=。，根據8E=OE得

ZEDB=ZABD=a,^ED=ZEDB+ZABD=2a,再根據/）￡=3得N/=N4EZ）=2cr,貝！J

NBDC=NA+NABD=3a,由此可對選項B進行判斷；當E為48中點時，則=CE是線段48的

垂直平分線，由此得4c=8C,然后根據=CD=^AC,BE=CD得AB=AC,由此可對選項C

進行判斷；連接力。并延長交BC于尸，根據“8C是等邊三角形得/O3C=/CMC=30。，貝|。4=。8,

113

進而得05=2。尸，AF=3OF,由此得加BC=5BC。尸，S&ABC=-BC-AF=-BC-OF,由此可對選項D進行

判斷，綜上所述即可得出答案.

【詳解】解：連接。E,如圖1所示:

A

點。是/C的中點，

:.DE為RtA^^C斜邊上的中線，

:.DE=AD=CD=-AC,

2

BE=CD,

BE=DE,

.??點。在線段班的垂直平分線上，

即線段8。的垂直平分線一定與42相交于點E,故選項A正確，不符合題意;

設=

,:BE=DE,

ZEDB=/ABD=a,

AAED=AEDB+/ABD=2a,

■：DE=AD,

Z.A-/AED=2a,

ZBDC=ZA+/ABD=3a,

即ZBAC=3乙18。，故選B正確，不符合題意；

當￡為4B中點時，則=

VCEVAB,

；.CE是線段N2的垂直平分線，

:.AC=BC,

■：BE=-AB,CD=-AC,BE=CD,

22

AB=AC,

：.AC=BC=AB,

.?.△ZBC是等邊三角形，故選c正確，不符合題意；

2

連接/。，并延長交3c于尸，如圖2所示:

圖2

當E為48中點時，

???點。為/C的中點，

根據三角形三條中線交于一點得：點尸為8c的中點，

???當E為N8中點時，是等邊三角形，

:./ABC=NBAC=6Q°,AF1BC,4尸平分/CMC,BD平分NABC,

ZOBC=ZOAC=30°,

.-.OA=OB,

在Rt^OB廠中，OB=2OF,

OA=OB=2OF,

AF=OA+OF=3OF,

113

SAW=-BCOF,SAARC=—BCAF=—BCOF,

Si

，產=大故選項D不正確，符合題意.

^IsABC,

故選：D.

【點睛】此題主要考查了直角三角形斜邊上的中線，線段垂直平分線的性質，等腰三角形的判定與性質,

等邊三角形的判定和性質，理解直角三角形斜邊上的中線，線段垂直平分線的性質，熟練掌握等腰三角形

的判定與性質，等邊三角形的判定和性質是解決問題的關鍵.

2.（2024?四川眉山?中考真題）如圖，圖1是北京國際數學家大會的會標，它取材于我國古代數學家趙爽

的“弦圖”，是由四個全等的直角三角形拼成.若圖1中大正方形的面積為24,小正方形的面積為4,現將

這四個直角三角形拼成圖2,則圖2中大正方形的面積為（）

3

A.24B.36C.40D.44

【答案】D

【分析】本題考查勾股定理，設直角三角形的兩直角邊為。，b,斜邊為根據圖1,結合已知條件

得到/+/=02=24,(。一6)2=/+62-2必=4,進而求出血的值，再進一步求解即可.

【詳解】解：如圖，直角三角形的兩直角邊為。，b,斜邊為c,

???圖1中大正方形的面積是24,

a2+b~=c2=24>

小正方形的面積是4,

-b)=/+6"-2a6=4,

:.ab=\O,

.1

二.圖2中最大的正方形的面積=c+4x706=24+2x10=44；

2

故選：D.

3.(2024?四川巴中?中考真題)“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊.問：水深

幾何？”這是我國數學史上的“葭生池中”問題.即/C=5,DC=1,BD=BA,貝lj2C=()

D

C.12D.13

【答案】C

【分析】本題考查勾股定理的實際應用.^BC=x,則&)=B/=(x+l),由勾股定理列出方程進行求解

即可.

