專題19全等與相似模型之一線三等角（K字）模型

全等三角形與相似三角形在中考數學幾何模塊中占據著重要地位。相似三角形與其它知識點結合以綜

合題的形式呈現，其變化很多，難度大，是中考的常考題型。如果大家平時注重解題方法，熟練掌握基本

解題模型，再遇到該類問題就信心更足了.本專題就一線三等角模型進行梳理及對應試題分析，方便掌握。

目錄導航

例題講模型

.........................................................................................................................................................2

模型L一線三等角模型（全等模型）....................................................2

模型2.一線三等角模型（相似模型）....................................................6

習題練模型一

.......................................................................................................................................................10

大家在掌握幾何模型時，多數同學會注重模型結論，而忽視幾何模型的證明思路及方法，導致本末倒

置。要知道數學題目的考察不是一成不變的，學數學更不能死記硬背，要在理解的基礎之上再記憶，這樣

才能做到對于所學知識的靈活運用，并且更多時候能夠啟發我們解決問題的關鍵就是基于已有知識、方法

的思路的適當延伸、拓展，所以學生在學習幾何模型要能夠做到的就是：①認識幾何模型并能夠從題目中

提煉識別幾何模型；②記住結論，但更為關鍵的是記住證明思路及方法；③明白模型中常見的易錯點，因

為多數題目考察的方面均源自于易錯點。當然，以上三點均屬于基礎要求，因為題目的多變性，若想在幾

何學習中突出，還需做到的是，在平時的學習過程中通過大題量的訓練，深刻認識幾何模型，認真理解每

一個題型，做到活學活用！

例題講模型］

模型1.一線三等角模型（全等模型）

模型解讀

一線三等角模型是指三個相等的角的頂點在同一條直線上，這個模型在七八年級階段往往用來證明三條線

段的和差或線段的求值及角度的證明等，是一類比較典型的全等模型；模型主要分為同側型和異側型兩類。

模型證明

1）一線三等角（K型圖）模型（同側型）

銳角一線三等角直角一線三等角（“K型圖”）鈍角一線三等角

條件：ZA=NCED=NB,AE=DE；結論：*BE.ECD,AB+CD=BC.

2）一線三等角（K型圖）模型（異側型）

銳角一線三等角直角一線三等角鈍角一線三等角

條件：ZDCF=ZABC=ZAED,AE=DE；結論：AABE*ECD,AB-CD=BC。

1）（同側型）證明：VZAEC=ZB+ZBAE,NB=/AED,：.ZAEC=ZAED+ZBAE,

?：/AEC=/AED+NCED,：.ZBAE=ZCEDO

在/ABE和/EC。中，ZB=ZC,ZBAE=ZCED,AE=ED；：.AABE=^ECD,

：.AB=EC,BE=CD,?：BC=BE+EC,：.AB+CD=BCO

2）（異側型）證明：*：ZDCF=ZABC,；.NECD=NABE,

VZABC=ZA￡B+ZA,ZAED=ZAEB+ZCED,ZABC=ZAED,

：.ZAEB+ZA=ZAEB+ZCED,ZA=ZCED,

在AABE和/EC。中，ZA=ZCED,ZECD=ZABE,AE=ED；：.^ABE=^ECD,

：.AB=EC,BE=CD,TBC=EC-BE,：.AB-CD=BC0

模型運用

例1.（2024?山東煙臺?中考真題）在等腰直角AABC中，ZACB=90°,AC=3C,。為直線BC上任意一點,

連接AD.將線段AD繞點。按順時針方向旋轉90。得線段ED,連接BE.

【嘗試發現】（1）如圖1,當點D在線段BC上時，線段BE與C。的數量關系為；

【類比探究】（2）當點。在線段BC的延長線上時，先在圖2中補全圖形，再探究線段8E與C。的數量關

系并證明；

【聯系拓廣】（3）若AC=BC=1,8=2,請直接寫出sin/ECD的值.

例2.（2023?湖南岳陽?統考一模）如圖，在A8C中，AB^AC=2,NB=40。，點。在線段BC上運動（點。不

與點8、C重合），連接AD,作/AOE=40。，OE交線段AC于點E.

U）當/2DA=115°時，ZEDC=°,ZAED=°；

（2）線段。C的長度為何值時，AABD2LDCE,請說明理由；（3）在點。的運動過程中，A4OE的形狀

可以是等腰三角形嗎？若可以，求/BD4的度數；若不可以，請說明理由.

例3.（2024?甘肅?中考真題）【模型建立】（1）如圖1,已知AABE和△BCD,AB±BC,AB=BC,CD±BD,

AE1BD.用等式寫出線段AE,DE,8的數量關系，并說明理由.

