專題14三角形中的重要模型之帽子模型、等邊截等長與等邊內(nèi)接等邊模型

等腰（等邊）三角形是中學階段非常重要三角形，具有許多獨特的性質(zhì)和判定定理。中考數(shù)學的常客,

并且形式多樣，內(nèi)容新穎，能較好地考查同學們的相關能力。本專題將把等腰三角形的三類重要模型作系

統(tǒng)的歸納與介紹，方便大家對它有個全面的了解與掌握。

例題講模型

，一...........................................................................................................................................2

模型1.等腰三角形中的重要模型-帽子模型（長短手模型）..................................2

模型2.等邊截等長模型（定角模型）...................................................8

模型3.等邊內(nèi)接等邊.................................................................12

習題練模型

.........................................................................................................................................18

例題講模型

模型1.等腰三角形中的重要模型-帽子模型（長短手模型）

模型解讀

帽子模型，其實是等腰三角形獨特性質(zhì)的應用，因為模型很像帽子，學習知識點的同時也增加了趣味性。

模型證明

條件：如圖，已知BD=CE,DG-LBC^G,結論：①DF=FE；②BC=2FG°

證明：如圖，過點、D作DH〃AC交BC于H,則/BHD=ZACB,ZDHF=ZECF9

?.*AB=AC,：./B=ZACB,/B=/BHD,/.BD=DH,CE=BD,：.DH=CE,

ZDHF=ZECF

在叢DHF和/\ECF中,</DFH=/EFC,^DHFRt^ECF（AAS）,DF=EF；

DH=EC

?：ADHFWECF,：.FH=CF=-CH,?:BD=DH,DG1BC,：.BG=GH=-BH

22f

：.FG=GH+FH=-BH+-CH=-BC,：.BC=2FG.

222

模型運用

例1.（23-24八年級上?廣東中山?期末）如圖，“3C中，AB=AC,8c=10,點尸從點8出發(fā)沿線段

加移動到點/停止，同時點0從點C出發(fā)沿NC的延長線移動，并與點P同時停止.已知點P,。移動

的速度相同，連接尸。與線段3c相交于點。（不考慮點P與點4,3重合時的情況）.

AA

(1)求證：/尸+/0=248；(2)求證：PD=。。；(3)如圖，過點尸作尸E_L8C于點￡,在點P0移動的過

程中，線段。E的長度是否變化?如果不變，請求出這個長度；如果變化，請說明理由.

【答案】(1)見解析(2)見解析(3)￡。為定值5,理由見解析

【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，線段的和差，

準確作出輔助線找出全等三角形是解題關鍵.

(1)利用產(chǎn)、。的移動速度相同，得到。。=尸3,利用線段間的關系即可推出/尸+工。=2/3；(2)過點

P作尸尸〃4C,交8C于點尸，利用等邊對等角結合已知可證APED也AQCD(AAS),即可得出結論；

(3)過點尸作尸尸〃4C,交BC于點尸,由(2)得PB=PF,可知△PAF為等腰三角形，結合FD=C￡>,

可得出跳)=,2C即可得出即為定值.

2

【詳解】(1)證明：???尸、。的移動速度相同，.??。。二戶呂，

???AB=AC,/.AP+AQ=AB-PB+AC+CQ=2AB-

(2)如圖，過點尸作尸尸〃4C,交BC于點F,

vPF//AC,??./PFB=ZACB,ZDPF=ZDQC,

*/AB=AC,ZB=ZACB,ZB=ZPFB,BP=PFf由（1）得8尸=C。，PF=CQ,

ZPDF=ZQDC

在△尸F(xiàn)D與△QCD中，J^DPF=ZDQC,「.△尸即會△QCQ（AAS）,:.PD=DQ；

PF=CQ

（3）解：助為定值5,理由如下：如圖，過點P作尸尸〃/C,交3c于點尸，

由（2）得：PB=PF,.?.△尸8尸為等腰三角形，

???PEYBC,BE=EF,由（2）得△PFD^AQCD,：.FD=CD,

:.ED=EF+FD=-BF+-CF=-（BF+CF）=-BC=5,,即為定值5.

222'72

例2.（24-25九年級上?山西臨汾?階段練習）綜合與探究

問題情境：在VN8C中，AB=AC,在射線48上截取線段5。，在射線C/上截取線段CE,連結DE,DE

所在直線交直線BC于點M.

