2025年中考數學壓軸題專項訓練：二次函數的簡答題

綜合題

爪柚致二次徐熬的簡答致徐合泉

核心重點

二次函數的簡答題的綜合題是中考數學不可爭議的壓軸題型，也常是與其他考點結合類型的壓軸題，此

類題中二次函數常結合的其他考點及對應應對策略如下：

1、二次函數的代數綜合題:?？级魏瘮档目键c有:解析式的求解、二次函數的性質、圖象上點的坐標特

征、以及圖象與系數的關系等，具體信息有：

解析式求法待定系數法:設、代入、解、再代入

圖象特征頂點與對（-1,寫上）①r=_^；斷=方；③x=三詈（），相等的兩個點）

稱軸公式

二次函數的對于二次函數y=ax2+bx+c的性質規律：

性質的應用當a>0時,拋物線有最低點,函數有最小值，各點中,誰離對稱軸越近，誰的y越??；

當aV0時,拋物線有最高點，函數有最大值，各點中,誰離對稱軸越近，誰的‘越大；

確定拋物線與。軸交點個數

圖象與系數b2—4ac當V-4ac>0時，拋物線與x軸有2個交點；

的關系與。

當一-4勿?0時.拋物線與斕1/II個交點;

當Z>2-4acV0時，拋物線與x軸無交點；

2、二次函數與三角形面積的結合:求不規則幾何圖形的面積常用方法-一割補法;兩定一動型三角形面

S_水平寬X鉗垂高

積求解公式一一R=2；

3、拋物線與特殊三角形的存在性問題：

①“兩定一動”等腰三角形的存在性問題處理方法:“兩圓一線”找點，“勾股定理”求點;沒規定腰長時,

按邊相等分成三類；

②“兩定一動”直角三角形的存在性問題處理方法:“兩垂一圓”找點，“勾股定理”求點;沒規定直角頂點

時，按直角分成三類；

4、拋物線與特殊四邊形的存在性問題：

①“三定一動”型平行四邊形的存在性問題:根據平行四邊形的中心對稱性，分別以三個定點中的兩點為

對角線，分三類討論；

②菱形存在性問題一轉化為等腰三角形的存在性問題；

③矩形的存在性問題-轉化為直角三角形的存在性問題

5、二次函數的新定義問題:新定義類函數問題，新規定的定義就是解決問題重要的性質，做題中還需聯系

與新定義關聯緊密的已學考點。

題型訓練

題型一二次函數的代數綜合題

“Ge技注

①二次函數代數類考察，解析式中一般含有參數，即給的是“不完整的解析式”;而這類解析數有

可能可以通過因式分解法求其與必軸交點坐標，或者通過因式分解找到該“不完整函數”所過的定

，占、、、，?

②:這類問題中，一般都需要求二次函數的對稱軸、頂點。其中，對稱軸一般是確定的，但開口方

向不定，所以利用此結論求交點個數或函數最值問題時，要注意分類討論，特別要注意其中的計算；

1.（2024?北京）在平面直角坐標系/Og中，已知拋物線g=-2Q2HQW0）.

（1）當Q=1時,求拋物線的頂點坐標；

（2）已知TWQi,%）和N（g,紡）是拋物線上的兩點.若對于g=3a,都有％〈例,求Q的取

值范圍.

2.（2024-南通）已知函數9=（x—a）2+（力一bRa,b為常數）.設自變量力取g時，g取得最小值.

（1）若a=—1,b=3,求四）的值；

（2）在平面直角坐標系xOy中，點尸（a,b）在雙曲線g=--上，且g=4?求點P到0軸的距離；

x2

⑶當a?—2a—26+3=0,且1<g<3時，分析并確定整數a的個數.

3.（2024?廣西）課堂上，數學老師組織同學們圍繞關于①的二次函數"="+2（^+a—3的最值問題展

開探究.

【經典回顧】二次函數求最值的方法.

（1）老師給出a=-4,求二次函數y=x2+2ax+a-3的最小值.

①請你寫出對應的函數解析式；

②求當必取何值時，函數y有最小值，并寫出此時的y值；

【舉一反三】老師給出更多a的值，同學們即求出對應的函數在2取何值時，夕的最小值.記錄結果，并

整理成如表：

a-4-2024

X*20-2-4

y的最小值*-9-3-5-15

注：*為②的計算結果.

