線段有關的動點鞏固練習

【鞏固練習1]

如圖，四邊形ABCD是菱形，對角線AC,BD相交于點0,AC=6W,BD=6,點P是AC上一動點，點E是AB

的中點，則PD+PE的最小值為（）

X.3V3

B.6V3

D.6V2E

【鞏固練習2]

如圖，已知點P是菱形ABCD的對角線AC延長線上一點，過點P分別作AD、DC延長線的垂線，垂足分

別為點E、F.若/ABC=12（T,AB=2廁PE-PF的值為（）

AA.-3

2

B.V3

C.2

D.-

2

【鞏固練習3]

如圖，已知正方形ABCD的邊長為6,點F是正方形內一點，連接CF,DF,且/ADF=NDCF,點E是AD邊上

一動點，連接EB,EF,則EB+EF長度的最小值為.

如圖，在RtAAOB中,/人08=90。,0人=4,08=6以點0為圓心,3為半徑的。O,與0B交于點C,過點C作CD

±OB交AB于點D,點P是邊OA上的點，則PC+PD的最小值為.

A

【鞏固練習5]

如圖,正方形ABCD中,AB=1,連接AC,NACD的平分線交AD于點E,在AB上截取AF=DE,連接DF,分別交

CE,AC于點G,H,點P是線段GC上的動點,PQLAC于點Q,連接PH.下列結論:①CELDF;②DE+DC=AC;③

EA=V3AH;@PH+PQ的最小值是日其中所有正確結論的序號是______.

【鞏固練習6]

如圖，在平面直角坐標系中，矩形OABC的兩邊OC、0A分別在坐標軸上，且OA=2,OC=4,連接0B.反比例

函數y=B(久＞0)的圖象經過線段OB的中點D,并與AB、BC分別交于點E、F.一次函數.y=七%+。的圖象經

過E、F兩點.

⑴分別求出一次函數和反比例函數的表達式；

(2)點P是x軸上一動點，當PE+PF的值最小時，點P的坐標為.

【鞏固練習7】

拋物線y=必-1交x軸于A,B兩點(A在B的左邊).

(1)口ACDE的頂點C在y軸的正半軸上，頂點E在y軸右側的拋物線上.

①如圖①，若點C的坐標是(0,3),點E的橫坐標是|,直接寫出點A,D的坐標；

②如圖②，若點D在拋物線上，且口ACDE的面積是12,求點E的坐標；

(2)如圖③，F是原點0關于拋物線頂點的對稱點，不平行y軸的直線1分別交線段AF,BF(不含端點)于G,H

兩點,若直線1與拋物線只有一個公共點，求證FG+FH的值是定值.

【鞏固練習8]

如圖二次函數y=x2-(jn+l)x+7n(zn是實數，且的圖象與x軸交于A、B兩點(點A在點B的左側),

其對稱軸與x軸交于點C,已知點D位于第一象限，且在對稱軸上QDLBD,點E在x軸的正半軸上,OC=EC.連

接ED并延長交y軸于點F,連接AF.

(1)求A、B、C三點的坐標(用數字或含m的式子表示)；

⑵已知點Q在拋物線的對稱軸上，當AAFQ的周長的最小值等于爭寸，求m的值.

【鞏固練習9]

如圖在AABC^,ZACB=90°,AC=BC=4,iD是BC邊的中點，點P是AC邊上的一個動點，連接PD,以

PD為邊在PD的下方作等邊三角形PDQ,連接CQ.則CQ的最小值是（）

B.1

C.V2

D1

【鞏固練習10】

如圖，在AABC中,NABC=90°,AB=8,BC=12,D為AC邊上的一個動點，連接BD,E為BD上的一個動點，連接

AE,CE,當ZABD=ZBCE時，線段AE的最小值是()

A.3B.4

C.5D.6

L如圖，連接DE,

在△DPE中，DP+PE>DE,

當點P在DE上時，PD+PE的最小值為DE的長，

四邊形ABCD是菱形，

???AO=CO=3V3,SO=DO=3,AC1BD,AB=AD,

tanZ-ABO=—=V3,

BO

???(ABO=60。，

：,△ABD是等邊三角形，

:點E是AB的中點，

???DE1AB,

vsinZ.ABD=

DE仁

???—=2,

6

DE=3V3,

故選A.

2.設AC交BD于O,如圖:

'在菱形ABCD中，4ABC=120°,=2,

ABAD=乙BCD=60°,ADAC=^DCA=30°,

AD=AB=2,1AC,

RtAAOD^p,OD=|XD=1,

OA=VXD2-OD2=V3,

AC=2。4=2V3,

RtAAPE中,乙DAC=30°,PE=^AP,

RtACPF^P,^PCF=ADCA=30Q,PF=^CP,

-1-111

PE-PF=-AP--CP=-CP)=-AC,

222'72

APE-PF=V3,

故選B.

3.：四邊形ABCD是正方形，

^ADC=90°,

^ADF+KFDC=90°,

???Z.ADF=Z.FCD,

???乙FDC+乙FCD=90。，

???Z-DFC=90。，

???點F在以DC為直徑的半圓上移動，

如圖，設DC的中點為O,作正方形ABCD關于直線AD對稱的正方形.4夕LD,則點B的對應點是B1,

連接B'O交AD于E,交半圓。于F,則線段nF的長即為BE+EF的長度最小值，OF=3,

=90°,B'C=CD=CD=6,

B'

??.OC=9,

:.Bfo=VB'C'24-OC2=，62+92=3V13,

B'F=3V13-3,

EB+FE的長度最小值為3g-3,

4.答案2VIU

解析如圖，延長CO交。0于點E,連接ED,交AO于點P,則此時PC+PD的值最小,最小值為線段DE的長

因為CD10B,所以乙DCB=90。.因為“0B=90。,所以乙DCB=乙40B,所以CD||4。,所以籌=言即牛=

三，所以CD=2.在Rt△CDE中,DE=VCD2+CE2=V22+62=2舊,所以PC+PD的最小值為2同.