【模型應用】（2）如圖2,在正方形ABCD中，點E,B分別在對角線3。和邊8上，AELEF,AE=EF.用

等式寫出線段BE,AD,DP的數量關系，并說明理由.

【模型遷移】（3）如圖3,在正方形ABCD中，點E在對角線3D上，點尸在邊。的延長線上，AELEF,

AE=EF.用等式寫出線段BE,AD,的數量關系，并說明理由.

圖2圖3

例4.(23-24八年級上?重慶泰江?期末)(1)如圖①，ZMAN=90°,射線AE在這個角的內部，點8、C分

別在NM4N的邊AM、AN上，SLAB=AC,(下上短于點尸，8DLAE于點D求證：VABZ注VC4F；

(2)如圖②，點3、C分別在/M4N的邊4W、4V上，點E、尸都在4￡4N內部的射線A。上，4、Z2

分別是△"￡1、VC4r的外角.已知AB=AC,S.Z1=Z2=ZBAC.求證：EF=BE—CF；

(3)如圖③，在VABC中，AB=AC,AB>BC.點。在邊BC上，CD=3BD,點、E、F在線段AD上,

4=N2=NBAC.若VABC的面積為17,求AAC》與V3DE的面積之和.

圖①圖②圖③

例5.(23-24九年級下?黑龍江哈爾濱?期末)如圖,在平面直角坐標系中，AABC的頂點A在y軸正半軸,

點C在x軸正半軸，AB=AC,NC4B=90。,BC交y軸于點E.⑴如圖1,若點8坐標為(-3,-3),直接寫

出點A的坐標，點C的坐標;(2)如圖2,若點8坐標為(北機)(〃?<0),過點8作BD工BC交

無軸于點。，設。。的長為d,請用含相的式子表示d；(3)如圖3,若點2為第三象限內任意一點，過點B

模型2.一線三等角模型（相似模型）

模型解讀

“一線三等角”型的圖形，因為一條直線上有三個相等的角，一般就會有兩個三角形的“一對角相等“，再利用

平角為180。,三角形的內角和為180。,就可以得到兩個三角形的另外一對角也相等（或利用外角定理也可）,

從而得到兩個三角形相似.

模型證明

1）一線三等角模型（同側型）

（銳角型）（直角型）（鈍角型）

條件：如圖，Z1=Z2=Z3,結論：AACEs^BED。

證明：'：Z1+ZC=Z2+ZDEB（外角定理），Z1=Z2

：.ZC=ZDEB,VZ1=Z3,A△￡￡￡）?

2）一線三等角模型（異側型）

條件：如圖，Z1=Z2=Z3,結論：AADEsABEC.

證明:（等角的補角相等），.?.△ACES/XBE。。

；N2=/C+/CEB（外角定理），Z3=ZDEA+ZCEB,Z2=Z3：.ZC=ZDEA,：.△ADE^ABEC.

3）一線三等角模型（變異型）

①特殊中點型：條件：如圖1,若C為的中點，且/1=/2=/3,結論：AACEsABEDsAECD.

證明：；N1+/C=N2+/DEB（外角定理），Z1=Z2,：.ZC=ZDEB,VZ1=Z3,^ACE^ABEDo

.?.絲=4,：C為AB的中點，:.AE=EB,.-.￡￡=,:.吧=嗎,VZ2=Z3,ABED^/\ECD

BDEDBDEDCEED

②一線三直角變異型1：條件：如圖2,NABD=NAFE=NBDE=90。.結論:AABC^/\BDE^ABFC^AAFB.

證明：VZABD=ZAFE=90°,：.ZABF+ZCBF=90°,ZA+ZABF=90°,：.ZCBF=ZA,

/ABD=/BDE=90°,；.AABC^>ABDE,:ZABD=NAFE=90°,：.ZABC=NBFC=90。,

:.AABCs^BFC,同理可證：AABCsAAFB。,故AABCSABDEsABFCsAAFB.

③一線三直角變異型2：條件：如圖3,ZABD=ZACE=ZBDE=90°.^^：AABMs叢NDEs八NCM.

證明：VZABD=ZACE^90°,:./ABM=NMCN=90。,

?.,/AMB=NNMC（對頂角相等）:.AABMs4NCM.同理可證：ANDEsANCM

故：4ABMsANDESANCM.

模型運用

例1.（2023?山東東營?統考中考真題）如圖，AABC為等邊三角形，點。，E分別在邊3C,A3上，ZADE=60°,

若3D=4DC,DE=2.4,則AD的長為（）

例2.（2023?黑龍江?統考中考真題）在以“矩形的折疊”為主題的數學活動課上，某位同學進行了如下操作:

第一步：將矩形紙片的一端，利用圖①的方法折出一個正方形至防，然后把紙片展平；

第二步：將圖①中的矩形紙片折疊，使點C恰好落在點尸處，得到折痕MN,如圖②.