【探究發現】老師:“請同學們結合學過的函數知識，觀察表格,談談你的發現

甲同學:“我發現，老師給了a值后，我們只要取力=-a，就能得到y的最小值.”

乙同學：“我發現，夕的最小值隨a值的變化而變化，當a由小變大時，夕的最小值先增大后減小，所以

我猜想y的最小值中存在最大值”

（2）請結合函數解析式y=〃++a—3,解釋甲同學的說法是否合理？

（3）你認為乙同學的猜想是否正確？若正確，請求出此最大值;若不正確，說明理由.

題型二二次函數與三角好面積

4.（2024-通遼）如圖，在平面直角坐標系中，直線0=—1■力+3與4軸，"軸分別交于點C,。，拋物線y

=—"x儂—2）2+為常數）經過點。且交c軸于4B兩點.（1）求拋物線表示的函數解析式；

（2）若點P為拋物線的頂點，連接CP.求四邊形ACPD的面積.

y=~4x+3

Iy=-^（x-2Y+k

5.（2024-西寧）如圖，二次函數的圖象與立軸交于點4—3,0）,與4軸交于點8,頂點。的坐標為（一2,

-1）-

（1）求二次函數的解析式.

（2）判斷4ABC的形狀，并說明理由.

（3）在直線上方的拋物線上是否存在一點P,使S*4B=2SMBC?若存在，求出所有符合條件的點

P的坐標;若不存在，請說明理由.

備用圖

6.（2024-濟寧）已知二次函數y=a靖+近+c的圖象經過（0,—3）,（-b,c）兩點，其中a,b,c為常數，

且ab>0.

⑴求a,c的值；

（2）若該二次函數的最小值是一4,且它的圖象與立軸交于點4例點A在點B的左側），與“軸交于點

C.

①求該二次函數的解析式,并直接寫出點A,口的坐標；

②如圖，在，軸左側該二次函數的圖象上有一動點P,過點P作宓軸的垂線，垂足為。，與直線AC交

SAPCE3

于點E,連接PC,CB,BE.是否存在點P，使=H?若存在，求此時點尸的橫坐標;若不存在,

題型三我揚線與砂珠三角形的存在性問題

7.（2024-泰安）如圖,拋物線C/.y=ax2+~x-4：的圖象經過點。（1,—1）,與2軸交于點A,點

O

⑴求拋物線G的表達式;

（2）將拋物線G向右平移1個單位，再向上平移3個單位得到拋物線&，求拋物線G的表達式，并判

斷點。是否在拋物線G上；

（3）在立軸上方的拋物線。2上，是否存在點P，使是等腰直角三角形.若存在，請求出點P的

8.（2024-宜賓）如圖,拋物線,=晚+歷;+。與c軸交于點兒一1,0）和點B,與y軸交于點。（0,-4）,其

頂點為0.

（1）求拋物線的表達式及頂點D的坐標；

（2）在y軸上是否存在一點河,使得河的周長最小.若存在，求出點河的坐標；若不存在,請說明

理由；?M

（3）若點E在以點P（3,0）為圓心，1為半徑的。P上，連結AE,以AE為邊在AE的下方作等邊三角

形AM,連結BF.求BF的取值范圍.

9.（2024-雅安）在平面直角坐標系中，二次函數夕=a"+法+3的圖象與①軸交于A（l,0）,B（3,0）兩

點,與V軸交于點C.

（1）求二次函數的表達式；

（2）如圖①，若點P是線段上的一個動點（不與點重合），過點P作夕軸的平行線交拋物線于

點Q，當線段尸Q的長度最大時,求點Q的坐標；

（3）如圖②，在（2）的條件下，過點Q的直線與拋物線交于點。，且NCQ0=2NOCQ.在y軸上是否

存在點E,使得ABDE為等腰三角形？若存在，直接寫出點E的坐標;若不存在，請說明理由.

題型四粕物線與帶珠四邊形的存在性問題

10.（2024-甘南州）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線"=&/+牧—5（。￥0）交￡軸于人，。兩點，交y

軸于點B,5OA=OB=OC.

（1）求此拋物線的表達式；

⑵已知拋物線的對稱軸上存在一點河，使得的周長最小,請求出點河的坐標；

（3）連接BC,點P是線段BC上一點、,過點P作4軸的平行線交拋物線于點Q,求當四邊形OBQP為

平行四邊形時點P的坐標.?M

11.（2024-瀘州）如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y=ax2+bx+3經過點4（3,0）,與y軸交

于點_B,且關于直線x=l對稱.