猜想判斷：（1）當點。在邊48的延長線上，點E在邊/C上時，過點、E作EF〃/B交BC于點F,如圖①.若

BD=CE,則線段DM、EM的大小關系為.

深入探究：（2）當點。在邊A8的延長線上，點E在邊。的延長線上時，如圖②.若BD=CE,判斷線段

DM、EM的大小關系，并加以證明.

拓展應用：（3）當點。在邊上（點。不與A、B重合），點E在邊C4的延長線上時，如圖③.若2。=1,

CE=4,DM=0.7,求EN的長.

【答案】（1）DM=EM（2）DM=EM,理由見解析；（3）EM=28

【分析】（1）過點E作EF〃/3交BC于點尸，證明ABOM絲A^EEMIAAS）即可得解；

（2）過點E作斯〃45交C8的延長線于點足證明△瓦加紐FW（AAS）即可得解；

（3）過點E作E尸〃48交C3的延長線于點尸，證明ABDMSAFEN,由相似三角形的性質(zhì)即可得解.

【詳解】（1）解：DM=EM,理由如下：過點E作斯〃43交3C于點尸，

圖①

VAB=AC,ZABC=ZC,EF//AB,ZEFC=ZABC,:.NEFC=NC,：.EF=CE

■：BD=CEBD=EF,,:EF〃AB,:.NMEF=ND,

ND=NMEF

在ABDM和叢FEM中，-ZBMD=NFME,/.ABDM/AFEM(AAS),；.DM=EM；

BD=EM

(2)解：DM=EM

理由如下：如圖，過點E作斯〃43交C2的延長線于點R

圖③

EF//AB,ZEFC=ZABC,乙EFM=NDBM,

AB=ACZABC=ZCZEFC=ZC:.EF=CE-：BD=CEBD=EF

AEFM=NDBM

在和△FEW中，＜ZBMD=AFME,：.^BDM^FEM（AAS）,DM=EM；

BD=EF

（3）解：如圖，過點E作斯〃交C3的延長線于點尸

?:EF//AB,...NF=ZABC-：AB=ACZABC=ZCZF=ZC

;CE=4EF=CE=4QBD〃EF:.^BDM^FEM；.=—

MEFE

071

DM=0.7,EF=4,BD=1,：.^=-EM=2.S.

ME4

【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、平

行線的性質(zhì)等知識點，熟練掌握以上知識點并靈活運用，添加適當?shù)妮o助線是解此題的關鍵.

例3.（2024?貴州銅仁?模擬預測）如圖，過邊長為6的等邊△/2C的邊48上一點尸，作PE_L/C于E,Q

為5C延長線上一點，連尸。交NC邊于，當孫=C。時，的長為（）

D.4

【答案】C

【分析】根據(jù)題意過P作BC的平行線，交AC于M；則AAPM也是等邊三角形，在等邊三角形APM中，

PE是AM上的高，根據(jù)等邊三角形三線合一的性質(zhì)知AE=EM；易證得APMD且△QCD,則DM=CD；此

時發(fā)現(xiàn)DE的長正好是AC的一半，由此得解.

【詳解】解：過P作PM〃BC,交AC于M,

ABC是等邊三角形，且PM〃:BC,」.△APM是等邊三角形;

又,.,PEJ_AM,.■.AE=EM=yAM；（等邊三角形三線合一）

VPM/7CQ,；.NPMD=/QCD,ZMPD=ZQ；

ZPDM=ZQDC

又：PA=PM=CQ,在APMD和AQCD中，＜ZPMD=ZQCD,

PM=QC

.".△PMD^AQCD(AAS)；.,.CD=DM=1CM；

.*.DE=DM+ME=y（AM+MC）=yAC=3.故選：C.

【點睛】本題考查平行線的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)；能夠正確的構建出等邊

三角形AAPM是解答此題的關鍵.

例4.（2024?河南?校考一模）問題背景：已知在V/5C中，邊AB上的動點D由A向B運動（與A,B不重

合），同時點E由點C沿BC的延長線方向運動（E不與C重合），連接DE交AC于點F,點H是線段AF上

一點，求告的值?