根據以上的操作，若AB=8,AD=12,則線段的長是（）

A.3B.75C.2D.1

例3.（2024?湖北武漢?校考模擬預測）【試題再現】如圖1,Rt^ABC中，ZACB=90°,AC=BC,直線/過

點C,過點A、5分別作AD_L/于點。，8E_L/于點E,則DE=AD+3E（不用證明）.

CE

E^~~CE

'B4

備用圖

（1）【類比探究】如圖2,在AABC中，AC=BC,^.ZACB=ZADC=ZBEC=\0O°,上述結論是否成立？若成

立，請說明理由：若不成立，請寫出一個你認為正確的結論.

⑵【拓展延伸】①如圖3,在AABC中，AC=nBC,且ZACB=ZADC=ZBEC=100。，猜想線段DE、AD.BE

之間有什么數量關系？并證明你的猜想.

②若圖1的RtZkABC中，ZACB=90°,AC=nBC,并將直線/繞點C旋轉一定角度后與斜邊AB相交，分別

過點A、8作直線/的垂線，垂足分別為點。和點E,請在備用圖上畫出圖形，并直接寫出線段DE、AD.

8E之間滿足的一種數量關系（不要求寫出證明過程）.

例4.（2023?浙江寧波?二模）【基礎鞏固】如圖1,P是NABC內部一點，在射線的上取點。、E,使得

NCEP=ZADP=ZABC.求證：^ABD^^BCE；

【嘗試應用】如圖2,在Rt?ABC中，ABAC=90°,AB=AC,。是AC上一點，連接BD,在BD上取點E、

F,連接CE、AF,使得NAFD=/CED=45。.若BF=2,求CE的長；

【拓展提高】如圖3,在RtAABC中，ZBAC=90°,ZACB=30°,。是AC上一點，連接BD,在BD上取點

E,連接CE.若NCED=60。，—求N3CE的正切值.

DE5

例5.（2023?河北滄州?校考二模）如圖，在Rt^ABC中，ZABC=90°,AB=BC,點。是線段A3上的一

點，連接8,過點8作3GLCD,分別交C￡＞、C4于點E、F,與過點A且垂直于的直線相交于點G,

連接。尸，下列結論錯誤的是（）

A.黑=鑒B.若點。是A8的中點，貝

ABFC3

C.當8、C、F、。四點在同一個圓上時，DF=DBD.若黑="，則山比=95?呀

習題練模型

1.（2024?重慶?中考真題）如圖，在正方形ABCD的邊8上有一點E,連接AE,把AE繞點E逆時針旋轉

90°,得到小，連接CF并延長與的延長線交于點G.則&的值為（）

A.72B.73C.述D.述

22

2.（2024.遼寧朝陽?八年級統考期末）如圖，AABC中，AB=AC,ZB=40°,。為線段3c上一動點（不

與點8,C重合），連接AQ,作ZADE=4O°,交線段AC于E,以下四個結論：

?ZCDE=ZBAD；②當。為3c中點時，DE1AC,③當VADE為等腰三角形時，ZBAD=20°；

④當/54。=30。時，BD=CE.其中正確的結論的個數是（）

A.1B.2C.3D.4

3.（2024.浙江溫州.模擬預測）如圖，已知點A（-L0）,川0,2）,A與H關于y軸對稱，連結AB,現將線段

以A點為中心順時針旋轉90。得A0,點8的對應點9的坐標為（）

A.（3,1）B.（2,1）C.（4,1）D.（3,2）

4.（23-24九年級下.黑龍江哈爾濱?階段練習）已知：如圖，等腰直角AABC,/區4c=90。，AB=AC,點

。為"RC外一點，ZADB=45°,連接CDAD=4,CD=5五,3C的長為.

D

5.（2024.陜西西安.模擬預測）如圖，已知44BC,AB=6,ZABC=3O°,BC=8,和△ACE都是

等腰直角三角形，圖中陰影部分的面積為.

D

6.（2024?廣東汕頭?一模）如圖，為了測盤凹檔的寬度，把一塊等腰直角三角板（AB=CB,ZABC=90°）

放置在凹槽內，三個頂點A,B,C分別落在凹槽內壁上，若ZAMN=NCNM=90。，測得A〃=18cm,

CN=30cm,則該凹槽的寬度跖V的長為cm.