4

【詳解】解：設3C=x,則m=A4=(x+l),

由題意，得：（x+l_y=5?+x?,

解得：x=12,即2C=12,

故選：C.

4.（2024?四川廣元?中考真題）如圖①，在AA8C中，乙4cB=90。，點P從點4出發沿4—C-B以1cm/s

的速度勻速運動至點3，圖②是點尸運動時，的面積y（cn?）隨時間無（s）變化的函數圖象，則該

三角形的斜邊的長為（）

A.5B.7C.3也D.2A/3

【答案】A

【分析】本題考查根據函數圖象獲取信息，完全平方公式，勾股定理，

由圖象可知，面積最大值為6,此時當點P運動到點C,得到;/C/C=6,由圖象可知

AC+BC=T,根據勾股定理，結合完全平方公式即可求解.

【詳解】解：由圖象可知，A/B尸面積最大值為6

由題意可得，當點P運動到點C時，的面積最大，

.-.^ACBC=6,即4C-8C=12,

由圖象可知，當x=7時，y=0,此時點P運動到點8,

AC+BC=7,

vZC=90°,

??.AB2=AC2+3C2=（AC+BC）2-2^C-5C=72-2x12=25,

??.AB=5.

故選：A

5.（2024?四川南充?中考真題）如圖，已知線段45,按以下步驟作圖：①過點8作5cl43,使

BC=^AB,連接/C；②以點C為圓心，以8C長為半徑畫弧，交/C于點。；③以點/為圓心，以

長為半徑畫弧，交AB于點E.若AE=mAB,則加的值為（）

5

c

A.B.C.V5-1D.V5-2

22

【答案】A

【分析】本題考查了勾股定理，根據垂直定義可得442。=90。，再根據=設=%然后在

及△/8C中，利用勾股定理可得/。=好°,再根據題意可得：AD=AE,CD=BC=ga,從而利用線段

的和差關系進行計算，即可解答.

【詳解】-.-BC1AB,

ZABC=90°,

?/BC=—AB,設AB=a

2

BC=—1a,

2

4c=^AB2+BC2=1,

由題意得：4D=AE,CD=BC=；a,

???AE=AD=AC-CD=—a--a=^:^-a,

222

???AE=mAB,

故選：A

6.（2024?山東泰安?中考真題）如圖，RtA45C中，NABC=90°,分別以頂點/,C為圓心，大于;

的長為半徑畫弧，兩弧分別相交于點M和點N,作直線分別與8C,ZC交于點E和點尸；以點/為

圓心，任意長為半徑畫弧，分別交N8,4C于點〃和點G,再分別以點點G為圓心，大于;8G的長

為半徑畫弧，兩弧交于點尸，作射線"，若射線的恰好經過點E,則下列四個結論：

?ZC=30°；②個垂直平分線段防；③CE=2BE；④S△的=:4期.

O

其中，正確結論的個數有（）

6

AG

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】D

【分析】本題主要考查作圖-復雜作圖、角平分線的性質、線段的垂直平分線的性質等知識，讀懂圖象信息,

靈活運用所學知識解決問題是解題的關鍵.

由作圖可知垂直平分線段/C、4E平分/BAC,進而證明/C=/E4C=/氏4￡=30。可判定①；再

說明N8=/尸可得心垂直平分線段3月可判定②；根據直角三角形的性質可得/C=2M,4￡=28E可判

定③，根據三角形的面積公式即可判定④.

【詳解】解：由作圖可知MN垂直平分線段4C,

：.EA=EC,

：.ZEAC=ZC,

由作圖可知/E平分N5/C,

/BAE=ZCAE,

NABC=90°,

.?,ZC=ZCAE=NBAE=30°,故①正確，

AC=2AB,

■：AF=FC,

***AB=AF,

???小垂直平分線段3尸，故②正確,

-AE=2BE,EA=EC,

：.EC=2BE,故③正確，

.V—J_V

u^BEF.3ABCF，

???AF=FC,

.v_Xv

,?uABFC_2Q"BC，

?*,S4BEF=TS&ABC'故④正確.