HF

（1）初步嘗試：如圖①，若V4BC是等邊三角形，DHLAC,且點D、E的運動速度相等，小王同學發(fā)現(xiàn)

Ar

可以過點D作。G//6C交AC于點G,先證GH=4H,再證G/=CF,從而求得「的值為；

HF

⑵類比探究：如圖②，若V/BC中，ZABC=90°f/ADH=/BAC=30。,且點D,E的運動速度之比是

AT

6.1,求7^7的值；

HF

（3）延伸拓展：如圖③，若在V48c中，AB=AC,NADH=NBAC=36。,記鋁=加，且點D、E的運動

AO

Ar

速度相等，試用含m的代數(shù)式表示會的值（直接寫出結果，不必寫解答過程）.

【詳解】解：（1）2；

【解法提示】如解圖①，過點D作。G〃BC交AC于點G,

,**AABC是等邊二角形，.*?AAGD是等邊二角形，

：.AD=GD,由題意知C￡=/。，:.CE=GD,

VDG//BC,：.ZGDF=ZCEF,

ZGDF=ZCEF

在aG。b與△CM中，1/GFD=/EFC,：.AGDF^ACEF(AAS),ACF=GF,

CE=GD

AC

VDHLAG,：.AH=GH：.AC=AG+CG=2GH+2GF=2(GH+GF),HF=GH+GF,：.—=2；

fHF

(2)如解圖②，過點D作。G〃5C交AC于點G,則//OG=//BC=90°,

?：/BAC=/ADH=30°,:.AH=DH,/GHD=/BAC+/ADH=60°,

AHDG=NADG-/ADH=60°,二ADGH為等邊三角形,GD=GH=DH=AH,AD=GDtan60°=&GD.

由題意可知，AD=^3CE.：.GD=CE.?；DG//BC,：.ZGDF=ZCEF.

ZGDF=ZCEF

在AGDF與4CEF中，＜ZGFD=/EFC,J△GDF也△CM(AAS),/.GF=CF.

CE=GD

iAr

GH+GF=AH+CF,^HF=AH+CF,：.HF=-AC=2,即——=2；

2HF

ACm-4-1

(3)名=3.如解圖③，過點D作。G〃BC交AC于點G,

HFm

易得/D=/G,AD=EC,ZAGD=ZACB.

在VA8C中，,?ABAC=ZADH=36°,AB=AC,

：.AH=DH,ZACB=ZB=72°,AGHD=AHAD+ZADH=72°,ZAGD=AGHD=72°,

*/NGHD=NB=NHGD=NACB,AABC^ADGH.

.BCGH

-----==m,GH=mDH=mAH.由△ZDGs/\ABC可得——=——=——二m.

ACDHADABAC

■：DG//BC,-.FG=mFC.

:?GH+FG=m(AH+FC)=m(AC—HF),^HF=m{AC-HF}.,

HFm

模型2.等邊截等長模型（定角模型）

模型解讀

條件：如圖，在等邊V/2C中，點。，E分別在邊8C,/C上，且=BE與40相交于點尸，BQ1AD

于點。.結論：①“BE學ACAD；②AD=BE；③NBPD=60°；?BQ=2PQ.

證明：在等邊三角形28c中，AB=AC,/B4E=/C=60°,

AB=AC

在A/BE和ACNZ)中，,NBAE=NC,AABE^ACAD(SAS),：.AD=BE,NCAD=NABE；

AE=CD

：.ZBPQ=NABE+ZBAP=ZCAD+ZBAP=NBAE=60°.

BQLAD,：.ZPBQ=3(f,：.BQ=2PQ.

模型運用

例1.(2024?四川宜賓?中考真題)如圖，點。、E分別是等邊三角形48c邊BC、/C上的點，且BD=CE,

BE與40交于點尸.求證：AD=BE.

【答案】見解析

【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出=

ZABD=ZBCE=6Q°,然后根據(jù)SAS證明“以后ABCE,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得證.

【詳解】證明：；是等邊三角形，二/8=8C,NABD=NBCE=6Q°,

又BD=CE,；.△/8D且△BCE(SAS),AD=BE.

例2.(2024八年級?重慶?培優(yōu))如圖，為等邊三角形，且=與8N相交于點P,則44/W

().

A.等于70。B.等于60。C.等于50°D.大小不確定

【答案】B

【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)的應用，先證明

AABM"ABCN0玲,得至U/BAM=NCBN,在三角形外角性質(zhì)求解即可.