7.（2024?江蘇蘇州?二模）如圖，將平行四邊形ABCD繞點A逆時針旋轉得到平行四邊形AEFG,使點E落

4R4RF

在邊BC上，且點D巧合是尸G的中點，若黑=三則當的值為

AD5CE

8.（2024?湖北襄陽?模擬預測）如圖，將一張正方形紙片ABCD折疊，折痕為AE,折疊后，點8的對應點

落在正方形內部的點尸處，連接。尸并延長交3C于點G.若BG=CG,AD=26,則EG的長為.

AD

：\/F

m-----\Z_Z_--------\r

EG

9.（2024?四川成都?一模）已知等邊“IBC的邊長為5,點M在邊A5上運動，點N在直線AC上運動,將^ABC

f}Ar1

沿著MN翻折，使點A落在直線5C上的點A處，若行;=1，則AN=.

10.（23-24八年級下?山東濱州?期末）小明酷愛數學，勤于思考，善于反思，在學習八年級上冊數學知識之

后，他發現“全等三角形”和“軸對稱”兩章中許多問題有關聯，問題解決的方法相通.于是他撰寫了一篇數學

作文.請你認真閱讀思考，幫助小明完成相關內容.“一線三垂直”模型的探索與拓展

【模型呈現】“一線三垂直”模型是“一線三等角”模型的特殊情況，即三個等角的度數均為90。，且它們的頂

點在同一條直線上，所以稱為“一線三垂直模型”.若有一組對應邊長相等時，則模型中必定存在全等三角形.

例如：如圖1,ZACB=90°,過點C作任意一條直線"7,A￡>_L機于點。，BEL”于點、E,則三個直角的

頂點都在同一條直線機上,這就是典型的“一線三垂直”模型;如果AC=3C,那么由Nl+N2=N2+N2=90。，

可得N1=N3,又因為NADC=/CEB=90。，所以可得△ADC/△（?￡?.

【模型應用】問題1：如圖2,在Rt^ABC中，ZBAC^90°,AB=AC,點。為BC上一點，連接AD.過

點B作于點E,過點C作C尸，AD交AD的延長線于點F.若BE=5,CF=1,求E尸的長.

問題2：如圖3,在平面直角坐標系中，A（-l,0）,B（0,2）.若是以A3為腰的等腰直角三角形，請直

接寫出所有滿足條件的點P的坐標.

【模型遷移】問題3：如圖4,已知AABC為等邊三角形，點。㈤P分別在三邊上，且班＞=CF,NEDF=NB.求

證：AOEF是等邊三角形.

11.（2023?江蘇?九年級專題練習）【感知模型】“一線三等角”模型是平面幾何圖形中的重要模型之一，請根

據以下問題，把你的感知填寫出來：

①如圖1,AABC是等腰直角三角形，ZC=90°,AE=BD,貝心隹。/_______；

②如圖2,△ABC為正三角形，BD=CF,NEDF=60。,貝必80￡絲；

③如圖3,正方形ABCD的頂點8在直線/上，分別過點A、C作于E,于足若鉆=1,CF=2,

則EF的長為.

【模型應用】（2）如圖4,將正方形放在平面直角坐標系中，點。為原點，點A的坐標為（1'百），則

點C的坐標為

【模型變式】（3）如圖5所示，在AMC中，40=90。，AC=BC,BELCE于于。，°E=4cm,

AD=6cm,求8E的長.

12.（2024?黑龍江牡丹江?九年級期末）平面內有一等腰直角三角板（NACB=90。）和一直線MN.過點C

作CELMN于點E,過點8作戰，MN于點?當點E與點A重合時（如圖1）,易證：AF+BF=2CE.

（1）當三角板繞點A順時針旋轉至圖2的位置時，上述結論是否仍然成立？若成立，請給予證明；若不成立,

線段ARBF、CE之間又有怎樣的數量關系，請直接寫出你的猜想，不需證明.

（2）當三角板繞點A順時針旋轉至圖3的位置時，上述結論是否仍然成立？若成立，請給予證明；若不成立,

線段ARBF、CE之間又有怎樣的數量關系，請直接寫出你的猜想，不需證明.

13.（2024?浙江?校考一模）（1）探索發現：如圖1,己知RMABC中，ZACB=90°,AC^BC,直線/過點

C,過點A作過點8作BE，/,垂足分別為。、E.求證：CD=BE.

（2）遷移應用：如圖2,將一塊等腰直角的三角板MON放在平面直角坐標系內，三角板的一個銳角的頂

點與坐標原點。重合，另兩個頂點均落在第一象限內，已知點N的坐標為（4,2）,求點M的坐標.