6

故選：D.

7

7.（2024?山東煙臺?中考真題）某班開展“用直尺和圓規作角平分線”的探究活動，各組展示作圖痕跡如下,

其中射線OP為的平分線的有

~B°'D-B

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】D

【分析】本題考查角平分線的判定，全等三角形的判定和性質，等腰三角形的判定和性質，中垂線的性質

和判定，根據作圖痕跡，逐一進行判斷即可.

【詳解】解：第一個圖為尺規作角平分線的方法，OP為的平分線；

第二個圖，由作圖可知：OC=OD,OA=OB,

:.AC=BD,

■■ZAOD=NBOC,

：./\AOD^/\BOC,

：.AOAD=ZOBC,

?；AC=BD,/BPD=ZAPC,

八BPD-APC,

AP=BP,

?.,OA=OBQP=OP,

:.AAOPm△BOP,

：,/AOP=NBOP,

.?.0尸為//OB的平分線；

第三個圖，由作圖可知乙4。尸==。尸，

.'.CP//BO,/COP=/CPO,

:.ACPO=ABOP

??.ZCOP=/BOP,

???OP為2405的平分線；

第四個圖，由作圖可知：OP1CD,OC=OD,

??.8為//OB的平分線；

故選D.

8

二、填空題

8.（2024?遼寧?中考真題）如圖，四邊形48CD中，AD//BC,AD>AB,AD=a,AB=W.以點A為

圓心，以N8長為半徑作圖，與5c相交于點E,連接/E.以點E為圓心，適當長為半徑作弧，分別與

EA,EC相交于點〃，N,再分別以點N為圓心，大于^兒加的長為半徑作弧，兩弧在//EC的內

部相交于點尸，作射線EP,與40相交于點尸，則ED的長為（用含。的代數式表示）.

【分析】本題考查了作圖-作角平分線，平行線的性質，等腰三角形的判定，熟練掌握知識點是解題的關

鍵.

利用基本作圖得到NE=45=10,EF平分/AEC,,接著證明N4EF=乙4尸E得到X=左=10,然后

利用五D=40—4廠求解.

【詳解】解：由作法得/￡=/8=10,EF平分NAEC,

ZAEF=NCEF,

???AD〃BC,

："AFE=/CEF,

???ZAEF=ZAFE,

=花=10,

；.FD=AD—AF=a—U）.

故答案為：-10.

9.（2024?吉林?中考真題）圖①中有一首古算詩，根據詩中的描述可以計算出紅蓮所在位置的湖水深度，

其示意圖如圖②，其中=于點C,5。=0.5尺，B，C=2尺.設/。的長度為x尺，可

列方程為.

T詩文：波平如鏡一湖面，半尺高

處生紅蓮，亭亭多姿湖中立，突

遭狂風吹一邊。離開原處二尺

遠，花貼湖面象睡蓮。

u圖①圖②

9

【答案】X2+22=(X+0.5)2

【分析】本題考查了勾股定理的實際應用，正確理解題意，運用勾股定理建立方程是解題的關鍵.

設/C的長度為x尺，則4B=4B，=x+0.5,在中，由勾股定理即可建立方程.

【詳解】解：設/C的長度為x尺，則/8=/8'=x+0.5,

???AB1B'C,

由勾股定理得：AC2+B'C2=AB'2,

.-.x2+22=(x+0,5)2,

故答案為：X2+22=(X+0.5)\

10.(2024?黑龍江大慶?中考真題)如圖①，直角三角形的兩個銳角分別是40。和50。，其三邊上分別有一

個正方形.執行下面的操作：由兩個小正方形向外分別作銳角為40。和50。的直角三角形，再分別以所得到

的直角三角形的直角邊為邊長作正方形.圖②是1次操作后的圖形.圖③是重復上述步驟若干次后得到

的圖形，人們把它稱為“畢達哥拉斯樹”.若圖①中的直角三角形斜邊長為2,則10次操作后圖形中所有正

方形的面積和為.

