與中點有關的線段相等問題

一、線段垂直平分線

知識與方法

如圖1-1-1,過線段BC的中點D作垂線，構建線段的垂直平分線，連接垂直平分線上的點與線段兩端點，構

建等腰三角形.

已知線段BC及中點0,于點D,

連接力8,月(?，可得XB=4C.

圖1-1-1

推廣：直角三角形與等腰三角形的互相轉化：你中有我，我中有你.

典例精析

例1如圖1-1-2,在叢8(2中,/?=30。,口是人(2的中點口￡，人(2交互于日點0在直線DE上.

⑴若BC=10,則A0+B0的最小值是；:

⑵若OA=OB,OD=1,OE=2,則BE的長為。忌

答案:(1)10(2)4

【簡析】(1)由題意可知DE是AC的垂直平分線，故考慮線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等，即

連接0C,從而C0=A0.要求A0+B0的最小值，即求C0+B0的最小值，進而根據兩點之間線段最短得最小值為

BC=10.(2)由DE=3,NACB=3(T,DE_LAC易得CE=6.如圖1-1-3,過點0作0F_LBC于F,易得NF0E=30°,EF=

|0F=1,則CF=CE—EF=6-1=5.由OA=OB,OA=OC,OFJ_BC易得BF=CF=5,所以BE=BF-EF=5-1=4.

進階訓練

1.如圖1-1-4,在AABC中,D是BC的中點,AE平分NBAC,AE_LBE,AB=3,AC=5^!1DE=.

圖1-1-4圖1-1-5

2.如圖1-1-5.在RtAABC中,/ACB=9（T,AB的垂直平分線DE交BC的延長線于F.若/F=3（T,DE=1廁EF的長

是.

3.已知正方形ABCD的邊長為6,P是直線AD上一點，且3Ap=AD,連接BP,作線段BP的垂直平分線交直線BC

于點Q,交直線AD于點E,則線段CQ的長為.

二、倍長中線

知識與方法

倍長中線或將過中點的線段延長一倍構造三角形全等，也可整體形成平行四邊形.

圖1-1-6

如圖1-1-6①,AD是AABC的中線，延長AD至點E使DE=AD,連接BE.易證△ADCgAEDB（SAS）.

如圖1-1-6②,D是BC中點，延長FD至點E使DE=FD,連接EC,易證AFDB絲△EDC（SAS）.

典例精析

例2如圖1-1-7,四邊形ABCD中,E為AD的中點NA=105o,/D=12(r,AB=3,DC=2V^NBEC=90oJJ!|BC的長是.

【簡析】如圖1-1-8,將BE（或CE）延長一倍（也可看作把AABE（或ACDE）繞中點E旋轉180。）構造“8字型”全等,

即把已知邊和角轉化到同一個三角形中，同時得到等腰三角形BCF.在ACDF（或AABF）中，已知兩邊及夾角，過C（或

B）作DF（或AF）的垂線構造直角三角形，可解ACDF（或AABF）,得BC=CF=回（或BC=BF=同）.

圖1-1-8

進階訓練

4.如圖1-1-9線段AB=6cm,P是線段AB上的動點，分別以AP,BP為邊在AB上方作等邊三角形APC、等邊

三角形BPD,連接CD,M是CD的中點，當點P從點A運動到點B時，點M經過的路徑的長是cm.

5.如圖1-1-1O,AD是AABC的中線,AB=8,AC=5,求AD的取值范圍（請用兩種以上方法求解）.

三、直角三角形斜邊上的中線

知識與方法

利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，來證明線段間的數量關系，而且可以得到兩個等腰三角形（如圖

例3如圖1-1-12,CE,BF是AABC的高，連接EF,EF=8,BC=12.G是BC的中點,GDLEF于點D.

A

⑴求證:ED=DF;

(2)DG的長為.

圖1-1-12

【簡析】圖中的兩條高形成了直角三角形，其中"CE和ABCF共斜邊，且G是斜邊上的中點，可考慮添加斜邊

上的中線，進而構造出等腰三角形，并通過三線合一求解問題.

解:⑴證明:如圖1-1-13,連接GE,GF.

由CE,BF是AABC的高,BC=12,G是BC的中點,

可知GE=GF=\BC=6,

.?.△FEG是等腰三角形.圖1-1-13

VDGXEF,

,>.ED=DF.