（1）求該拋物線的解析式；

（2）當—1W±＜七時，0的取值范圍是04yW2±—1,求t的值；

（3）點。是拋物線上位于第一象限的一個動點，過點。作c軸的垂線交直線于點。，在夕軸上是否

存在點E,使得以為頂點的四邊形是菱形？若存在，求出該菱形的邊長;若不存在,說明理

12.（2024-寧夏）拋物線沙=m2—1^—2與力軸交于4（—1,0）,8兩點，與9軸交于點。，點P是第四象

限內拋物線上的一點.

（1）求拋物線的解析式;

（）如圖過作，力軸于點。，交直線BC于點、E.設點D的橫坐標為小,當李

21,PPDPE=BE時,

求小的值；

（3）如圖2點F（l,0）,連接CF并延長交直線PD于盡M,點、N是x軸上方拋物線上的一點，在（2）的

條件下，刀軸上是否存在一點使得以尸，為頂點的四邊形是平行四邊形.若存在，直接寫

出點H的坐標;若不存在,請說明理由.

題型五二次函數新定義問題

13.（2024-樂山）在平面直角坐標系xOy中，我們稱橫坐標、縱坐標都為整數的點為“完美點”.拋物線y

=ax2—2ax+2a（a為常數且a>0）與"軸交于點A.

（1）若a=l,求拋物線的頂點坐標；

（2）若線段04含端點）上的“完美點”個數大于3個且小于6個，求a的取值范圍；

（3）若拋物線與直線y=立交于M、N兩點，線段與拋物線圍成的區域（含邊界）內恰有4個“完美

14.（2024?深圳）在綜合實踐課上,數學探究小組用兩個互相垂直的直尺制作了一個“T”形尺，并用它對

二次函數圖象的相關性質進行研究.

把“T”形尺按圖1擺放,水平寬的中點為。，圖象的頂點為。，測得為小厘米時，CD為幾厘

米.

【猜想】

（1）探究小組先對y=x2的圖象進行多次測量，測得小與n的部分數據如表：

m023456

n012.2546.259

描點：以表中各組對應值為點的坐標，在圖2的直角坐標系內描出相應的點.

連線:用光滑的曲線順次連接各點.

猜想：與7n的關系式是

【驗證】

（2）探究小組又對多個二次函數的圖象進行了測量研究，發現測得的n與m也存在類似的關系式，并

針對二次函數y=a（x-fiY+>0）的情況進行了推理驗證.請從下表中任選一種方法（在“□”內

打“V”）并補全其推理過程；（根據需要，選用字母a,小，九，九,k表示答案）

如圖4,頂點。的橫坐標加-y個單位，縱坐標加n

如圖3,平移二次函數圖象，使得頂點D移到原點。個單位得到點B的坐標，所以點B坐標為伍+

的位置，則:1

~2

A'B'=AB=m,CO=CD=n,

C，R_A'B'_m

°B一丁F'k+.）；

將點B坐標代入y—a（x—無>+k,

所以點9坐標為；

得到口與小的關系式是_n=~Yam2

將點Bf坐標代入y=ax2,-----4-----

得到打與7n的關系式是_n—^-aw?.

-----4-----

【應用】???

⑶已知ABIIx軸且AB=4,兩個二次函數夕=2(rr—ti)2+k和y=a(x—hf+d的圖象都經過A,B

兩點.當兩個函數圖象的頂點之間的距離為10時，求a的值.

15.(2024-甘孜州)【定義與性質】

如圖，記二次函數0=a■(①—b)2+c和a(rr—p)2+q(a手0)的圖象分別為拋物線。和G.

定義:若拋物線G的頂點Q(p,q)在拋物線。上,則稱G是C的伴隨拋物線.

性質:①一條拋物線有無數條伴隨拋物線；

②若G是。的伴隨拋物線，則。也是G的伴隨拋物線，即C的頂點P(b,C)在G上.

【理解與運用】

(1)若二次函數“=―—2)2+?71和9=-^-(a?—n)2+y的圖象都是拋物線y=—■的伴隨拋物

線，則772=，n=.

【思考與探究】

2

(2)設函數0=x-2kx+4k+5的圖象為拋物線C2.