【詳解】：等邊—8C,:.BC=CA=AB$BCN=DC4B=EM8C=60",

AB=BC

?：<AABM=ZBCN,:.AABM且ABCN(SAS),：.ZBAM=ZCBN,

BM=CN

,：^APN=HABP+DBAM,：.BAPN=￡ABP+￡CBN=￡ABM=60°,故選B.

例3.（23-24八年級?廣東中山?期中）如圖，在等邊V4BC中，點。、E分別在邊BC、NC上，且4E=CZ）,

BE與40相交于點P,8。1/0于點。.⑴求證：BE=AD；⑵若PQ=4,求8P的長.

【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、含30。角的直角三角形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌

握以上知識點并靈活運用是解此題的關鍵.（1）證明即可得證；

（2）求出,尸8。=30。，再根據(jù)含30。角的直角三角形的性質(zhì)即可得出答案.

【詳解】（1）證明：：V4BC為等邊三角形，AAB=AC,ZBAC=ZC=60°,

ZB=AC

在AASE和ACAD中<=t.ABE^CAD（SAS）,BE=AD.

AE=CD

⑵解：:"BE知CAD,：.NABE=NCAD,：./BPQ=N4BP+/BAP=NCAD+NB4P=NBAC=60。,

又：BQLAD,ZBQP=90°,/.ZPBQ=180°-ZBPQ-ZBQP=30°,/.BP=2PQ，又,：PQ=A,：.BP=*.

例4.（2023?浙江杭州?模擬預測）如圖，在等邊三角形N3C的/C,3C邊上各取一點P,Q（均不與端點

重合），且/P=C。，AQ,BP相交于點。，下列結論不正確的是（）

C.若A8=8,BP=1,貝ljH=3D.若PC=m4P,BO=nOP,貝!]〃=機加

【答案】D

【分析】先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得/3=4C,NB4P=NC=6CP,據(jù)此可判定A/5尸和ACN0全等，從而得

ZABP=ZCAQ,然后根據(jù)三角形的外角定理可求出480。=60。，由此可求出的度數(shù)，進而可對結

論A進行判定；由A/AP和AG4。全等可得出乙48尸=/尸/0,據(jù)此可判定和人尸。/相似，進而根據(jù)相

似的性質(zhì)可對結論B進行判定；過3作于點￡,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)/3=/C=8C=8,

CE=AE=4,然后分別用勾股定理求出CE,進而再求出PE,最后可求出產(chǎn)工,由此可對結論C進行判定;

設/尸=a,OP=b,則尸C-ma,BO=nb,AC=?(m+l),PB-b[n+\)，先由結論A正確得出a2=62(M+1),

過點B作3￡，/。于點￡,則/E=CE=；a(m+l),然后在RQ8CE中利用勾股定理求出BE,最后在

R3BPE中再利用勾股定理可求出m,n之間的關系，從而可對結論D進行判定.