（3）拓展應用：如圖3,在平面直角坐標系內，已知直線y=-4x+4與＞軸交于點P,與x軸交于點Q,將

直線PQ繞尸點沿逆時針方向旋轉45。后，所得的直線交無軸于點R.求點R的坐標.

14.（2024?北京校考?一模）已知梯形ABCD中，AD//BC,S.AD<BC,AD=5,AB=DC=2.

⑴如圖，P為AD上的一點，滿足NBPC=NA,求AP的長；

⑵如果點P在AD邊上移動（點P與點。不重合），且滿足NBPE=NA,3c交直線BC于點E,同時交直線

DC于點2.①當點。在線段DC的延長線上時，設CQ=y,CQ=y,求V關于了的函數關系式，并寫出自

變量x的取值范圍；②寫CE=1時，寫出AP的長（不必寫解答過程）

15.（2024?湖北?中考真題）如圖，矩形ABCD中，E,尸分別在AD,8c上，將四邊形ABFE1沿EF翻折，使A

的對稱點尸落在CO上，8的對稱點為G,PG交BC于H.

⑴求證：AEDPs2CH.（2）若尸為CO中點，且AB=2,BC=3,求G”長.

（3）連接2G,若尸為8中點，H為5c中點，探究2G與48大小關系并說明理由.

16.（2023年安徽省九年級數學一模試卷）如圖，在Rt^ABC中，ZABC=90°,AB=BC,O是線段AB上

的一點，連接C。，過點3作BGLCD,分別交CO,C4于點E,F,與過點A且垂直于的直線相交于

點G,連接。尸（1）求證：當=若（2）若。是A3的中點，求條的值.（3）若當=；求沁^的值.

ABCFACAD2、4BDF

17.（2023秋?廣東深圳?九年級校考階段練習）【基礎鞏固】（1）如圖1,在“RC中，ZACB=90°,AC^BC,

。是AB邊上一點，尸是BC邊上一點，ZCDF=45°.求證：ACBF=ADBD；

【嘗試應用】（2）如圖2,在四邊形A8FC中，點。是A3邊的中點，ZA=NB=NCDF=45。,若4C=9,

BF=8,求線段CF的長.

【拓展提高】（3）在AABC中.AB=4應,/3=45。，以A為直角頂點作等腰直角三角形ADE,點。在3c

上，點E在AC上.若CE=26，求。的長.

18.(2024?河南?三模)問題情境：數學活動課上，老師出示了一個問題：如圖1,將兩塊全等的直角三角形

紙片和ADEF疊放在一起，其中NACB=NE=90。，BC=DE=6,AC=FE=8,頂點。與邊AB的

。廠交AC于點G.求重疊部分(△DCG)的面積.

圖3

(1)小明經過獨立思考，寫出如下步驟，請你幫助小明補全依據及步驟:

解：,/NAC3=90。，。是的中點，，DC=DB=DA.：.ZB=Z.DCB.(依據:)

又,；AABC"AFDE,:./FDE=ZB.AZFDE=ZDCB.：

：.ZAGD=ZACB=90°.：.DG±AC.又：DC=DA,；.G是AC的中點，Z)G為AACD中位線.

DG=-BC=-x6=3./.S=i-CGDG=ix4x3=6.

CG=-AC=-x8=4,nrr

222222

(2)“希望”學習小組受此問題的啟發，將ADEF繞點。旋轉，使交AC于點”，。/交AC于點G,

如圖2,請解決下列兩個問題：①求證：AAHD^AABC；②求出重疊部分(^DGH)的面積.

(3)“智慧”小組也不甘落后，提出的問題是：如圖3,將ADEF繞點D旋轉,DE,。尸分別交于點M,N,

當ADWN是以DM為腰的等腰三角形時，請你直接寫出此時重疊部分(ADMN)的面積是.

19.(22-23九年級上?江蘇泰州?階段練習)如圖，在等腰直角△4BC中，ZACB=90°,AC=BC,。是中線，

一個以點。為頂點的45。角繞點O旋轉，使角的兩邊分別與AC、BC的延長線相交，交點分別為點E、F,

。尸與AC交于點M,與BC交于點N.(1)如圖1,若CE=CF,求證：DE=DF.(2)在/EDF繞點、D旋

轉過程中：①如圖2,求證：CD2=CECF；②若CE=6,CF=3,求。N的長.

圖1圖2

20.(2024?河南周口.三模)在四邊形A3CD中，E是邊3c上一點，在AE的右側作EF=AE,且

ZAEF=ZABC=a(a>90°),連接CF.(1)如圖，當四邊形A3CD是正方形時，ZDCF=

(2)如圖，當四邊形ABCD是菱形時，求ZDCF(用含a的式子表示).