①若函數0=—〃+m+e的圖象為拋物線G),且G始終是Co的伴隨拋物線，求d,e的值；

②在①的條件下，若拋物線G與力軸有兩個不同的交點(的，0),(電，0)(斯＜g)，請直接寫出g的取

值范圍.

題型六二次函數與幾何最值問題

’V調分技總

①求24+類線段和最小值:立刻想將軍飲馬模型；

②其他可結合幾何最值模型--胡不歸；

16.(2024?鎮江)如圖,在平面直角坐標系中，O為坐標原點，二次函數2/=—六3—I)?+4的圖象與立軸

9

交于A、B兩點(點A在點B的左側)，頂點為C.

(1)求A、8、。三點的坐標；?M

（2）一個二次函數的圖象經過4）三點，其中力￥1,該函數圖象與c軸交于另一點。，點。

在線段上（與點O、口不重合）.

①若。點的坐標為（3,0）,則力=；

②求力的取值范圍；

③求汨的最大值.

17.（2024-德陽）如圖，拋物線y=x2-x+c^x軸交于點A（-l,0）和點8,與4軸交于點C.

（1）求拋物線的解析式；

（2）當0<tW2時,求夕=〃—t+c的函數值的取值范圍；

（3）將拋物線的頂點向下平移告個單位長度得到點“，點P為拋物線的對稱軸上一動點，求B4+

18.（2024-甘肅）如圖1,拋物線y=a（￡—hy+k交加軸于O,4（4,0）兩點，頂點為8（2,273），點。為

OB的中點.

（1）求拋物線y=a（x—置+k的表達式；

（2）過點。作04垂足為H，交拋物線于點E.求線段CE的長.

（3）點。為線段OA上一動點（O點除外），在OC右側作平行四邊形OCFD.

①如圖2,當點尸落在拋物線上時，求點R的坐標；

②如圖3,連接BD,BF,求BD+B尸的最小值.

???

核心重點

二次函數的筒答題的綜合題是中考數學不可爭議的壓軸題型，也常是與其他考點結合類型的壓軸星，此

類題中二次函數常結合的其他考點及對應應對策略如下：

1、二次西數的代敷緣合醫:?？级魏瘮档目键c有:解析式的求解、二次函數的性質、圖象上點的坐標特

征、以及圖象與系數的關系等，具體值患有：

解析式求法特定系數法:設、代入、第再RA

圖象特征頂點與對(-1,寫上)①r=_^；斷=方；③x=三詈()，相等的兩個點)

稱軸公式

夕函數的對于二次函數V=皿+加;+c的性質規律：

性質的應用當a>0時版物線有?低點，的數有?小值，各點中，誰離對對《越近，誰的y越?。?/p>

當aVO時，拋物線有?寓點，函數有?大值，各點中，誰離對耐d越近，港的“越大；

確定拋觸與多軸交點M

圖象與系敦62-4ac當V-4ac>0時，拋物線與x軸有2個交點；

的關系與0當一-4勿?0時.拋物線與斕1/II個交點;

當Z>2-4acV0時，拋物線與x軸無交點；

2、二次函數與三甭形面積的結合:求不到|幾何圖形的面積常用方法一一■補法;商定一動型三角形面

_水平寬x鉗垂高

積求解公式__2;

3、拋物線與特殊三角形的存在性向』

①“兩定一動”等臏三角形的存在性同期域方法「兩■一線”找點，“勾股定理”求點;沒規定腰長時,

按邊相等分成三類；

②“兩定一動”宣篇三篇形的存在性問8濯方法:“兩垂一回”找點,“勾股定理”求點;沒規定亶常頂點

時，按直角分成三類；

4、拋物線與耐四邊形的存在性向星：

①“三定一動”型平行四邊形的存在性問■:根據平行四邊形的中心對稱性，分別以三個定點中的兩點為

對甭線，分三類討論；

②*形存在性向期-轉化為等朦三蹲形的存在性問星；

(3W的存在性問國T轉化為宣圖三常形的存在性問?

5、二次函數的新定義阿星：新定義類函數問題,新規定的定義就是解決問國?要的性質,“中還需聯系

與新定義美聯緊密的已學考點。

題型訓練

題型一二次函數的代數綜合題?M

“Ge技注

①二次函數代數類考察，解析式中一般含有參數，即給的是“不完整的解析式”;而這類解析數有

可能可以通過因式分解法求其與比軸交點坐標，或者通過因式分解找到該“不完整函數”所過的定

，占、、、，?