【詳解】解：?；A4BC為等邊"BC,AB^AC,ZBAP=ZC=6CP,

AB=AC

在AABP與AC/0中，]ZBAP=ZC=60°,:.^ABP^CAQ(SAS),ZABP=ZCAQ,

AP=CQ

?;NBOQ=NBAO+NABP=NBAO+NCAQ=NBAC=60,

ZPOQ=180°-ZBOQ=120°,因此結論A正確；：443尸=N。。，即：AABP=ZPAO,

pADO

又ZAPB=ZOPA,:.^PAB^POA,；.—=—,

POPA

:.PA2=POPB,因此結論B正確；過3作應1_L4C于點E,

;“BC為等邊^(qū)ABC,AB=8,AB=AC=BC=S,BELAB,CE=AE=4,

在RbBCE中，CE=4,BC=8,由勾股定理得：BE=1BC°-CE?=46，

在RMBE尸中，BP=7,BE=M,由勾股定理得：PE=SJBP2-PE2=b

:.PA=AE-PE=4-U3,因此結論C正確；設/尸=a,OP=b,則尸C=〃7°,BO=nb,

:.AC=AP+PC^a(m+l),PB=OP+BO=b[n+\),

VAP-=POPB.：.a2=b-b(n+1)=b2(n+l),過點3作成，/。于點石，AAE=CE=^a(m+l),

在RSBCE中，C￡=gq(m+1),BC=AC^a(m+l),

由勾股定理得：BE=dBC?-CE。=ga(m+D，

/?1

在RtZkBQE中，BE=—〃(加+1),PE=AE—PA=—a\,

-q2~I--2

由勾股定理得：PE2+BE1=PB2>即：g。(機T)+~^-a(^+1)=01+1)了，

(機-if+：/(%+爐=方2(〃+1)(”+]),

將/-b2(〃+1)代入上式得：：a2(m-1)-+^-a2(m+1f=a2R+1J,

整理得：n=m2-2m，因此結論D不正確.故選D.

【點睛】此題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理

的應用等，解答此題的關鍵是熟練掌握似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，難點是靈活運

用勾股定理進行相關的計算.

模型3.等邊內(nèi)接等邊

模型解讀

模型證明

1)等邊內(nèi)接等邊(截取型)

條件：如圖1,等邊三角形/2C中，點。，E,尸分別在邊48,BC,C4上運動，且滿足AD=3E=C尸;

結論：三角形。￡尸也是等邊三角形。

證明：是等邊三角形，/.ZA=ZB=ZC=60°,AB=BC=AC.

AD=BE=CF,：.AF=BD=CE.

AF=BD,

在AADF和ABED中，|，AADF劣BED（SAS）,

AD=BE,

：.DF=DE.同理。尸=所，：.DF=DE=EF,，ADEF是等邊三角形.

2）等邊內(nèi)接等邊（垂線型）

條件：如圖，點P、M、N分別在等邊V/8C的各邊上，且于點P,NM1BC千,PNLAC

于點N,結論：三角形。E尸也是等邊三角形。

證明：???△/BC是等邊三角形，.?.//=/8=/C=60。，

MPVAB,NMLBC,PNLAC,:.NMPB=NNMC=NPNA=90。,

ZPMB=NMNC=ZAPN=30°,/.ZNPM=ZPMN=ZMNP=60°,:./\PMN是等邊三角形，

模型運用

例1.（2024七年級下?成都?專題練習）如圖，過等邊三角形。3c的頂點A、B、C依次作/B、BC、AC

的垂線MG、MN、NG,三條垂線圍成AMVG,若/M=2,貝UAMNG的周長為（）

A.12B.18C.20D.24

【答案】B

【分析】本題主要考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，含30度的直角三角形的性

質(zhì)，先證明A"NG是等邊三角形.得出MG=MN=NG.根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出A〃=2M4=4,證明

也AC4G（AAS）,得出G/=M8=4,求出MG=G/+=6,最后求出結果即可.

【詳解】解：?:ABLMG,/.ZBAG=90°,

：是等邊三角形，AZBAC=60°,：.ZCAG=ZBAG-ABAC30°,

：.ZG=60°,同理：NW=NN=60。，AAWG是等邊三角形.：.MG=MN=NG.

在RtA/BM中，ZM=60°,ZMBA=30°,MB=IMA=4,VACLNG,：.ZACG=90°,

ZM=ZG=60°

在△ABM與AG4G中，\zBAM=ZACG=9Q°,：.AABM^CAG（AAS）

AB=CA

：.GA=MB=4,：.MG=GA+AM=6,；.AAWG的周長為MG+AW+NG=3MG=18.故選：B.

例2.（24-25九年級上?四川成都?階段練習）如圖，已知等邊三角形4BC,點月，鳥，鳥分別為邊NBBC,CA

上的黃金分割點（/片<8々，BP2<CP2,CP3<AI｝）,連接KE，P2P3,月A，我們稱8乙為V/2C的“內(nèi)

含黃金三角形"，若在VN8C中任意取點，則該點落在“內(nèi)含黃金三角形”中的概率是.

A

【答案】7-375

【分析】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，黃金分割點的計算，概率的計算方法，

根據(jù)題意，設AB=BC=AC=k,可得等邊A/BC的面積，根據(jù)黃金分割點可得=/4=當二上,

APt=BP2=CP3,可證A/耳月會4866名4瑪巴，可得,朝烏=S45舄6-S￡P3P2，根據(jù)圖形面積可得烏瑪，再

根據(jù)概率的計算方法即可求解.