圖①圖②圖③

【答案】48

【分析】本題主要考查了圖形規律，直角三角形的性質、勾股定理、正方形的性質等知識.根據題意分別

計算出圖①、圖②和圖③的面積，得出規律即可求解.

【詳解】解：圖①中，???/ZC8=90。，

圖①圖②

根據勾股定理得，AC2+BC2=AB2=22=4,

???圖①中所有正方形面積和為：4+4=8,

10

圖②中所有正方形面積和，即1次操作后的圖形中所有正方形的面積和為:

8+4=12,

圖③中所有正方形面積和，即2次操作后的圖形中所有正方形的面積和為:

8+4x2=16,

：.n次操作后的圖形中所有正方形的面積和為8+4”，

■,■10次操作后的圖形中所有正方形的面積和為8+4x10=48,

故答案為：48.

11.（2024?甘肅蘭州?中考真題）如圖，四邊形A8CD為正方形，△4DE為等邊三角形，EF工4B于點F,

若4。=4,則EF=.

【答案】2

【分析】本題考查正方形的性質，等邊三角形的性質，含30度角的直角三角形，根據正方形和等邊三角

形的性質，得到△NFE為含30度角的直角三角形，AE=AD=4,根據含30度角的直角三角形的性質求

解即可.

【詳解】解：???四邊形/BCD為正方形，A4DE為等邊三角形,EF±AB,AD=4,

ZFAD=90°,ZEAD=60°,NAFE=90°,AD=AE=4,

ZFAE=30°,

：.EF=-AE=2-

2

故答案為：2.

12.（2024?四川資陽?中考真題）如圖，在矩形/3CD中，48=4,40=2.以點A為圓心，4D長為半

徑作弧交48于點￡,再以N8為直徑作半圓，與靛交于點尸，則圖中陰影部分的面積為.

11

【答案】V3+-71

【分析】本題考查了切線的性質，等邊三角形的性質和判定，扇形的面積，解題的關鍵是學會利用分割法

求陰影部分的面積.

設弓形/mF,連接4尸，FE,由題意知/石二/斤二在二？，即△/尸E為等邊三角形，

AFAE=AFEA=60°,即可得出陰影部分面積為品月=s半圓一s扇形。莊—s弓形出應^,代入數值即可求出結果.

【詳解】解：???以點A為圓心，4D長為半徑作弧交AB于點E,48=4,AD=2,

AE=AD=BE=2,

???以42為直徑作半圓時，圓心為點E,

設弓形/mF,連接4尸，FE,^AE=AF=FE=2,如圖：

NFAE=ZFEA=60°,

故陰影部分面積為箍=S半圓一S扇形。FE-S弓形，

m、粕/吉-r犯。_1。。60TTX22(60TIx2273蟲1—

代入數值可得S陰=5*2x2兀-1——--------x2=<3+-n,

故答案為6+］兀.

13.(2024?四川雅安?中考真題)如圖，在“3C和△/￡)￡中，AB=AC,NBAC=/DAE=40。,將△ZDE

繞點/順時針旋轉一定角度，當/D13C時，N8/E的度數是.

【答案】60?；?20。

【分析】本題考查的是等腰三角形的性質，旋轉的性質，分兩種情況分別畫出圖形，再結合等腰三角形的

性質與角的和差運算可得答案；

【詳解】解：如圖，當3c時，延長/。交8c于J,

12

A

-AB=AC,NBAC=NDAE=4。。,

??.ZBAJ=ZCAJ=20°,

??.ZBAE=200+40°=60°；

如圖，當時，延長。Z交BC于J,

-AB=ACfNBAC=NDAE=4U0,

??.ZBAJ=ZCAJ=20°,

???/BAE=180?！?0°-40°=120°,

故答案為：60?；?20。

14.（2024?江蘇常州?中考真題）如圖，在RtZkZBC中，/ACB=90。,AC=6,BC=4,。是邊4C的中

點，￡是邊5C上一點，連接AD、DE.將△CZM沿。石翻折，點。落在5。上的點尸處，則CE=.