(3)在(2)的條件下，且AB=6,a=120。,如圖，連接A廠交CO于點G；若G為邊的三等分點，請直

接寫出班的長.

F

專題19全等與相似模型之一線三等角（K字）模型

全等三角形與相似三角形在中考數學幾何模塊中占據著重要地位。相似三角形與其它知識點結合以綜

合題的形式呈現，其變化很多，難度大，是中考的常考題型。如果大家平時注重解題方法，熟練掌握基本

解題模型，再遇到該類問題就信心更足了.本專題就一線三等角模型進行梳理及對應試題分析，方便掌握。

目錄導航

例題講模型

.........................................................................................................................................................2

模型L一線三等角模型（全等模型）....................................................2

模型2.一線三等角模型（相似模型）....................................................6

習題練模型一

.......................................................................................................................................................10

大家在掌握幾何模型時，多數同學會注重模型結論，而忽視幾何模型的證明思路及方法，導致本末倒

置。要知道數學題目的考察不是一成不變的，學數學更不能死記硬背，要在理解的基礎之上再記憶，這樣

才能做到對于所學知識的靈活運用，并且更多時候能夠啟發我們解決問題的關鍵就是基于已有知識、方法

的思路的適當延伸、拓展，所以學生在學習幾何模型要能夠做到的就是：①認識幾何模型并能夠從題目中

提煉識別幾何模型；②記住結論，但更為關鍵的是記住證明思路及方法；③明白模型中常見的易錯點，因

為多數題目考察的方面均源自于易錯點。當然，以上三點均屬于基礎要求，因為題目的多變性，若想在幾

何學習中突出，還需做到的是，在平時的學習過程中通過大題量的訓練，深刻認識幾何模型，認真理解每

一個題型，做到活學活用！

例題講模型］

模型1.一線三等角模型（全等模型）

模型解讀

一線三等角模型是指三個相等的角的頂點在同一條直線上，這個模型在七八年級階段往往用來證明三條線

段的和差或線段的求值及角度的證明等，是一類比較典型的全等模型；模型主要分為同側型和異側型兩類。

模型證明

1）一線三等角（K型圖）模型（同側型）

銳角一線三等角直角一線三等角（“K型圖”）鈍角一線三等角

條件：ZA=NCED=NB,AE=DE；結論：*BE.ECD,AB+CD=BC.

2）一線三等角（K型圖）模型（異側型）

銳角一線三等角直角一線三等角鈍角一線三等角

條件：ZDCF=ZABC=ZAED,AE=DE；結論：AABE*ECD,AB-CD=BC。

1）（同側型）證明：VZAEC=ZB+ZBAE,NB=/AED,：.ZAEC=ZAED+ZBAE,

?：/AEC=/AED+NCED,：.ZBAE=ZCEDO

在/ABE和/EC。中，ZB=ZC,ZBAE=ZCED,AE=ED；：.AABE=^ECD,

：.AB=EC,BE=CD,?：BC=BE+EC,：.AB+CD=BCO

2）（異側型）證明：*：ZDCF=ZABC,；.NECD=NABE,

VZABC=ZA￡B+ZA,ZAED=ZAEB+ZCED,ZABC=ZAED,

：.ZAEB+ZA=ZAEB+ZCED,ZA=ZCED,

在AABE和/EC。中，ZA=ZCED,ZECD=ZABE,AE=ED；：.^ABE=^ECD,

：.AB=EC,BE=CD,TBC=EC-BE,：.AB-CD=BC0

模型運用

例1.（2024?山東煙臺?中考真題）在等腰直角AABC中，ZACB=90°,AC=3C,。為直線BC上任意一點,

連接AD.將線段AD繞點。按順時針方向旋轉90。得線段ED,連接BE.

圖1圖2

【嘗試發現】（1）如圖1,當點D在線段BC上時，線段BE與C。的數量關系為；

【類比探究】（2）當點。在線段BC的延長線上時，先在圖2中補全圖形，再探究線段8E與C。的數量關

系并證明；

【聯系拓廣】（3）若AC=BC=1,CD=2,請直接寫出sin/ECD的值.

【答案】（1）BE=^CD;（2）BE=RD，補圖及證明見解析；（3）sinNEC。=2近或sinNEC。=2叵

135

【分析】本題考查三角形全等的判定與性質，三角函數，掌握一線三垂直全等模型是解題的關鍵.

（1）過點E作延長線于點M,利用一線三垂直全等模型證明再證明=

即可；（2）同（1）中方法證明△ACE^ADME,再證明物1=EM即可；

（3）分兩種情況討論：過點E作EA/LCB延長線于點M,求出EM,CE即可.