【詳解】解：：A/BC是等邊三角形，，44=N8=/C=60。，設AB=BC=AC=k,

如圖所示，過點A作4FL3C于點尸，

2

/?BF=^-AB=,AF7AB2-BF?=@左，SABC=-BCAF=-k--k=—k,

222c2224

:點6,R，6分別是/ABC,/C的黃金分割點，，絲1==史1=1二1,

ABBCAC2

Js-1J5-13-J5

，BP=CP=AP=4R=BP2=CP3=k-^—k=^—k,

X23

???△力4片之也則S二S&BP2Pl=S4cp3P2，

如圖所示，過點P1作與ELNC于點.?.在中，N期￡=30。，

?/z7_l,_13—V5._3—>/5,_I2772_3V3—VTs

,,AE——D=—x----k=------k，??DP,rE=APD,-AaE=---------k,

21224y4

L…口1V5-1,3V3-V157V15-2V3,2

*,SA期B=—AP.RE=-x-----左x---------k=---------k,

2312244

.一62而一2月一7百-3厲

印記一?A〃JC允A朝八一彳“3X-K--

76-3年卜2

------=7-3^5,故答案為：7-3石.

q——a

Q“BC—

4

例3.（23-24八年級下?廣東云浮?期中）如圖，點P,M,N分別在等邊三角形的各邊上，且4g

于點凡NM1BC于懸M,PNA.AC于點、N.（1）求證：dAW是等邊三角形；（2）若45=15cm,求B尸的

長.

【答案】（1）證明見解析（2）5cm

【分析】（1）先求得//=Z8=NC=60。.MPVAB,NMIBC,PNLAC得

NMPB=ZNMC=ZPNA=90°.貝ij4PMB=ZMNC=ZAPN=3（P,再求得

ZNPM=ZPMN=AMNP=6G.即可得到結論；

（2）由APBM絲AAC4P（AAS）得至!]8河=/尸，BP=AN,由//W=90°,//PN=30°得到/N=,則

AP=2AN=2BP.由48=15511得到/尸+8尸=282+82=15?11.即可得到答案.

【詳解】（1）證明：：V4BC是等邊三角形，，44=/B=/C=60。.

,?MP1AB,NMIBC,PN1AC,：.ZMPB=ZNMC=ZPNA=90°.

ZPMB=NMNC=ZAPN=9（P-6ff=3CP.

ZNPM=ZPMN=AMNP=18O5-9（F-3G=6G.APAW是等邊三角形.

（2）解：：APMN是等邊三角形，:.PM=MN=NP.

ZB=ZA

在APBM和&NAP中,<NMPB=ZPNA,/,4PBMmxNAP（AAS）.；.BM=AP,BP=AN.

PM=NP

ZPNA=90°,ZAPN=30°,：.AN=-AP.：.AP=2AN=IBP.

2

?.?/5=15cm,:.AP+BP=2BP+BP=15cm.：.BP=5cm.

【點睛】此題考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、含30。角的直角三角形的性質(zhì)等

知識，證明△尸跖V是等邊三角形是解題的關鍵.

例4.（2023?廣西?中考真題）如圖，是邊長為4的等邊三角形，點。，E,9分別在邊48,BC,CA

上運動，滿足（1）求證：尸之A8￡D；（2）設4。的長為x,AZ）E廳的面積為y,求y關于

x的函數(shù)解析式；（3）結合（2）所得的函數(shù)，描述AD￡尸的面積隨ND的增大如何變化.

【答案】（1）見詳解（2）了=乎/一3衣+46

⑶當2<x<4時?，廠的面積隨4D的增大而增大，當0<x<2時，SE尸的面積隨的增大而減小

【分析】（1）由題意易得N尸=8。，ZA=ZB=6Q°,然后根據(jù)“SAS”可進行求證；

（2）分別過點C、尸作FG1AB,垂足分別為點〃、G,根據(jù)題意可得其綱；=46，AF=4-x,

然后可得尸G=，^（4-x），由⑴易得A4DF學ABED義ACFE,則有S皿=S阻,=S皿=烏（4-x）,進

2\/AADI^DLL>ACr/l4、

而問題可求解；（3）由（2）和二次函數(shù)的性質(zhì)可進行求解.