【答案】|3

【分析】本題考查勾股定理與折疊問題，勾股定理求出助的長，折疊得到廠,

CE=EF,/EFD=90。,設CE=x,在也中，利用勾股定理進行求解即可.

【詳解】解：???//CB=90。，AC=6,BC=A,。是邊4C的中點，

：.CD=-AC=3,

2

13

???BD=y/BC2+CD2=5，

?將ACDE沿DE翻折，點C落在HD上的點尸處，

：.CD=DF=3,CE=EF,NEFD=9Q°,

BF=BD-DF=2,ABFE=90°,

設CE=x,則：EF=x,BE=BC-CE=4-x,

在也中，由勾股定理，得：（4-力2=/+22,

3

解得：x=-；

C「E廠=一3；

2

3

故答案為：—.

15.（2024?山東濰坊?中考真題）如圖，在直角坐標系中，等邊三角形/5C的頂點A的坐標為（0,4）,點民C

均在x軸上.將。繞頂點A逆時針旋轉30。得到△45'C,則點。'的坐標為.

【答案】（4,4-孚）

【分析】本題主要考查旋轉的性質，三角函數的計算，熟練掌握旋轉的性質是解題的關鍵.作。戶，2。,

求出OF,C'F的值即可得到答案.

14

A48c是等邊三角形，AOIBC,

40是/A4c的角平分線，

/CMC=30。，

OC=-AC,

2

在RM/OC中，AO2+OC2=AC2,

即16+（；/C）2=/C2,

解得4C二巫

3

-,AC=AC=—.

3

4J3

OF=AO-AF=4-AC-cos600=4—--,

3

FC=^C-sin60°=—x—=4,

32

16.（2024?四川遂寧?中考真題）如圖，在正方形紙片中，E是45邊的中點，將正方形紙片沿石。

折疊，點5落在點〃處，延長。尸交于點。，連結"并延長交8于點尸.給出以下結論：@AAEP

為等腰三角形；②尸為。的中點；③/尸:尸尸=2:3；@cosZDCQ=~.其中正確結論是.（填序

號）

15

【答案】①②③

【分析】設正方形的邊長為2a,/l=/2=a,根據折疊的性質得出=根據中點的性質得出

一RP

AE=EB,即可判斷①，證明四邊形/EC尸是平行四邊形，即可判斷②，求得tanN4=h=2,設

AP=x,則8P=2x,勾股定理得出/尸=竽°,進而判斷③，進而求得DQ,勾股定理求得C。,

進而根據余弦的定義，即可判斷④，即可求解.

【詳解】解：如圖所示，

???E為45的中點,

???AE=EB

設正方形的邊長為2a,

貝l|AE=EB=a

折疊,

；.NI=N2,BP1.EC,EP=EB=a

■■■EA=EP

.?.△/EP是等腰三角形，故①正確；

設/1=/2=&,

.?.//￡P=180°-2a

???Z3=Z4=a

.??/2=/3

??.AF//EC

又?:AE〃FC

.?.四邊形AECF是平行四邊形，

CF=AE=a,

.,.CF=FD=a,即/是的中點，故②正確;

vBP1EC,AF//EC

；.BP工AF

16

在RM4D/中，AF=NAD?+DF2==其，

八BC2a~

tana=tanZ1=-----=——=2

BEa

BP-

tanZ4==2

AP

設=則5P=2x,

AB-y/~5x-2a

2yBet

x=-------

5

“2y[5f-2#>375

??AP=------a,PDFZ7=75a-------a=-------a，

555

■■.AP:PF=2:3,故③正確；

連接E。，如圖所示，

ZQAE=90°,ZQPE=ZEPC=ZEBC=90°,AE=EP

又EQ=EQ

AAEQ知PEQ

.■.AQ=PQ

又?:EA=EP

.?.EQLAP

ZAQE+ZAEQ=90°

又?.?NNEQ+N4=90°

ZAQE=Z4=a

???tana=2

.W=2

AQ

/ca

13

/.QD—2Q—Q——ci

22

17

在RMQOC中，QC=+DC?=+(2tz)2=1tz

3

—a

?■?cosZDCQ=——=—,故④不正確

°—a

2

故答案為：①②③.