【詳解】解：（1）如圖，過點E作￡MJ_CB延長線于點

由旋轉得AD=￡>E,ZADE=90°,：.ZADC+ZEDM=90°,

VZACB=90°,：.ZACD=ZDME,ZADC+ZCAD=90°,

：.ZCAD=ZEDM,：.^ACE^ADME,：.CD=EM,AC=DM,

'：AC=BC,：,BM=DM-BD=AC-BD=BC-BD=CD,：.BM=EM,

■：EM±CB,：.BE=y/2EM=yf2CD，故答案為：BE=叵CD；

(2)補全圖形如圖：BE=6CD，理由如下：過點E作加交BC于點

由旋轉得ZADE=90°,：,ZADC+ZEDM=90°,

VZACB=90°,：.ZACD=ZDME,ZADC+ZCAD=90°,

：.ZCAD=ZEDM,：.AACD^ADME,:.CD=EM,AC=DM,

'：AC^BC,：.BM=BC-CM=DM-CM=CD,:.BM=EM,

VEMrCB,：.BE=y/2EM=-J1CD;

(3)如圖，當。在CB的延長線上時，過點E作加于點連接CE,

由⑵^DM=AC=1,EM=CD=2,：.CM=CD+DM=3,

2萬

CE=yjCM2+EM-=y/13：.sinZECD=—=與

CE71313

當。在BC的延長線上時，過點E作于點如圖，連接CE,

同理可得：AACD四△DME,DM=AC=1,ME=CD=2,：.CM=2-1=1,

,CE=d2、f=5???sin/EC￡>=等=5=亭；綜上：sinZECD=sinZECD=

例2.（2023?湖南岳陽?統考一模）如圖，在ABC中，AB=AC=2,48=40。，點D在線段8C上運動（點。不

與點8、C重合），連接4D,作/AD￡=40。，OE交線段AC于點E.

（1）當NBZM=115。時，ZEDC=°,NAED=°；

（2）線段。C的長度為何值時，XABD會4DCE,請說明理由；（3）在點。的運動過程中，AAOE的形狀

可以是等腰三角形嗎？若可以，求的度數；若不可以，請說明理由.

B25C

【答案】(1)25°,65°；(2)2,理由見詳解；(3)可以，110。或80。.

【分析】(1)利用鄰補角的性質和三角形內角和定理解題；(2)當DC=2時，利用NDEC+NEDC=140。,

ZADB+ZEDC=140°,求出NADB=NDEC,再利用AB=DC=2,即可得出AABD之Z\DCE.

(3)當NBDA的度數為110。或80。時，AADE的形狀是等腰三角形.

【詳解】解：(1)?；/B=40°,ZADB=115°,AZBAD=180°-ZB-ZADB=180o-115o-40o=25°,

VAB=AC,.\ZC=ZB=40°,VZEDC=1800-ZADB-ZADE=25°,

ZDEC=180°-ZEDC-ZC=115°,ZAED=180°-ZDEC=180°-115°=65°；

(2)當DC=2時，AABD4ADCE,理由：VZC=40°,ZDEC+ZEDC=140°,

XVZADE=40°,.\ZADB+ZEDC=140°,/.ZADB=ZDEC,又：AB=DC=2,

NADB=NDEC

在AABD和ADCE中，,NB=NC/.△ABD^ADCE（AAS）；

AB=DC

（3）當/BDA的度數為110。或80。時，AADE的形狀是等腰三角形，

,/NBDA=110°時，；.ZADC=70°,

：/C=40。，.?.NDAC=70。，.?.△ADE的形狀是等腰三角形；

?.?當/BDA的度數為80。時，；.ZADC=100°,

?.?/C=40。，，NDAC=40。，.,△ADE的形狀是等腰三角形.

【點睛】本題主要考查學生對等腰三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，三角形外角的性質等

知識點的理解和掌握，此題涉及到的知識點較多，綜合性較強，但難度不大，屬于基礎題.

例3.（2024?甘肅?中考真題）【模型建立】（1）如圖1,已知AABE和△BCD,ABJ.BC,AB=BC,CDLBD,

AELBD.用等式寫出線段AE,DE,8的數量關系，并說明理由.

【模型應用】（2）如圖2,在正方形ABCD中，點E,尸分別在對角線3D和邊上，AELEF,AE=EF.用

等式寫出線段BE,AD,。尸的數量關系，并說明理由.

【模型遷移】（3）如圖3,在正方形A8CD中，點E在對角線8。上，點尸在邊C。的延長線上，AE±EF,

AE=EF.用等式寫出線段8E,AD,的數量關系，并說明理由.