②:這類問題中，一般都需要求二次函數的對稱軸、頂點。其中，對稱軸一般是確定的，但開口方

向不定，所以利用此結論求交點個數或函數最值問題時，要注意分類討論，特別要注意其中的計算；

1.（2024?北京）在平面直角坐標系/Og中，已知拋物線g=-2Q2HQW0）.

（1）當Q=1時,求拋物線的頂點坐標；

（2）已知TWQi,%）和N（g,紡）是拋物線上的兩點.若對于g=3a,都有％＜仍，求。的取

值范圍.

【分析】（1）將"。二1代入即可求出拋物線的頂點坐標；

⑵利用作差法建立關于62和Q的不等式，因為Q不確定，所以要分類討論，再根據范圍取舍即可.

【解答】解：（1）將Q=1代入得g=/—2]=（力一I）?—1,

???頂點坐標為（1,-1）;

⑵方法一,：由題得，％=Q?（3Q）2—2Q2?3Q=3Q3,

2

V2——2ax2,

,?*yi〈V2,

2

y?_V\=Q(送-2a/2—3a)=a(x2—3a)(g+Q)>。,

①當a>0時，(g—3Q)(電+a)>0,

.[劣2-3a>0戈[g-3QV0

[T2+a>0[g+aV。'

解得g>3Q或x2<—a,

V3<^2<4,

3aV3或—a>4,

，aV1或a<—4,

*/a>0,

0<a<1;

②當aV0時，(力2—3Q)(g+a)V0,

劣213a>0a?—3a<0

或2

T2+a<0g+a>0

解得3a</2V—a,

,/34力244,

f3aV3hp

s，解付QV—4,

[—a>4

綜上，0VaV1或a<-4.

方法二:①當a>0時，

,勿）和N（力2，紡）都在對稱軸右側,

此時g隨力增大而增大，

,'"yi<y2,

Xr<X2,

：.3a<3,

0<a<1;

②當aVO時，

M（判,仇）在對稱軸左側，N（X2,y2）在對稱軸右側，

點7W（3a,yj關于對稱軸的對稱點（—a,yj在對稱軸右側,

在對稱軸右側，夕隨2增大而減小，

'''yi<y2,

—a>4,

aV—4,

綜上，0Va<l或aV—4.

【點評】本題主要考查二次函數綜合，熟練掌握二次函數的圖象和性質、因式分解、解不等式等知識點是解

題關鍵.

2.（2024-南通）已知函數,=Q—ap+Q—胡（1b為常數）.設自變量/取g時，,取得最小值.

（1）若a=-1,6=3,求刈）的值；

（2）在平面直角坐標系4中，點P（a,b）在雙曲線,=一2上，且g求點P到y軸的距離；

x2

（3）當a?—2a—2b+3=0,且1<g<3時，分析并確定整數a的個數.

【分析】（1）利用求拋物線對稱軸公式即可求得答案；

（2）根據題意得b=-—，代入夕=Q—a）?+Q—匕咒再根據拋物線對稱軸公式建立方程求解即可；

a

（3）由題意得6=——，代入夕=踐—&尸+Q—6y，用含a的代數式表示尬,再根據題意列不等式組

求解即可.

【解答】解：（1）若a=—1,b=3,則g=（力+1）?+（/一3>=2"—4/+10,

當6=—4=1時，g取得最小值，

g=1;

⑵2點P（a,b）在雙曲線y———上，

x

：.b=-2,

a

y—^x—a）2+3+2y=212—（20——）re+a2+,

aaa2

..+-Ra-=X

,g_2X2_2，

—2,0.2~~1,

當a=2時，點P到g軸的距離為2;

當a=—1時，點P到g軸的距離1;

綜上所述，點P到g軸的距離為2或1;

（3）Vo?—2a—2b+3=0,

.b—稼—2a+3

由題意得：g="乎=嚀3

vKa；o<3,

整理得：lWa2<9,

—3<aW—1或1Wa<3,

：a為整數，

/.a=—2或一1或1或2,共4個.

【點評】本題是函數綜合題，考查了二次函數的性質，反比例函數性質，解不等式組等，理解題意，熟練運用

二次函數的性質是解題關鍵.