【點睛】本題考查了正方形與折疊問題，解直角三角形，全等三角形的性質與判定，勾股定理，熟練掌握

以上知識是解題的關鍵.

三、解答題

17.(2024?江蘇常州?中考真題)如圖，B、E、C、尸是直線/上的四點，AC、DE相交于點G,AB=DF,

AC=DE,BC=EF.

(1)求證：AGEC是等腰三角形；

(2)連接AD,則40與/的位置關系是

【答案】(1)見解析

(2)AD//l

【分析】本題考查全等三角形的判定和性質，等腰三角形的判定，平行線的判定：

(1)證明△4BC絲△。厄，得到乙4cB=NDEF,即可得證；

(2)根據線段的和差關系，易得NG=DG,根據三角形的內角和定理，得至=即可得出

結論.

【詳解】(1)證明：在OBC和ADF支中

AB=DF

<AC=DE,

BC=EF

：.j\ABC^/\DFE,

；"ACB=ZDEF,

18

??.EG=CG,

.?.AGEC是等腰三角形；

(2)-：AC=DE,EG=CG,

：.AG=DG,

：.NGAD=ZGDA=1(180°-Z^GD),

AACE=ZDEF=1(180°-ZCGE),

AAGD=NEGC,

ACAD=NACB,

AD//1.

18.（2024?湖南長沙?中考真題）如圖，在Rt448C中，//C5=90。，48=26，AC=2,分別以點）,

8為圓心，大于g48的長為半徑畫弧，兩弧分別交于點M和N,作直線分別交BC于點、D,E,

連接CDAE.

A

⑴求CD的長;

⑵求A/C￡的周長.

【答案】（1）君

(2)6

【分析】本題考查了線段垂直平分線的性質：線段垂直平分線的點到線段兩個端點的距離相等，斜中半定

理：直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半，以及勾股定理等知識點，熟記相關結論是解題關鍵.

19

（1）由題意得兒W是線段N8的垂直平分線，故點。是斜邊N8的中點.據此即可求解；

（2）根據E/=EB、AZCE的周長=NC+CE+￡N=/C+CE+E8=/C+8C即可求解；

【詳解】（1）解：由作圖可知，&W是線段的垂直平分線，

.?.在RtZ\/8C中，點。是斜邊N8的中點.

,-.CD=-AB=-x2y[5=45.

22

（2）解：在RtZk48C中，BC=yjAB2-AC2=7（275）2-22=V16=4.

??,九W是線段的垂直平分線，

???EA=EB.

???△4CE的周長=/C+CE+K4=/C+C￡+￡B=/C+5C=2+4=6.

19.（2024?湖南長沙?中考真題）如圖，點C在線段4D上，AB=AD,NB=ND,BC=DE.

（1）求證：△/5C0△/；）￡；

⑵若4/C=60。，求//CE的度數.

【答案】（1）見解析

（2）N/CE=60。

【分析】本題考查全等三角形的判定與性質、等邊三角形的判定與性質，證明△/CE是等邊三角形是解答

的關鍵.

（1）直接根據全等三角形的判定證明結論即可；

（2）根據全等三角形的性質得到NC=/E,NC4E=NBAC=60。,再證明△/CE是等邊三角形，禾!J用等

邊三角形的性質求解即可.

【詳解】（1）證明：在"5C與△4DE中，

'AB=AD

，乙B=ND,

BC=DE

所以A”C0"OE（SAS）；

（2）解：因為NA4c=60。，

20

所以/C=/E,/C/E=Z8/C=60。，

所以是等邊三角形.