AAA

ED

CC

圖2圖3

【答案】（1）DE+CD=AE,理由見詳解，（2）AD=>/2BE+DF,理由見詳解，（3）AD=^BE-DF，

理由見詳解

【分析】（1）直接證明絲ABCD,即可證明；（2）過E點作于點M,過￡點作ENLCD于

點、N,先證明RLA￡M四RMEEN,可得40=NF,結合等腰直角三角形的性質可得：MD=DN=—DE,

2

NF=ND-DF=MD-DF,即有NE=AM=AD-MO=AO-—DE,NF=-DE-DF,進而可得

22

AD--DE=—DE-DF,即可證；（3）過A點作AH_L于點”，過/點作bG_LB￡>,交8。的延長

線于點G,先證明A/ME也立;跖，再結合等腰直角三角形的性質，即可證明.

【詳解】（1）DE+CD=AE,理由如下：

VCD±BD,AE1,BD,ABJ.BC,：.ZABC=ZD=ZAEB=90°,

：.ZABE+ZCBD=ZC+ZCBD=90°,：.ZABE=ZC,

VAB=BC,；.AABEdBCD,：.BE=CD,AE=BD,

：.DE=BD-BE=AE-CD,：.DE+CD=AE-,

（2）AD=4iBE+DF,理由如下：過￡點作于點M,過E點作EN，CD于點N,如圖，

:四邊形ABC。是正方形，8。是正方形的對角線，；.ZADB=NCDB=45。，BD平分NADC,ZADC=90°,

yf2AD=y/2CD=BD，即DE=BD-BE=^AD-BE,

?：ENLCD,EMLAD,：.EM=EN,VAE=EF,Rt^AEM^Ri^FEN,：.AM=NF,

AA

■:EM=EN,EN.LCD,EMLAD,NADC=90。，.二四邊形EMDN是正方形，

即是正方形項flW對角線，MD=ND,：.MD=DN=—DE,NF=ND-DF=MD-DF,

2

NF=AM=AD-MD=AD--DE,NF=-DE-DF,

22

/.AD--DE^—DE-DF,即AD=?DE-DF，

22

,:DE=?AD-BE，:.AD=^(啦AD-BE)-DF,即有A￡)=&8E+￡)F；

(3)ADfBE-DF，理由如下，過A點作4/，3。于點H,過廠點作交的延長線于點

G,如圖，VAH±BD,FGLBD,AE±EF,：.ZAHE=ZG=ZAEF=90°,

：.ZAEH+Z.HAE=ZAEH+NFEG=90°,ZHAE=ZFEG,

又；AE=EF,^HAE^GEF,：.HE=FG,

?.,在正方形ABC。中，ZBDC=45°,；.NFDG=NBDC=45。,

：.ZDFG=45°,；.A。回G是等腰直角三角形，AFG=—DF,：.HE=FG=—DF,

22

行

VZADB=45°,AHLHD,，AADH是等腰直角三角形，：.HD=—AD,

2

DE=HD-HE=—AD-—DF,；.BD-BE=DE=—AD--DF,

2222

BD-\[^AD，*'?A/2AZ)—BE=AD——DF,A.D=\f2BE—DF-

【點睛】本題主要考查了正方形的性質，等腰直角三角形的性質，全等三角形的判定與性質，角平分線的

性質等知識，題目難度中等，作出合理的輔助線，靈活證明三角形的全等，并準確表示出各個邊之間的數

量關系，是解答本題的關鍵.

例4.(23-24八年級上?重慶泰江?期末)(1)如圖①，ZMAN=90°,射線AE在這個角的內部，點8、C分

別在NM4N的邊AN上，且AB=AC,CFLAE于點E于點D求證：7國玲CAF；

(2)如圖②，點2、C分別在NM4N的邊AM、AN上,點、E、尸都在—MAN內部的射線AO上，4、Z2

分別是△ABE、VC4r的外角.已知AB=AC,J.Z1=Z2=ZR4C.求證：EF=BE-CF；

(3)如圖③，在VABC中，AB=AC,AB>BC.點D在邊BC上，CD=3BD,點、E、尸在線段AD上，

Z1=Z2=ZBAC.若VABC的面積為17,求△ACF與V5DE的面積之和.

圖①圖②圖③

17

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）—

4

【分析】本題主要考查了三角形全等的判定和性質，三角形面積的計算，三角形外角的性質，余角的性質,

解題的關鍵是熟練掌握三角形全等的判定方法，ASA,ASA,SSS,SAS,HL.

（1）根據AAS證明三角形全等即可；（2）證明VABE絲VC4尸（ASA）,得出=CF=AE,即可得

117

出結論；（3）根據VABC的面積為17,CD=3BD,得出△ABD的面積是：