3.（2024?廣西）課堂上，數學老師組織同學們圍繞關于多的二次函數9="+2arr+a—3的最值問題展

開探究.

【經典回顧】二次函數求最值的方法.

（1）老師給出a=—4,求二次函數夕="+2aa?+a—3的最小值.

①請你寫出對應的函數解析式；

②求當立取何值時，函數“有最小值，并寫出此時的沙值；

【舉一反三】老師給出更多a的值，同學們即求出對應的函數在力取何值時，9的最小值.記錄結果，并

整理成如表：

a-4-2024

X*20-2-4

y的最小值*-9-3-5-15

注：*為②的計算結果.

【探究發現】老師:“請同學們結合學過的函數知識，觀察表格,談談你的發現."

甲同學:“我發現，老師給了a值后，我們只要取c=-a，就能得到y的最小值.”

乙同學：“我發現，沙的最小值隨a值的變化而變化，當a由小變大時，夕的最小值先增大后減小，所以

我猜想y的最小值中存在最大值”

（2）請結合函數解析式4=砂+2aa:+a—3,解釋甲同學的說法是否合理？

（3）你認為乙同學的猜想是否正確？若正確,請求出此最大值；若不正確，說明理由.

【分析】（1）①a=-4,y—x2+2ax+a—3—x2—8x—7;

②當拋物線在對稱軸即①=4時，夕取得最小值，即可求解；

（2）1>0,故函數有最小值，即可求解

（3）當x=-a時，9="+2ax+a—3=—a2+a—3,—l<0,故9有最大值，即可求解.

【解答】解：（1）①a=—4,y=x2+2ax+a—3=x2—8x—7;

②當拋物線在對稱軸即,=4時，夕取得最小值為：16-32-7=-23;

（2）合理,理由：

,/1>0,故函數有最小值，

當c=—a（對稱軸）時，沙取得最小值，

故甲同學的說法合理；

（3）正確，理由：

當x——a時，y—x2+2ax+a—3=—a2+a—3,

v—1<0,故沙有最大值，

當a=：時，y的最大值為：—?+（—3=—?.

【點評】本題考查的是二次函數綜合運用，涉及到二次函數的圖象和性質、函數最值得求解等，熟悉函數的

性質是解題的關鍵.

題型二二次函數與三角形面積

4.（2024-通遼）如圖,在平面直角坐標系中，直線夕=-^-x+3與①軸，y軸分別交于點C,。，拋物線y

=一；x3—2）2+k（k為常數）經過點。且交c軸于48兩點.（1）求拋物線表示的函數解析式;

（2）若點P為拋物線的頂點，連接CP.求四邊形4CPD的面積.

【分析】（1）求出。（0,3）,可得3=一?x（0—2戶+%,k=4,即可得拋物線表示的函數解析式為y

+6+3;

（2）連接OP,求出。（2,0）,OC=2,4（-2,0）,。4=2,拋物線頂點P坐標為（2,4）,可得S四邊形力。加=

S^AOD+S"OD+S"oc=10.

【解答】解：（1）在沙=—■青力+3中，令力=0得g=3,

???。（0,3）,

拋物線y——:(x—2)2+k經過點Z?(0,3),

3———X(0-2)2+k,

解得fc=4,

/.y——(x—2)2+4=一：/2+力+3；

??.拋物線表示的函數解析式為沙=一二/+/+3；

⑵連接OP,如圖；

在沙=一方力+3中，令。=0得力=2,

???0(2,0),0(7=2,

在y=--彳靖+力+3中，令g=0得0=--^a;2+x+3,

解得力=6或/=—2,???

.\A(-2,0),OA=2,

由y=--(c-2)2+4可得拋物線頂點P坐標為(2,4),

S四邊彩ACPD=S"OD+S"OD+S"oc=x2x3+--x3x2+x2x4=3+3+4=10;

四邊形ACPD的面積為10.

【點評】本題考查二次函數綜合應用，涉及待定系數法，函數圖象上點坐標的特征，三角形面積等知識，解題

的關鍵是用割補法求出四邊形ACPD的面積.

5.(2024?西寧)如圖，二次函數的圖象與刀軸交于點4(—3,0),與"軸交于點頂點。的坐標為(一2,

-1).

(1)求二次函數的解析式.

(2)判斷AABC的形狀，并說明理由.