(2)2V5

進階訓練

6.如圖1-1-14,在線段AB上取一點C,分別以BC,AC為邊長作菱形BCFG和菱形ACDE,使點D在邊CF上，連接

EG,H是EG的中點，且CH=4,則EG的長是.

圖1-1-14

7.如圖1-1-15,在AABC中,/B=2NC,AD_LBC于點D.M為BC的中點,AB=10廁DM的長度是.

8如圖1-1-16,AABD和AACE都是直角三角形，且/ABD=/ACE=90。,連接DE,M為DE的中點，連接MB,MC.

求證:MB=MC.

四、三角形中位線

知識與方法

三角形的中位線定理(中位線法),可以解決角問題，線段之間的倍半、相等及平行問題.

圖1-1-17

如圖1-1-17,D為AB的中點，通過取AC的中點E,實現DE〃BC,且0E=|BC.

典例精析

例4如圖1-1-18在四邊形ACBD中,AB與CD相交于點O,AB=CD,E,F分別是BC,AD的中點，連接EF,分別交

DC,AB于點M,N.求證:OM=ON.

A

C

O.

圖1-1-18

【簡析】條件中AB=CD,AB和CD不在同一三角形中，E,F分別是BC,AD的中點，但不是同一三角形中的

兩邊的中點，同時注意到AD,BC這兩邊所在的三角形共邊為AC（或BD）,故考慮在AC（或BD）上取中點，通過連

接中點，構造三角形，通過中位線實現相關線段平行關系及一半關系，從而使問題得到解決.

證明:取AC中點H,連接FH,EH.如圖1-1-19,由題意可得“=^AB.HFCDHF=犯。,所以HE=HF.所以/

HFE=NHEF.由HE〃AB,HF〃CD得/HFE=NCME,NHEF=NANF,所以NCME=NANF.所以OM=ON.

圖1-1-19

另解,也可取BD上的中點G,連接FG,EG,解法同上.

例5如圖1-1-20,正方形ABCD的邊長為6,點E在邊AB上,BE=4,過點E作EF〃BC,分別交BD,CD于G,F.若

M,N分別是DG,CE的中點，則MN的長為.

答案：V13

圖1-1-20

【簡析】M,N分別是DG,CE的中點，但不在同一三角形中，由條件可知AD〃EF〃BC，其中M,N分別是平行

線所截線段的中點，可分別構造平行線中的“8”字型，實現更多的中點，進而構造三角形的中位線求解.

解法一：如圖1-1-21,G點繞N點旋轉18O°,MN=|Z）W=V13.

圖1-1-21

解法二:如圖1-1-22,D點繞N點旋轉180°,M/V=|CW=V13.

H-

圖1-1-22

解法三如圖1-1-23,E點繞M點旋轉180°,M/V=|CH=V13.

解法四:如圖1-1-24,C點繞M點旋轉180°,M/V=|EW=V13.

H

AD

B

圖1-1-24

解法五：如圖1-1-25,MK=3DF=1,GK=KF=*=1,KH=2=2,NQ=泊=3,MN=

7MH2+NH2=V13.

解法六如圖1-1-26,F點分別繞M點,N點旋轉180Q,MN=^BH=V13.

9如圖1-1-27所示，在AABC中,AB=AC,延長AB至1]D,使BD=AB,取AB的中點E,連接CD和CE.求證:CD=2CE.

10.如圖l-：l-28在△ABC中,AOAB,D點在AC上,AB=CD,E,F分別是BC,AD的中點，連接EF并延長與BA的

延長線交于點G.若NEFC=60。,連接GD,判斷AAGF的形狀并證明.

圖1-1-28

綜合訓練

1.(1)如圖1-1-29@,BD,CE是AABC的外角平分線，過點A作AD，BD,AE，CE,垂足分別為D,E,連接DE,求

證:DE〃BC,DE=](AB+BC+AC}.

⑵如圖②,BD,CE是AABC的內角平分線，其他條件不變.如圖③,BD是AABC的內角平分線，CE是AABC的外

角平分線，其他條件不變.則在圖②，圖③兩種情況下，DE與BC還平行嗎?它與AABC三邊又有怎樣的數量關系?

請寫出你的猜想，并對其中一種情況進行證明.

圖1-1-29

2.在AABC中,/C=90o,AOBC,D是AB的中點，E為直線AC上一動點，連接DE,過點D作DF_LDE,交直線

BC于點F,連接EF.