6

5「?,正方形ABCD,

.'CD=AD,ZCDE=ZDAF=90°,

AZADF+ZCDF=90。，

在^CDE和3AF中，

CD=AD

<Z.CDE=ADAF,

DE=AF

：.ACDE^ADAF(ASA),

???ZDCE=ZADF,

???ZDCF+ZCDF=90°,

???ZDGC=90°,

???CE_LDF,故①正確；

VCE平分NACD,

JZDCE=ZHCG,

在^GCD和^GCH中，

(^DCE=/LHCG

lCG=CG,

{/.DGC=/LHGC=

???AGCD^AGCH(ASA),

ACD=CH,ZCDH=ZCHD,

??,正方形ABCD,

???CD〃AB,

:.ZCDF=ZAFD,

ZCHD=ZAFD,

ZCHD=ZAHF,

JZAFD=ZAHF,

.\AF=AH,

??.AC=AH+CH=AF+CD=DE+CD,故②正確，設DE=AF=AH=a,

VZAHF=ZDHC,ZCDF=ZAFH,

???ADHC^AFHA,

AF_AH

,,CD-HC'

CL_CL

1'?I=TT?

???a=V2—1,

DE=AF=AH=42-1,

:.AE=\-DE=2-也

EA豐我44故③錯誤；

,/AGCD^AGCH,

；.DG=GH,

VCEXDF,

ACG垂直平分DH,

/.DP=PH,

當DQLHC時,.PH+PQ=DP+PQ有最小值，

過點D作DMLHC,

則DM的長度為PH+PQ的最小值，

???SADC=^AD?DC=|XC.DM,

DM=2,故④正確.

故答案為：①②④.

6.(1)：四邊形OABC為矩形,(0A=BC=2,=4,；.B(4,2).

由中點坐標公式可得點D坐標為(2,1),

?反比例函數y=，（X〉O）的圖象經過線段OB的中點D,

???々1==2x1=2,

故反比例函數表達式為y=|.

令y=2很(Jx=1;令x=4,則y=/

故點E坐標為(1,2),F(4>fracl2).

2=比+b

設直線EF的解析式為y=k2x+瓦代入E、F坐標得：

1=4fc2+5'

L

,1

也=一5

解得：

,5

6=2

故一次函數的解析式為y=-|x+|.

⑵作點E關于x軸的對稱點E',連接E，F交x軸于點P,則此時PE+PF最小.如圖.

???點P坐標為（go）

故答案為：

7.（1）對于y=x2—1,令y=x2—1=0,解得x=±1,令x=。，則y=-1,

故點A、B的坐標分別為（（T，0）、（1＜。）,頂點坐標為（（0,一1）,①當x=|時，y=x2-1=^,

由點A、C的坐標知，點A向右平移1個單位向上平移3個單位得到點C,

???四邊形ACDE為平行四邊形，

故點E向右平移1個單位向上平移3個單位得到點D,

貝LI-+l=-,-+3=-,

2244

故點D的坐標為(I，?)；

②設點C(O,n),點E的坐標為((m<m2-1),

同理可得，點D的坐標為(m+1，叱？-1+n),

將點D的坐標代入拋物線表達式得：

m2—1+n=(jn+l)2—1,

解得n=2m+1,

故點C的坐標為((0,2m+1);

連接CE,過點E作y軸的平行線交x軸于點M,交過點C與x軸的平行線與點N,

貝4SACE=Sf^NMA-SAEM-SCEN=^m+l+m)

(2m+l)-|x(m+l)(m2-l)-|m[2m+l-(m2-l[=js平行四邊形=6

解得m=-5(舍去)或2,

故點E的坐標為(2,3);

(2)F是原點O關于拋物線頂點的對稱點，故點F的坐標為(0,-2),

由點B、F的坐標得，直線BF的表達式為y=2x-21,同理可得，直線AF的表達式為y=-2%-2②，設直

線1的表達式為y=tx+n,

聯立y=tx+九和y=x2—1并整理得：%2—tx—n—1=0,

??,直線1與拋物線只有一個公共點，

故/=(―t)2—4(—n—1)=0,解得n=—^t2—1,

故直線I的表達式為y=tx-^t2-lcircle3,

聯立①③并解得XH=4,

同理可得，xG-4,

???射線FA、FB關于y軸對稱，則AAFO=NBF。,設

Z.AFO=Z-BFO=a,

貝UsinZ.AFO=sin乙BF0=—=2_=,=sintx

BFVrl+22V5

則FG+FH=*+且=V5(xw-xG)=V5(4-)4)=有為常數.

8.(1)令y=Y-(m+1)久+m=0,解得：x=1或m,故點A、B的坐標分別為(m,0)、(1,0),則點C的橫坐標

為*n^+l),即點C的坐標為(等，0)；

(2)由點C的坐標知，C。=2=CE,

故5C=OB-CO=1-1(m+1)=2,

:ABDC+乙DBC=90°,A.BDC+/.ODC=90°,

???乙DBC=Z-ODC,

???tan^DBC=tcmNODC,即CD2=CO-BC=|(m+1)?|(1-m)-

丁點C是OB的中點，則CD為三角形BOE的中位線,

貝!JFO2=(2CD)2=4C￡>2=1-m2,

在Rt△AOF中,AF2=AO2+OF2=m2+1-m2=1,

???點B是點A