(3)在直線上方的拋物線上是否存在一點P,使S^AB=2SAABC?若存在，求出所有符合條件的點

P的坐標;若不存在,請說明理由.

【分析】(1)設二次函數解析式為y—a[x—h)2+k(a豐0),將頂點C(—2,—1)代入解析式得y—a(x+2)2—

1,進而可以解決問題；

(2)過點。作CD_L夕軸于點。，過點人作AE_LCD于點E,然后根據勾股定理的逆定理即可解決問題；

(3)設點P的坐標為(m,m2+4m+3)，過點P作PH±AB,垂足為X,過點P作PQ//y軸交直線AB于

點Q,求出直線AB的解析式為g=/+3,得點。的坐標為(?71,+3),得PQ=m2+4m+3—(m+3)=

m2+3m=4,得mi=1,館2=—4，進而解決問題.

【解答】解：(1)設二次函數解析式為y—a(x—/z)2+fc(a20),

將頂點C(-2,一1)代入解析式得9=aQ+2)2—1,

?.?二次函數的圖象與田軸交于點4(—3,0),

0—o(—3+2)2—1,

解得a=l,

二次函數解析式為y—(x+2)2-l;

(2)Z\ABC是直角三角形，理由如下：

拋物線y=(①+2)2—1與g軸的交點，

當±=0時，y=3,

???比0,3),?M

如圖1,過點。作CDJ_g軸于點

。(0,—1),

過點4作4ELCD于點E,

?*?E(—3,—1),

.「4—3,0),C(—2,—1),

??.AB2=OB2+OA2=32+32=18,AC2=A￡；2+CE2=12+12=2,BC2=GD2+BD2=22+42=20,

??.AB2+AC2=20,

：.AB2+AC2=BC2,

：.△AB。是直角三角形；

⑶存在，理由如下：

g=Q+2)2—1="+4/+3,

設點P的坐標為(m,m2+4m+3),

過點P作PH_LAB,垂足為X,過點P作PQ〃。軸交直線AB于點Q,

設直線AB的解析式為。=fcr+b(kwO),將A(-3.0),B(0,3)代入得,

j-3A+b=0

lb=3

|k=1

解得％=3,

?,.直線AB的解析式為g=/+3,

???點Q的坐標為(m,m+3),

S5AB~2s△ABC,

[AB.PH=2x^-AB-AC,

:.PH=2AC=2^2,

在Rt/XAOB中，OA=06,

??.ZABO=ZBAO=45°,

???P?！ㄉ齿S，

??.ZPQH=ZABO=45°f

在RtAPQH中,

...z°PH

.sm4A5t.西,

.??收=等=4，

2?M

PQ—m2+4m+3—(m+3)=m2+3m—4,

解得=-4,

當m=l時，m?+4m1+3=8,

，P(1,8),

當m——4時，TTZ?+4m+3=3,

-3),

所有符合條件的點P的坐標是(1,8),(-4,3).

【點評】本題屬于二次函數綜合題，考查了二次函數的性質，待定系數法，勾股定理等知識，解題的關鍵是學

會用分類討論的思想思考問題.

6.(2024?濟寧)已知二次函數v=ad+就+c的圖象經過(0,—3),(-6,c)兩點，其中a,b,c為常數，

且ab>0.

⑴求a,c的值；

(2)若該二次函數的最小值是一4,且它的圖象與刀軸交于點4B(點A在點B的左側)，與0軸交于點

C.

①求該二次函數的解析式,并直接寫出點的坐標；

②如圖，在夕軸左側該二次函數的圖象上有一動點P,過點P作①軸的垂線，垂足為。，與直線入。交

S/\PCE3

于點E,連接PC,CB,BE.是否存在點P,使五蕊=0?若存在，求此時點尸的橫坐標;若不存在,

【分析】(1)將已知兩點代入到解析式進行計算分析即可得解；

(2)①將第一問求出的a、c代入配成頂點式即可得到含6的最小值，再根據題中條件建立方程即可求出b

值，最后求二次函數與力軸交點，令g=0即可得解；

②分兩種情況討論，點P在點4的左右兩側，再利用△PCE和都是以CE為底的三角形，求出PG

的長度，從而得到解析式，聯立求解即可.

【解答】解：⑴???函數過(0,—3),(―b,c)

c=-3,ab2—〃+。=。，

(Q—l)b2=0,

ab>0,

/.a#0,bW0,

a—1=0,???

a=1.