⑴如圖1-1-30①，當E是線段AC的中點時，設AE=a,BF=b，求EF的長(用含a,b的式子表示)；

(2)當點E在線段CA的延長線上時，依題意補全圖②，用等式表示線段AE,EF,BF之間的數量關系，并證

圖1-1-30

3.如圖1-1-31①，在正方形ABCD和正方形CGEF(CG>BC)中，點B,C,G在同一直線上,M是AE的中點.

(1)探究線段MD,MF的位置及數量關系，并證明.

(2)將圖①中的正方形CGEF繞點C順時針旋轉，使正方形CGEF的對角線CE恰好與正方形ABCD的邊BC

在同一條直線上，如圖②，原問題中的其他條件不變，⑴中得到的兩個結論是否發生變化?寫出你的猜想并加以證

明.

圖1-1-31

4在AABC中,P為邊AB上一點.

⑴如圖1-1-32①，若NACP=NB,求證:AC?=AB.AP

⑵若M為CP的中點,AC=2.

①如圖②，若/PBM=NACP,AB=3,求BP的長；

②如圖③若/ABC=45。,/A=/BMP=60。,直接寫出BP的長.

圖1-1-32

答案

進階訓練I

1.1

2.2

3.4或16［解析四邊形ABCD是正方形,

AD//BC,AD=BC=AB=6.

V3AP=AD,

；.AP=2.

分為兩種情況：

①如圖①所示:點P在DA的延長線上時，設QE與BP交于點0,連接BE.

???QE是BP的垂直平分線，

/.PE=BE,PO=OB.

設PE=BE=x，貝!|AE=x-2,

在RtAAEB中,由勾股定理得:2配+AB2=B￡2,gp(x-2)2+62=X2,

解得:x=10,

即PE=BE=10.

VAD/7BC,

ZP=ZQBO.

在APEO和△BQO中，

NP=Z.OBQ,

PO=OB,

Z-POE=乙BOQ,

：.ZXPEO也△BQO(ASA).

->.BQ=PE=10.

VBC=6,

.\CQ=6+10=16;

②如圖②所示：點P在線段AD上時，

②

同理可得BQ=10,

；.CQ=10-6=4.

故答案為：4或16.

4.3［解析］如圖，分別延長AC,BD交于點H,過點M作GN〃AB,交AH于G,交BH于N,連接PH.

AAPC,ABPD都是等邊三角形,

ZA=ZB=ZDPB=ZCPA=60°.

；.AH〃PD,BH〃CP.

，四邊形CPDH是平行四邊形.

CD與HP互相平分

；.M是PH的中點.

故在點P運動過程中，M始終是HP的中點，

；?點M的運動軌跡即為AHAB的中位線，即線段GN,

1

GN=248=3cm.

故答案為：3.

5.分析：所給條件與所求問題無直接關系，故考慮倍長中線構造兩三角形全等，實現所給條件的轉移，進而將

無直接關系的線段轉移到同一個三角形中，再運用三角形三邊關系求解問題.

解如圖，延長AD到點E,使DE=AD,連接BE,

VAD是△ABC的中線，

/.BD=CD.

在ZkADC與AEDB中，

CD=BD,

Z-ADC=乙BDE,

AD=DE,

：.ZXADC之△EDB(SAS).

AEB=AC=5.

根據三角形的三邊關系彳導8-5<AE<8+5,.\3<2AD<13.

故AD的取值范圍為|<AD<^.

其余方法輔助線構造如圖，

(l)AABD繞點D旋轉180。(倍長中線法)

A

B

E,

（2）1:2縮小（中位線法）

CB

（3）2:1放大（中位線法）

【要點：線段中點有關的構造常用兩種：“8字型全等”（旋轉180。）和“A型相似”（1:2縮小或2:1放大）】

6.8

7.5［解析］如圖，取AB的中點N,連接DN,MN.

在RtAADB中,N是斜邊AB的中點，

1

DN=-AB=BN=5..-.4NDB=4B.

在AABC中,M,N分別是BC,AB的中點

；.MN〃AC.

ZNMB=ZC.

又；/NDB是ANDM的外角，

ZNDB=ZNMD+ZDNM,

即/B=NNMD+/DNM=/C+/DNM.

又；ZB=2ZC,.\ZDNM=ZC=ZNMD.

/.DM=DN./.DM=5,，

8.證明:如圖.延長BM交CE于點GXn

VAABD和AACE都是直角三角形，Z<r

???CE〃BD.