所以N/CE=60。.

20.（2024?青海?中考真題）（1）解一元二次方程：x2-4x+3=0；

（2）若直角三角形的兩邊長分別是（1）中方程的根，求第三邊的長.

【答案】（1）x=l或尤=3

（2）第三邊的長是JIU或2正

【分析】本題考查解一元二次方程，勾股定理.

（1）用因式分解法解即可；

（2）分情況討論，一是兩根都是直角邊，二是兩根一個是直角邊，一個是斜邊，再用勾股定理分別計算

即可.

【詳解】解：（1）X2-4X+3=0

=0

x=l或x=3；

（2）當兩條直角邊分別為3和1時，

根據勾股定理得，第三邊為FR=而；

當一條直角邊為1,斜邊為3時，

根據勾股定理得，第三邊為存萬=20.

答:第三邊的長是比6或2近.

21.（2024?甘肅蘭州?中考真題）觀察發現：勞動人民在生產生活中創造了很多取材簡單又便于操作的方法,

正如木匠劉師傅的“木條畫直角法”，如圖1,他用木條能快速畫出一個以點/為頂點的直角，具體作法如

下：

①本條的兩端分別記為點N,先將木條的端點M與點/重合，任意擺放木條后，另一個端點N的位

置記為點2,連接48;

②木條的端點N固定在點8處，將木條繞點8順時針旋轉一定的角度，端點M的落點記為點C（點/,

B,C不在同一條直線上）；

③連接C3并延長，將木條沿點C到點3的方向平移，使得端點M與點8重合，端點N在C5延長線上的

落點記為點D；

④用另一根足夠長的木條畫線，連接40,AC,則畫出的NTMC是直角.

21

操作體驗：（1）根據“觀察發現”中的信息重現劉師傅的畫法，如圖2,BA=BC,請畫出以點/為頂點的

直角，記作/D4C；

推理論證：（2）如圖1,小亮嘗試揭示此操作的數學原理，請你補全括號里的證明依據：

證明：;AB=BC=BD,

:.^ABC與AABD是等腰三角形.

ZBCA=ABAC,ZBDA=ABAD.（依據1）

NBCA+NBDA=ABAC+ABAD=ADAC.

ADAC+ABCA+ABDA=180°,（依據2）

:.2ZDAC=18O°,

ADAC=90°.

依據1：;依據2：；

拓展探究：（3）小亮進一步研究發現，用這種方法作直角存在一定的誤差，用平時學習的尺規作圖的方法

可以減少誤差.如圖3,點。在直線/上，請用無刻度的直尺和圓規在圖3中作出一個以。為頂點的直角，

記作NP。。，使得直角邊。尸（或在直線/上.（保留作圖痕跡，不寫作法）

【答案】（1）見詳解，（2）等邊對等角（等腰三角形的性質）；三角形內角和定理；（3）見詳解

【分析】本題主要考查等腰三角形的性質、三角形內角和定理以及尺規作圖的作垂線，

（1）根據“觀察發現”延長至點。，^.DB=CB,連接C4N。即可知以點/為頂點的/D/C為直角;

（2）根據作圖可知利用了等邊對等角，以及三角形內角和定理；

（3）根據過定點作已知直線的垂線的方法作圖即可.

【詳解】解：［操作體驗］（1）

22

圖2

［推理論證］（2）依據1：等邊對等角（等腰三角形的性質）；依據2：三角形內角和定理;

故答案為：等邊對等角（等腰三角形的性質）；三角形內角和定理；

［拓展探究］（3）

22.（2024?四川宜賓?中考真題）如圖，點、D、￡分別是等邊三角形邊3C、/C上的點，且BD=CE,

BE與4D交于點F.求證：AD=BE.

【答案】見解析

【分析】本題考查了等邊三角形的性質，全等三角形的判定與性質，根據等邊三角形的性質得出

AB=BC,N4BD=NBCE=60。,然后根據SAS證明四ABCE,根據全等三角形的性質即可得證.