（2）①由⑴知該函數的解析式為：g="+匕/—3=（力+與）—1,

*.*a=1>0,

當x=—■時，函數最小值為n=—1I?,

二次函數最小值為一4,

.-^±12=_4

??4，

解得b=±2,

ab>0,

.*.6=2,

/.二次函數解析式為g="+2/—3,

令g=0,則"+21-3=0,

解得X1=—3,=1,

???點/坐標（一3,0）,點B坐標（1,0）.

②I,當點P在點4右側時，如圖，過B作于點F,過P作PG_L4?于點G,

vA(-3,0),C(0,-3),B(l,0),

:.OA=OC=3,OB=1,

：.AB=OA+OB=4：f47二3五

VSAAB。=^AB-OC=^BF-AC,

:.BF=。=2僅

"/IOg

△PCE和ABCE都是以CE為底的三角形,

SAPCE_PG3

:,SABCEBF8,

過P作PH〃/。交g軸于點if,過C作CK_LPH,則CK=PG=_^Z,

???OA=OC9

：.ZOCA=45°,

???NCHK=45。,

:.CH=^CK*,

.?.點〃坐標(o,一今)，

直線PH解析式為“=一立—,

y=/+2%一3

9

y=-x—

聯立方程組可得V2

11,當點P在點4左側時，過P作PH//交9軸于點H,

同第一種情況的方法可得H(O,-)

直線解析式為y=-x-',

y=x2+2JC-

y=-x-2

聯立方程組得｛,2

卜(-=3+^^45

V=3

解得Ji-~(舍)，

P點坐標為(二^薩瓦，乎)?

綜上，P點的橫坐標為上要或-3丁或-3-V15.

【點評】本題主要考查待定系數法求二次函數解析式、二次函數最值問題、二次函數與，軸交點問題、二次函

數與直線交點問題等內容，難度中等，熟練掌握相關知識是解題的關鍵.

題型三批物線與精珠三角形的存在性問題

7.(2024-泰安)如圖，拋物線Cjy=a/+卷一4的圖象經過點。(1,—1),與①軸交于點A,點8.

O

(1)求拋物線G的表達式；

(2)將拋物線G向右平移1個單位，再向上平移3個單位得到拋物線G，求拋物線。2的表達式，并判

斷點。是否在拋物線G上；

(3)在立軸上方的拋物線&上，是否存在點尸，使4PBD是等腰直角三角形.若存在，請求出點P的

坐標;若不存在,請說明理由.

【分析】(1)將點D的坐標代入拋物線表達式，即可求解；

⑵由題意得：。2：g="!"(e-1)2+,(力一I)-4+3=一日)2—3，當力=1時，g=

33351535

普=^(1—■1)2一黑二—1,即可求解；

153515

(3)當4BAP為直角時，證明汨篤△Effl?(44S),求出點E(2,2),當力=2時，g二三3一孑尸一空

3515

=3(2—§)2一整=2,即點后在拋物線G上，即點p即為點E(2,2)；當"BP為直角時，同理可解；當

/〃尸。為直角時，如圖3,同理可得點E(O,1),即可求解.

【解答】解：(1)將點。的坐標代入拋物線表達式得：—l=a+今一4,

解得：a二弓，

O

則拋物線的表達式為：?/=-1-x2+-^-x—4;

OO

⑵由題意得:。2：沙=，(力-1)2+3力-1)-4+3="|~(力一~1~)2—書,

333515

當力=1時，L口3一/一瞿=春(「母)2—段二T,

35153515

故點。在拋物線。2上；

⑶存在，理由：

當/BDP是直角時，

如圖1,過點。作且=則△BDE為等腰直角三角形，

圖1圖2?M

ABDG+4EDH=90°,AEDH+NDEH=90°,

4BDG=4DEH,

?：NDGB=4EHD=90°,

/\DGB空AEHD(AAS),

則DH=BG=1,EH=GD=1+2=3,

則點E(2,2),

當c=2時，沙=33一1)2_崇=](2_1)2—瞿=2,

35153515

即點E在拋物線。2上，

即點P即為點E(2,2);

當/DBF為直角時，如圖2,

同理可得：ABGE注△DHB(AAS),

則DH=3=BG,BH=1=GE,

則點E(—l,3),

當±=-L時,夕=卷3一春)一居=得(_1_