【詳解】（1）證明：?.?”8C是邊長為4的等邊三角形，

ZA=ZB=ZC=6Q°,4B=BC=AC=4,'：AD=BE=CF,：.AF=BD=CE,

AF=BD

在△/￡>尸和.BED中，<=:.AADF包BED（SAS）；

AD=BE

（2）解：分別過點C、尸作FG1AB,垂足分別為點X、G,如圖所示:

c

在等邊AABC中，ZL4=ZS=ZACB=60°,AB=BC=AC=4,

CH=AC-sin60°=26,S^c=^AB-CH=443,

設4D的長為x,則4D=BE=CF=龍，/尸=4一x,

/.FG=AF-sin60°=—（4-x）,；?S^FAD-FG^—x（4-x）,

同理（）可知：（）

1"DF%BEDACFE,.St^AUDrF=St^DBEiDU=S△（C_/F/*?E￡=—4x、4-x,

2

'：^DEF的面積為y,y=SAABC-3SAADF=46一孚x（4-x）=孚c-3^x+4<T:

11A~3A/3

（3）解：由（2）可知：、=把工2-3丁%+46，：.=—>0,對稱軸為直線3G

,4a42x—

4

當尤>2時，了隨x的增大而增大，當x<2時，y隨x的增大而減小；

即當2<x<4時，△/無戶的面積隨的增大而增大，當0〈尤<2時，AZJEF的面積隨4D的增大而減小.

【點睛】本題主要考查銳角三角函數(shù)、二次函數(shù)的綜合及等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握銳角三角函數(shù)、二

次函數(shù)的綜合及等邊三角形的性質(zhì)是解題的關鍵.

習題練模型

1.（23-24九年級上?山西晉中?階段練習）如圖，V48c是等邊三角形，點E分別在8C,NC上，且

BD.DC=2:1,CE;AE=2:1,BE與40相交于點凡則下列結論：①44反=60。，②CE?=DF-DA,

③AF-BE=AE-AC.其中正確的有（）

A.3個B.2個C.1個D.0個

【答案】A

【分析】由V/3C是等邊三角形，求得AD=CE,證明也ABCE,得到=即可求得

ZAFE=60°,故①正確；由/BFD=NAFE=N4BD=60°,證明即可得至UCE?=。尸，。/,

故②正確；由/BAE=/4FE=60°,ZAEB=ZFEA,證明△/尸Es^BNE,即可求得/尸?8E=NE?ZC,

故③正確；

【詳解】YV/BC是等邊三角形，

AB=BC=AC,ABAC=ZABC=ZBCA=60°,

:BD:DC=2:1,CE:4E=2:1,

：.BD=CE,且/3=3C,ZABC=ZBCA=60°,

AABD%BCE,

ABAD=ZCBE,

,/ZABE+ZEBD=60°,

：.ZABE+ZCBE=60°,

,///尸￡■是448戶的外角，

ZAFE=60°,

...①正確；

NBFD=AAFE=ZABD=60°,NBDF=ZADB,

Z.ABDF^AADB,

：.BD:AD=DF:DB,

BD2=DF?DA>

：.CE1=DF?DA,

...②正確；

,/NBAE=ZAFE=60°,NAEB=ZFEA,

△AFEs/\BAE,

AF;AB=AE:BE,

：.AF-BE=AE?AB,

AF?BE=AE?AC,

...③正確；

故選：A.

【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)及相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握

相似三角形的判定和性質(zhì)是解決問題的關鍵

2.（2024廣東九年級二模）如圖，在等邊三角形/8C中，點尸，0分別是/C,邊上的動點（都不與線

段端點重合），MAP=CQ,AQ.8P相交于點。下列四個結論：①若PC=24P,則30=6。尸；②若8C=8,

BP=7,則PC=5；③AP2=OP-AQ；④若48=3,則。。的最小值為石，其中正確的是（）

A.①③④B.①②④C.②③④D.①②③

【答案】A

【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到/C=3C,根據(jù)線段的和差得到CP=8。，過P作尸D〃3C交于D,

根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到①正確；過8作于E,解直角三角形得到②錯誤；在根據(jù)全等三角形

的性質(zhì)得到根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到③正確；以N3為邊作等邊三角形

連接CN,證明點N,A,O,8四點共圓，且圓心即為等邊三角形兒48的中心設CM于圓”交點。、

CO即為CO的最小值，根據(jù)30度角的直角三角形即可求出結果.