【詳解】證明:是等邊三角形，

AB=BC,ZABD=NBCE=60°,

又BD=CE,

.?.△ABD會ABCE（SAS）,

???AD=BE.

23.（2024?山東泰安?中考真題）如圖1,在等腰RtA48C中，ZABC=90°,AB=CB,點、D,E分別在

AB,C8上，DB=EB,連接CD,取中點尸，連接3尸.

23

圖1

（1）求證：CD=2BF,CD1BF；

⑵將繞點8順時針旋轉到圖2的位置.

①請直接寫出8尸與CD的位置關系：

②求證：CD=2BF.

【答案】（1）見解析

（2）05F1CD；②見解析

【分析】（1）先證明得到NE=CD,=/BCD,根據直角三角形斜邊中線性質得至IJ

CD=AE=2BF,根據等邊對等角證明=進而可證明區FLCD；

（2）①延長8尸到點G,4吏FG=B尸,連接/G,延長8E到/,使BE=BM,連接并延長交。于

點N.先證明ANG廠也AEAF,得至1]NFAG=NFEB,4G=BE,進而NG〃BE,AG=BD.證明

△AGBgABDC得至“NABG=/BCD,然后利用三角形的中位線性質得到3尸〃4N,則

ZABG=ZBAN=ZBCD,進而證明AN1CD即可得到結論；

②根據△ZG82ABDC得到CD=BG即可得到結論.

【詳解】（1）證明：在和△CHD中，

AB=BC,ZABE=ZCBD=9Q°,BE=BD,

:AABE%CBD（SAS）,

AE^CD,/FAB=/BCD.

???F是RtAABE斜邊ZE的中點，

AE=2BF,

：.CD=2BF,

■：BF=-AE=AF,

2

ZFAB=NFBA.

：.ZFBA=/BCD,

24

???/FBA+NFBC=9。。,

ZFBC+ZBCD=90°.

BFYCD-

(2)解：①87」CO；

理由如下：延長防到點G,使FG=BF,連接ZG,延長跖到M,使BE=BM,連接Z〃并延長交CO

于點N.

?;AF=EF,FG=BF,ZAFG=ZEFB,

...△4G廠之△助尸(SAS),

;"FAG=NFEB,AG=BE,

:.AG//BE,

NG4B+NABE=180。,

ZABC=ZEBD=90°,

;"ABE+/DBC=T8。。,

NGAB=NDBC.

?;BE=BD,

:.AG=BD.

在"GB和中，

?：AG=BD,ZGAB=ZDBC,AB=CB,

/.△^G5^A5DC(SAS),

:.ZABG=ZBCD.

???/是4E中點，8是中點，

:.BF是“BM中位線，

BF//AN.

/ABG=/BAN=/BCD,

:./ABC=ZANC=90。,

ANLCD.

???BF//AN,

BFLCD.

故答案為：BF1CD；

25

A

②證明：AAGB咨ABDC,

/.CD=BG,

vBG=2BF,

:.CD=2BF.

【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質、直角三角形斜邊中線性質、等腰三角形的判定與性質、三角

形的中位線性質、平行線的判定與性質等知識，涉及知識點較多，綜合性強，熟練掌握相關知識的聯系與

運用，靈活添加輔助線構造全等三角形是解答的關鍵.

24.(2024?遼寧?中考真題)如圖，在“8C中，ZABC=90°,//C8=a(0。<a<45。).將線段C4繞點C

順時針旋轉90。得到線段CD,過點。作垂足為E.

(1)如圖1,求證：LABC沿ACED；

(2)如圖2,/ZCD的平分線與48的延長線相交于點尸，連接。尸，。尸的延長線與CB的延長線相交于點

P,猜想PC與PD的數量關系，并加以證明；

(3)如圖3,在(2)的條件下，將△AEP沿4尸折疊，在a變化過程中，當點P落在點E的位置時，連接

EF.

①求證：點尸是尸。的中點；

②若CD=20,求ACE尸的面積.

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