JNBDM=NGEM.

M是DE的中點,I.DM=EM.

ZBMD=ZGME,

JABMD^AGME.ABM=MG.

???M是BG的中點.

???在R3CBG中,BM=CM.

9.證阻取AC的中點F,連接BF.

VAB=AC,E,F分別是AB,AC的中點,

???AE=AF.

???ZA=ZA,AB=AC,

.,.△ABF^AACE(SAS).

.\BF=CE.

VBD=AB,AF=CF,

???DC=2BF.???DC=2CE.

10.解:z\AGF是等邊三角形.

證明:如圖，連接BD,取BD的中點H,連接HF,HE.

???F是AD的中點，

1

???HFAB,HF=-AB.

2

AZ1=Z3.

同理，HECD.HE=^CD,

：.Z2=ZEFC.

VAB=CD,

???HF=HE.

AZ1=Z2.

ZEFC=60°,

JZ3=ZEFC=ZAFG=60°.

**?AAGF是等邊三角形.

I綜合訓練I

1.解:⑴證明:如圖①，分別延長AE,AD交BC于點H,K.

(乙ABD=乙DBK,

在2XBAD和"KD中|BD=BD,

[ABDA=Z-BDK,

ABAD^ABKD(ASA).

???AD=KD,AB=KB.

同理可彳導AE=HE,AC=HC.

1

???DEBC.DE=-HK.

又HK=BK+BC+CH=AB+BC+AC,

1

/.DE=-(AB+AC+BC).

⑵猜想結果：圖②結論為。EBC,DE=久/8+AC-BC).

證明:如圖②，分別延長AE,AD交BC于H,K.在"AD和△BKD中,

ZABD=乙DBK,

BD=BD,

^BDA=(BDK,

：.ABAD^ABKD(ASA).

???AD=KD,AB=KB.

同理可得AE=HE,AC=HC.

1

???DE||BC,DE=-HK.

又,/HK=BK+CH-BC=AB+AC-BC,

1

???DE=-(AB+AC-BC).

猜想結果：圖③的結論為=|(^C+AC-AB).

證明如圖③，分別延長AE,AD交直線BC于點H,K.

在"AD^ABKD中，

(乙ABD=乙DBK,

,BD=BD,

/BDA=Z.BDK,

JABAD^ABKD(ASA).

???AD=KD,AB=KB.

同理可得AE=HE,AC=HC.

1

???DE||BCfDE=-KH.

又THK=BH-BK=BC+CH-BK=BC+AC-很???DE一砌.

2.解:(1)：D是AB的中點,E是線段AC的中點

ADE為AABC的中彳立線，且CE=AE=a.

1

???DE||BC,DE

ZDEC+ZC=180°.

ZC=90°,.\ZDEC=180°-ZC=90°.

???DF±DE,.*.ZEDF=90°.

四邊形DECF為矩形.DE=CF.

11

CF=-BC=-(BF+CF).

.\CF=BF=b.

貝！］在RtACEF中,EF=yJCE2+CF2=Va2+Z)2.

(2)依題意補全圖形略.

EF2=AE2+BF2.

證明：過點B作AC的平行線交ED的延長線于點G,連接FG.

：BG〃AC,ZEAD=ZGBD,ZDEA=ZDGB.

YD是AB的中點七

.\AD=BD.

.?.△EAD0△GBD(AAS).?/r^\

:/

.\ED=GD,AE=BG.

又???DF±DE,.\DF是線段EG的垂直平分線.

.\EF=FG.

ZACB=90o,BG/7AC,

.\ZGBF=ZACB=90o.

.?.在RtABGF中,由勾股定理得:FG?=BG2+BFe.

■.EF2=AE2+BF2.

3.解:(1)MD=MF,MD±MF.

證明:如圖①，延長DM交EF于點P,

,/四邊形ABCD和四邊形FCGE是正方形,B,C,G共線,二AD〃EF,/CFE=90。.

ZMAD=ZMEP,ADFP是直角三角形.

M為AE的中點,AM=EM.

又/AMD=NEMP,，z\ADM0Z\EPM.

.\AD=PE,DM=PM.AM是DP的中點.

1

???MF=-DP=MD.

2

???四邊形ABCD和四邊形FCGE是正方形，

???CF=EF,CD=AD.

DF=CF-CD,PF=EF-PE=EF-AD