【詳解】解：是等邊三角形，.../GBC,

"：AP=CQ,：.CP=BQ,,:PC=2AP,：.BQ=2CQ,

如圖，過尸作尸8c交于。,

0c

PDAPPDOP

：.AADP^AAQC,APODs叢BOQ，：節(jié)=不=T年=弁，

ACJD\JJDU

：.CQ=3PD,：.BQ=6PD,：.B0=60P；故①正確；

過8作3E_L/C于E,貝!]CE=；/C=4,VZC=60°,:.BE=4也,

：.PE=^PB2-BE2=1＞，PC=4+I=5,或尸C=4-l=3,故②錯誤；

在等邊△4BC中，AB=AC,ZBAC=ZC=60°,

'AB=AC

在尸與AC/Q中，＜NB4P=/C,

AP=CQ

：.￡\ABP^/\ACQ(SAS),：.ZABP=ZCAQ,PB=AQ,

4PQp

'：ZAPO=ZBPA,:.△APOsdBPA,：.—=——，

PBAP

：.AP2=OP-PB,：.AP2=OP-AQ.故③正確；

以為邊作等邊三角形AMB,連接CN,/.ZNAB=ZNBA=60°,NA=NB,

'：NPBA=NQAC,：.ZNAO+ZNBO=ZNAB+ZBAQ+ZNBA+ZPBA

=60o+ZBAQ+60°+ZQAC=n0°+ZBAC=180o,

...點N,A,O,2四點共圓，且圓心即為等邊三角形乂42的中心M,

設CM于圓”交點。:CO即為C。的最小值，

"：NA=NB,CA=CB,；.CN垂直平分N3,AZMAD=ZACM=30°,

：.ZMAC=ZMAD+ZBAC=90°,在中，AC=3,

:.MA=AC，tan/ACM=5CM=2AM=2y/i,：.MO'=MA=y/j,

即C。的最小值為班，故④正確.綜上：正確的有①③④.故選：A.

【點睛】本題屬于三角形的綜合題，考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三

角形的性質(zhì)，四點共圓，銳角三角函數(shù)，最短路徑問題，綜合掌握以上知識并正確的作出輔助線是解題的

關鍵.

3.（2024?廣西?一模）如圖，在等邊。3c中，4B=3,點、D,E分別在邊8C,AC±,S.BD=CE,連接

AD,BE交于點、F,在點。從點8運動到點C的過程中，圖中陰影部分的面積的最小值為（）

【答案】B

【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、圓的有關性質(zhì)等知識.首先證明

ZAFB=120。,推出點尸的運動軌跡是。為圓心，0/為半徑的弧上運動，連接OC交。。于N,當點尸與N

重合時，陰影部分的面積的值最小.

【詳解】解:如圖，?.?△4BC是等邊三角形，

AB=BC=AC,ZABC=NBAC=NBCE=60°,

BD=CE,：.^ABD^BCE(SAS),:.NBAD=ACBE,S^BAD=,

又

S^ABF=SKMCDFE,NAFE=ABAD+AABE,ZAFE=NCBE+AABE=ZABC,

.?.N4FE=60。，尸8=120。，.?.點廠的運動軌跡是。為圓心，0/為半徑的弧上運動(a403=120。，04=百)，

連接OC交。。于N,當點尸與N重合時，S△，⑻的面積最大，則陰影部分的面積的值最小，

此時點尸是等邊的中心，.?.陰影部分的面積的最小值為LxLx3x3-sin60o=2,故選：B.

324

4.（23-24八年級上?黑龍江哈爾濱?階段練習）如圖，在V/BC中，乙4c3=90。,點尸在邊42上,

點。在邊/C上，連接D9并延長。尸交C8的延長線于點E,連接CF,且CP=ED,過點A作NGLCF于

點、G,4G交FD于點、K,過點B作交CF的延長線于點H,以下四個結論中：

①AG=CH；②AD=BE；③當N8G〃=45°時，2BH-EF=FG；?ZCAG=ZCEF.正確的有（）

個.

【答案】C

【分析】本題考查了等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，①證明

A/CG%C3〃（AAS）可知/G=C”正確；②先證明E>E=D尸CE,貝I]C尸=EF=Db，過。作DM//BC,

交于證明AOI加之AEB尸（AAS）,可得結論；③由